三角函数值规律精选(九篇)

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第1篇：三角函数值规律范文

【关键词】三角函数 教材分析 教学建议

在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。

初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。

本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。

本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。

《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。

《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。

本章可看作是第三章（函数）的延伸和拓展，在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数之间的关系，即个性与共性之间的关系。同时，在本章的教学中，要特别注意数学思想方法的渗透，如突出“数形结合”的思想方法。由于三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，所以教学中既要“以形助数”，突出几何直观帮助学生理解抽象概念，又要“以数助形”，通过代数性质反映图像的变化规律。再如，由锐角的三角函数值到任意角的三角函数值，三角函数图像上一点的作法到一个周期内的图像上的画法乃至整个定义域上的图像的画法等都遵循了由特殊到一般的思维方法。学好余弦函数的图像和性质的最有效的方法是与正弦函数的图像和性质进行类比。

下面，笔者对本章的教学内容，从学习准备、教学探究、教学过程及例题处理等方面，分节给出教学建议。

一、5.1角的概念推广（2课时）

在学习了角概念的基础上，本节的学习将进行角的概念推广。在初中，角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，角的范围是0°～360°。

为了研究的方便，常将角放在平面直角坐标系中，一般将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的正半轴重合。这样对所有的角来说，角的顶点、始边是相同的，区别仅在终边，而终边的位置就决定了它是哪个象限的角。

锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。

由“问题解决”可归纳出一般的结论：

若α是第一象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，则α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，则α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1课时）

本节的学习是在初中学习的角度制基础上进行的。首先要引导学生回顾角度制的规定：一个周角的1/360叫做一度。

在此基础上通过多种形式的教学活动使学生理解：弧度制是一种新的度量角的单位制。一个角的弧度数就是这个角（以角的顶点为圆心，任意长为半径的圆的圆心角）所对弧的长度与半径的比值，关键是要掌握弧度与角度换算的基本关系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函数（2课时）

本节的学习是在初中角的正弦函数、余弦函数、正切函数等概念的基础上进行的。在初中，学生是通过直角三角形边的比值来规定角的三角函数值：对于一个直角三角形的锐角，其正弦值为对边与斜边的比值，余弦值为邻边与斜边的比值，正切值为对边与邻边的比值。现在对任意角，分别用三个比值y/r、x/r、y/x来规定，它们都只与角的终边所在位置有关，而与点P在角的终边上的具置无关。

从“问题解决”中，我们可以得出结论：

一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就等于这个角的正弦；与单位圆交点的横坐标就等于这个角的余弦；与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比值就等于这个角的正切。

由讨论可知，对于任意角α，它的正弦、余弦都有意义（因为r>0），但正切不同（因为tanα=y/x，x有可能为0），只有当x≠0，即角α的终边不在y轴上才有意义。因此，正弦函数、余弦函数的定义域都是R，正切函数的定义域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要确定角α的三个三角函数值的符号，关键还应从任意角的三角函数的定义出发，结合图形更容易掌握。

四、5.4同角三角函数的基本关系（2课时）

本教材是利用单位圆导出同角三角函数基本关系的：角α的终边与单位圆的交点的纵坐标就等于sinα，横坐标就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（称为平方关系）；再由正切的定义tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（称为商数关系）。

由两个基本关系式可知，一个角的正弦、余弦、正切函数值之间是相互关联的。因此，已知一个角的一个三角函数值，就可利用基本关系式求出其余两个三角函数值。

学习了同角三角函数的基本关系后，除了可以解决已知一个角的某个三角函数值求其余三角函数值，还可以对三角函数式进行化简。要启发学生在解题的基础上讨论并总结化简的原则。

五、5.5三角函数的诱导公式（2课时）

根据终边相同的角的同名三角函数值相等，就能得到诱导公式1；根据单位圆上点的坐标及对称关系，就能得到诱导公式2、诱导公式3、诱导公式4。

要掌握三角函数的诱导公式，关键是要掌握公式2、3、4的特点：函数名称不变，至于正负号，可以通过特殊化的办法来确定。既然公式对任意角α都成立，那么，当α是锐角时当然也成立。当α是锐角时，-α为第四象限角，其正弦、正切值为负，余弦值为正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分别为-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用诱导公式可以把任意角的三角函数值化为[0，π/2]内的角的三角函数值，正确地化角和正确地运用诱导公式是关键。

由“问题解决”可知，诱导公式之间是有联系的。如对于sin（π+α），我们可以作如下转化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4时要引导学生回顾：判断一个函数的奇偶性，一般都是从定义出发。在确认了定义域关于原点对称后，接着就考察f（-x）的结果等于f（x）还是-f（x），进而判定这个函数是偶函数还是奇函数。

六、5.6正弦函数的图像与性质（3课时）

用正弦线作正弦曲线的好处是不需要计算角的正弦值，实际就是把正弦线平移到相应角的位置。这里要特别注意在坐标系里横轴、纵轴的单位必须一致，同时注意曲线的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五点法”作正弦曲线，实际就是列表描点法。这里的五个点分别是曲线与x轴的交点和最高点及最低点，它们的横坐标的间隔是π/2。

无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到曲线上的一些点，再用光滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后就要把握好正弦曲线的形状和特征，能迅速画出正弦曲线的草图。

