三角函数精选(九篇)

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第1篇：三角函数范文

三角函数应用题既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变形的技能，因而备受命题者的青睐，常常以解答题的形式出现，难度中等.

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解三角函数应用问题有下列几个基本步骤：第一步，阅读理解，审清题意；第二步，搜集、整理数据，通常是引入角作为参变量，建立数学模型；第三步，利用所学三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求出结果；第四步，将所得结论转译成实际问题的答案.

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■ 如图1，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2■）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°.

（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

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图1

破解思路 （1）由图即可得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出MP.（2）思路一：利用三角形的正弦定理求出NP， MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值；思路二：利用余弦定理求出MN，NP的数量关系式，然后运用基本不等式求出最大值.

经典答案 （1）依题意，有A=2■，■=3，又T=■，所以ω=■. 所以y=2■sin■x，当x=4时，y=2■sin■=3，所以M（4，3）. 又因为P（8，0），所以MP=■=5.

（2）法1：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°

法2：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MN2+NP2-2MN・NPcos∠MNP=MP2，即MN2+NP2+MN・NP=25，故（MN+NP）2-25=MN・NP≤■■，从而■（MN+NP）2≤25，即MN+NP≤■，当且仅当MN=NP时，折线段赛道MNP最长.

■ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图2所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该小组已经测得一组α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度. 若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α-β最大.

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图2

破解思路 解决本题的关键是寻找等量关系. 第（1）问是利用直角三角形的三角函数及线段关系AD-BD=AB，转化为已知角和h，H的等式，然后求解. 第（2）问关键是利用两角差的正切公式建立tan（α-β）关于d的函数模型，再利用平均值定理及正切函数的单调性求最值，最后得出d的值.

经典答案 （1）■=tanβ？圯AD=■，同理：AB=■，BD=■. 由AD-AB=DB得■-■=■，解得H=■=■=124. 因此，算出的电视塔的高度H是124 m.

（2）由题设可知d=AB，得tanα=■，tanβ=■=■=■，所以tan（α-β）=■=■=■=■. 又d+■≥2■（当且仅当d=■=■=55■时，取等号），故当d=55■时，tan（α-β）最大. 因为0

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如图3，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E，F分别在BC，CD上），根据规划要求ECF的周长为2 km.

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图3

第2篇：三角函数范文

考点一、任意角和弧度制及任意角的三角函数【考点解读】 三角函数的概念在高考中单独命题较少，但几乎所有三角函数试题都离不开这部分内容，同时该内容也是研究三角函数的性质，解决三角问题的基础.理解任意角、终边相同的角及弧度制等概念，能够根据条件利用三角函数的定义求某些三角函数.在解三角不等式时，数形结合利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

例1已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ

【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由题意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.

此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

当α=2rad时，扇形面积取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

【变式训练1】

（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°

考点二、三角函数的同角公式及诱导公式

【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.

例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假设存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由诱导公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.

【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.

【变式训练2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考点三、三角函数的图象和性质

【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.

例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；

（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.

【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.

【解析】 （1）要使函数有意义，则

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如图利用单位圆得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函数的定义域为：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期为4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，该函数值域为[-23，23].

【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.

【变式训练3】

已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）单调递增区间.

考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.

【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.

【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.

（2）当x∈（π16，π14）时，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.

设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，

又G（π16）=-1140，

且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.

【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.

【变式训练4】

（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.

（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在RtACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.

考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.

例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.

【变式训练5】

31cos10°-11sin170°=.

【变式训练答案】

1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

当k>0时，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

当k

第3篇：三角函数范文

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

一切自然科学，都是研究函数.

――H. H. 鲁金 （苏联数学家，现代实变函数论的开创者之一）

三角函数内容丰富，主要包括定义，图象与性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性），三角恒等变换，正余弦定理等．自主招生考试对三角函数的考查要求相对较高，除了高考要求的基本知识点与公式之外，还会考查一些拓展公式和结论. 现列举如下：

万能公式：sinα=■，cosα=■，tanα=■.

和差化积公式：sinα+sinβ=2sin■cos■，sinα-sinβ=2cos■・sin■，cosα+cosβ=2cos■cos■，cosα-cosβ=-2sin■sin■.

