高等函数的概念精选(九篇)

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第1篇：高等函数的概念范文

关键词 高等数学 初等数学 教材内容 比对 衔接

中图分类号：G642 文献标识码：A

Comparison between the Content of Higher

Mathematics and Elementary Mathematics

DU Huijuan

(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)

Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison

经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。

1 “函数与极限”的衔接

函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。

（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。

（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。

（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。

2 “导数与微分” 的衔接

高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。

（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法,对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。

（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。

高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。

建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。

（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。

高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。

建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。

以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。

3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”

高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求，鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的；而在大学教材中，极坐标知识是作为已知知识直接应用的，如在一元函数微分学的应用中求曲率，以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。

初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外，在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学，不能很好地衔接，教师在教学中要注意放慢速度，帮助学生熟悉高等数学教与学的方法，搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系，在备课时，了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系，对教材做恰当的处理；上课时教师要经常注意联旧引新，运用类比，使学生在旧知识的基础上获得新知识。

总之，努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题，是学好高等数学的关键之一。

参考文献

第2篇：高等函数的概念范文

关键词： 高等数学； MATLAB； GUI编程； 教学辅助系统； 演示模块

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2017）05-64-04

Design and implementation of higher mathematics computer aided teaching

demonstration system based on MATLAB GUI

Liu Bing1，2

（1. Chengde Petroleum College， Chengde， Hebei 067000， China； 2. Hebei Instruments and Meters Engineering Technology Research Center）

Abstract： According to the teaching status of higher mathematics course and the geometric meaning of important mathematical concepts and the mathematical thought that it contains， in the higher mathematics course， using MATLAB language for GUI programming， a higher mathematics computer aided teaching demonstration system for each teaching module is developed. The system is comprehensive in content， interactive， simple operation and intuitive demonstration， which is beneficial to the understanding of the concepts. The application of this system can stimulate students' interest in learning， and improve the teaching effect and teaching quality.

Key words： higher mathematics； MATLAB； GUI programming； computer aided teaching system； demonstration module

0 引言

高等笛[1]课程一直是高等院校绝大多数专业的必修基础性课程。在传统的高等数学教学模式中，教师是教学活动的主体，教师对数学概念的定义与对相关定理及结论的推导会贯穿整个课堂教学。由于学生很少参与知识的形成过程，一直处于被动的学习状态，所以学生学习效果差。高等数学计算机辅助教学[2-6]是计算机技术与数学软件进入数学教学后出现的一种新型教学模式，此种教学模式将先进的计算机技术引入到数学教学过程中，借助于计算机技术将数学概念所蕴含的数学思想及其几何意义可视化、形象化，进而可实现教学内容的直观化、通俗化，改善教学效果，提高教学质量。

当前，在高等数学计算机辅助教学中，常用的开发工具主要有PowerPoint、Flash等。这些软件虽然都可以在不同程度上实现对高等数学教学内容的辅助教学作用[2-3]，但都存在比较明显的不足。例如，软件本身所具有的科学计算功能微乎其微；教学演示过程中无法做到对概念的准确与定量的描述，且它们的主要作用都体现在放映效果上，缺乏与操作人员的交互性。与这些软件不同，Matlab[7-10]是一款具有高性能的数值计算与可视化功能的软件，它既能进行科学计算，又具有面向对象的图形技术与GUI功能[11-12]。利用该软件所提供GUI图形界面编程机制，可以使开发者轻松的设计与开发出自己所需的人机交互性良好的应用程序。近年来，伴随着MATLAB软件自身技术的不断进步及其在各领域的应用，出现了许多利用MATLAB GUI开发的高等数学辅助教学系统[4-6]。这些系统可以起到一定的教学辅助效果，但系统的演示效果单调、乏味，且对概念的演示较为肤浅，对学生的直观理解帮助很大。此外，系统的演示内容也较为单薄，对于高等数学中的一些重要知识点并未涉及。因此，本文利用Matlab的 GUI编程，从高等数学课程的教学现状出发，依据高等数学课程中各重要数学概念的几何意义及其数学思想，开发出了一种针对于高等数学各个教学模块的辅助教学演示系统。与文献[4-6]中的系统相比，本系统交互性良好，系统的设计理念与设计原则均来源于教学实践，且演示内容全面，演示效果生动、深刻，能准确揭示出所演示概念的本质。

1 演示系统的设计与开发

在高等数学课程教学中，对各个重要数学概念的理解与掌握是最关键的。概念掌握了，与概念相关的其他教学内容，包括一些定理、推论等也就不难理解了。而对于概念的理解与掌握，最关键的是要借助于其具体的几何意义。基于此，本系统的演示对象主要针对的是高等数学课程中一些主要教学模块所包含的重要数学概念，而系统的设计依据与演示内容则为各个演示对象（即数学概念）的几何意义。

1.1 系统的演示内容

高等数学课程的教学内容繁多，本系统重点针对四大教学内容，分别是一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何和多元函数微分学。这四大教学内容中，每部分都包含许多重要的数学概念，有导数、微分、空间曲面及偏导数等等。整个演示系统共有17个教学演示模块，如图1所示。

