函数概念精选(九篇)

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第1篇：函数概念范文

对于高一的学生来讲，初学高中函数时，初中的概念还比较牢固.并且学生在初中接触的都是一次函数、两次函数、反比例函数等对应关系用函数解析式来表示的函数，所以把“对应法则” 等同于函数解析式就一点也不奇怪了。

高中的函数定义明确了联系两个变量的是“对应法则”，提到对应法则往往用函数“解析式”表示，并且提到 “当函数的变量之间的对应关系不适合或难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法”也就是说，对应法则不仅仅是函数解析式。但并没对“对应法则”进行进一步解读，更没有提到两个函数解析式的形式不同但对应法则相同的例子，所以学生对”对应法则”的理解比较初中提升有限。

在这个问题中，用来表示对应法则的解析式仅仅是形式不同而已，它们都把相同的自变量x对应到相同的函数值y，所以它们都是相同的一种对应法则.也就是说一个对应法则可以有不同的解析式表示形式，比如函数 也和上面的函数是同一函数.但如果把定义域稍作改变，均改为上面的两个函数就不是同一个函数了，对于来讲，它所对应的y不同.这说明这两个解析式代表的对应法则是否相同还与函数的定义域与有关。

总之，如果两个函数定义域相同，相同x的值对应的y相同，我们就认为这两个函数的对应法则相同（即使函数解析式形式不同），这两个函数就是同一个函数。

高中阶段给学生讲清楚“对应法则”与“函数解析式”的联系与区别，无疑会加深高中学生对函数概念中函数概念的本质理解.

其实不仅很多中学生把“对应法则”与“函数解析式”混为一谈，有些数学系毕业的大学生对这两个概念也是模糊的，我们曾用这个问题问过某重点师范大学刚刚毕业的硕士生，她的回答竟然也是“不是同一个函数”，甚至有些教学多年的教师对这个问题的认识也是错误的.实际上，“对应法则”与“函数解析式”没有搞清楚，对函数概念的理解就是不完整的，在后面函数的学习过程中也会引发出问题。

教学中需要通过练习巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，通过从具体到抽象的过程，使学生深入理解函数的实质，避免概念教学的抽象与枯燥，完成函数概念的内化。这方面可以借鉴国外的做法：英国教材由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图像，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。还可以利用其它手段加强对函数理解，比如德国初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。

第2篇：函数概念范文

关键词：运动 变化 思维转化

函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。

一、函数概念学习困难的原因分析

1．函数概念本身的原因

认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展过程的简约反映。因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上的困难是比较自然的。另外，从函数概念本身看，以下特点会造成学生理解上的困难。

（1）“变量”概念的复杂性和辩证性。函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则，等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，于学生理解“变量”的意义并没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。

另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异。从日常经验看，“变量”不可能与“确定”联系在一起，而且变量的形式表示之间没有可替代性。但数学中的“变量”具有形式的可替代性，因此，变量概念的形成是辩证法在数学中运用的典范。

（2）函数概念表示方式的多样性。函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。

能否正确地使用函数的不同表示形式，灵活地对不同的表示进行转换，是考察函数概念形成水平的重要标准。

2．学生思维发展水平方面的原因

心理学认为，学生掌握概念的一般特点是：概念的识别优于概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关系。本质属性越多、越鲜明，概念形成越容易；非本质属性越多、越明显，概念形成越难。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辩证概念。

函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。像这种抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究对象，而且要在头脑中把整个动态过程转化为研究对象来研究，这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。

总之，学生的辩证逻辑思维处于发展的初级阶段，与函数概念的运动、变化、联系的特点非常不适应，这是构成函数概念学习困难的主要根源。不过，正因为函数概念所具有的这种特性，才使它在促进学生思维发展中起着别的数学内容所无法替代的作用，成为从形式逻辑思维向辩证逻辑思维转化的转折点。

二、函数概念的教学

1.重视函数概念的形成过程

函数概念产生于研究变量之间关系的需要，函数是描述数学和现实问题的有效工具。学生已有经验中存在许多可以用以说明函数产生过程的实例。例如：

通过引导学生对表格进行观察，有的学生会注意到，边数每增加1，内角和增加180°；通过归纳，有的学生会猜测到边数与内角和之间存在下列关系：Sn＝180°（n－2）。这是一个一次函数。这个过程可以使学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，这对理解函数概念是很重要的。

为了使学生获得关于猜想正确性的自信心，教师应该鼓励学生采用不同方法来探索同一个问题。例如，上述问题还可以用画图的方法进行探索：从四边形到五边形，由于增加了一个三角形，所以内角和增加了180°。