积化和差公式：sinαcosβ=■［sin（α+β）+sin（α-β）］，cosαsinβ=■［sin（α+β）-sin（α-β）］，sinαsinβ=-■［cos（α+β）-cos（α-β）］，cosαcosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］．

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα，sin■-αsinαsin■+α＝■sin3α，cos■-αcosαcos■+α＝■cos3α，tan■-αtanαtan■+α＝tan3α．

两个有用的三角不等式：若α是锐角，则sinα+cosα>1，sinα

三角形中的一些基本恒等式：在ABC中，cos（B+C）＝-cosA；若ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tanA・tanB・tanC．

在自主招生考试中，三角函数问题主要有三类：研究三角函数的图象与性质、三角恒等变换、三角形中的三角函数问题．

一、 研究三角函数的图象与性质

例1 （2007年上海交通大学自主招生考试第12题） 设函数f（x）＝sinx+cosx，试讨论f（x）的性质（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求出其极值，并作出其在［0，2π］内的图象．

解析：三角函数的重要特点之一是周期性. 一般而言，在讨论三角函数的性质时，我们常常先把含有正弦、余弦等不同三角函数的式子转化为关于一个角的一种三角函数式，求出函数的周期．只要讨论该函数在一个周期内的性质，就能判断函数在整个定义域上的性质． 但例1中的函数解析式比较简单，我们可以先求出函数的周期，再对函数解析式进行转化．

由f（-x）=f（x）得：f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称.又由f■-x=f（x）可知，函数图象关于x=■对称. 我们还发现， f■+x=f（x）， f（x）的最小正周期为T＝■．由此，我们可以讨论函数f（x）=sinx+cosx在一个周期0，■内的单调性和最值，再推出一般性结论．

当x∈0，■时， f（x）=sinx+cosx=■sinx+■. 当x∈0，■时， f（x）单调递增；当x∈■，■时， f（x）单调递减. 对 f（x）=sinx+cosx而言，当x∈■，■+■（k∈Z）时，函数f（x）单调递增；当x∈■+■，■+■（k∈Z）时， f（x）单调递减．当x=■（k∈Z）时， f（x）min=1；当x=■+■（k∈Z）时，f（x）max=■． 函数f（x）在［0，2π］内的图象如图1所示．

当然，在解答例1时，我们也可以先画出函数图象，再根据图象讨论函数性质――这也是解决三角函数问题的一种有效方法．

二、 三角恒等变换

例2 （2010年清华大学自主招生考试第1题） 求sin410°+sin450°+sin470°的值．

解析：解答例2时，不仅要熟练掌握三角函数的相关公式，还要熟悉三角函数恒等变换的处理方法，如降幂、和差化积、积化和差等．我们先用降幂公式把所求解析式中的四次方转化为二次方，再进行化简：sin410°+sin450°+sin470°＝■2+■2+ ■2=■［3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）］．

其中， cos20°+cos100°+cos140°＝2cos■cos■+cos140°=2cos60°cos（-40°）-cos40°＝cos（-40°）-cos40°＝0；

cos220°+cos2100°+cos2140°＝■+■+

■＝■［3+（cos40°+cos200°+cos280°）］．

又cos40°+cos200°+cos280°＝2cos■cos■+cos280°=2cos120°cos（-80°）+cos280°＝-cos（-80°）+cos（-80°）＝0， cos220°+cos2100°+cos2140°=■.

sin410°+sin450°+sin470°=■［3-2×0+■］＝■.

例2的结论可以推广成：sin4α+sin4α+■+sin4α+■＝■． 利用例2的求证方法，我们还可以证得sinα+sinα+■+sinα+■＝0， sin2α+sin2α+■+sin2α+■＝■． 有兴趣的同学可以一试

三、 三角形中的三角函数问题

例3 （2011年“华约”自主招生考试第11题） A，B，C为ABC的内角，且ABC不是直角三角形．

1） 求证：tanA+tanB+tanC=tanA・tanB・tanC ；

（2） 若■tanC－1＝■，且sin2A，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求cos■的值．

