数学公式和定理精选(九篇)

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第1篇：数学公式和定理范文

关键词：高中数学 公式和定理教学

公式和定理是中学数学知识体系的重要组成部分，是数学推理论证的重要依据。因此，公式和定理的教学是基础知识教学的重要组成部分。高中数学公式和定理大部分是需要掌握的，按照课程标准对掌握的定位，就是必须明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能从本质上把握内容、形式的变化，对其中蕴含的数学思想方法也要掌握[1]。

1.数学理解的作用

1.1理解可以促进记忆

由于学生将数学知识形成记忆的过程是一个建构和再建构的过程，因此记忆并不是将知识直接原封不动地接收然后储存的过程，而是要理解要不断做一些建构的工作，这些工作主要涉及三个方面:把原有知识变成更容易记和提取的知识;新旧知识尽量联系更多;新旧知识本质属性联系数量越多，就越容易提取。因此，在记忆知识时，个体会主动去理解，加强知识联系的广度和深度，由此提高新知识的记忆程度。

1.2理解能降低知识的记忆量

没有理解，知识就是孤立存在，各种知识分别占用记忆单位;如果理解，新旧知识之间有联系，构成一些有机组成部分，那么需要单独记忆的东西变少，这样，记忆量就减少了[2]。

1.3理解将推动迁移

迁移是指一种学习对另一种学习的影响，有正迁移和负迁移之分。由于建构性的理解活动能突破限制，组建表象与表象之间丰富的联系，在结构内部或更大范围以及结构之间寻找更深层次的意义，因此能发挥知识方法的潜能，推动迁移的进行[3]。

1.4理解会影响信念

学生在思考和理解的过程中会渐渐地体会到数学是一个紧密的内部联系的整体，知识网络之间非常有条理地联系在一起，这些联系是学习者自己通过努力去探索和尝试地建立起来的，这同时就建立了比较正确的数学观、数学学习观和数学信念等。就在学生对数学概念的本质及关联有了理解，对数学方法的运用有体会时，学生对数学及其应用产生兴趣，想学习更新更深的知识。因此，只要抓住学习的关键—理解，或者学生的学习达到该水平，那么就能促进学生形成正确的观念[4]。

2.强化高中数学公式和定理教学在高二学生中的理解措施

2.1教师要增强对公式和定理证明的意识

在课堂上适时的简单证明公式和定理，让学生掌握公式和定理的证明，也就是把大部分学生对公式和定理的理解水平提升到领会水平，学会公式和定理的证明才能有效地提高学生的解题能力。教师的信念会直接影响学生的信念，教师如果自己觉得公式和定理只要会用就可以，那么要学生掌握公式和定理的证明这是不可能的，目前普遍认为公式和定理只要记住会用就可以了，可见教师信念对学生信念的影响很大以及学生本身对公式和定理的认识不深刻。处于公式和定理的不同理解水平的学生在解题能力上有显著性差异，两者成高度正相关。也就是说，掌握公式和定理的证明能有效地提高学生的解题能力。

2.2重视学生数学语言的运用和理解

让更多的学生能正确表达数学和明白数学专用名词的意思。在学生访谈中，当问到错位相减法的字面意思时，所有的学生都不知如何回答，经过提示，才慢慢的能说清楚一些。因为数学名词的命名都是有一定原因的，它跟命名的对象有关，所以教师在讲解比如倒序相加法、错位相减法时，把推导过程与名字结合在一起，学生当时理解会稍微深刻一点，以后估计看到方法的名字就能想起或知道具体的证明过程。这也让学生慢慢形成一种意识，就是中学数学中只要从字面上简单清晰地理解数学，不仅在以后可使回忆变得简单，而且呈现知识的“原貌”也显得不是那么困难了。

2.3教师本身应提高对学生数学学习能力的认识

问卷的同时，也与高中数学教师进行交流，比如问为什么公式和定理的证明一般只讲一遍，对公式和定理的要求一般为什么是只要记住会用就可以?教师的回答一般是:我们学校的学生生源差，好的学生都被最好的市重点先录取;就算讲了，学生能掌握证明的也很少。事实上，分析学生测试卷可以发现，很多问题学生都有比较完美的解法，说明学生并不差，总是有很多不错的学生存在，教师可以适当进行资优教育。如果教师因未发掘学生潜能而期望过低，使学生感受到老师认为自己不行，那么一方面教师对学生的定位就己经很低了，学生要达到更高的认知水平就非常困难，另一方面教师讲得简单，没讲一些数学深刻的地方，那学生也没法领会数学的深奥，以及数学原来很有趣。

2.4教师有时要基于数学史作教学设计

以有趣的故事来引发学生的兴趣，以一些更简单、更巧妙、更直观的方法让学生明白数学可以很简单直观，只不过是自己没发现而已。

2.5教师平时应多强调推理的严密性，少用“记住、别忘了”等词

比如对于学生忘记分q等于1和q不等于1两种情况，或在学生忘记a=0的情况，不要只强调下次别忘了，而应该指出这是数学推理的严密性，a=0时就不是等比数列了，就不能用等比数列的求和公式。这样做可以让学生发现数学的深刻性，可以减少认为数学只是解一些题而不存在多少思想和特点的学生的人数。