另外，由图还可以得到如下想法：从n边形的一个定点画出所有对角线，恰好得到（n－2）个三角形，于是内角和公式得到确证。

另外，循着“从四边形到五边形，由于增加了一个三角形，所以内角和增加了180°”，还可以用递推的方法：“后继数＝前数＋180°”。

之所以要鼓励学生采用多种表示方式探索规律，目的是为了使学生由此体验函数关系的产生过程，为后面的抽象概念学习打下基础。实际上，在探索过程中，学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，这种感受对于理解抽象的函数概念是非常重要的。因此，教学中，教师应当多采用学生熟悉的具体实例，引导学生认识其中的变量关系。另外，在上述过程中，学生所使用的主要是归纳的思维形式：通过归纳，探寻规律。归纳之重要性，不仅在于由它可以猜想结论，可以培养学生的创新思维，而且还在于它采用了由具体到抽象、由特例到一般的形式，这就可以使推理建立在学生已有经验的基础上，这是符合学生的认知规律的。

2．重视对变量概念的理解

“变量”是函数概念的核心，但发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。在学习函数概念之前，学生从代数式、方程等内容的学习中获得了关于变量的一定理解。例如，他们已学会解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程组；能够作恒等变形；会使用公式S＝πr2求圆的面积；另外，通过解二元一次方程，他们体验到对于方程y＝2x＋1，可以有无数多个有序数对（x，y）满足它，等等。这些是学生学习“变量”概念的基础。教师应当以此为基础，使学生认识“变量可以在某种约束条件下取不同的值”，以及在这个约束条件下变量之间的对应关系，从而发展学生的变量概念。

3．重视不同表示方式之间的转换

通常，在人们头脑中，函数的表示主要使用解析式，但实际上各种表示（语言的、图像的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解。

4.重视函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解。在数学内部，可以通过用函数性质比较大小、求解方程、求解不等式、证明不等式等活动，深化对函数概念的理解。还要注意用函数知识解决实际问题的训练。实际上，函数是非常重要的“数学建模”工具，现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的。同时，在解决实际问题的过程中，学生对函数概念以及与它相关的变量、代数式、方程等知识都能够加深理解。

第3篇：函数概念范文

从数学角度看，函数是数学中最基本的重要概念，它既是数学研究的对象，同时也是数学研究中经常采用的一种思想方法。在引入函数概念之前，数学研究的是静态的数学问题，当课程引入函数概念以后，使研究的内容增添了运动变化的问题；基本初等函数使中学生的数学头脑更为灵活；函数图像是使中学生体会数形结合的典范；三角函数成为中学生研究三角形以及周期变化的主要用具；解析几何中曲线的方程f（x，y）=0实际上是隐函数，可以使学生了解解析式与几何图形的紧密关系；归纳中学数学内容，得到的结论是：函数是个纲，纲举目张。学生第一次认识函数是在初中阶段。初中数学中要学习函数的概念、正反比例函数、一次函数、二次函数和锐角三角函数等知识，这些知识在初中数学中无论数量还是影响力都居于重要位置，函数概念属于最基本的知识。现在初中数学里对函数定义的描述是：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值y都有唯一的一个值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数。对于函数概念的内涵只要稍加分析，不难发现它着重强调了近代函数定义中的“对应”，而且确定了y对x的单值对应关系，这一点恰恰是现代函数对“映射”的要求，但是它却没有从“集合”范围来描述函数，所以没有明确地涉及到定义域及值域。因此观之，现在初中数学中函数定义只是函数概念三个要素中的“单值对应”关系而已。

函数是一个抽象的概念，需要学生逐步深入地了解，初中时期对函数的了解应是初步的。学生如果没有“集合”“映射”等知识基础时，要了解函数只有通过一些具体例子来实现，主要体会变量间的“单值对应”关系。而对于自变量的定义域、值域等，教师可以先不去过多探讨，以避免分散学生对概念的了解。因为初步接触函数概念时只强调关注变化中的对应关系，所以对于常值函数y=f（x）=c（常数），不宜过早涉及。学生刚刚接触到常量与变量的概念，还不十分理解常值函数y是一个特殊的变量，不可能提高到映射的高度上领会函数概念中的“对应”存在“多对一”的关系（这时并不强调y一定是变量）。这些知识都可以在今后的学习中逐步掌握，操之过急，反而会造成“欲速则不达”的结果。运用函数图像的直观性认识函数的性质，是研究函数的重要手段，体现出数形结合这一至关重要的数学理念。如正比例函数y=kx（k是常数），是中学生正式学习的第一类具体函数，如何引导学生熟悉它的图像呢？人教版教科书的做法是先用描点法画出函数y=x和y=-x的图像，然后启发学生从中寻找规律，得出结论：正比例函数的图像是一条直线，且过原点，当k>0时，直线经过第一、第三象限；当k