1.2 系统主界面的设计

系统主界面的设计主要是菜单栏的设计。菜单栏选项与图1中系统各个教学演示模块是相对应的，其设计是通过MATLAB GUIDE所提供的菜单编辑器来实现的。系统主菜单共有6项，其中主要菜单项有4项，分别为一元函数微分学菜单项、一元函数积分学菜单项、空间解析几何菜单项和多元函数微分学菜单项。而对于每一个主菜单项，又会包含许多子菜单项，这些子菜单项即为最终要演示的具体对象。主界面设计完成后，运行效果如图2所示。

2 系统的演示效果

本系统的演示模块数量较多，由于篇幅所限，在此我们从空间解析几何和多元函数微分学两个主菜单中各选出一个演示模块，来对整个系统的教学演示效果加以说明。

2.1 “柱面的认识与绘制”教学模块的演示效果

“柱面的认识与绘制”教学演示模块从属于系统中的空间解析几何主菜单项。柱面是高等数学空间解析几何教学中的一类重要的空间几何图形，它有两类基本构成要素：一个是准线，一个是母线。教材中，重点学习的是准线在坐标面上，母线垂直于该坐标面的柱面。在传统的板书及PPT教学方式下，部分内容的难点在于，教师无法实现对任意给定的此类柱面的直观绘制，这又率寡生很难理解与认识此类空间几何图形。

运行本演示模块，可得如图3（a）所示界面。在界面的参数设置区中首先选择柱面类型，这里选择“准线在xoy面，母线平行于z轴”类型，然后再输入准线函数表达式2*x^2+x-2（即准线在xoy面的表达式为y=2x2+x-2），单击“绘制图形”按钮，得到图3（b）所示界面。

由以上演示过程易见，该演示模块可实现对所学任意类型柱面的绘制。图3（b）实现了对“准线在xoy面，母线平行于z轴”类型柱面的绘制，通过改变选择的柱面类型并修改准线表达式，还可以绘制出其他类型的柱面。如图4，此时，绘制的为“准线在zoy面，母线平行于x轴”且准线表达式为的柱面。

2.2 二元函数偏导数的几何意义教学模块的演示效果

“二元函数偏导数的几何意义”教学演示模块从属于系统中的多元函数微分学主菜单项。偏导数是多元函数微分学教学内容中的核心概念，同时，也是学习与解决多元函数全微分、多元函数极值与最值等各类问题的基础。学习与掌握多元函数偏导数的概念关键是要去理解其几何意义。众所周知，多元函数偏导数的实质为一元函数的导数，因此，其几何意义仍为曲线在某点处切线的斜率。以二元函数z=f（x，y）为例，其在点（x0，y0）处对x偏导fx（x0，y0）的几何意义为曲面z=f（x，y）与平面y=y0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））处切线的斜率；其在点（x0，y0）处对y偏导fy（x0，y0）的几何意义则为曲面z=f（x，y）与平面x=x0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））处切线的斜率。在传统的板书教学与PPT演示教学中，此部分教学内容的难点在于教师不能够灵活、直观、准确地绘制出任意所给定的二元函数z=f（x，y）所表示的曲面与相应平面的交线，这样，致使学生对于其几何意义的认识不直观、不深刻。

运行该模块，可得如图5（a）所示界面。在该界面中，当在参数设置区内输入二元函数的表达式f（x，y）及（x0，y0）点的具体值并选择求偏导的类型后，当点击“计算偏导”按钮，可以计算出输入的二元函数在输入点（x0，y0）处关于选定的偏导的类型的偏导数。之后，当点击“演示几何意义”按钮，可形象直观地绘制出相应计算出的偏导数的几何意义。例如，当输入的二元函数为2*x^2+x*y^2+x*y（即书面中的函数2x2+xy2+xy），x0为1，y0为1，选择求偏导类型为“对x求偏导”，点击“计算偏导”按钮，之后，点击“计算偏导”按钮，可形象直观地绘制出其几何意义，如图5（b）。

由图5（b）易见，该演示模块可实现对所输入的任意二元函数在任意点（x0，y0）处的偏导数。本例中，求得的f（x，y）在点（1，1）处对自变量x的偏导值fx（1，1）为6。除此以外，该演示模块最大的优势在于可以直观、生动的演示出fx（1，1）的几何意义。由图5（b），易知，该演示模块界面左侧的空间直角坐标系中可显示出此时曲面z=2x2+xy2+xy与平面y=1的交线；而与此同时，为了更直观的来理解fx（1，1）的几何意义，演示模块界面右侧，则将该交线从空间直角坐标系中分离出来，将其放置在平面y=1内部的平面直角坐标系（该坐标系横轴为x轴纵轴为z轴）内，此时该平面曲线在点（1，4）的切线（即图5（b）中右侧坐标系中红色的切线）的斜率即为fx（1，1）的几何意义。当然，通过改变偏导的类型，选择“对y求偏导”，也可以类似的获得f（x，y）在点（1，1）处对自变量y的偏导值fy（1，1）及其几何意义。

3 结束语

本文中所研发的基于MATLAB GUI的高等数学辅助教学演示系统，人机交互性良好，演示内容全面，演示手段丰富且演示效果生动、深刻，能准确的揭示出所演示数学概念的本质，因而，更能贴近于教学实践。从实践教学活动中的应用来看，学生对系统的交互性使用及其演示效果均较为满意。下一步，计划将高等数学中一些更为复杂的教学模块（包括多元函数积分学及级数等）引入到模块中来，从而实现对整个高等数学课程知识点的全覆盖。

参考文献（References）：

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007.