3.结论

综上所述，对于数学公式和定理，学生不能只是简单的“一背二套”，还要学会其证明过程，因为只有这样，才能更好地促进记忆、知道应用条件和掌握数学思想方法，并最终达到灵活应用的目的;教师也不能注重应用，而忽略推导过程，并且推导过程中最好“艺术化”一些，更好地创设情境加以引导，多加入美的元素，激发学生思维的活力。因此，研究高中生对公式和定理的理解水平，对高中生的数学学习和中学数学教学有着重要意义。

参考文献：

[1]黄燕玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002，11(03):17-l9.

[2]胡梅.等比数列前n项和公式的七种推导方法[J].考试(教研版),2009(07):67.

第2篇：数学公式和定理范文

对于高一学生来说，想要学好高中数学就要先掌握好数学公式。下面好范文小编为你带来一些关于高一数学公式整理，希望对大家有所帮助。

高一数学公式整理1三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41-2+2-3+3-4+4-5+5-6+6-7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

弧长公式 l=a-r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2-l-r

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1-X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac

降幂公式

(sin^2)x=1-cos2x/2

(cos^2)x=i=cos2x/2

万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

高一数学公式整理21+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41-2+2-3+3-4+4-5+5-6+6-7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

弧长公式 l=a-r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2-l-r

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1-X2=c/a 注：韦达定理

高一数学公式整理3三角形的面积

已知三角形底a，高h，则S=ah/2

已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)](海伦公式)(p=(a+b+c)/2)

和：(a+b+c)-(a+b-c)-1/4

已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2

设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r/2

设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r

则三角形面积=abc/4r

柱形锥形体积面积公式

直棱柱侧面积S=c-h斜棱柱侧面积S=c'-h

正棱锥侧面积S=1/2c-h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi-r2

圆柱侧面积S=c-h=2pi-h圆锥侧面积S=1/2-c-l=pi-r-l

弧长公式l=a-ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2-l-r

锥体体积公式V=1/3-S-H圆锥体体积公式V=1/3-pi-r2h

斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s-h圆柱体V=pi-r2h

圆的标准方程和一般方程

圆：体积=4/3(π)(r^3)

面积=(π)(r^2)

周长=2(π)r

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

高一数学公式整理4(一)椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式

椭圆面积公式：S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径-短半径-PAI-高

抛物线：y=ax^2+bx+c

就是y等于ax的平方加上bx再加上c

a>0时开口向上

a

c=0时抛物线经过原点

b=0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y=a(x+h)^2+k

就是y等于a乘以(x+h)的平方+k

-h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2

第3篇：数学公式和定理范文

为什么要否认记忆在在学习中的作用呢？为什么会认为理解性的科目就不需要记忆呢？这些想法都是错误的。所有优秀学生在学习过程中都不会轻视记忆能力，成绩优秀的孩子都是勤于背诵的孩子，而明智的家长也会有意识地培养孩子对记忆的兴趣。如果学习者知道记忆力的好处，就会通过各种方式努力提高自己的记忆力。

记忆是学习的基础，对任何一门功课的学习都不能轻视记忆。死记硬背招来了不少骂名，但是死记硬背也是一个必经的过程。在理解的基础上记忆当然会更快速更牢固，可是有时候记忆过程本身也是一个理解过程，有些知识点记住了也就理解了。记忆和理解相互促进，一个数学或者物理公式，加深理解的过程就是在不断重复记忆，而记熟了这个公式也会帮助学习者更好地理解知识点。

有些孩子学习困难就是因为不愿意去记忆，不重视记忆。而孩子轻视记忆，首先是因为家长轻视记忆，认为记忆就是死记硬背，死记硬背是不好的。其实，能够很好记忆对学习有很大的帮助。

宋歌总是习惯性地一遍一遍说：“我就是记不住数学公式，数学定理更是枯燥无味。”因为她骨子里对记忆轻视 ，所以数学公式、定理她记熟的不多，等要用公式和定理解题的时候，总是记不起来，影响了解题速度，导致她对自己的学习能力产生怀疑。

宋歌最大的问题就是极其讨厌背诵，认为去背诵基本概念就是不聪明的表现。她认为背诵是过时的学习方法，动不动就拿国外的学生来说事，说国外学生就只重视解决问题，不主张背诵。

当老师布置作业，让把数学公式概念抄写并默写时，宋歌的爸爸妈妈没有给予支持，看到孩子不想写，就说：“这个不用写，只要记住了就行。”