解析：要解决例3，既要熟悉三角恒等变换的处理方法，又要充分利用三角形内角和为180°这一条件．

（1） A+B+C=π， tan（A+B）＝tan（π-C）=-tanC （①）． 又tan（A+B）=■，代入①式可得tanA＋tanB＋tanC＝tanA・tanB・tanC．

（2） 将（1）的结论代入■tanC－1＝■，得（■tanC－1）tanA＝tanA・tanB・tanC-tanA，解得tanB＝■. B∈（0，π）， B＝■．又■+■=■， 即■=■=■＝■，将A+C＝■代入，得：3cos（A-C）＝1+2cos（2A-2C）＝cos2（A-C）-1，解得cos（A-C）＝1或cos（A-C）＝

-■. A+C＝■π， ■∈-■，■，cos■∈■，1.由半角公式求得 cos■=1或cos■= ■．

例4 （2011年“北约”自主招生考试第4题） ABC的三边满足a+b≥2c，求证：C≤60°．

解析：正余弦定理是解决三角形边角关系问题的媒介. 运用正余弦定理时，一般有两种方法：一是把边的关系转化为角的关系，使之成为三角函数问题；二是把角的关系转化为边的关系，使之成为代数问题．

解法一（化边为角）：由a+b≥2c及正弦定理得：sinA+sinB≥2sinC，和差化积得2sin■・cos■=2cos■cos■≥2sinC=2・2sin■・cos■. C∈（0，π）， cos■>0， cos■≥2sin■，而cos■≤1， sin■≤■.由0＜■＜■可得C≤60°．

解法二（化角为边）：由a+b≥2c及余弦定理，可得cosC=■≥■=■-■≥■-■＝■. C∈（0，π）， C≤60°．

KEY to Killing One Owl Species to Save Another:

They mean shooting the barred owls.

KEY to It’s Your Choice That Makes It:

（1） C

（2） Because he/she wants to make his/her argument more persuasive.

看到这里，相信同学们对自主招生考试中三角函数知识的考查方式大致有数了． 其实三角函数题的难度并不大，但它涉及了大量的公式，需要同学们熟练掌握、灵活转化．正所谓“熟能生巧”，同学们在平时还需要适当的练习．

第4篇：三角函数范文

三角测量在我国出现得很早.据《史记・夏本记》记载，早在公元前2000年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地势的测量.《周髀算经》讲得更详细.后来《九章算术》勾股章，专列了八个测量问题，详细介绍了利用直角三角形的相似原理，进行测量的方法.后来的《海岛算经》等都是进行三角测量的记载史料.可见我国对三角学研究开始得很早.

在三角学的基本函数中，最早开始独立研究的是正弦函数.正弦概念的形成是从造弦表开始的.公元前2世纪古希腊天文学家希帕克为了天文观察的需要，着手造表工作.这些成果是从托勒密的遗著《天文集》中得到的.托勒密第一个采用了巴比伦人的60进位制，把圆周分为360等份，但他并没给出“度”“分”“秒”的名词，而是用“第一小分”“第二小分”等字样进行描述.在1570年曲卡拉木起用了“°”的符号来表示“度”，以及“分”“秒”等名称．书中又给出了“托勒密定理”来推算弦、弧及圆心角的关系及公式.

第一张正弦表由印度的数学家阿耶波多（约476－550年）造出来的.虽然他直接接触了正弦，但他并没有给出名称.他称连接圆弧两端的直线为“弓弦”，后来印度著作被译成阿拉伯文.12世纪，当阿拉伯文被译成拉丁文时，这个字被译成sinus，这就是“正弦”这一术语的来历.1631年邓玉函与汤若望等人编《大测》一书，将sinus译成“正半弦”，简称为正弦，这是我国“正弦”这一术语的由来.

早期人们把与已知角α相加成90°角的正弦，叫做α　的附加正弦，它的拉丁文简写为sinusco或cosinus，后来便缩写成cos.