[2] 薛春明.高等数学多媒体辅助教学的几点思考[J].科技信息，2010.19：156

[3] 崔楠.Power point在制作CAI 课件中的应用与技巧[J].计算机时代，2001.1：3

[4] 时红霞.高等数学实验教学的应用研究[D].西安建筑科技大学硕士学位论文，2006.

[5] 崔秋珍.基于MATLAB的高等数学试验系统设计与图形界面系统实现[D].西安建筑科技大学硕士学位论文，2006.

[6] 许仨.高等数学多媒体教学系统的设计与实现[D].贵州大学，2010.

[7] 胡晓冬，董辰辉.MATLAB从入门到精通[M].人民邮电出版社，2010.

[8] 陈杰.MATLAB宝典[M].电子工业出版社，2007.

[9] 葛哲学.精通MATLAB[M].电子工业出版社，2008.

[10] 张志涌，杨祖樱.MATLAB教程[M].北京航空航天大学出版社出版，2015.

第3篇：高等函数的概念范文

【关键词】高等数学 连续性 体验式学习

【中图分类号】G633.66 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）4-0080-01

所谓体验式学习，简单的说就是通过实践来认识周围事物。最早提出体验式学习模型的学者是美国的教育家科尔布。科尔布认为学习不是内容的获得与传递，而是通过经验的转换从而创造知识的过程。数学课程中的体验式学习是指在数学教学中教师积极创设教学情景，引导学生自然过渡到教学氛围中，并激发出学生学习数学的内驱动力，使学生积极地由被动到主动、由依赖到自主、由接受性到创造性地自主对数学学习过程进行体验。

体验式学习分为四个步骤：第一步，实际经历和体验。创设情境，使学生投入到当时当地的实际体验活动中；第二步，观察和反思。引导学生从多个角度观察和思考实际体验活动和经历；第三步，抽象概念和归纳的形成。通过观察与思考，抽象出合乎逻辑的概念和理论；第四步，在新环境中测试新概念的含义。运用这些理论去作出决策和解决问题，并在实际工作中验证自己新形成的概念和理论。

函数的连续性是《高等数学》中一个重要的概念，在高等数学体系中有着重要的地位。首先，连续性为微积分夯实了基础。17世纪下半叶，以牛顿和莱布尼茨为代表的数学家们创立了微积分，解决了很多实际问题。但当时的微积分从概念到推导都是不够严密的， 19世纪前后，数学家们为了使微积分更严密，抓住了极限和连续这两个本质概念，使用数量化的语言精确的定义了极限和连续，使微积分有了严密牢靠的基础，最终形成了完整的理论体系。连续的教学内容可以从“函数在一点处的连续”开始，到“函数在区间的连续”，接着进一步讨论“闭区间上连续函数的性质”。以下基于体验式学习理论设计教学过程。

一、创设情境，引入概念

教师在课件中给出一个群山的图片，引导学生观察、描述群山的轮廓。教师：“伽利略说过：宇宙是永远放在我们面前的一本大书，而这本书是用数学语言写成的。数学可以帮助我们更精准地认识世界。请大家观察这群山的轮廓，你可以试着用数学的语言来描述它吗?”

由于群山的轮廓是学生已有的经验，再加上科学家的名言，很容易达到引人入胜的效果。学生自然会说道，“连绵不断”、“一条连绵不断的曲线”的描述。教师予以肯定：“平面上的一条连绵不断的曲线可以抽象成数学里一个连续函数的图像。这就是本节课的研究对象。” 这一教学过程间断有效，使学生印象深刻，体现了体验式学习的第一步。

二、观察归纳，形成概念

有了第一步直观的感受，接下来就是精确的刻画连续的数学定义，这是这堂课的难点。教师可给出函数在一个点连续和函数在一个点有跳跃间断点两张图片，引导学生从函数值该变量的角度观察比较、分析归纳，探寻函数在一个点出连续的精确定义。通过演示课件，让学生看到函数的连续的情况下，随着自变量改变量的不断减少，虽然两个图像中的函数值改变量都是在不断减少，但函数的连续本质是函数值该变量可以无限小，而跳跃间断点的情形则始终大于一个固定的值，这就是连续与不连续的本质区别。通过这样的体验，学生很容易理解连续的概念。同事也可以融汇前面的极限的知识，自出写出函数连续的精确定义，即函数在一点连续就是在这一点处当自变量该变量趋于零时，函数值改变量也趋于零。