由教材P152的“思考交流”所得结论，我们可以进一步推广：y=-f（x）的图像，与y=f（x）的图像关于x轴对称，y=f（x）+1的图像，可以由y=f（x）的图像向上平移一个单位而得到。

无论是单位圆中角在旋转过程中正弦线的变化规律，还是由诱导公式1，均能得出正弦函数的图像是呈“周而复始”的规律的。结合周期函数的定义和对周期的规定，由“探究”所得结论可知，正弦函数y=sinx是周期函数，它的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π。

要判断一个函数是否为周期函数，通常是按照定义，寻找非零常数T，满足f（x+T）=f（x）。由于已约定，在没有特别说明的情况下，我们所说的周期都是最小正周期。因此，在找到这样的常数T之后，还要再找出其中的最小正数。

由于正弦函数y=sinx的周期为2π，也就是说其图像每经过2π就重复，因此，要讨论正弦函数的单调性，只需选取长度为2π的区间即可。

解决了例3后，可启发学生总结：遇到出现含有正弦式的等式，求其他量的范围问题时，通常是把正弦式放在等式的一侧，其余的放在另一侧。由于sinx的取值范围是[-1，1]，等式另一侧表达式的取值范围也就是[-1，1]，这样就可求出其他量的范围。

不求值比较两个角的正弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的正弦，再根据单调性来确定它们的大小。

七.5.7余弦函数的图像与性质（2课时）

本节的教学过程中要充分运用好类比法，利用上一节研究正弦函数的图像与性质的类似方法来研究余弦函数的图像与性质。

与画正弦线类似，我们要画出余弦函数y=cosx图像上的点（x，cosx）。但余弦线不像正弦线那样是“竖立”的。从画图的角度来说，得到每一个角的余弦线后，用圆规还是可以把它移到相应的位置使它“立”起来的，但这样做比较麻烦。用教材P157上的图5-23，就能达到使它“立”起来的效果，这样画图就比较方便。

无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到余弦函数y=cosx图像上的一些点，再用平滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后把握好余弦曲线的形状和特征，就能迅速画出余弦曲线的草图。

仔细观察教材P159的“思考交流”中的图5-28，我们可以发现余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。

类比正弦函数的性质，很容易得到余弦函数的前三个性质，对照正弦函数的性质，余弦函数的定义域、值域、周期没有变化，最大的区别在于奇偶性（是偶函数）、单调性（单调区间不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自变量不同）。如此类同的根本原因，可以从几何上得到解释：余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。

不求值比较两个角的余弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的余弦，再根据单调性来确定它们的大小。

对于例3，解决时要有整体意识，即把x/3看作一个角，为了方便，用换元法，设t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，从而得到x=6kπ。最后还须注意把所得结果写成集合形式。

八、5.8已知三角函数值求角（2课时）

为了解决有关已知三角函数值求角的问题，学生需要具备良好的基础。为此，教师要组织同学一起回顾本章前面所学的知识，特别是诱导公式，各个象限的三角函数值的符号以及特殊角的三角函数值等。

第2篇：三角函数值规律范文

1.内容与要求

1.1 本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等

1.2 章头引言安排了一个实际问题――求半圆内接矩形的最大面积.这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值

第一大节是“任意角的三角函数” 教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角（都用坐标定义），然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用

第二大节是“两角和与差的三角函数” 教科书先引入平面内两点间距离公式（只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明），用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出（尽量用启发式）其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解

第三大节是“三角函数的图象和性质” 教科书先利用正弦线画出函数 ，x∈[0， ]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案

1.3 本章的教学要求是：

1.3.1 使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算

1.3.2 使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式

1.3.3 使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力

1.3.4 使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）

1.3.5 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、、φ的物理意义

1.3.6 使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示

2.考点要求

2.1 理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.2 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式

2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题

2.4 能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式

2.5 了解三角函数的积化和差与和差化积公式

2.6 能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值 证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题

2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形

3.考点分析

三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一

本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上

试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查

复习时应把握好以下几点：

3.1 理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数

3.2 要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念

3.3 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取

3.4 单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具

3.5 要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性

3.6 函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小

3.7 对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象

3.8 对于，，等表达式，要会进行熟练的变形，并利用等三角公式进行化简

本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为3―4个，分值在12―22分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式

考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：

3.8.1 熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧

①常值代换，特别是“1”的代换，如：，，，等等

②项的分拆与角的配凑

③降次与升次

④万能代换

另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度

3.8.2 要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如的式子，要引入辅助角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定对这种思想，务必强化训练，加深认识

3.8.3 归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧

①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等

②三角函数的求值问题，主要有两种类型 一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题

3.8.4 关于三角函数式的简单证明 三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定

①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法

②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法

三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法证明的关键是：发现差异――观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系――选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式

而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出

3.8.5 在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面积公式，的妙用和三角形内角和的制约关系的作用

3.8.6 求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值

4.三角函数中应注意的问题

4.1 本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质

由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲，三个；除（k∈Z）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 可通过用科学计算器或者转化为来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和（差）角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题

4.2 在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的，这样，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进数），要经过一番计算，这就不太方便了

4.3 定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有，才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如可以说是2x的正弦函数（这时可说它是三角函数），也可以说是正弦函数与正比例函数的复合函数，但不能说是x的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说（或写）“正弦函数y=sinx”，需知“函数，”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体