可是不用手写总是记不牢，她总在看到公式的时候自认为记住了，可是用的时候才发现根本没有记住，最后反而怀疑自己的记性。“我记了很多遍还是没有记住。”她这样告诉我。

其实她没有记很多遍，至少没有超过五遍，可是她认定自己永远也记不住了。

我不强求她记忆，只是告诉她，记忆能力是最重要的技能之一，也是必须重点培养的能力之一。

她说,因为记不住公式定理，老师讲课虽然说的是汉语，可是在她听来就像外星人讲话一样。她上课根本听不进去，偶尔想认真听讲，也像在听天书。上课对于她来说，是一种监禁。

我请她不要这样说自己，并让她换一种角度来想：“这个公式我今天没有记住，但是如果我想记住，我就想尽各种办法记住。理解了记忆的好处就想去记忆，只要想记住就能记住，记忆公式和定理不需要什么天赋。记住公式定理总是对我自己有好处的。”

记忆也像身体一样是可以锻炼的，通过反复练习是可以提高的。

学习差的孩子虽然知道基本概念很重要，但是往往认为从基本概念入手已经来不及了，从而把主要精力集中在学习各种应试技巧上。但是真正管用的应试技巧都是基本概念很清楚的人总结出来的，也只有基本概念清楚的人才能全部领会和掌握。

有的家长不注重自己的口头语，会一遍又一遍地说不利于孩子成长的丧气话，可是在一次次的重复中，家长和孩子也会越来越相信这种自我诅咒。

“我的孩子就是不爱背诵，就是不爱学习。”这是家长说的最多的话，有时一天重复好几遍，以不同的语气。

停止给孩子贴这种负面标签，停止不断地给孩子这种消极暗示，家长自己要拿出信心，并将这份力量传递给孩子，不要让孩子相信自己不愿意下功夫，不愿意记忆定理公式。

我让宋歌从最基本的记忆开始，重复记忆。宋歌总是不停地追问我：“这样有效果吗，不会是浪费时间吧？”

这样在一开始好像是没有效果、浪费时间，可是宋歌已经尝到不记忆的苦处：学习速度慢，成绩不理想，学习也没有乐趣。一直积累学习的挫败感，让她也想试试别人总结出来的正确方法了。

要想成绩有所提高，就要重视记忆，要重视记忆就一定要有一两个记忆基本概念的理由，就是自己独特的学习理由：因为有了迫切的记忆愿望，记忆的能力会提高。

宋歌因为总是急于求成，不重视基本功，所以学起来很是吃力。这正是试着改变方法的时候。我让她不要急于求成，从自己水平略低一点的地方开始学起，这样可以更容易也更快地投入到学习中，厌烦情绪也就会随之减少了。

自从宋歌决定主动背诵的那一天起，她对于数学、物理的概念、定理、公式的记忆能力就提高了。

我慢慢地让宋歌体会到记忆的乐趣，因为有了乐趣，难题也变得容易了。宋歌对题目的理解能力和解答能力确实渐渐与以前不一样了，慢慢地相信自己只要想记忆定理就一定能记住，而且记忆定理公式会使学习变得容易和有乐趣。一直这样做的过程中，成绩自然得到了提高，而成绩的提高所带来的快乐，又促使宋歌加倍努力。

终于有一天，遇到了一道对于她来说的难题，我先让她回忆相关的定理和公式，她把定理公式写一遍，读了一遍。我再让她做，她笑着说：“哎呀，这么简单。”她品尝到了记忆的好处。

自信的笑容回到了宋歌的脸上。我一直说她集中精力做题时，是我眼中最美的孩子。我的确也是这么认为的。

我们需要对记忆力有一个正确的认识。记忆是学习的基础，尤其在数学学习中有相当大的重要性，越是低年级越明显，重要的数学公式要熟练地默写下来。死记如果是不显聪明的话，不记更不聪明。从学生主动背诵开始，记忆背诵的能力就开始增长。记忆力是可以通过练习增强的。

第4篇：数学公式和定理范文

【关键词】数学教材；数学阅读；数学阅读能力的培养

阅读能力是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径。随着社会的发展、科学技术的进步，要求人们必须具备较强的综合阅读能力。其中也包括数学阅读能力。然而当前学生在数学阅读过程中，不能准确地掌握和使用数学语言，或者不能概括有关结论，或不能进行逻辑推理，致使学习数学带来一定的困难。本文就如何提高学生的数学阅读能力，谈谈自己的一些看法。

一、强化数学语言训练

数学阅读离不开听、说、读、写。这些都是数学语言的使用过程。在教学过程中，应尽量创造机会让学生用数学语言交流他们的思想，解释猜想，从而增进对概念和原理的理解。这也是训练语言的有效方法。