三、讨论研究、推广概念

得出了函数在一个点处连续定定义，进一步，如果一个函数在一个区间中的每一个点都连续，则称作该函数在这个区间连续。讨论一般初等函数在定义区间中都是连续的。初等函数是高等数学中经常用到的函数，那么连续函数在区间中连续的性质的讨论就显得很有必要。观察闭区间连续的函数的性质，不难发现如果一个函数在一个比区间连续，如果从一个负值变化成一个正值，那么，几何上，函数图象一定会经过x轴至少一次。解析的角度就是该函数在区间内至少有一个零点。这是著名的零点定理。用这样的方式进行推广概念，过渡自然，承上启下。

四、建立模型，应用概念

学生知道了零点定理的定理表述，那么这个定理究竟可以帮助解决什么实际问题呢？这个部分体验式学习可以充分显示出其优势。教师提出一个问题情境。

“登山运动员第一天早上七点钟出发，经过十二个小时的艰难跋涉于晚上7点到达山顶。在山上住了一晚，第二天早上7点出发沿原路下山，又经过了十二个小时，于晚上7点到达山脚。问题是，是否存在某个时刻，两天里运动员在这个时刻经过同一个地点？”

引导学生体验问题的过程，将题干中的文字叙述建立模型，转化成为数学中两条曲线是否具有交点的问题，进一步转化成零点存在问题，再利用零点定理证明其存在。学生亲身体会到了零点定理的妙用。才能更加深刻的理解这个概念，从而掌握定理的用法。

参考文献：

[1] 高等数学 科学出版社 2012.8

第4篇：高等函数的概念范文

    ,性质

    首先是初等函数相关问题分析:

    1.绝对值函数的概念及性质

    绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。

    1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定义域:即x的取值集合,为全体实数;

    值域: 不小于b的全体实数

    单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 减 ;

    1.2绝对值函数图象规律:

    |f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。

    f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。

    1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。

    2.取整函数的概念与性质

    2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。

    2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.导数的概念与性质

    3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。

    3.2求导数的方法

    (1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.

    (2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。

    (3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)复合函数的导数

    复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

    4.高等函数的概念以及含义问题

    4.1一元微分

    1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。

    通常把自变量x的增量 Δ   x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X

    的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。

    2)多元微分的运算法则

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。

    【参考资料】

    1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.

    2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.

第5篇：高等函数的概念范文

关键词：高等数学 教学法 创新

中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

科研能力和科研成果标志着一个国家的科技水平，培养具有创新意识和科研能力的人才是高等院校所面临和必须解决的实际问题，然而科研能力的培养并非要从研究生阶段才开始着重培养，在本科阶段的教学中给学生尽早接触科研的机会，让学生从本科阶段开始培养一种标新立异提问题的习惯至关重要。而对本科生科研能力的培养最主要的途径就是在对其传授知识的过程中完成的。高等数学作为高等院校各院系一门重要的公共基础课之一对学生在四年大学生活中扮演着重要的角色，高等数学中微积分的创立、一元微积分到多元微积分的发展以及各个重要概念的产生无不透露出数学家发现问题和解决问题的思路，如果能够从中进行引导，找到适合的切入点，逐步在学习过程中让学生积累素材并培养一种问“好”问题的习惯，本科学生一样可以接触科研。

培养学生的科研能力，最重要的是培养学生发觉问题的能力，而这首先要求学生改变以往的学习模式，即由被动的接受到主动的思考创造的学习模式的转变，这种学习模式的转变进而要求教师授课模式的转变。本文就讲透基本概念，引导学生发现学科的不足及类比教学等几方面来谈谈如何引导学生转变学习模式，进而培养学生的科研能力。

1 讲透基本概念

数学中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到头来学生可能只会做部分简单的习题。事实上，高等数学授课的主要目的并非让学生学会如何计算导数和微分，更多的是该让学生把握数学思想，深刻理解数学概念。深刻理解概念即要把握概念的本质。以极限概念为例，怎么理解数列 ，如果只是按照书上的定义把 语言写出来还远远不够，应该告诉学生极限最本质的东西就是用距离去刻画，即数列和某个定点的距离当 时无限接近。知道了这一点，平面上一个点列 的概念自然就有了，同样我们用点列和点的距离当 时无限接近去刻画。只是需要注意的一点的是，平面上两点间的距离不能再用绝对值了，而是用

进而到 维空间中乃至无穷维空间中如何定义点列收敛我们都可以知道，关键是距离起着重要作用。再以函数可微概念为例，很多学生只知道 ，至于为什么求微分，以及什么是可微函数不知道。这些就需要老师在讲授这个基本概念的时候介绍清楚，让学生搞透这个概念。事实上，一个函数是不是可微就是看这个函数的增量与其自变量的增量是否可成一个线性比例关系，即 是否成立，知道了这一点，可以立即让学生去思考如果是一个二元函数 是否可微该如何定义？按照上面的说法，二元函数的增量和其自变量的增量是否成线性比例关系，二元函数的变量是两个，即看 是否成立？同样多元函数的可微性乃至一个泛函的可微性理解起来都很简单了。搞透数学中的基本概念这是让学生能够不断思考并发现问题的前提。