4.4 关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角（即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用）来求解，把求解过程调整为：

4.4.1 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角

4.4.2 决定角x可能是第几象限角

4.4.3 如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出 内对应的角――如果它是第二象限角，那么可表示为 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或

也可以把上述辅助角看作参变量（x为自变量），那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的

4.5 本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化 物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理（力学、电学）有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从

第3篇：三角函数值规律范文

（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

（2）从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

（3）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β=2kπ+α，kZ。

2.弧度与角度的互化

我们现在学习的是任意角，如何判断角度以及对应三角函数的符号，我们引入了单位圆。

1.任意角的三角函数

（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正负之分，由旋转方向决定 3.还有零角， 一条射线，没有旋转。要点阐释 任意角的三要素：题型一 ：钟表走了两个半小时，，分针所转的角度是多少？角的符号主要由旋转方向决定角。题型二： 比较下面三个角的大小 根据角的符号判断规律。误区解密：下列四个命题中，正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角。（学生这方面犯错比较多，初中主要学的是锐角，特别是特殊角。） B.锐角必是第一象限的角。C.终边相同的角必相等。（从横轴正方向开始，逆时针方向旋转的角是正角，多转一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。错解：D 错误分析：在象限角中，做题的时候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。锐角必是第一象限的角 纠错心得： 对于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋转方向。初中对于角的认识只限于0 ° ――360°，在刚接触任意角时容易忽略任意角的方向，任意角的旋转方向是有始边到终边决定的。注意： 任意角是有方向的，角的正负由旋转方向决定 任意角的大小事没有限制的，角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定 描述任意角时需要注意三个要素，尤其是旋转方向。（旋转中心、旋转方向和旋转量。）

借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。单位圆对于学生理解任意角三角函数的正负有极大的帮助。当一个角出现时，我们首先判断它的象限，利用单位圆的知识很方便。现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化？我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一 ――三角函数。

三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？

学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。

问题：1.锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？

2.点P能否取在终边上的其它位置？为什么？

3.点P在哪个位置，比值会更简洁？符号决定于什么？横轴和纵轴决定什么？（引出单位圆的定义）。指出sina=MP的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。

三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗？（定义域）

对于确定的角a，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

第4篇：三角函数值规律范文

笔者现以概念形成理论为基础简述数学概念的教学过程。

概念教学的基本步骤是：（1）数学概念背景的引入。（2）通过分析、比较不同的例证，进行相关属性的概括和综合。（3）概括例证的共同本质特征得到概念的本质属性。（4）形成概念的定义，并用符号表示数学概念。（5）概念的辨析，进一步明确概念的内涵和外延。（6）概念的初步应用，形成用概念作判断的具体步骤。（7）建立与相关概念的联系，形成概念之间的结构。

1.数学概念背景的引入。一般来说，教师教学一个新概念，先应让学生体会和认识学习的必要性，包括明确学习这一概念的意义，了解概念的作用，引发学生学习的动机。这就是概念引入环节的主要目的和任务。

新概念的引入方式一般可分为两大类：一类是从数学概念体系的发展过程中引入新概念，另一类是从解决实际问题的需要出发引入新概念。

2.通过分析、比较不同的例证，进行相关属性的概括和综合。例如，在“函数单调性”的教学中，我们就可以首先举出若干增函数的例子，如正比例函数，反比例函数，二次函数，让学生观察、思考，初步得出有的“在某个区间上图像上升”，有的“在某个区间上图像下降”，并通过表格定量地分析自变量的增大与函数值的变化之间的规律，为学生抽象概括本质属性奠定基础。这里的例证一方面应以正例为主，另一方面又要关注正例的多种变式。

3.概括例证的共同本质特征得到概念的本质属性。还以“函数的单调性”教学为例，在学生观察思考上述例证之后，教师可以引导学生尝试概括“增函数”的共同的本质特征。

4.形成概念的定义，并用符号表示数学概念。例如，“增函数”的定义是“一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

5.概念的辨析，进一步明确概念的内涵和外延。教师将概念与其他有关概念进行联系和分化，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的联系。例如，在学习三角函数中的“第一象限的角”这个概念以后，学生如果不及时与已有的“锐角”概念分化，就很容易把两个概念混淆。为此，教师在本阶段教学中应注意：（1）对定义的关键词进行分析。（2）以实例（正例、反例）为载体，让学生进行辨析。防止概念理解错误的一种有效方法是举反例，反例就是与定义对象内涵不一致（扩大或缩小）的例子。（3）让学生自己举出若干实例，检验学生对概念的理解。

6.概念的初步应用，形成用概念作判断的具体步骤。该步骤本质上是检验和修正概念定义的过程。学生通过解决用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤，通过运用概念，使得抽象概念变成思维中的具体。例如，在形成“任意角三角函数”概念的定义后，为了让学生熟悉定义，教师可从中概括出用定义解题的步骤，可以安排如下问题：（1）分别求自变量■，？仔-■所对应的正弦函数值和余弦函数值。（2）角的终边过点P（■，-■），求它的三角函数值。