第5篇：三角函数范文

【授课年级】高一年级

【教学目标】

知识目标：使学生在理解任意角三角函数定义和锐角三角函数的基本关系式的基础上，能够类推――发现――猜想――推导同角三角函数的基本关系式，并能够灵活运用同角三角函数的基本关系式解决三角函数中已知一个角的某一三角函数值求其余三角函数值的问题。

能力目标：启发学生主动参与，培养学生类推、发现、归纳、猜想、推导、整理的能力

情感目标：让学生获得发现的成就感，培养学生勇于探索、善于研究的求知精神及严谨的科学态度。

【教学重点】同角三角函数的基本关系式的理解与在同角三角函数的基本关系式求值问题中的灵活应用

【教学难点】同角三角函数的基本关系式在求值问题中的灵活应用

【教学方法】引导发现法

【教具准备】三角板

【课堂构思】课堂结构分为三部分，其一，创设情景，以实例引出已知一个角的某一个三角函数值，求其余五个三角函数值的问题，发现这六个三角函数值之间具有某种关系，激发学生兴趣；其二、引导学生通过观察任意角三角函数的定义，寻找同角三角函数之间的关系式，这是主体部分；其三，实际应用。

【教学过程】

I.引入新课

（1）引例：已知α为锐角且sinα= 4-5 ，求cosα，tanα，

（2）学生活动：学生回忆所学方法探求。

（3）预期成果：学生构造直角三角形用定义求出。

（4）问题1：请学生观察它们之间的关系。

（5）预期答案：

（6）问题2：判断上述关系是否对任意锐角成立

（7）预期答案：利用勾股定理证明

（8）复习任意角的三角函数的定义

II.讲授新课

（1）学生类推探求公式：等

（2）学生类比证明公式：等

（3）师生共同归纳整理所求公式：平方关系、倒数关系、商数关系

（4）教师指出所用公式的注意事项：同角的含义、角的范围、公式的变形

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24α+cos24α=1等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如没有意义

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：，等

（5）同角三角函数的基本关系式的简单应用

例1：（1）已知sinα= 12-13，并且α是第二象限角，求cosα，tanα，cotα.

（2）已知cosα=- 4-5，求sinα，tanα，cotα.

分析：

问题（3）：例1中两问有没有区别？

预期答案：第（1）问中的角α给出了范围，而第（2）问没有。

问题（4）：这些问题与α的范围有无关系？若有，在什么时候用到这个关系？怎么处理这个问题？

预期答案：有，在用平方关系时开方用到，要分类讨论。

III 课堂练习

教材P29 1（1），（2）

IV 课堂小结

四个公式（）

一种题型（运用同角三角函数的基本关系式解决三角函数中已知一个角的某一三角函数值求其余三角函数值的问题）

V 课后作业

教材习题4.4 1（1），（2），（3），

Ⅵ 板书设计

同角三角函数的基本关系式

同角三角函数基本关系式

注意： 例1 学生板演

【教学后记】

在本节学习中，课堂上学生整体配合很好，课后作业学生完成较好，但在课堂教学中反映出了三个问题：

（1）学生探索发现的公式很多超出了要求，如：

第6篇：三角函数范文

一、抓住关键，使教学精炼、简约而高效

由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形，从而引发学生认知冲突，激发学生进一步探究的欲望。用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题。之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验，但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数。笔者认为，从帮助学生理解定义的实质，体会坐标思想与数形结合思想的角度，教师可利用适当的语言,引导学生重点解决“如何用坐标表示锐角三角函数”的关键问题。需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性：

现在，角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中,你认为,对于任意角α，sinα怎样定义好呢？

上述问题提得“大气”，既能使学生的学习围绕关键问题展开，又突出正弦函数的概念分析。当然，若能依教材先作锐角情形的铺垫，教学更符合学生“最近发展区”，提高效率。

这里，需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数，有助于从函数的本质特征来认识三角函数。

在第三个环节中，首先是如何自然引入单位圆的问题。

用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点，其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数，其次是使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论函数的性质奠定了基础。

但单位圆的这些“优点”要在引入单位圆后才能逐步体会到。因此，引入单位圆的“理由”应该另辟蹊径，白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后，从求简的角度设置问题,不愧为“棋高一招”：

大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

在学生得出x2+y2=1时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数。至此，学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备。

由于“定义”是一种“规定”，因此，第四环节中，教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形，直接给出任意角三角函数定义，对学生而言，关键是理解这样“规定”的合理性，对定义合理性认知基础就是三角函数的“函数”本质――定义要符合一般函数的内涵（函数三要素）。