2 引导学生发现学科的不足

无论哪门学科之所以产生、发展，往往源于人们对已有相关学科的不满以及该学科创立时的不完善。作为教师，应当更多地呈现给学生所讲学科的不足及存在的问题，这样学生才有思考的余地，把学科的不足及问题隐藏起来而只把学科完美的漂亮的结果展现给学生，那么他们就只会做练习而永远也不会去创作东西。要知道，正是当年微积分的不完善才有了极限的产生。数学就是在不断地发现学科的不足并改进的过程中逐步完善起来的。众所周知，数学史上曾发生过三次数学危机，可每一次危机都没有前人的理论而只是在数学这座漂亮的高楼大厦上添砖加瓦而已，危机使数学更加完善了，危机的产生正是由于学科本身的问题和不足导致的。

当讲完定积分时不能让学生认为定积分是完美无暇的，应该让学生寻找这个概念的不足之处，比如狄利克雷函数 ，这样简单的函数为何不可积？可能有人认为这是实变函数的内容超出了高等数学的范围，事实上不是这样的。通过让学生寻找定积分的不足可以锻炼学生的一种思维方式，培养学生的创新意识。人人都认为所创造出来的学科是神圣不可侵犯的话就不会有所发展了，这给了学生一种提出质疑的态度，培养了学生问问题的一种习惯，久而久之，学生的科研能力也能加强。另一方面，我们可以告诉学生黎曼积分不是那么完美的，因为还有一种更广泛的积分就是勒贝格积分，告诉学生在微积分之后还有一门后续课程是实变函数，感兴趣的同学会自己去查阅。同时我们可以用形象地数钱地方式告诉学生什么是黎曼积分，什么是勒贝格积分。有一搭钱，我想知道数目是多少，从头开始累加而不管其面值是多少可以得出最后的数目这就是黎曼积分，如果会打理一些，把面值相同的钱先放在一起，5元，10元，100元，再数各面值的有多少张，最后算和这就是勒贝格积分。这样不仅提高了学生的兴趣，加深了他们对概念的理解，也开阔了学生的思维。

3 类比教学

数学中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相关概念的归纳比较，展示概念之间的内在联系和本质区别，让学生在比较中学习，从比较中加深理解，从整体上把握所学到的诸多概念，这样既可以学习新知识又可巩固旧知识。以无穷积分与无穷级数为例，从定义来讲，无穷级数 与无穷积分 的基本概念之间存在离散与连续的对应关系：

，

（前提是极限都存在）。这样很容易得出p级数 与 有相同的敛散性（这是教材的一个定理），这样学生能自己去给出这个定理，不仅很快掌握了，而且有着自己发现定理的成就感。

3 结语

高等数学的教学要使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法，而且领会到数学的精神实质和思想，从而在自己所学的领域中不断发现问题并运用其相同或相近的思想解决问题。只有转变了学生从被动接受到主动思考创造的学习模式，才能培养其科研能力。

参考文献

第6篇：高等函数的概念范文

关键词： 高数概念教学 概念本质 整体性教学 思维能力

一直以来，高等数学的教学质量与高等教育中人才的培养息息相关。而高数概念教学作为高数教学中一个很重要的环节，应当引起足够的重视。所谓数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维方式，往往脱离了事物的具体属性，具有相对独立性，抽象与具体双重性，逻辑联系性。我认为在高数概念教学中应注意以下几个方面。

一、教学中应注重对概念进行概括提炼

高数概念的内涵就是指那个概念所包括的一切对象的共同的本质属性的总和，概念的外延就是适合那个概念的一切对象的范围。在高数教学中，教师应能注重提取出概念的内涵，并能引导学生抓住抽象的词语、符号和术语中的本质，让学生一开始就对这个概念有一个明确的认识。例如，在极限概念的教学中，由于极限概念包含了数列极限和函数极限，而且函数极限中还包含自变量x各种变化情况，因此导致学生难以理解，在极限概念使用中出现种种不足甚至错误，如学生可能会产生下列错觉：数列必单调地趋于极限，数列只能从一侧趋于极限，数列的项不能等于极限，等等。产生这种学习困难的最大原因就是学生并未真正弄清楚极限语言中所蕴含的概念本质。所以在极限的概念教学中，教师应该尽可能提炼出极限概念的本质，可以提炼成一句话：极限就是自变量变化过程中，分析函数因变量的变化情况。在教学中，应对概念分析出本质后，再给出多种形式的具体例子，排除学生在概念学习中受到的非本质属性的干扰，使学生一开始就感知到数列可以不同的方式趋于极限，从而将注意力集中到对极限本质的认识上。