1.阅读数学概念

数学概念具有简洁、准确的特点。概念的内涵与外延需仔细体会认真琢磨分析才能理解其意义。在概念的教学中教师可以着重指导学生在阅读时，抓住概念中的关键字、词、句，学会“精读”。如“有效数字”概念的教学时须注意三个要点：（1）从左边起数，（2）非零数字，（3）到末位数字止。由此帮助学生理解有效数字包括中间零和末尾零，而不包括开头零。“精读”的要求则是阅读时要求学生深入思索，把握概念的本质，弄清数学概念的内涵、外延，能辨析概念又能了解其使用范围。教师要提示学生注意概念叙述的准确性。比如：学习“平行线”概念时，不能将“同一平面”这个条件忽略。另外，数学概念“精读”还要求学生能正确进行文字语言、图形语言和符号语言之间的互译。

2.阅读数学定理、法则

数学中的定理、法则是反映数学对象的属性之间的关系，是解题的理论基础和工具，能准确理解、记忆和灵活应用定理、法则是学好数学的关键。在定理、法则教学时，教师可以指导学生尝试“复读”， “复读”的要求是阅读时注重弄清结构，掌握思想。对于条件或结论较为接近，结构相类似的定理、法则时，教师可以有意指导学生复读、识别。比如：学习“垂线的唯一性（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）”及学习“平行公理（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）”时，要求能通过复读发现两条定理的异同，让学生理解两处“过一点”的不同之处。

3.阅读数学公式

数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的等或不等的联系，它确切地反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好地理解事物的本质和内涵。注意不要让学生死记硬背数学公式，学习的公式关键是要让学生看清教材中的公式是怎样一步一步推导出来的，有何特点，如完全平方公式根据多项式乘法推导得到，利用对称性非常容易记住。要让学生了解公式产生的背景，为什么要产生这个公式，这个公式的产生对我们的学习带来什么好处？

二、指导学生用不同的方法读

1.阅读课本例题――“解读”

数学教材的例题，都是编者经过反复的比较、筛选，最后才确定下来的，有它的科学性、严谨性和可行性。解读过程中还须边阅读边寻找题中的能体现等量关系的重点句子和关系复杂的难点句，对中学生例题阅读的指导，应按以下步骤进行：学生认真审题分析解题过程尝试解题总结解题探求新的解题途径。这里，还要提醒学生注意解题过程的表达既简洁又符合书写格式，阅读时要仔细领会、学会分析、正确理解例题中的解题思路，掌握解题方法，同时还要帮助学生学会通过阅读在例题中隐含的知识点及数学思想、方法等。

如问题：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的发现与证明过程。

对于平行四边形的判定定理，教师在引导学生阅读学习时，不可直接给出证明要设法让学生发现这个结论，然后再给出证明。让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，可以选择让学生通过实验操作来得到。因此，在教学中，要求学生动手剪拼三角形纸片，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸。让学生在拼接的过程中，发现证明该定理的思路。

2.阅读提示及说明――“不可漏读”

教材中相关知识及许多习题后面都附有说明或提示语。如括号内常注明精确要求或取值范围等，告诉学生对于这些说明或提示语，千万不可忽略，往往解题的某一条件或关键正隐藏在这里。“失之一厘，差之千里”，解题的错误往往是由一些小方面原因造成，若不注意说明，那就有可能功成败垂。

3.阅读课题学习及阅读材料――“泛读”

第5篇：数学公式和定理范文

一、注重知识忽略数学思维培养的传统教学模式的弊端

传统的小学数学教学模式重在教师讲解，对于学生知识体系的构建是优先灌输定理公式定律，然后通过大量的练习掌握它们，最后让学生运用这些公式定理去解决数学问题。这样的教学方式以“教”为主，具有很多弊端。

1.课堂氛围不够活跃

整个课堂时间只是老师在进行数学公式或者定理的讲解，学生处于一种被动接受的状态，导致学生上课犯困，对数学学习没有兴趣。

2.限制了学生数学思维的发展

学生对于定理或者公式的认知仅仅来源于老师课堂上的总结，而不是学生通过发散思维进行思考得出的。这样的教学模式虽然可以让学生快速掌握数学公式和定理，但学生的掌握程度只是停留在记忆层面，因此学生在做题过程中易出现答题不严谨、不完整，导致最后考试成绩不理想。

3.学生容易产生厌学态度

学生将公式和定律从记忆层面转到运用层面需要大量的练习，并且在练习过程中容易出错，导致学生自信心受挫，进而不愿意学习数学。这样的恶性循环导致了很多学生偏科，数学成为短板，限制了学生的全面发展。

二、发散学生思维，加强思维锻炼，从小培养学生的数学思维能力

数学思维的培养不仅需要老师改变传统的教学模式，还应该在此基础上进行相应的训练。一种思维的培养需要经过一定的配套训练，在训练的过程中，使学生习惯用数学思维去思考问题、分析问题，最后解决问题。数学思维要求具有逻辑性、严谨性、数量关系的敏感性等。小学生正是思维系统逐步养成，形成一种内在性格的阶段。因此数学思维的养成有助于培养学生严谨的有逻辑的处世生活态度。美国著名作家罗曼?V?皮尔曾说过“态度决定一切”。数学思维的培养至关重要。因此在教学过程中应该采取相应的能够训练数学思维的教学方法。