7.建立与相关概念的联系，形成概念之间的结构。在概念获得的过程中，很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念，由于在这个过程中经历了新旧概念的相互作用，无论是已有的概念还是新概念在认识上都有了发展，认知心理学家把此时的概念称为“精致的概念”。在数学学习中，“精致”可以从两个方面进行：一方面是对新概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，通常表现为对各种可能的特例或变式进行剖析，分析可能发生的概念理解错误；另一方面是加强概念与概念之间关系结构的“组织”，使学生所学概念与其相关的知识之间的联系明确化，从而形成一个合理有序的概念系统。例如，在学习“任意角三角函数”的概念后，教师可通过概念的“精致”引导学生认识概念的细节，并将新概念纳入到概念系统中去，使学生全面理解三角函数概念。这里包括如下内容：（1）三角函数值的符号问题，（2）终边与坐标轴重合时的三角函数值，（3）终边相同的角的同名三角函数值，（4）与锐角三角函数的比较——因袭与扩张，（5）从“形”的角度看三角函数——三角函数线，即联系的观点，（6）终边上任意一点的坐标表示的三角函数。

第5篇：三角函数值规律范文

一、抓住重点、突出重点

重点确立后，要通过每个教学环节和教学手段，象众星捧月般地把它加以突出，即常说的“突出重点”。也就是抓住主要问题讲课。如高中数学三角函数在各象限内的符号一节，依次出现了三个内容：①确定三角函数的符号；②三角函数的特殊值；③终边相同的角的同名三角函数值相等。而确定三角函数的符号是这节教材的重点，这要分别做出四个象限的角，从三角函数的定义式出发，先分析正弦、余弦、正切在各象限中的符号，再用余割、正割、余切分别是上述三个三角函数的倒数而分别对号成组（共三组），而特殊值与终边相同的角的同名三角函数值相等两个问题也就迎刃而解了。

二、分散难点、突破难点

难点就是难于理解或难于掌握的内容，或较抽象、或较复杂，难点与重点，有时兼备，有时不同。难，包括学生难学和教师难教，由于学生难学致使教师难教，若教法不当，则学无成效，教与学相互制约、相互影响。确定难点，要着眼于多方面，不能单凭主观臆断。突破难点，更为艰辛，要师生密切合作，协同作战，方可破之。突破难点要注重两点，一要把难点讲清，教师要由浅入深，由易到难，循序展现，把知识的内在规律，清晰地交给学生，让学生了解知识的来龙去脉，化难为易，步步相扣；二是把难点分化成若干个小问题，分散难点，各个突破。

三、寻找弱点、除掉弱点

第6篇：三角函数值规律范文

关键词：函数；任意角三角函数；概念教学

数学概念的叙述语言虽然直接简练，但是包含了丰富的数量关系和空间形式，是事物本质特征、内在联系及规律的概括。任何一种认知的开始即是对概念的理解。教学中概念教学将会直接影响学生后续知识的学习和能力的形成。基于以上认识，教学中加强了对概念教学的重视，本文将结合实践教学中的情况对任意角三角函数基本概念的教学作一些分析、探讨。

一、任意角三角函数与函数

任意角三角函数是常用的周期函数，是继函数概念后学习的具体函数，但由于三角函数特殊的运算符号，及课本所给的形式是：sinα=■，cosα=■，tanα=■，大部分学生在学习过程中认为和前面所学函数y=f（x）的表达形式不同，怀疑这样的函数和前面所学的函数真是一个概念吗？由于学生在学习前面的函数概念时，习惯用x解析式表示y的函数，当看到课本所给的不太一样的形式时，比较难确定是怎样的函数关系。即使知道具体是角与比值之间的函数关系，也较难将这抽象的概念形象具体化并灵活运用。因此，教学中要从感性的实际周期函数例子到一般抽象的函数形式逐渐深入教学，展示出三角函数概念的由来，让学生能够切实体会到三角函数的实际意义，明确三角函数的变量是角度和比值之间的函数关系，反映的是周期变化情况。当能理解角度与比值的关系，自然就能明白用单位圆定义的三角函数，灵活计算出任意角的三角函数值，体会到任意角的三角函数是一种特殊的函数关系，最终加深对函数的理解，形成一定的概念体系。

二、明确任意角的三角函数有六种表达形式

任意角的三角函数有六种表达形式，劳动版技工学校现使用的数学课本只提到较常用的三种，对于技工学校所教授的专业程度来讲，这已经足够。不过实际上，x、y、r这三个量之间的比值有六个比值，分别是■、■、■、■、■及■，故角的变化会引起六个比值的不同，也就有六种函数形式。虽然学生能够根据学习前三种函数的方法去理解掌握后三种函数，但在实际教学中教育者仍要明确六种表达形式，要知道若想帮助学生进一步认知这一概念，就有必要对概念的外延做必要讲解。否则，学生会认为课本所给的三种函数表达形式就是三角函数的全部，遇到其他的表达形式会产生怀疑，毕竟课本上没有给出三种之外的其他形式，且在做相关练习时，会下意识地将计变量上下颠倒来计算比值，造成答题错误。所以教学中应该充分揭示概念的内涵与外延，明确六种表达形式和它们的形式特点，以便学生灵活解决遇到的各种问题。