二、在概念教学中应加强整体性教学

美国著名教育家布鲁纳曾说：“学生获得的知识知果没有完整的结构把它联系起来，那是一种多半会被遗忘的知识。”在高数概念的教学中，教师应重视其整体结构的性质，可以说，数学概念的发展是体系化的、网络状的发展，别的数学概念通过改变内涵和外延获得发展，发展的新概念与原有概念形成概念体系，个别概念既反映自身来自于其他概念的关系，又反映来自系统的整体性质。因此，在数学概念教学中，教师必须加强整体观念，把个别概念置于概念体系之中。把新概念置于旧概念之中，通过比较个别与整体、新概念与旧概念的区别，揭示个别与整体、新概念与旧概念间的联系，确定好个别概念在概念体系中的相对位置，使学生在对知识不断更新、改造、组织、整理的过程中，形成有序完整的概念整体结构，这能帮助学生弄清楚所学概念间的区别和联系。以导数概念的教学为例，导数的概念作为微积分知识的基础，如果学生不能做到对概念真正理解和掌握，将会影响对后续导数的学习。虽然导数概念作为一个全新的概念，但是教师在讲解时，应加强概念整体性教学，将导数与之前学习过的极限联系起来讲解，特别是讲解清楚导数概念与极限之间的联系。导数就是一类特殊的极限，和之前学习的无穷小、无穷大这类特殊的极限类似；又如不定积分与定积分，两个概念的本质有着很大区别，但又有微积分基本定理将两个概念联系在一起，相当一部分定积分可以通过不定积分（原函数）来求。这种整体性教学的最大好处是更利于学生真正掌握所学的新概念，更能加强学生对前后所学知识的整体理解，达到将所学知识融会贯通。

三、在概念教学中应注重对学生思维能力的培养

数学教师在数学概念的教学中，应当注重学生思维能力的培养，体现发现问题、解决问题的思维过程，通过自己的思维过程，诱导学生的思维过程，这是数学教学概念的教学活动成功进行的保证。为此，在高数概念教学中，要善于引导和启发学生认识概念建立的必然性及概念体系的发展过程，培养学生的思维能力，引起学生的学习兴趣。学生作为学习的主体，只有引起学生的学习兴趣，才能更好地完成数学概念的教学。比如，在某些高数概念的教学中，我们可以利用概念的特点设置疑问，提出问题，然后从疑问入手，层层剥离，得出结论，从中培养学生探索求异的精神。以多元函数微分学的概念教学为例，多元函数微分学也是高数中的重要内容之一，涉及大量的概念，对概念的讲述，不仅是拓展大学生思维的良好素材，而且是培养学生探索精神的很好实例。在教学中可与一元函数的相应概念作类比，我们可向学生提出以下问题：与一元函数的极限定义比较，区别在哪里？为什么会存在这种差异呢？讲授偏导数概念时，也可对比提出：对于一元函数，可导则比连续，对于多元函数是否有类似的性质呢？合偏导数是否都相等呢？具备怎样的条件才相等呢？等等。这个过程不但能够让教师很好地完成数学概念的教学，更能够达到充分启发学生和有效地提高学生的探索意识与思维能力的目的。

总之，能否把高数概念讲好，直接影响高数教学效果的好坏。只有在高数概念讲解时注重概念本质的讲解，讲清楚概念间的区别联系，才能更好地完成高数概念的教学工作和提高学生的思维能力，取得良好的教学效果。

参考文献：

[1]胡传孝.高等数学的问题、方法与结构[M].武汉大学出版社，2000.

第7篇：高等函数的概念范文

关键词:连续;偏导数;可微分

中图分类号:O172

文献标识码:A

文章编号:1672-3198(2010)09-0211-01

1 问题的提出

多元函数是一元函数的推广,学习多元函数微分学,一定要弄清连续、偏导数、全微分之间的关系,才能更好地掌握和使用这些基本概念。本文通过作者几年的教学实践经验,以二元函数为例,总结和完善了多元微分学几个概念间的关系和实例说明,以便给广大教师提供更有价值的参考,同时若能给正在学习的新生和正在考研的学生以点拨,将会起到很大的效果。

2 几个重要概念间的相互关系及其反例

本节首先对教材中的结果,以定理的形式加以总结,使结论更加简洁明了。并以推论的形式给出了二元函数在点(x0,y0)处连续、偏导数、可微间的关系,并给出具有代表性的例子以验证推论的正确性,使结果更加具有说服力。

定理1若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处

(1)连续;

(2)偏导数存在,且dz=zxdx+zydy

说明:这个定理给出了全微分存在的必要条件,作为教材上的结果,本文不再加以证明。与一元函数不同,这些条件都不是充分条件。由此得到以下七个推论:

推论1:对多元函数,连续未必偏导数存在,从而也未必可微。

反例:函数f(x,y)=|x|,在(0,0)点显然连续,但fx(0,0)却不存在。

推论2:对多元函数,偏导数存在未必连续。

例如:函数

f(x,y)=xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0

依定义知在(0,0)处,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函数在该点处并不连续.

推论3:偏导数存在未必可微。

例如:函数

f(x,y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0

依定义知在(0,0)处,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函数在该点处并不可微。说明如下:

Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]=Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2),

P′(Δx,Δy)如果考虑点沿着直线y=x趋近于(0,0),则

Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx•Δx(Δx)2+(Δx)2=12,

说明它不能随着ρ0而趋于0,当ρ0时

Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]≠O(ρ),

因此函数在点(0,0)处不可微。

尽管偏导数存在未必可微,但在偏导数都存在且连续的时候函数一定可微。即

定理2:若函数z=f(x,y)在点(x,y)处偏导数存在且偏导数连续,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处一定可微。

推论4:函数f(x,y0)在点x=x0连续,函数f(x0,y)在点y=y0也连续,但函数f(x,y)在点(x0,y0)不一定连续。

例如:f(x,y)=0 xy≠01 xy=0.在原点就是这样。

3 结束语

正是因为由函数在某个方向上的极限存在性,并不能推出其二重极限的存在性,导致了二元函数诸多关系的复杂性。事实上,关于二元函数在点(x0,y0)处极限、连续、偏导数、可微、方向导数间的关系,可以看到反例的讨论基本都在转折点(特殊点)处。这与我们所学知识是依存的,在学习每个概念的初始阶段,我们都在强调,对于特殊点处的性质,只能按照定义去进行讨论,因特殊点处是最容易出现以外的地方。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]何鹏,俞文辉,雷敏剑.二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J].南昌高专学报,2005,(6).