1.培养学生动手操作能力，增强学生数学思维的直观性

动手操作是从小培养学生数学思维能力的最好方法。例如，在讲解长方体正方体等相关立体几何知识的时候，在课堂上要求学生自己动手制作几何体。通过动手制作几何体的过程，不仅帮助学生理解了几何体相关知识，还培养了学生动手解决数学问题的能力，锻炼了学生的数学思维。

2.一题多解，多个角度考虑问题，培养严谨的数学逻辑思维

小学数学知识整体比较浅显，老师可以在习题讲解过程中开拓学生的思维，让学生尝试用其他方法解决数学问题，这样的教学方法不仅帮助学生理解了数学知识之间的联系，还培养了学生的数学逻辑思维能力。

3.寓教于乐，将数学思维在趣味数学游戏过程中进行培养

通过游戏进行教学是小学数学最好的教学方法。例如，古代名将韩信率军出征，他想知道一共带了多少兵，于是命令士兵每10人一排排好，结果排好后缺一人，然后就说每9人一排，结果最后一排还是缺一人，为了部队的整齐度，改成8人一排仍缺一人，依次下去直到2人一排还是缺一人。请问同学们算出一共至少有多少士兵？这个趣味游戏是在考查余数的相关知识点。通过游戏联系所学数学知识，能增强学生用数学思维思考问题的能力。

三、从小培养学生数学思维的重要性

第6篇：数学公式和定理范文

一、逆向思维在数学概念教学中的思考与训练

高中数学中的概念、定义总是双向的,不少教师在平时的教学中,只注意了从左到右的运用,于是形成了思维定势,对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中,除了让学生理解概念本身及其常规应用外,还要善于引导启发学生反过来思考,从而加深对概念的理解与拓展。例如:集合A是集合B的子集时,A交B就等于A,如果反过来,已知A交B等于A时,就可以用A是B的子集了。因此,在教学中应注意这方面的训练,以培养学生逆向应用概念的基本功。当然,在平常的教学中,教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题,才能适时训练学生。

二、逆向思维在数学公式逆用的教学

一般数学公式从左到右运用的而有时也会从右到左的运用,这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现。在不少数学习题的解决过程中,都需要将公式变形或将公式、法则逆过来用,而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功。因此,在教学中应注意这方面的训练,以培养学生逆向应用公式、法则的基本功。因此,当讲授完一个公式及其应用后,紧接着举一些公式的逆应用的例子,可以给学生一个完整、丰满的印象,开阔思维空间。在三角公式的逆向应用比比皆是。如两角和与差公式的逆应用,倍角公式的逆应用,诱导公式的逆应用,同角三角函数间的关系公式的逆应用等。又如同底数幂的乘法的逆应用。这组公式若正向思考只能解决部分问题,但解答不了全部问题,如果灵活逆用公式,则会出奇制胜。故逆向思维可充分发挥学生的思考能力,有利于思维广阔性的培养,也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣性。

三、逆向思维在数学逆定理的教学

高中数学中每个定理都有它的逆命题,但逆命题不一定成立,经过证明后成立即为逆定理。逆命题是寻找新定理的重要途径。在立体几何中,许多的性质与判定都有逆定理。如:三垂线定理及其逆定理的应用。直线与平面平行的性质与判定,平面与平面的平行的性质与判定,直线与平行垂直的性质与判定等,注意它的条件与结论的关系,加深对定理的理解和应用,重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野,活跃思维是非常有益的。

四、强化学生的逆向思维训练

一组逆向思维题的训练,即在一定的条件下,将已知和求证进行转化,变成一种与原题目似曾相似的新题型。在研究、解决问题的过程中,经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是:顺推不行就考虑逆推;直接解决不了就考虑间接解决;从正面人手解决不了就考虑从问题的反面人手;探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性;用一种命题无法解决就考虑转换成另一种等价的命题。正确而又巧妙地运用逆向转换的思维方法解数学题,常常能使人茅塞顿开,突破思维的定势,使思维进入新的境界,这是逆向思维的主要形式。经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练,创设问题情境,对逆向思维的形成起着很大作用。

第7篇：数学公式和定理范文

基于此，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，显然应该是数学教育教学必须关注的问题.本文将依托自身的教学经历简述笔者在这一方面的粗浅体会.

1 揭示概念的产生形成过程，创设求知情境，培养思维的主动性

思维的主动性，是各种思维品质的基础和先决条件.表现为学生在获得数学知识时充满热情，积极主动地思考，学生的主体作用可以通过思维的主动性表现出来.

在数学概念教学过程中向学生揭示概念的产生形成过程，展示概念产生的背景，激发学生的好奇心，达到让学生主动思考的目的，从而培养思维的主动性.

案例1 在学习直线的倾斜角与斜率概念时，教师提出问题：“如何确定一条直线？”学生一般能回答出：“两点确定一条直线.”