三、对比锐角三角函数和任意角三角函数

锐角三角函数和任意角三角函数的函数名相同，表达形式一样，形成过程也非常相似，且学习任意角三角函数之前，学生已经学习锐角三角函数，习惯在直角三角形中的对边、邻变和斜边，致使学生容易产生混淆，将任意角的三角函数也说成这三边之间的比值，疏于考虑三角函数值的符号，运用概念时产生负迁移，造成解题错误。且受先入为主的影响，学生会产生这样的疑问：为什么可以将锐角三角函数的定义用于任意角的三角函数？既然是这样，怎么还这么麻烦地将对边、邻变和斜边改成x、y、r。由于初次学习，很容易就忽略锐角是第一象限角，x、y的取值都是大于零的，而钝角则是第二象限角，x的取值是小于零的，比值出现有负数。学习中，他们很快便能感知到锐角三角函数和任意角三角函数的相似，却较难清晰地理解两者的连续与区别。注意引导学生对比两者的概念，防止产生负迁移是任意角三角函数概念教学的关键。

四、正确运用概念

学习概念最终目的是运用概念为我们的学习、生活和生产所用，所以在向学生讲解完基本概念后，要采取多种形式，帮助学生多次复习已经学习的概念，并通过多种途径去引导学生灵活运用概念，解决遇到的实际问题。只有这样做才能体现课堂教学的真正意义，同时通过多次反复的运用概念，可以使学生加深对概念本身的理解，更好地掌握概念。

要使学生能正确运用概念，我认为应注意引导学生运用概念去分辨出数学对象的不同属性，抓住对象的特点，发现其本质。所以三角函数虽有六种形式，但每种形式特点不同，能解决的对象也不一样，俗话说：“兵来将挡，水来土掩。”抓住事物的本质才能解决好问题。

五、为后续教学做好铺垫

概念教学只是任意角三角函数教学的开始部分，后续还有三角函数关系、诱导公式、图象等，这些教学都要以基本概念作为基本认知。例如，任意角的三角函数关系，根据概念中的比值：■、■、■，我们就可以推断出：sinα・cosα=1、tanα=■等基本函数关系。而在诱导公式教学中，学生不仅要理解概念，还要能够用动态的观点去看待平面直角坐标系上角的变化，画出任意角的终边位置，准确判断取值的符号，懂得终边相同的角，可以归纳出一般形式，这么多能力要求不可能一次课便能掌握到位，概念教学时就可以引导学生掌握终边相同角、取值符号等知识，这样会使教学前后呼应，更具连贯性，学生的学习也会相对变得容易。

任意角的三角函数运用广泛，其概念教学较具现实意义，教学中不仅要遵循概念教学的一般要求，还应该注意教学与实践的结合，避免形式化地去讲解概念。教无定法，使用不同途径和教学方法来达到更好的教学效果，实现教学目的，是教育工作者不断努力追求的目标。

参考文献：

第7篇：三角函数值规律范文

一、挖掘式备课

我校采用的是集体备课模式，由一个教师主备，其他教师二次甚至三次备课，提倡先听后上，就是一种好方法。在新理念指导下进行教学尝试的过程中，我深深地体会到：一册教材即使以前教过，再教一遍又能挖掘出不同的内涵，得到不同的体会，获得新的收获。因此，要想实现高效的课堂效果，就必须创新“备课”法。

二、导学式预习

要想提高数学课堂效益，仅有教师精心备课还不够，还必须把学生也带动起来，这就是布置课前预习作业。我们采用的导学案教学，就是一个不错的尝试。在预习过程中，学生一是针对预习的内容，自己能看得懂、能理解的，先独立解决；二是预习内容中理解有困难的、有疑问的，做上标记，以备课堂上讨论；三是对于预习的内容，还有什么新方法，也把它记下来。借助于导学案，使每个学生学习新知识之前都有一个充分的知识与心理准备，从而知道第二天讲什么，什么是重点，什么是难点，做到心中有数，从而使教学过程做到有的放矢，既提高了课堂学习效率，又能让优秀生体验成功的快乐，让落后生有补给的时间和机会，调动了学生的积极性和创造性。

三、体验式“教学过程”

我校是一所乡镇中学，有部分学生因为成绩不佳、家庭经济条件差等原因已无择校机会而就近入学，学生从小没有一个良好的学习环境，没有得到家长的较严格督促和指导，面对学习困难时得不到有效帮助，受挫折时也很难得到及时的疏导和鼓励，在家访中还发现更有一部分家庭，由于父母工作不顺利及其它问题，家长对子女在学习中遇到的失败简单责骂甚至拳脚对待，或者不管不问，导致这类学生怕数学，甚至讨厌数学。长期以来我们的数学教学常常处于“教材是什么，我们就教什么”的状态，有时把数学与生活的天然联系割裂开来，把鲜活的数学异化成了纯粹的符号系统，成了游离于生活之外的另一抽象的世界，使学生感觉数学枯燥无味。从学生的思维特点看，他们的思维是具体、形象的，他们对数学概念理解不是按我们成人意志“直接教会学生的”，而是要通过学生的形象思维，借助对客观事物表象的理解后而产生的。单一的接受式教学让学生感觉数学的学习单调、呆板、毫无乐趣。对于学生的家庭现状我无力去改变，于是我改变教学方法，去适应学生的实际。根据数学自身的特点，遵循中学生学习数学的心理规律去创设情景，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历实际问题，再抽象成数学模型并进行解释与应用，使学生获得对数学知识的理解。

第8篇：三角函数值规律范文

    教学活动是各种教学信息进行多向交流并发生作用的过程,教师为教学活动的开展而进行的教学设计也应体现与各种教学相关因素的交往与对话,这样才会更加符合新课程背景下的高中数学教学活动特点.

