数学中的反证法精选(九篇)

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第1篇：数学中的反证法范文

关键词：反证法；数学教学；应用

反证法是一种重要的证明方法，历来是教学中的重点和难点。运用反证法有时可以达到简练又确切的良好效果，可以说，没有反证法的数学，只是原始、极不完整的数学，因此，深刻的理解反证法的实质，了解这种方法的一般规律，对于提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力，有着十分重要的意义。本文通过以下方面来说明反证法在教学中的应用。

一、什么是反证法

反证法是一种间接证明命题的方法。该方法先提出与结论相反的假设，然后以此及其有关的定义、公理、定理、题设为依据，言出有据地导出矛盾的结果，从而证明了与结论相反的假设不能成立，进一步肯定原来的结论必定成立。简言之，就是从反面人手论证命题的真实性的方法。

反证法具体又分为归谬法和穷举法，在反证法中，当命题的结论的反面只有一个时，则只需这种情况就能证明结论正确，这种反证法叫做“归谬法”。当命题结论的反面有两种或两种以上的可能时，则需一一，从而肯定原结论为真，这种反证法叫做“穷举法”。

二、反证法的证题步骤

运用反证法证题时，一般有下述三个步聚：

（1）反设：就是假设原命题的结论的反面成立。

（2）归谬：从假设出发，由正确的演绎推理过程，推出与公理，或定义，或与已知定理和公式，或与已知条件，或与假设相矛盾的结果，或所推得的结果自相矛盾。

（3）结论：判断原命题结论反面不能成立，从而肯定原命题结论成立。

三、宜用反证法证明的命题形式

为了便于运用反证法证题，必须搞清宜用反证法证明的命题所具有的以下几种常见形式。

待证命题用直接法难于人手时，宜用反证法.如立体几何中开始的一些性质定理的证明就是如此。

下面再举一例

例1 如果正实数a，b满足ab=ba，且a

证：假设a≠b，即ab

ab=bablna=alnb，

这与（1）式相矛盾，故a>b的假设不成立

所以，有a=b

说明：此题用反证法，推出结论与题设相矛盾，并及时地发现矛盾。

四、反证法证题时，应注意的问题

（1）一定要在推理过程中有意地制造矛盾，并及时地发现矛盾。

第2篇：数学中的反证法范文

一、“反证法”在初中教材中的解读

“反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设归谬存真”。

八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。

由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。

二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力

数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。

（一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤

初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。

例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。

第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。

第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果。那么这两个（或三个）钝角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，

第三步，存真――假设，说明假设不成立，原命题成立。所以假设不成立，所以“一个三角形中最多有一个钝角”。

第3篇：数学中的反证法范文

一、引导学生反向设计问题

基础知识是课堂教学的主要内容，要求学生要深入理解，掌握扎实，它是学生学习数学的奠基石，各种练习题都以其为基础进行设计。为使学生更好地理解这些知识，我们可采用反向思维的方式对其进行分析。例如：在定义域的学习中学生容易理解和掌握定义，但往往在求解上出现畏难情绪，不会解，或少解、或多解。为解决这个问题可在一定的正面练习的基础上为定义域的结果设计一个函数解析式，使其满足定义域，可结合知识基础假设对数型、偶次根式型，等等。定义域的设计可采取由单向无穷至封闭区间或两个区间并集各种形式，能极大程度地调动学生积极性，并帮助他们从深层次掌握各种定义域的限制条件，促使学生完成初步的由解题到出题的转变。在此处知识的教学中还有一个难点――二次不等式的解，也在上一训练中得以升华。

在学习某些数学定理以后， 指导学生思考并用清晰的语言来叙述它的逆出题目， 再去判断或论证逆出题目的正确性，是逆向思维训练的有效方法。能力较差的学生一般只会简单地把定理的题设以及结论对换，难免出现语言不准确的错误，但由正定理反过来设计逆定理是对正定理理解的完美补充。如立体几何中的平行、垂直等的判定与性质定理等。