接着，教师呈现如下两幅图象：

这样引入概念，揭示了倾斜角、斜率出现的背景，让学生感受到数学概念的产生不是凭空想象的，而是有实际意义作基础.

同时，这种做法将数学的思维活动展示给学生，使学生沉浸在对新知识的期盼探求的情境之中，积极的思维活动得以触发.

2 创设不同学科知识联系，培养思维的灵活性

数学思维的灵活性是指学生思维活动的灵活程度，以多向思维为基础，善于从多种角度，其他学科去思考问题.

数学概念教学尽可能联系实际，利用其他学科知识促进理解概念，从而培养思维的灵活性.

案例2 在引入弧度概念时，最好能先启发学生思考物理中一些量的不同测量方式，例如.测量大气压时，可以用气压计直接读出大气压的值，也可以用水银柱的高度来表示大气压.在物理学中，有好多量可以有不同的表示方法.在启发学生思考这些之后，再引入弧度——告诉学生刻画角度还有一种方法就是用弧度来刻画，这样学生的思维就很容易跟着动了，而不是教师强制让学生接受弧度这个概念.

3 反思概念实质，培养思维的深刻性

思维的深刻性主要表现在理解力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系.

通过对概念的不断反思与不断探讨，理解会更深刻，思维也更深刻.

案例3 已知定义在R上的奇函数（ ）f x，当0x >时，（ ）32f xx=+；求当0x

这是一道考查函数概念及转化思想的常见题.

通过对以上4个函数奇、偶性的分析，学生对奇、偶函数的定义域必须关于原点对称这一条件定会有更深刻的认识，从而养成要判断函数奇、偶性，先必须考察函数定义域的良好习惯.

案例5 判断动点（）P x y，轨迹.

（1）动点（）P x y，到定点（3 0）F，的距离与它到定直线：4l x =的距离之比为1.

（2）动点（）P x y，到定点（3 0）F，的距离与它到定直线：3l x =的距离之比为1.

通过对以上两个动点（）P x y，的轨迹分析，找出了抛物线定义所没有强调的定点F与定直线l的位置关系，只有当Fl？时，轨迹是抛物线；而当Fl∈时，轨迹却是直线.

在讲述一个概念后，设计几个带有陷阱的判断，先让学生跳下去，然后让学生自己爬出来，这也是培养学生思维严谨性的好方法.

5 探索概念公式不同论证，培养学生思维的广阔性

思维的广阔性，表现为思路宽广，善于多方探求，多方位，多角度地思考问题.

在数学概念教学中，离不开数学公式，定理的推导，因为数学公式，定理是在数学概念的基础上继续获得新知的必由之路.可以将某些概念，定理，公式，法则设置为探究性问题，引导学生自己去发现，检验论证.在这一过程中，鼓励学生多角度去联想、思考、探索，这样既加强知识间联系，又培养了学生思维的广阔性.

案例6 高中数学必修2 第106页“点到直线的距离”教学.教学过程中遇到的困难是：思路顺畅的运算很繁，而运算较简单的思路又不自然.为了学生的思维得到应有的训练，学生的主体作用充分体现出来，避免采用“满堂灌”、“注入式”，笔者试着按“具体到一般”原则，引导学生怎样去“想”，设计如下的教学程式：

（1）让学生从多角度去探求点（1 1）P，到直线：210l xy+？=的距离.引领学生思考和讨论，得出如下解题思路：

思路1 过点P作l的垂线，设垂足为D，转化为求两点间距离.

案例7 在教学异面直线概念时，揭示概念定义后，可以通过如下三个问题进行辨析：

（1）在两个不同平面内的直线是异面直线吗？

（2）没有公共点的两条直线是异面直线吗？

（3）平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线吗？

第8篇：数学公式和定理范文

关键词：数学教学；推理；学生思维能力

中图分类号：G718.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）22-0078-02

数学教学与思维的关系十分密切，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。对数学思维的研究，是数学教学研究的核心，数学思维的发展规律，对数学教学的实践活动具有根本性的指导意义。思维能力是在一定的思维品质基础上形成的分析问题和解决问题的能力。有的学生遇到了难题就一筹莫展，抓不住问题的本质和关键，找不到解题的技巧和门路。其存在的差异就是思维能力的差异。因此，在数学教学中培养学生的思维能力是一个广泛而值得探讨的课题。要提高学生思维能力，就应在教学过程中有目的、有意识、有针对性地对学生进行培养和训练。

一、从思维过程的组织中培养学生的思维能力

1.提供感性材料，组织从感性到理性的抽象概括。从具体的感性表象向抽象的理性思考启动，是中学生逻辑思维的显著特征。随着学生对具体材料感知数量的增多、程度的增强，逻辑思维也渐次开始。因此，教学中教师必须为学生提供充分的感性材料，并组织好他们对感性材料从感知到抽象的活动过程，从而帮助他们建立新的概念。