（遵义县鸭溪镇中学）

第4篇：函数概念范文

【关键词】 初中数学 函数概念 教学

1. 概念渗透阶段，初步认识变量之间的相互关系

函数与我们每个人的生活息息相关，函数关系充斥着我们的生活，函数概念是中学数学中的核心概念，函数思想贯穿中学教材的始终。首先，从初一代数“对字母表示数的认识”开始，学生体验、认识到了“变量”，在教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念.其次，在“代数式的值”、“数轴和坐标”的教学中再渗透变量的含义，让学生通过对代数式中字母取值之间的相互关系，渗透关于“对应”概念的初步思想，感受到变量之间的相互联系。最后，随着代数式、方程的研究渗透这一观念，特别是“二元一次方程”的教学环节中，进一步促进学生感受两个变量之间是彼此关联的。通过这样的铺垫，经过一定量的知识累积，引导学生体会变量之间的相互依存的关系。

2. 概念认知阶段，逐步感知变量之间的内在联系

在初二几何部分教学中，教材中涉及函数关系的例子非常多。比如“角的平分线的定义”、“中点的定义”、“角度之间的互余、互补”等都揭示了两个变量之间的联系。另外像“平行线四边形的性质”、“中位线定理”等等都蕴涵着函数关系。一方面，教师在传授这些知识点的 过程中要有不断渗透变量的意识，即在现实生活中存在着大量的变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，要指导学生在学习这些知识的过程中熟悉把“几何问题代数化”的方法，为函数的代数和几何方法的相结合打好必要的基础，为后续函数概念的学习作好充分的铺垫。

函数概念的形成用物理上的知识点渗透变量意识，是非常直观而且有效的方法。物理书中的很多知识点都是促成学生形成函数概念的较好素材。比如速度计算公式v=st中的速度、时间和路程，压强计算公式P=F/S中压力、受力面积和压强之间的关系都是典型的函数关系。从多方面、多学科进行渗透，强化变量之间是相互联系的观念。

3. 概念引入阶段，顺利形成函数概念的感知认识

“建构主义学习理论”认为：“应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。”

在学生对变量意识以及变量之间相互依存关系有了初步认识以后，函数概念的教学前期准备工作已经基本完成，接下来就可以开始函数概念的讲授了。教师在教授函数概念时，一定要合理设置教学情境，要让学生清醒地感受到变量意识，然后再讲清楚“自变量”、“函数”的名称及含义，并引导学生学会运用这些名词来叙述变量间的依存关系，从而熟悉函数概念。

当然学生这时对函数的理解还并不太清晰，正比例函数、一次函数都是比较简单的函数，在实际生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中对应边之间的比例关系是正比例函数等等。具体例子可以使学生清楚地认识到两个变量之间的联系及共性，函数的概念就会逐渐在学生的脑海中留下印记，在以后的反比例函数和二次函数的教学中，可以进一步促进学生深入理解函数概念的内涵与实质。教师在实际教学中能从整体上把握教学，就可以挖掘出最适宜的教学方法，使学生深刻理解函数的实质。

4. 概念延伸阶段，逐渐适应函数的学习方法

函数的学习方法与以前代数和几何的学习方法有着明显的不同。进入函数表达式开始，由于函数的表达是多样化的，有图像法、列表法、解析式法等，许多学生很不适应，怎样在教学函数时使学生逐渐适应这种多样化呢？在函数概念的实际教学中，我一般采用教师引导式：先从实际问题引入概念，鼓励学生以讨论的方式，注重分析启发、巩固反馈，使学生一点点地认识到函数概念的共同特性；了解不同的方法表示函数的方法在不同情况下的使用情况。

另外，“数形结合法”是函数学习的最重要的学习方法，它和代数方法、几何方法有着明显的不同。

学生对“数形结合法”的适应需要一定的时间，因为学生对代数解析式与几何图形之间的对应还不适应，从正比例函数到反比例函数，最后进入二次函数的学习过程中，要使学生认识到几种函数的直观对应关系：一次函数对应直线，反比例函数对应双曲线，二次函数对应抛物线.通过对图像的认识与感知，学生体会到“数形结合法”的优点：“准确简洁的解析式，直观形象的图像。”

总之，学习函数概念首先要有观念上的转变，其次要具备抽象思维能力，提高学生的抽象思维能力和学生的认识能力是使学生形成函数思想的基础。所以教师在进入函数概念的教学过程中，要把传授知识和培养思维能力有机结合起来，实现观念上的转变。这就要求教师要从整体上处理好教材，使函数概念的教学活动成为一个有机整体，这样才能在教学活动中真正有效地提高学生的素质。

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准研制组.初中数学新课程标准（最新2007修订）[S].北京：北京师范大学出版社，2007.

[2] 刘运宜.平面几何代数化背景探源[J].中学数学杂志（初中版），2009（1）.