二、运用反例及补集思想分析题

在解诸如填空、判断、选择题时，运用事例及补集思想分析题更是一种简单易行的方法；在解题后，对解题过程和结果的检验，也是一种行之有效的方法；在审题时，可帮助学生找出由于种种原因而出现的错题，以避免浪费精力和时间；在求概率问题时运用补集思想分析是较好的方法，如确定对立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思维的作用。数学被誉为“思维体操”，思维的多样性、灵活性更是其显著特点。客观题的解答只需合理不需过程，反向检验更容易快速地得出结论。比如从选项看取值范围的差异用特殊值检验。又如讲解对数函数的性质，由于对数函数与指数函数互为反函数，在指导学生观察对数函数的图像特征时，指导学生将两种函数的图像以及性质进行对比，学生能相应地得出对数函数的四条性质。再列出指数函数以及对数函数的一般形式，定义域以及值域，数值变化以及单调性方面的对照表，学生就能更清楚两者之间的对称（互逆）关系了。

三、简易逻辑在思维中的作用

第4篇：数学中的反证法范文

关键词:逻辑数学教学

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)10-0177-01

高中数学的起始单元就是“集合与简易逻辑” 。虽然它是第一次以“逻辑”的形式正式出现在数学教材中,但是逻辑思维方法,早从初中数学伊始,就已经贯穿于我们学习数学的过程中了。如初中代数中的一元二次方程、一元二次方程组,平面几何中的四种命题、反证法等,这些知识中都包含和渗透着逻辑学知识。而高中代数中的集合、不等式组、数学归纳法,立体几何中的定义、公理、反证法等等,更是贯穿着逻辑学知识的理解和运用。我们一定要认真理解并吸收这些知识,掌握正确的逻辑思维方法,才能为以后的进一步学习打下坚实的基础。

既然逻辑学知识在中学数学中占据着如此重要的位置,要学好数学,我们必须努力学习和掌握逻辑学相关知识,进而全面地理解概念,正确地进行逻辑推理和判断。唯有如此,我们才能赢得数学学习上的胜利。

下面是我对逻辑学在中学数学部分知识中的渗透和运用的一些肤浅理解。

一、逻辑学知识在集合中的应用

简易逻辑与集合密不可分。逻辑联结词“或”、“且”、“非”诠释着三种不同的逻辑,它们与集合的“并”、“交”、“补”有着密切的联系。

(一)“或”可以理解为集合中的并集,是将不同集合的所有元素合成一个集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一个成立。

(二)“且”可以联想到集合中交集的概念,它类似于我们惯常理解的“既是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”这两个条件同时都满足。

(三)“非”可以联想到集合中的补集。若命题P对应的集合为A,则命题非P就应该对应着集合A在全集U中的补集CuA。

二、 逻辑学知识在概率中的应用

假使我们把以上三种逻辑运用到概率中,便更容易理解了。如果事件A与B不可能同时发生,则事件A与B为互斥事件,就像“或”对应着并集,发生的概率是A发生的概率加B发生的概率。而对于相互独立事件,事件A与B发生的概率就是A的概率与B的概率之乘积。如果A和B是对立事件,就满足着排斥逻辑。所以说数学中概率的运用也同样离不开逻辑。

三 、逻辑学知识在“反证法”中的应用

从逻辑学的角度理解反证法,也就是通过推理论证矛盾命题非P的虚假性,从而确定命题P的真实性的论证。需要注意的是,假定P与非P的结论所确定的集合分别是A、B,且满足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”结论必须包含P的结论的所有对立面。否则我们使用反证法证题时就可能犯错误。如题:用反证法证明:如果a>b>0,则√a>√b。我们证明时假设√a不大于√b,则有两种情况√a

四、逻辑学知识在充分、必要、充要条件中的运用

我们知道,一般情况下,如果由p=>q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件。如果由p=>q,又由q=>p,那么p是q的充分必要条件,即充要条件。

例:条件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判断p是q的()。

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立则q成立,而q成立则p不一定成立,故p是q的充分不必要条件,故选A。

五、逻辑学知识在理解判断四种命题及其相互关系的应用

在本节的学习中,我们可以从逻辑学和集合两个角度去理解概念,正确掌握判断四种命题的方法,如定义法,集合法,转化法等。学会运用集合的观点来解决简易逻辑中的一些问题。

第5篇：数学中的反证法范文

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

摘 要：不等式问题是数学常见问题，而不等式的证明是中学生在学习中的一个难点，本文论述了不等式证明常用方法和技巧，对于帮助中学生克服不等式证明这一难点有重要价值；同时对于提高中学生的数学思维水平、提高分析问题和解决问题的能力大有帮助.

关键词 ：不等式；方法；技巧

中图分类号：O122文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0006-03

不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关系，而不等式则是反映这种关系的基本形式.在数学中，不等式是我们在学习中的一个重点和难点，其中不等式中的重点主要是证明不等式，解不等式以及不等式的应用三类问题.不等式的概念和性质是进行不等式的变换、证明和解不等式的根据.不等式的变换包括推出变换和等价变换两类.其实质是条件为结论的充分条件或必要条件这两种逻辑关系.