2.指导积极迁移，推进旧知向新知转化的过程。数学教学的过程，是学生在教师的指导下系统地学习前人间接知识的过程，而指导学生知识的积极迁移，推进旧知向新知转化的过程，正是学生继承前人经验的一条捷径。中学数学教材各部分内容之间都潜含着共同因素，因而使它们之间有机地联系着，挖掘这种因素，沟通其联系，指导学生将已知迁移到未知、将新知同化到旧知，让学生用已获得的判断进行推理，再获得新的判断，从而扩展他们的认知结构。为此，一方面在教学新知时，要注意唤起已学过的有关旧知，另一方面要为类比新知及早铺垫。

3.强化练习指导，促进从一般到特殊的运用。学生学习数学时，了解概念，认识原理，掌握方法，不仅要经历从特殊到一般的发展过程，而且要从一般回到特殊，把一般的规律运用于解决个别的问题，这就是伴随思维过程而发生的知识具体化的过程。因此，要加强基本练习，注重基本原理的理解；要加强变式练习，使学生在不同的数学意境中实现知识的具体化，进而获得更一般更概括的理解；要重视练习中的比较，使学生获得更为具体更为精确的认识；要加强实践操作练习，促进学生“动作思维”。

4.指导分类、整理，促进思维的系统化。教学中指导学生把所学的知识，按照一定的标准或特点进行梳理、分类、整合，可使学生的认识组成某种序列，形成一定的结构，结成一个整体，从而促进思维的系统化，获得结构性的认识。

二、从拓展思维的空间培养逆向思维能力

逆向思维，是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向进行的一种思维，是与顺向思维方向相反而又相互联系的思维过程，也是我们平常所说的“倒着想”、“反过来想”、倒行逆“思”。逆向思维属于发散思维的范畴，是一种创造性的求异思维，也是创新思维。那么数学教学中应如何培养学生的逆向思维能力呢？

1.加强数学概念的互逆理解。数学概念实际上是揭示事物的本质属性，因此数学概念都有逆命题，而且它的逆命题都是成立的，即定义具有逆向性，通过双向思维更能理解事物的本质属性。例如，线段中点定义：点M把线段AB分成两条相等的线段，把点M叫做线段AB的中点。它的逆命题为：若点M是线段AB的中点，则点M把AB分成两条相等的线段。这样对线段中点的理解就更深刻了。

2.加强数学公式的互逆应用。数学公式实际上是一条等式，因此它的左右两边是可以互换的，它实际上是一条左右通用公式。加强公式的互逆应用，可激发学生的创造性思维。例如，多项式的乘法公式和因式分解这两种运算是互逆的，不同的运算产生不同的思维方式，加强理解，加强训练，更能培养学生灵活运用公式的能力。

3.加强数学定理的互逆探讨。数学定理都有它的逆命题，但不是所有定理的逆命题都是正确的，引导学生探讨定理逆命题的正确性，既可训练学生的逆向思维能力，又能使学生学到的知识更加完备，更能激发学生的学习兴趣和创造思维。例如，平行线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理和逆定理、平行四边形的性质和判定等，在教学中都是通过互逆命题进行探索论证正确而得到的互逆定理。实践证明，逆向思维能拓展空间，促进思维能力的提高。

三、从推理中培养学生的创造性思维能力

创造性思维的特征是新创独特，别出心裁，突破常规，或几方面兼而有之。在创造性思维过程中，发散思维起主导作用，是创造性思维的核心。在数学教学中培养创造性思维，应着眼于培养学生解决问题和探索各种规律性，具有同龄人尚未发现且不同于常规的思维方法和途径，在已知领域中有所创新，在未知领域中有所发现或突破，培养数学创造性思维应做到：

1.注重引导学生勤于动脑勤于思考。勤于思考，勇于探索，是数学创造思维的前提。教师在教学中要引导学生勇于探索，使学生勤于质疑问难、寻根问底，这样学生才能有探索问题的积极性。

2.注重加强学生发散思维的训练。发散思维是指非严格的非逻辑思维，是指不依常规，寻求变异，从多方面寻找答案的思维方式，能开阔思路，求异创新。如添加“辅助线”。添加辅助线在于使条件和结论之间的联系明朗起来，在教学中必须注重分析，在分析时必然要根据命题的条件、图形、结论，发挥联想进行想象，充分利用这些机会，有利于发展学生发散思维能力。

第9篇：数学公式和定理范文

推理能力在数学中是属于数学思考（思维）能力中的一种，因此《课程标准（2011年版）》在数学思考的目标表述中作了明确的要求，指出：要“发展合情推理能力和演绎推理能力”。合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或必然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。通俗讲合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断。本人结合数学教学谈谈如何培养学生的合情推理能力。