第8篇：高等函数的概念范文

关键词： 极限 计算方法 错误剖析

极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一，极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算，对于后续内容的学习具有重要意义.处于高等数学入门阶段的学生，在计算极限时常常会出现各种错误，究其原因，一方面是由于学生对极限理论的严谨性不够重视，另一方面是由于学生的思维品质有待进一步提升.数学教学应高度重视学生思维品质的培养，对学生在极限计算中的错误作分析和订正，既帮助学生加深对极限理论的认识，又能够提升其思维品质.

一、对极限概念理解不透彻导致混淆不同类型的函数极限

函数极限刻画了自变量某个变化过程中对应函数的变化趋势，因而计算函数极限，既要关注自变量的变化过程，又要关注函数的解析式.然而，部分学生在计算极限时，会忽略自变量的变化过程，只关注函数的结构特点选用方法.

例1：计算■■.

错误解法：■■=■■=■=■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

学生错用自变量趋于无穷大的极限计算方法，计算自变量趋于有限值的函数极限，并误认为■■=0，■■=0.这表明学生对极限概念理解不透彻，不清楚函数极限所刻画的函数变化趋势是与自变量的变化过程相联系的.教学中，可通过分析函数y=■的图像，让学生直观地认识x4和x∞的函数极限，提醒学生在计算极限时注意自变量的变化过程，正确地选择计算方法.

例2：计算■■.

错误解法：由重要极限，有■■=1.

正确解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到题目中的函数与重要极限■■=1中的函数相同，忽略了自变量的变化过程与公式不符，结果得出错误的答案.事实上，当x∞时，sinx是有界函数，■是无穷小，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，此题的极限是0.

极限概念体现了数学是一个严谨细致的学科，教师应该在数学教学中重视培养学生思维的严谨性.

二、对极限理论的认识不足导致主观臆造公式

函数的有穷极限与函数的无穷极限，在性质上有所不同[1].当函数的极限为无穷大时，按照函数极限的定义，极限是不存在的.涉及无穷大的极限运算，其结果有多种情况，详见文[1].由于学生对有穷极限与无穷极限的认识不足，会错把有穷极限的运算性质搬到无穷极限的运算中.

1.臆造无穷极限的四则运算法则

极限的四则运算法则要求其中的每一个函数都存在极限，商式的分母极限不能为0，而对于无穷极限的四则运算，上述法则是不成立的.有的学生不加推理地把它们搬到无穷极限的运算中，臆造无穷极限的四则运算法则.

例3：计算■（■-■）.

错误解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正确解法：■（■-■）=■■=■■=1.

学生在无穷极限的运算中使用了函数极限的四则运算法则，并且主观臆造了无穷极限的运算公式：∞-∞=0.教师在教学中有必要向学生强调无穷极限与有穷极限的不同，促使学生以严谨细致的态度分析问题，从而准确地计算极限.

2.臆造无限个函数的极限运算法则

关于和、差、积的极限运算法则，可以推广到有限个函数的情形，部分学生仿照此法则臆造了无限个函数的极限运算法则.

例4：计算■（■+■+…+■）.

错误解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正确解法：因为■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夹逼准则，有

■（■+■+…+■）=1.

对于无限个函数的和的极限，必须先把无限项的和转化为有限项的情形，常用的转化方法有利用数列的前n项和公式、夹逼准则等.教师应引导学生整理清楚相关的知识和方法，促使学生正确地运用公式和方法.

3.臆造幂指函数的极限公式

文[2]中给出了幂指函数的一个极限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必须是有限实数.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，则limu（x）■是未定式，不能用上述法则.

例5：计算■（■）■.

错误解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正确解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

学生在未定式中错用了幂指函数的极限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可见，分清有穷极限与无穷极限的运算性质，是正确运用公式和法则的前提保障.

三、对极限定理和公式的严谨性不够重视导致错用公式

与中学数学相比，高等数学更严谨深入，初学高等数学的学生，由于思维的严谨性不足，在运用定理或公式时，往往会忽略对其使用条件的判断，或误解定理、公式的结论.

1.忽略洛必达法则的条件判断导致错用公式

洛必达法则给出了■型未定式与■型未定式的极限计算法则，其只能用于未定式的极限计算，如果不符合条件也用法则，则必然导致计算错误.

例6[2]：计算■■.

错误解法：■■=■■=■■=■■=1.

正确解法：■■=■■=■■=■.

在此例的错误解法中，连续三次使用了洛必达法则，事实上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必达法则，而应利用连续函数的性质计算极限.在用公式法则之前，应注意相关条件的判断，才能避免犯这样的错误.