其实解不等式的技巧就是等价转化思想的应用，其过程为一系列的转化过程，因此要加强思维的严谨性，并注意分类讨论思想的渗透.

证明不等式的方法有比较法、综合法和分析法、反证法、换元法、分类讨论法、放缩法、数学归纳法、累次求极值法、函数法等.

1 比较法

其中比较法又可以分为比差和比商法，比差法即设有数a和b，若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则a=b.比商法即设有数a和b且b≠0，若a/b>1，则a>b；若a/b><1，则a<b；若a/b>=1，则a=b.

得证.

2 综合法与分析法

综合法与分析法也是很常用的两种方法，由于两者只是在思维过程的顺序有所不同，因此在这里我们放在一起来分析和讨论.综合法即是利用题设和基本不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所需要证明的不等式的方法；而分析法是从欲证不等式的结论出发，通过分析使这个不等式成立的条件，只要这些条件在题目中具备，就可以断定原不等式成立.

即得证.

3 反证法

反证法即是先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理.也叫归谬法.事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明.上述的过程得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题得证.有时候反证法能够使我们得到意想不到的效果.

与已知矛盾

所以假设不成立

原结论成立.

4 放缩法

放缩法也是证明不等式常用的并且行之有效的一种证明方法，其关键在于寻找中间变量C，通过C对A或B的放大或缩小使A<C<B成立，C在量A和B之间架起一座桥梁，通过C的过渡使A与B间接的建立起不等关系.

例　已知n为正整数，

证毕.

5 构造法

构造法就是数学中通过数与数、数与形的关系来转化的方法，其中构造几何图形证明不等式是一种比较直观和简便的方法，此方法是利用构造图形的几何性质，通过图形比较明显的性质来直接的证明不等式的方法.

6 累次求极值法

累次求极值法是求多元函数最值的一种方法，其是先将一些变量固定，对于较少变量求出最值，然后使另一些变量“活化”，当它们变化时，求第一步求出的那些最值的最值，这样一步一步地求下去，得到题中所求的最值.

7 函数法

函数法即是先构造自己所需要的函数，通过函数的单调性或值域或者函数的一些其它性质来证明不等式的一种方法，也是一种转化思想的应用.

在不等式的学习中培养探究思维能力，作为一种观念，只要我们长期坚持，积极探讨，一定能大大提高我们的学习效率和探究思维能力，从而对所学知识窥之深，察之远.

参考文献：

〔1〕刘玉琏，等．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003．

〔2〕张奠宙,张广祥．中学代数研究[M]．北京：高等教育出版社,2006．

〔3〕王尚志,胡凤娟,张忠明,王铮铮．“一元二次不等式”的定位和教学建议[J]．中学数学参考，2009．01-02:3-5．

〔4〕万平方．在不等式教学中培养学生的探究思维能力[J]．中学数学参考，2007（07）:43-45．

〔5〕陈明名,刘问斌．中学数学解题技巧[M]．北京：北京理工大学出版社．

〔6〕张雄,李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2004．

第6篇：数学中的反证法范文

（赤峰学院 学报编辑部，内蒙古　赤峰 024000）

摘 要：逆向思维是一种与正向思维相反的思维方式，是一种"由果溯因"的思维模式.在数学教学中，培养学生的逆向思维也是提高学生数学思维能力的一种重要方法.逆向思维方式中蕴涵了许多独特，巧妙的数学思想.运用逆向思维方法，可以使一些难于解决的问题应刃而解，如本文中涉及的六类问题，其解法都比较巧妙，这对于提高学生灵活运用数学知识，分析问题、解决问题的能力有很大的帮助.

关键词 ：逆向思维；反证法；分析法；命题转换法

中图分类号：O122；G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）08-0003-03

思维是人对客观事物的本质特点和内在规律的反映，是人的理性认识的过程.根据思维过程的指向性，可以将思维分为正向思维和逆向思维.正向思维是指在思考数学问题时，按通常思维的方向进行.而逆向思维是从已知问题的相反问题着手解决原问题，其采用了与正常的思维方式完全相反的一种思维方式，“反其道思之”.所以在数学解题过程中，我们也可以采用与常规思想不同的逆向思维思考问题，顺推解决不了问题就考虑逆推，直接解决不了就考虑间接，正面不好讨论的问题就讨论其相反面.