一、在数学概念的学习中培养合情推理能力

数学概念形成的过程，是数学家漫长的创造过程，其思考问题的方法和其中包含的数学思想，往往具有很高的数学价值。虽然我们不可能把这个形成过程照搬给学生，但是若能发挥其要领，浓缩精华地将数学家的发现过程暴露给学生，提供给学生数学“再创造”的环境和机会，则无疑是教会学生“数学地思考”的重要途径。在数学概念的实际学习中，需要理解数学概念的名称、定义、例子和属性， 采取归纳、类比、联想、直觉想象等合情推理的方法，让学生经历从典型、丰富 的具体事例中概括概念的本质的活动，而不是给出概念定义、举例说明、练习巩固。这样既符合学生学习概念时由具体到抽象的认识规律，掌握形式的数学概念背后的事实，而且更容易让学生发现概念的本质属性，理解概念的内涵，把概念纳入到已有的认知结构中。比如在进行“有理数的乘方”的教学时，借助下面例子：由一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米。那么（1）对折2此后，厚度为多少毫米？（2）对折3此后，厚度为多少毫米？（3）对折4此后，厚度为多少毫米？（4）对折20此后，厚度为多少毫米？（5）如果每层楼为3米高，这张纸对折20次后有多少层楼高？让学生经历“折纸—猜想—计算”的过程，再引入乘方的概念。学生惊讶之余，既提高了学习兴趣又锻炼了推理能力。再如，初中教材是用温度计经过形象类比和推理引入数学数轴知识的。

二、在数学公式、法则、定理教学中培养合情推理能力

数学公式、法则、定理的发现过程是数学家数学智慧的体现，也是进行合情推理的典范。所以，教师在教学中如果能为学生创造“发现”定理、公式结论的机会，并且在“发现”的过程和方法上加以引导，那么学生既能学到鲜活的数 学知识，又能渐渐体验和掌握合情推理的方法。在课堂教学中要善于捕捉有利的时机，力求让学生思维与数学家发现问题的思维过程或教材作者的思维过程同步，让学生参与到知识的发生、发现过程中去，体验到发明创造的思维情景、方法及乐趣，才有利于学生的创新活动。贯彻“两个过程”原则，“两个过程”就是数学定理(公式、法则)的发生发展过程和学生的数学学习过程。贯彻“两个过程”原则，必须做好两个还原：第一个是还原数学定理(公式、法则)的原始发现过程，第二个是学生思维过程的还原。具体的做法是：①创设问题情景，引发并处理学生的先前经验和直觉；②开展观察、实验、类比、猜想、归纳、特殊化、一般化等活动，形成假设；③利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知，并纳入到有的认知结构中。比如在三角形内角和180o的教学中，通过学生剪裁拼合三个内角，再度量的方式发现得出三角形内角和180o；轴对称图形、线、底边上的中线、高线重合(三线合一)等,教材中没有加以证明,就用折纸的方法使学生确定它们的存在；在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。

三、在数学解题过程中培养合情推理能力

可以说每一个数学解题思路的产生都是一个推理的完整过程，从条件要达到结论的彼岸，如何选择入口？如何实现过渡？怎样一步步逼近结论？这是一个集观察、类比、联想、直觉等合情推理手段和论证推理的过程。因此，每一个解题过程就是一个“数学发现”，也为教师展示“数学智慧”提供了取之不尽的素材。在解题活动中，培养学生“不妨猜一猜”的良好习惯。在解题活动中，要引导学生在没有答案(或结论)时，可先猜测一下答案(或结论)；猜测答数的形式，答数的范围；猜测中间结论；猜测解题方向，以形成思路；对某思路的能解性作出估计；培养学生“不妨猜一猜”的良好习惯。例1：在学完乘法公式后教师可为学生创设这样一个思维情境：

请观察下列等式：

（a－1）（a+1）=a2－1

（a－1）（a2+a+1）=a3－1

（a－1）（a3+a2+a+1）=a4－1

根据前面的等式你能得到什么规律？请用一个等式表示你的发现，并说明理由。学生对这样的问题乐于思考和探究，并通过类比容易得到：

（a－1）（an+an-1+an-2+……+a+1）=an-1－1

该结论学生运用多项式的乘法法则可直接推得，这里证明从略。对教师来讲，前面的过程只是一种精心设计，而对学生来说却经历了一个从感性认识到解决问题的完整历程，其活动的程序大致可表示如下：观察——研究——归纳——得到猜想——验证。猜想是通向创造的门扉，猜想给创造以巨大的推动力。在创造的过程中，猜想常常是一个接一个的，一个猜想被证实了，又转入另一个猜想；一个猜想被否定了，又调换一个新猜想。猜想和证明有时遥遥无期，如哥德巴赫猜想；有时近在咫尺。在猜想中，已经包含了学生跳跃性的思维，我们要善于捕捉学生稍纵即逝的思维火花，使它发扬光大。

总之，在中学教学中进行合情推理方法研究，是提高课堂效率、优化教学条件、提升教学水平的一种途径，对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。对于老师，研究合情推理教学能提高自己的业务水平，增加课堂教学的趣味性，使教学更加有条理。

参考文献

[1]G·波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，2001.

[2]G·波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].上海：上海科技教育出版社，2002.