2.对等价无穷小替换理解错误导致错用公式

求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，但若分子或分母是和式，就不能将和式中的某一项或某几项用等价无穷小替换.

例7：计算■■.

错误解法：■■=■■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

当x0时，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx与x-x不是等价无穷小，不能对分子中的每一项分别作替换，需要将分子改写为乘积形式.当x0时，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x・■x■，可以将改造后的分子用x・■x■替换.由于学生不重视对公式的深入理解，因此不能正确判断什么情况下可以替换，什么情况下不能替换，导致解题错误.教师在教学中应向学生分析透彻等价无穷小替换的原理，才能确保学生准确灵活地运用公式.

以上极限计算中出现的错误，反映出学生对极限概念、极限理论，以及公式法则理解不透彻，解题分析缺乏严谨性.一方面，教师在极限教学中重视学生思维品质的培养，有利于学生加深对极限的理解，灵活地掌握好极限的计算.另一方面，学生坚持以严谨认真的态度对待学习和解题，能够进一步提升思维品质.

参考文献：

第9篇：高等函数的概念范文

关键词: 函数极限 无穷小 复合函数

1.引言

高等数学是工科院校最重要的基础课程,又是理工科学生进入大学首先必须接触的课程之一,具有高度抽象性、严密逻辑性和广泛适用性。它既是学习后继课程的基础,又是对大学生思维习惯和学习方法的训练。而且,中学与大学的学习方式和思考问题的方法有较大的区别。所以,从中学升到大学的学生,常常对大学的教学方式感到困惑或难以适应。因此,高等数学教师就必须承担起让他们尽快从中学的学习和思维方式转变到大学的学习和思维方式的引导任务。高等数学的教学就需要从思维习惯和学习方法上加以改变,教学应以培养分析思维能力、解决实际问题的能力为主要目标。

函数极限是高等数学中最抽象的概念,是高等数学的难点和重点,高等数学中的许多概念和定理都与极限有关。从连续到导数、从微积分到级数等都是用极限来定义的,极限贯穿了高等数学的始终。因此,全面掌握函数与求极限的方法及技巧是学好高等数学的基本要求。下面两个定理在求解函数极限时起了极其重要的作用。

定理1[2]:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

定理2[2]:设函数y=f(g(x))由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,g(x)的值域包含在f(u)的定义域中。若g(x)=u,且函数y=f(u)在u=u连续,则:f(g(x))=f(u)=f(u)= fg(x)。

我在教学过程中发现有部分学生对上述定理只是单纯地记忆和应用,只是机械性地去计算极限,而不是加以理解性地应用,这与锻炼数学的思维方法和解题思路相违。因此,为了加深学生对上述两个定理的理解和应用的熟练程度,教师需要适当地讲解一些相关例题,让他们加深理论基础、计算方法的能力和技巧。

2.利用定理巧解函数极限

下面我从几个实例来阐述在教学过程中对这两个定理的应用。

例1.求,其中α>0。

分析:当x∞时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用。但把分解为与sinx的乘积,由于为当x∞时的无穷小,而sinx是有界函数,则根据上述定理1就有:=・sinx=0。

例2.求。

分析:把分解为xsin与的乘积。当x0时,函数f(x)=x为无穷小;虽然函数g(x)=sin的极限不存在,但g(x)是有界函数;利用定理1可得xsin=0。再利用第一个重要极限的结论,知=1。于是有:=・xsin=1・0=0。

定理2的结论可以看作求连续复合函数的极限时,连续函数符号与极限符号交换次序的理论基础,即先取极限后求函数值,该方式可简化求复合函数极限的过程。

例3.求。

分析:利用对数函数的性质,上述函数可等价变形为f(x)=log(1+x)。显然,它是由函数f(u)=logu与u=(1+x)复合而成。由第二个重要极限结论知:(1+x)=e;又函数f(u)=logu在u=e处连续,于是根据定理3可得:=log(1+x)=log(1+x)=loge=。

例4.求(1+2x)。

分析:利用对数函数的性质,则f(x)=(1+2x)=e。可以分解为f(u)=e与u=6・・ln(1+2x)复合,且6・・ln(1+2x)・又分解为与ln(1+2x)的乘积。根据极限乘法法则及两个重要极限的结论,可得:

6・・ln(1+2x)=6・・ln(1+2x)=6e,

又函数f(u)=e在u=6e处连续,于是根据定理2可得:

(1+2x)=e=e=e=e。

3.结语

本文将教学过程中遇到的困惑提出来,目的是提醒学生不能只重视计算方法,应把计算过程及方法的理论基础弄清楚,奠定扎实的理论基础。我们通过对例题的分析和求解方法分析,使学生加深了对道理的理解,加强了定理的应用能力,达到了预期的效果。

参考文献:

[1]王开荣,王新质.高等数学教学模式研究[J].重庆大学学报(社会科学报),2003,(9):138-140.

[2]同济大学数学系.高等数学(第六版,下册)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[3]于坚.高等数学探究性学习模式的研究与实践[J].教育与职业,2006,(11).