逆向思维也是创造思维的一个组成部分.在日常数学教学中，逆向思维的培养对于提高学生灵活运用数学知识，分析问题，解决问题的能力有很大的帮助.其在数学解题或研究中时常会遇到，比如利用逆用定义，逆用公式和法则等方式解决问题，证明题中常用的反证法运用的也是这样一种思维方式.本文试图从以下几个方面来阐述逆向思维在解题中的重要性.

1 逆用定义

在数学解题过程中定义的作用不可替代，它是解题的航标.而定义的逆用在解题过程中也时常遇见.只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，有些题目的解决会很容易.

例1　解不等式|x-2|<1.

分析　掌握了绝对值的概念后，我们知道，正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.如|3|=3,|-3|=3.|0|=0.于是我们应想到绝对值等于3的数有几个？而如果两个数的绝对值相等，这两个数可能是什么关系？如果是一个式子的绝对值，在去绝对值符号时可能出现什么样的情况？

解　由题

当x-2>0即x>2时

有|x-2|=x-2

此时原不等式等价于x-2<1

解得x<3

而当x-2<0即x<2时

有|x-2|=2-x

此时原不等式等价于2-x<1

解得x>1

综上可以得出原不等式的解为1<x<2.

所以

例3　设f(x)=9x-3x+1，求f-1(0)

分析　我们通常的思路是先求出f(x)=9x-3x+1的反函数，然后再把0代入求出f-1(0)的值，显然这样做过程有些烦琐.但是如果逆用反函数定义，令f(x)=0那么解出x的值就是为f-1(0)的值.

解 由题　令f(x)=0，即9x-3x+1=0

解得x=1

所以根据反函数定义f-1(0)=1.

2 公式的逆应用

公式的运用在数学解题过程中是非常重要的一部分，恰当的运用公式也是一种数学能力.我们运用公式时大都习惯遵循着由左向右顺序.可是有些问题不能运用公式正面解决，那么逆用公式也是重要的数学方法.

例1　计算20002-19992+19982-19972+……+22 -1.

分析　观察原式的式子特点可考虑逆用平方差公式，这样会使运算过程简化.

3 利用逆向思维求函数值域

在函数这一部分学习中，求函数的定义域和值域是很重要的内容，但有时候通过一些函数的性质定义域很容易求出，可是值域却不容易得出.于是我们可以利用函数和它的反函数的定义域的关系,通过求反函数的定义域而求得反函数的值域.

4 反证法

一个数学命题的证明按其所证的对象是原命题还是其等价命题分为直接证法和间接证法.证明原命题称为直接证法，证明原命题的等价命题称为间接证法.反证法就是一种间接证法，是许多问题在用直接证法很难解决时常常被采用的证法.这是一个很好的思想，很好的体现了哲学中的“矛盾”思想，也就是任何一个矛盾都存在着对立统一的两方面，一方的转化或消失，矛盾便不存在.“反证法”在我们探索数学的性质过程中，应当引起我们高度重视，正面想不出，从事情的反面考虑，也许就很容易得到想要的结果.

反证法证明问题的基本程序：

1 假定所要证的结论不成立,而设命题的反面成立.

2 用反设做条件,通过已知的定理,定义进行正确的推理,导出矛盾

3 因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的错误.既然结论的反面不成立，那么结论成立.

例1　圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析 假设两条不是直径的相交弦能互相平分，那么交点到两条弦在圆上的点的距离相等，所以交点为圆心.又因为这两条相交弦不是直径，所以圆还有一个圆心，这样同一个圆有两个圆心，而这不可能，所以假设错误，即圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

例2　已知a>0，b>0，a+b>2,求证：1+b/a，1+a/b中至少有一个小于2.

分析 本题显然用一般的方法去思考会非常复杂，会出现三种需要考虑的结果.因此，我们不妨从反面着手，用反证法来证明.

解　假设1+b/a，1+a/b都不小于2

则

1+b/a≥2，1+a/b≥2.

因为

a>0，b>0

所以

1+b≥2a，1+a≥2b

因此

1+b+1+a≥2(a+b)

即

a+b≤2.

这与a+b>2矛盾，故假设不成立.

即1+b/a，1+a/b中至少有一个小于2.