二、精心设计问题，让课堂成为学生思维闪光的舞台

基于上述认识，对定义部分的教学，给出如下先行组织者和主干问题设计。

先行组织者1：周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙运动，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具有周期性，另外，如潮汐现象、简谐振动、交流电等，也具有周期性，而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型。

三角函数到底是一种怎样的函数？它具有哪些特别的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？本课从研究第一个问题入手。

意图：明确研究方向与内容。

问题1：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？

意图：从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三角函数作准备。

问题2：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方法能推广到任意角吗？

意图：引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望。

问题3：如何定义任意角的三角函数？

意图：引导学生探索任意角三角函数的定义。

先行组织者2：我们知道，直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究，借助坐标系，可以使角的讨论简化，也能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象。坐标系也为我们从“数”的角度定义任意角三角函数提供有效载体。

意图：引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数。

问题4：各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

意图：扣准函数概念的内涵，把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念。

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，得出结论：三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数。

问题5：既然可在终边上任取一点，那有没有办法让所得的对应关系变得更简单一点？

意图：为引入单位圆进行铺垫。

教师给出单位圆定义之后，可引导学生进一步明确：正弦、余弦、正切都是以锐角α为自变量、以单位圆上点的坐标（或比值）为函数值的函数。

问题6：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P（x，y），定义正弦函数为y=sinα，余弦函数为y=cosα，正切函数为=tanαyx=tanα。你认为这样定义符合函数定义要求吗?

第7篇：三角函数范文

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

2.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

3.给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

第8篇：三角函数范文

关健词：三角函数、给角求值、给值求角、比较大小、解三角形.

数学的考题题型：三角或数列有一道大题，概率统计、立体几何、解析几何、函数导数不等式，还有三选一（几何证明选讲，极坐标与参数方程，不等式）。本部分内容在高考中所占分数大约12%，主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识，近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考察，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，今后有关三角函数的问题仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，控制在中等偏易程度；如果有解答题出现，一般放在前两题位置。

解三角形的考题有客观题也有解答题，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，考查考生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展考生的数学应用意识。应注意三角函数的解题技巧。

一、“已知三角函数值求角”问题

通过先求角的某个三角函数值来求角，再选取函数时，遵照以下原则：

（1） 已知正切函数值，选正切函数；

（2） 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范围是 ，选余弦较好；若角的范围为 ，选正弦较好。

解值求角问题的一般步骤为：

1、求角的某一个三角函数值；

2、确定角的范围；

3、根据角的范围写出所求的角。

在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角。2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角。3、最后写出的角的形式怎样。下面以四个例题说明：

例1、已知 且 ，求 的取值集合.

解：令 （ 为锐角），则 ，又 且 ，且 ，

所以满足条件的角在 内，所以 ，所以 的取值集合为 .

例2、已知 且 ，求 的取值集合.

解：令 （ 为锐角），则 ，又 且 ，且 ，

所以满足条件的角在 ， 内，所以 或 ，

所以 的取值集合为 .

例3、已知 ，求 的取值集合.

解：由上面例1和例2可得答案为： 或

或者答案也可以为： 或

这类问题在处理时，不管已知的三角函数值是正数还是负数，我们都可以暂时把它看作正数，目的是为了找到看作正数后相对应的那个锐角 ，然后我们可以利用： 或 或 或 处理一下，就求出了相对应的区间： ； ； ； 内符合题意的角了.如果满足条件的角可以有无数个，那么我们把刚才求出来的角“+” 就可以了.

例4、已知 且 ， ，求 的值；

解 ，所以 ， ， ，

解决此类问题注意角的变形：

二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题

在教学中通常要求学生把三角函数化成同名三角函数且自变量落在同一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此类问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，大角化小角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数在区间 内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增，学生是非常熟悉的.

例5、比较 与 的大小.

解：

因为 在 内单调递增，且 ，所以 ，

所以 ，即

三、“利用正、余弦定理解三角形”问题

在 中，设角 、 、 的对边长分别为： 、 、

正弦定理： （ 为 的外接圆半径）

余弦定理： ； ；

定理的内容以及变形学生们一般都能记住，但是遇到具体问题时到底该用哪个定理？有的学生就拿不准了.下面我们来探讨这个问题，首先我们要清楚解三角形问题中三角形的三个角和三条边六个元素至少得已知三个，而且这三个已知的元素中至少得有一条边，这样我们才可以解这个三角形.