    一、与数学课标的对话

    课标是教学的基本依据,因此,在进行教学设计时与课标进行高质量的对话,全面深入地了解其中蕴含的先进教育教学理念,这对于教师在进行教学设计时准确地把握教学起点,合理选择教学方法,确立自己在课堂中的角色等都有非常重要的意义.

    与课标的有效对话主要是为了准确把握教学目标.在教学设计中,教学目标的设计是灵魂.由章建跃博士主持的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题,对教学目标设计提出了非常明确的思路:用了解、理解、掌握以及相应的行为动词“经历”、“体验”、“探究”等表述教学目标的基础上,应当对它们的具体含义进行解析,核心概念的教学目标还应进行分层解析;课堂教学目标不宜分为“知识与技能”“过程与方法”“情感态度价值观”,要强调把能力、态度等“隐性目标”融合到知识、技能等“显性目标”中,以避免空洞阐述“隐性目标”,使目标对教学具有有效的定向作用.

    例如,《任意角的三角函数》一节的教学设计,依据课标,教学目标为:

    理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;体会数形结合的思想方法.

    这一目标的含义是:

    能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数;知道三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系,正弦、余弦和正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数;在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中,体会数形结合的思想,并利用这一思想解决有关定义应用的问题.

    通过对课标深入理解和把握其内在精神,可以使教师以更高的观点来指导教学设计和实施.

    二、与数学教材的对话

    教材是教师进行课堂教学的主要依据,为学生的学习活动提供了基本线索,是实现课程目标的主要资源.教师要通过与新教材的对话,去发现并认识其内容的呈现方式、组织形式、结构框架等方面的特点,以此提高自己组织实施教学的水平.

    教师在教学设计时要有整体的意识,从教材的整体角度去了解教材的编排体系及意图,弄清每部分教材在整个教材体系中的地位和作用,要多用联系、发展的观点去思考教材内容设计的作用、目的、意图、意义以及在实际应用中需要改进和完善之处,这样才有可能在教学过程中实现对教材内容的灵活处理和使用.

    教学设计中教师可以在对教学内容作内涵和外延简要说明的基础上,对教学内容进行相应的解读和分析,即在揭示内涵的基础上,说明内容的核心之所在,并对它在中学数学中的地位进行分析,其中隐含的思想方法要作出明确表述.在此基础上阐明教学重点.这里要在整体框架结构的指导下,围绕当前内容,从学科角度进行微观分析.比如,《任意角的三角函数》的内容说明如下:

    这是一堂关于任意角的三角函数的概念课.在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值.在此基础上,随着本章将角的概念推广,以及引入弧度制后,这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,但它与解三角形已经没有什么关系了.任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值的集合)的对应关系.在此基础上再对教学内容进行解析:三角函数是又一种基本初等函数,它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型,在高中数学和其他领域中都有广泛的应用.而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础,所以它不仅是三角函数内容的核心概念,同时在高中数学中还占有重要的地位.认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助,其中体现了数形结合的思想.本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的定义是这节课的重点,能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键.

    三、与同行的对话

    新课程的教学中仅凭教师个人的力量必然是有限的,面对其中的问题或困惑,有时需要依靠教师集体的力量才能解决,这就要求教师之间经常进行合作、交流与对话,共同开发和利用好新课程中的教学资源.比如,开展同学科组集体备课活动,同学科组教师在集体备课中相互研讨及交流,依靠集体的力量和智慧共同解决教学中的各种问题,通过学习和借鉴同行在教学情境的创设、教学方法的选择和课堂评价语言的运用等方面的长处,参考和观摩其他教师的课堂教学实景,以此开阔自己的教学思路,使自己从中不断获得有益的启示,为搞好教学设计提供可资借鉴的重要教学资源.

    四、与学生的对话

    学生是学习的主体,学生的具体情况是教学的出发点,教师只有与学生进行和谐平等的对话,增进师生之间的交流,才能了解学生,使教学设计具有较强的针对性,从而提高课堂教学效率.根据建构主义学习理论,教师的教学不能忽视学生已有的认知经验,而应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生在原有认知结构的基础上不断获得新的知识经验.

    在具体的教学设计中,教师可以针对学生认知发展情况,作出可能存在问题的诊断情况分析和教学支持条件分析.在教学问题诊断分析中,教师根据自己以往的教学经验,学科内在的逻辑关系以及思维发展理论,对教学内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测,并对出现障碍的原因进行分析.在上述分析的基础上指出教学难点.同时分析的内容应当做到言之有物,以具体学科内容为载体进行说明.另外,不同的学生会出现不同的教学问题,这也是在分析过程中要加以注意的.在教学问题诊断分析的基础上,为了有效实现教学目标,根据问题诊断分析和学习行为分析,分析应当采取哪些教学支持条件,以帮助学生更有效地进行思考,使他们更好地发现学科规律.当前,可以适当地侧重于信息技术的使用,以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境.