5 分析法

在解决数学问题过程中，从题设出发，根据已有的定理和公式推出要证的结论，称为综合法.但是在解题过程中，有一些问题的解决用综合法很难得到解决，有些问题如果从条件出发往往会感到无从下手.但是若从命题的结论出发进行推理，最后达到已知条件，问题就很容易得到解决.这就是分析法.

分析法在不等式证明中的作用尤为突出.我们可以从求证的不等式出发，逐步寻找使不等式成立的充分条件，直到所需要的条件被确认成立，就断定求证的不等式成立.

逆向思维在数学中有广泛的应用，这就要求我们在以后的学习中.遇到难题时不要退缩，要大胆创新，加强逆向思维的培养.在数学中，培养可逆思维能力的途径还有很多，还需要我们不断的探索，从而真正从思想高度上理解自己所学的知识.

参考文献：

〔1〕侯敏义.数学思维与数学方法论[M].北京：北京师范大学出版社.1991.

〔2〕张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔3〕陈明名，刘问斌.中学数学解题技巧[M].北京：北京理工大学出版社.

〔4〕王亚光.运用逆向思维培养创新能力[J].宿州教育学院学报，2007（05）:131.

〔5〕张香伟，遵晓东.论数学教学中可逆行思维能力的培养[J].河南商业高等专科学校学报，1999（03）:68-69.

第7篇：数学中的反证法范文

【关键词】数学思想；“层次”教学；创新教育

新课程把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在数学《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。

一、了解《数学新课标》要求，把握教学方法

1、新课标要求，渗透“层次”教学。

《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《数学新课标》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心。如数学教材中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。

关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法。同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

1、渗透“方法”，了解“思想”。

由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。

2、训练“方法”，理解“思想”。

数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。

3、掌握“方法”，运用“思想”。

第8篇：数学中的反证法范文

【关键词】初中；数学方法；数学思想

数学教学数学思想数学方法任何学科都有它的教学思想和与其相配套的教学方法，数学学科也是这样。可以这样地讲，数学思想和方法是学科的精髓，也是知识转化为能力的平台。初中阶段，为了更好地提高学生的数学素质，必须指导学生领悟数学思想，掌握学习数学基本方法，这些要领的心领神会，必须通过反复解题，并在解题中学会思考，形成举一反三及派生的能力。初中数学教材中大量的优秀例题和习题，过程中很好地体现了数学解题方法与解题思维。作为一名初中一线数学老师，我们就应该顺着这条线索把知识中孕含的思想与解题过程中的要领讲清楚。让学生明白，并掌握一种学习技巧。下面就自己多年教学经验，谈谈教学过程中数学思想与数学方法渗透的几点做法。

一、依据《数学课程标准》，把握教学方法

数学思想，浅意地说是对数学规律的理性认识。数学方法，是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。

1.《数学课程标准》要求渗透“层次”教学。对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”“理解”和“会应用”。数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、类比的思想等。方法有：分类法、图象法、反证法等。数学是一门逻辑思维非常强的学科，这就更加严谨要求老师在讲课时，不能将不同层次的方法混用在同一知识教学过程当中，方法如果用得不恰当，学生就会一头雾水，听不明白，并逐渐丧失学习数学的兴趣，损失很大。如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学课程标准》“反证法”被定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，这就要求我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2.“方法”中提炼“思想”，“思想”中导引“方法”。初中数学数学思想和方法大多是一致的。只是方法较具体，思想比较抽象。比如，化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的教学，就这一数学思想，教材中引入了许多数学方法，如换元法，图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步理解其数学思想；同时思想又深化了数学方法的运用。这样相辅相成的教学妙用，是教学过程中发挥的极致，也会取得很好的教学效果。

二、把握教学原则，实施创新教育

创新是一种能力，更是一种教学智慧。初中学生数学思维能力薄弱，知识贫乏，这就要求老师要把握好知识之间相互联系，理清知识之间难易层次，做到这一点，学生必须要熟记数学概念、公式、定理、法则，并知道这些定义法则提出的理论依据。使学生在这些过程中展开思维，提出问题，解决问题，获取新知。比如，初中数学《有理数》这一章中，“有理数大小的比较”，贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，得出的结论就是正数大于一切负数”。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，就会使本章节知识融会贯通；又能很好掌握数形结合的思想，学生易于接受，形成举一反三的能力。数学思想的内容是相当丰富，方法也有难有易。老师在教学中做到创新就必须熟知初中所在数学知识要点，绝对凌驾教材之上。才能运用恰到好处，才能有创新的能力。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。