那么我们就可以以已知条件中边的条件将此类问题进行分类：1、已知“一边两角”（实际上第三个角也知道了），用正弦定理（因为这条边肯定是已知角的对边）.2、已知“两边一对角”，用正弦定理；已知“两边一夹角”，用余弦定理.3、已知“三边”，用余弦定理.当然，有时在一道题目中正、余弦定理都可以用，我们选择其一就可以了.

另外，如果已知条件允许的话，我们尽量去求三角形内角的余弦值，这是因为在三角形中余弦值可以把锐角、直角、钝角分的清清楚楚，余弦值为正，角为锐角；余弦值为负，角为钝角；余弦值为0，角为直角.而正弦值分不清锐角和钝角.

最后别忘了三角形中“内角和等于 ”；“大边对大角，大角对大边”；“两边之和大于第三边”；“三角形面积公式”；“射影定理”；“已知两边一对角时，可能两解、一解、无解”等.

用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型，测量距离问题、高度问题、角度问题（仰角和俯角，方位角）、计算面积问题、航海问题、物理问题等。下面我们来看一些例题：

例6、在 中，已知 求 （保留两个有效数字）.

分析：已知形式为：“一边两角”，所以用正弦定理

解：

.

例7、在 中，已知 求 （精确到 ）和 （保留两个有效数字）.

分析：已知形式为：“两边一对角”，所以用正弦定理，而且可能两解、一解、无解

解： .（ ）

当 时， ，

.

当 时， ，

.

例8、在 中，已知 解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）.

分析：已知形式为：“两边一夹角”，所以用余弦定理

解：由 ，得 .

， .

例9、在 中，已知 求 、 、 （精确到 ）.

分析：已知形式为：“三边”，所以用余弦定理

解： .

.

例10：已知 分别为 三个内角A，B，C的对边，

，

（1） 求A；

（2） 若 ， 的面积为 ，求 。

解：（1）由 及正弦定理得

，因为 所以

。由于 ，所以 ，

又 故 。

（2） 的面积 故 ，而 ，

第9篇：三角函数范文

关键词： 中学数学 三角函数问题 数学思想

一、数形结合思想

数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题.可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系.体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图像求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等.

例1.比较sin，cos，tan的大小.

解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，但如果我们注意到，，相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分比较它们各自函数值的大小.

如图所示，

设a=sin，b=cos，c=tan，

可知，b＜0＜a＜c，

因此，cos＜sin＜tan.

二、分类讨论思想

分类讨论是一种重要解题策略，“分类”，相当于缩小讨论范围，故能使复杂问题简单化，从而将问题化整为零，各个击破.体现在三角函数值受角所在象限的影响，在不同的象限有不同的三角函数值，因此就应根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论.

例2.化简：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）

解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α

（1）当n为偶数即n=2k，（k∈Z）时：

原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α

=cos+α+cos+α=2cos+α

（2）当n为奇数即n=2k+1，（k∈Z）时：

原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α

=-cos+α-cos+α=-2cos+α

cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α

三、转化与化归思想

把所研究的问题转化为与之等价的问题，将陌生问题转化为熟悉问题，从而于找出问题的解决方法.体现在三角函数中就是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题.

例3.求函数y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.

解析：先切割化弦，统一函数名称，

得y=+--=.

令t=sinx+cosx，则sinxcosx=，t=sinx+

因为x∈-，0，所以t∈（-1，1）

于是求原函数的值域就转化为求函数y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.

因此，原函数的值域为（-∞，-1）.

四、整体的思想

体现在三角函数中主要是利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等.

例4.已知为三角形的一个内角，且满足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.

解析：由条件和问题联想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可实施整体代换求值.

由sinx+cosx=两边同时平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，

即2sinxcosx=-.

因为（sinx-cosx）=1-2sinxcosx=，

又因为x为三角形的一个内角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，

所以sinx＞0，cosx＜0，则sinx-cosx＞0.

所以sinx-cosx=.

五、函数与方程思想

三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想.体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最直接体现.