    例如,《任意角的三角函数》的教学设计中,教学问题诊断分析可以表述为:学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍,原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数,并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数.要克服这一困难,关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系;学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时,又可能会出现障碍,原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性.针对这一问题,应引导学生利用相似三角形的知识来认识,明白对于一个确定的角,其三角函数值也就唯一确定了,表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变;学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时,还可能会出现障碍,主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响,仍然局限在直角三角形中思考问题.要帮助学生克服这一困难,就要让学生知道,借助单位圆,用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数,就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题,用单位圆统一定义三角函数,不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质,同时还能定义任意角的三角函数.教学支持条件分析可以表述为:为了加强学生对三角函数定义的理解,帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍,本节课准备在计算机的支持下,利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系,构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境,使学生能够更好地数形结合地进行思考.

    另外,在与学生的对话中,不仅要关注学生学习知识过程中可能遇到的问题,而且还要关注学生为进一步巩固和应用知识而进行的课堂练习及作业.为此在教学设计中,教师可以在认真思考要为学生设置什么样的练习及作业的基础之上,给学生布置和安排有价值的练习和作业.也就是要注意设置问题的适切性,对学生理解数学概念和领悟思想方法有真正的启发作用,达到“跳一跳摘果子”的效果.为此应在教学问题诊断分析、学生学习行为分析的基础上设置问题案例,并对师生活动进行预设,并阐明及需要概括的概念要点、思想方法,需要进行的技能训练,需要培养的能力,特别要对如何渗透、概括和应用数学思想方法作出明确表述,以“设计意图”的形式反映在教学设计之中.也就是在为学生所设置的每个问题或题目后面写出相应的设计意图是什么,每个问题或题目后面的“设计意图”可以只在教学设计中呈现出来,而在给学生的题目中可以写出也可以不写.

    比如,《任意角的三角函数》的教学可以设计如下类似的问题、例题和练习:

    问题:你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域?

    设计意图:研究一个函数,就要研究其三要素,而三要素中最本质的则是对应法则和定义域.三角函数的对应法则已经由定义式给出,所以在给出定义之后就要研究其定义域.通过利用定义求定义域,既完善了三角函数概念的内容,同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.

    师生活动:学生求出定义域,教师进行整理.

    例题:先确定下列三角函数值的符号,然后再求出它们的值:

    设计意图:将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起,通过应用公式一解决问题,让学生熟悉和记忆公式一,并进一步理解三角函数的概念.

    师生活动:先完成题(1),再通过改变函数名称和角,逐步完成其他各题.

    练习:

    1.设α是三角形的一个内角,则sinα·cosα·tanα的值的符号是______.

    2.选择“>”,“<”,“=”填空:

第9篇：三角函数值规律范文

近几年全国各省市高考试题中，有关三角函数的内容平均有20多分，约占总分的15%.试题包括一道考查基础知识的选择题或填空题和一道考查综合能力的解答题.解答题多考查三角化简和三角函数性质中的单调性、周期性、最值等问题.本文着重分析高考题和模拟题中有关三角函数的各类解答题，主要剖析命题切入点，围绕解三角函数解答题的方法思路，总结一些规律，供读者参考.

一、重视对三角函数定义的考查

例1如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.

（Ⅰ）若点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，求sin(α+β)的值；

（Ⅱ）若|AB|=32，求OA・OB的值.

【分析】本题第（Ⅰ）问直接考查三角函数的定义，根据定义求得α，β的正弦、余弦值.之后通过两角和的正弦公式展开，代入就可以求出结果.而第（Ⅱ）问求OA・OB的值的时候，除了下面解析中的定义法以外，也可以通过余弦定理求解.

【解】（Ⅰ）根据三角函数的定义知，

cosα=35，sinβ=1213.

α的终边在第一象限，sinα=45.

β的终边在第二象限，cosβ=-513.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=45×(-513)+35×1213=1665.

（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，

|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA・OB

=2-2OA・OB，2-2OA・OB=94，

OA・OB=-18.

【点评】三角函数定义对学生而言既熟悉又陌生，熟悉是因为有锐角三角函数定义的基础，理解不难；陌生是因为学过以后用得比较少，见面次数少了自然陌生.本题应用三角函数定义容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生从解三角形入手，则会使本题变难，从而走不少弯路.

二、三角求值注意角的范围限制

例2（2013年湖南卷）已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；

（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

【分析】本题主要考查简单三角求值以及三角不等式求解，求解此题的关键是利用好降幂公式、辅助角公式等，对已知函数关系式进行先化简，之后再根据三角函数图象或三角函数线的变化趋势去求解.

【解】（Ⅰ）因为f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，

所以f(α)=3sinα=335，

从而sinα=35，α∈(0，π2).

因为sin2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.

（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32・sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.

【点评】本题不难，但是考生在由sinα=35求得cosα=45时，千万要注意α∈(0，π2)，否则余弦应该有正、负两个取值了.此外，就是三角函数的相关公式必须熟练掌握.

三、辅助角公式要灵活应用

例3（2013年天津卷）已知函数f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间［0，π2］上的最大值和最小值.

【分析】本题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及辅助角公式.还包括三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，需要考生熟练掌握相关公式和基本的运算求解能力.

【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x・cosπ4-2cos2x・sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).

所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）因为x∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，则sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，当2x-π4=π2，即x=3π8时，f(x)的最大值为22；当2x-π4=-π4，即x=0时，f(x)的最小值为-2.