三、数学思想方法的具体应用

1.转化思想。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，且应用十分广泛，数学问题其实就是一系列转化的过程，如化繁为简、化难为易、化未知为已知等，这种数学转化方式与过程激发学生学习数学兴趣。

初中数学教学中，最常用的转化形式就是，化高次为低次、化多元为一元。例如，“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学过程，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。

第9篇：数学中的反证法范文

【关键词】不等式；证明方法；比较法；综合法；分析法

一、引言

不等式是高中数学的重要组成部分及数学中的一个重要工具。不等式是指在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子。不等式分为严格不等式（用纯粹的大于号、小于号“>”“

二、证明不等式的基本方法

（一）比较法

比较法是证明不等式的方法之一，用比较法证明不等式分类比差法和比商法两类，它们优点是明了容易想到，但是用起来不是那么容易。它们的解题依据及步骤如下：

（1）比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。应用比差法时我们规定这里的a，b可推广为一般的代数式，这是比差法的理论依据。基本解题步骤是：做差--变形--判断符号。

（2）作商比较法。当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。当欲证只需证，欲证只需证。

基本解题步骤是：作商--变形--判断。（与1的大小）

例1.求证：

证：

时等号成立。

所以成立。

例2.已知，求证。

证： 又

（1）当时，，所以

（2）当时所以

（3）当时不等式取等号。所以（1），（2），（3）知，不等式成立。

（二）综合法

综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。它涉及多方面的知识，算是比较难的方法。以下介绍几个重要不等式：

为实数）同号）

（当且仅当时等号成立）

例3.已知且，求证：

证： 所以两边同时乘得：

即：

原不等式成立。

（三）分析法

从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

例4.求证：

证即：因为因为为了证明原不等式成立，只顺证明：

即：

即：

即：

所以原不等式成立。

三、证明不等式的其他方法

（一）反证法

反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件，假设公里，定理式显然成立的实相矛盾的结果，从而判定假设错误，原结论是成立的，这种方法叫做反证法。反证法属于间接证法，其主要步骤是：

1.作出与命题结论相反的假设。

2.在假设的基础上，经过合理的推理导出矛盾的结果。

3.肯定命题的正确性。反证法的原理是《否定》之否定定于肯定。

例5.已知，求证：

证：假设成立则

由此得这是不可能的。

（二）放缩法

放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做.放缩法。放缩是使用的主要方法，有：

1.舍去或加上一些项：

如：，，

2.将分母或分子放大（或缩小）。

例6.求证：

证：有

原不等式成立。

（三）数学归纳法

证明有关自然数的不等式的证明，可以采用数学归纳法，数学归纳法的证明原理，是一个关于自然数的命题顺用两个步聚完成。

1.验证取第一个数值时，不等式成立。

2.假设取某一自然数时，不等式成立。（归纳假设），由此推演出取时，此不等式成立。

例7.求证：

证：（1）当时，左边=1，右边=2，不等式显然成立。

（2）假设时，则时：

左边==

时不等式也成立。由（1），（2）对于任意的，原不等式都成立。

（四）换元法

换元法是指对结构较为复杂的命题，通过恰当入变量代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其教化未便于研究的形式。

例8.若，求证：

证：已知条件，令，

左端：

右端：

即可知

原不等式成立。

例9.已知，求证：

证：因为设，其中：

因为

而，

（五）构造法

通常有构造函数，构造复数法，构造方程法。

1.构造函数是将不等式的证明转化为函数的单调性问题利用函数的单调性建立不等关系，达到证明的目的。

例10.已知且，求证：

证：构造函数：

函数在上为增函数

原不等式成立。

（1）构造复数法

例11.已知，求证：

证：构造复数：

（2）构造方程法

例12.若且，证：

证：令则：

构造方程为方程的两个根。

即：

但即：

由于

原不等式成立。

（六）判别式法

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，解集函数的性质等特征确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方程。

例13.设，求证：

证：

因为的系数为。

原不等式成立。

四、结束语

不等式虽然在书本上给的内容不多，但它在现实中不可缺少的。不等式的证明方法很多，并且具有系统性。当我们遇到不等式有关问题时，选择哪一个方法证明是解决数学问题的关键。不等式的证明涉及到代数，几何，三角各方面知识综合性较强，题型各样，因此就练地不等式的基本证明方法是非常必要的不等式的证明方法灵活多变，枝巧性很强，一个题目解决的方法没有固定模式。通过对不等式证明方法的总结，可以培养良好的分析问题和解决问题的思维能力。

参考文献：