【点评】所谓辅助角公式，其实就是两角和与差的正、余弦公式的逆用.显而易见，逆用公式比正用公式在理解上有困难，所以建议读者在做这类题的时候，不要怕麻烦，要尽量将步骤写全.如本题化简过程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x・cosπ4-cos2x・sinπ4)=22sin(2x-π4).这样，化简自然不会失分.

四、会用换元法求二次函数型最值

例4已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

（Ⅰ）求f(π3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.

【分析】本题利用换元思想，引入参数，利用一元二次函数性质，根据一元二次函数的图象，即可求得f(x)的最值.

【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.

（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.

因为cosx∈［-1，1］，所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=23时，f(x)取最小值-73.

【点评】其实，比如求函数f(x)=sinx・cosx+sinx+cosx的值域，我们也可以用换元法，求二次函数值域得结论.令sinx+cosx=t，则sinx・cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在换元的过程中，千万注意变量的取值范围在变化前后的等价性，本例中就是t∈［-2，2］.

五、图象问题考查形式多样

例5（2013年上海卷）已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0.

（Ⅰ）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；

（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，对任意的a∈R，求y=g(x)在区间［a,a+10π］上零点个数的所有可能值.

【分析】本题第（Ⅰ）问判断函数的奇偶性，考生习惯上马上入手判定F(x)与F(-x)以及-F(x)的关系.但是，当说明一个函数既不是奇函数也不是偶函数的时候，我们只需要有一个反例就够了.而第（Ⅱ）问考查函数图象的平移伸缩变化，是考生极易出错的地方，主要原因是没有抓住关键――不论平移与伸缩顺序如何，想要判断水平方向平移的单位数，关键是看自变量x的变化，当自变量由x变化到x+φ，函数图象向左（φ>0）或向右（φ

【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)

=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).

F（-π4）=0,F（π4）=22,

F（-π4）≠F（π4），F（-π4）≠-F（π4）.

函数f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函数也不是偶函数.

（Ⅱ）当ω=2时，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，

2x+π3=kπ-(-1)k・π6，k∈Z，

即x=kπ2-(-1)k・π12-π6，k∈Z.

区间［a,a+10π］的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其他区间仍是2个零点.故当a=kπ2-(-1)k・π12-π6,k∈Z时，21个，否则20个.

【点评】函数图象问题包括图象变换（通常以选择题形式出现），上述试题是一个很不错的例子，通过函数图象的平移、伸缩变换求函数解析式.

六、与向量结合问题常考常新

例6（2013年辽宁卷）设向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.

（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；

（Ⅱ）设函数f（x）=a・b，求f（x）的最大值.

【分析】本题注意到向量的坐标表示，解决起来不是很困难.但是在考试的时候，考生容易忘记数量积a・b的坐标表示，而只是记得定义a・b=|a|・|b|・cosθ，从而使得本题第（Ⅱ）问解决起来比较困难.

【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.

又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，从而sinx=12，所以x=π6.

（Ⅱ）f（x）=a・b=3sinx・cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，则当x=π3时，sin(2x-π6)有最大值为1，所以f（x）的最大值为32.

【点评】向量与三角函数等代数知识相结合考查是近年高考的热点题型，其主要特点是用向量的形式给出条件，然后要求解决有关函数、三角、数列等问题.在解题时，有两方面可以考虑，一是把向量问题转化为代数问题，然后由代数知识解题；二是构造适当的向量，使问题目标向量化，然后通过向量运算来解题.

七、解三角形问题要注意挖掘隐含条件

例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)・cosB=0.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围.

【分析】本题注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用两角和的余弦公式展开，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）问求b的取值范围，则需要注意到余弦定理的选择，以及通过二次函数求b2的取值范围，从而求出b的取值范围.注意，如果只是求b的最小值，还可以选择均值定理.

【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，

即有sinAsinB-3sinAcosB=0.

因为sinA≠0，所以sinB-3cosB=0.

又cosB≠0，所以tanB=3.

又0

（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1，cosB=12，

有b2=3(a-12)2+14.又0

【点评】三角形中的三角函数关系是历年高考重点考查的内容，以三角形为主要依托，以正、余弦定理为知识框架，结合三角函数、平面向量等内容进行综合考查.在三角形中，正、余弦定理将边和角有机地结合起来，实现了边角互化，从而使三角函数与几何建立了联系，为解三角形提供了理论依据.

八、与导数结合问题新颖

例8（2013年北京卷）已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；

（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围.

【分析】本题第（Ⅰ）问考查直线与曲线相切的问题，只要注意相切的本质――切点处曲线的斜率等于切线的斜率以及切点既在直线上也在曲线上，就可以求出a与b的值.本题第（Ⅱ）问设置得简单大气，但是对考生数学思维能力要求非常高.大多数考生判断出来函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，且f(0)=1.于是马上下结论：若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，则必须b>1.但是，却因没有说明当x+∞时，f(x)+∞的，不能得满分.

【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得

f′(x)=x(2+cosx).

(Ⅰ)因为曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.

（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.

当x变化时，f(x)与f′(x)的情况如下：

x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时，曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点；当b>1时，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1

所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.

由于函数f(x)在区间(-∞，0)和(0，+∞)上均单调，所以，当b>1时，曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点.