[3] 薛国凤，王亚晖.当代西方建构主义教学理论评析[J].高等教育研究，2003（1）.

第5篇：函数概念范文

关键词：函数；对应；映射；数形结合

1要把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。

3将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

第6篇：函数概念范文

关键词：函数；概念教学；观察法；讨论法

以下是一个函数概念教学的案例与分析。

首先，回顾旧知识，导入新知识。以提问的方式，让学生回顾初中函数概念及正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的解析式，并在此基础上提出问题，课件显示：

对学生来讲，解决这些问题是一个挑战，因为这些函数例子的判定与学生已有的函数概念理解容易发生冲突，需要对函数概念进行深入理解。学生的主要错误可能会集中在：问题1：y=1（x∈R）不是函数，因为式子中没有自变量x；问题2：两个函数是同一函数，因为经过约分两式是相同的。

其次，发挥学生自主、探究式的学习方式。进入新授部分，教师不急于直接讲授知识，而是放开手，请学生关注书本开头部分的自学导引：

1.同学们进入新学校学习，开学初要分配座位，每一位同学指定这个班的教室里唯一一把椅子。

2.住校的同学要分配宿舍，给我们班每一位住校生指定学生宿舍区里唯一一个寝室。

3.A乘2B

4.A平方B

5.A求导数B

要求学生观察、讨论这五个例子的特点，并说说有什么共同的地方，同桌之间交流自己的想法。学生通过观察、思考、讨论，最终快速的找到答案，教师作为引导者，把学生所说的答案作图示分析，以加深学生对一一对应的理解。接着直接用文字表述出函数概念及函数三要素定义域、值域、对应法则；并指出两个函数当且仅当他们的定义域、值域、对应法则完全相同时才是同一函数。至此，顺利地引出了函数的概念。

在探究学习中，学生必须综合所学得的知识，并把它应用于新的、未知的情景中去，这就需要学生使用恰当的方法和策略，需要探索和猜想。因此，在教学中数学思想，数学方法和策略的运用显得尤为重要。数学问题的解决，作为创造性思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当问题难于如手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为一个比较熟悉或比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到对原问题的解决。当然，这就需要有正确的解题策略，而策略的培养最好的办法就是对知识的探究，自己去认识他们间的联系。但是现代心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确的解题策略的产生有时还需要顿悟。

再次，巩固练习，举一反三。在做练习时，让二位同学到黑板写出“正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的定义域、值域和对应法则”。一位学生：“正比例函数定义域是正比例函数、值域是y=kx、对应法则是k≠0；反比例函数定义域是反比例函数、值域是y=k/x，对应法则是k≠0”。学生明显对函数的概念了解的不够深刻，有必要对函数的定义再巩固一下。于是，利用准备好的课件，帮助学生理解函数概念的本质：

① 函数是非空数集到非空数集的一种对应关系。

② 符号“f：AB”表示A到B的一个函数，他的三要素：定义域、值域、对应法则三者缺一不可。

③ 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性。

④ f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样。

第7篇：函数概念范文

关键词 高一 函数概念 有效教学

一、高一学生对函数概念学习的理解水平

（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固

数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成绩不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。

（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练

由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。

学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。

（三）基本运算能力不过关

运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。

二、对高一函数概念有效教学的建议

函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了 “解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。

（一）导入遵循“变量说一对应说”

函数概念经过了 200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。

（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征

解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。

（三）“听、说、看、写”相结合

多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。

双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。

（四）深度解释策略

从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。

深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。

在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。

参考文献：

[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.

第8篇：函数概念范文

关键词：函数，概念，性质

 

首先是初等函数相关问题分析:

1.绝对值函数的概念及性质

绝对值函数是个很广的概念，可分为两大部分，一部分是绝对值施加在X上的，另一部分是绝对值号施加在Y上的，如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换，记住这一点，不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。

1.1绝对值函数的定义域，值域，单调性

例如f(x)=a|x|+b是

定义域：即x的取值集合，为全体实数；

值域： 不小于b的全体实数

单调性：当x<0，a>0时，单调减函数；

> > 增 ；

< < 增 ；

< < 减 ；

1.2绝对值函数图象规律：

|f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可，在y轴正半轴的图像不变。

f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可，在x轴正半轴的图像不变。。

1.3带绝对值的函数求导，即将函数分段。

2.取整函数的概念与性质

2.1取整函数是：设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用'{x}'表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数，也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，+∞）称为小数部分函数。

2.2取整函数的性质：a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].　g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

3.导数的概念与性质

3.1导数，是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（简称导数）。

3.2求导数的方法

（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限，得导数.

（2）几种常见函数的导数公式： ① C'=0(C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)； ③ (sinx)' = cosx；④ (cosx)' = - sinx；⑤ (e^x)' = e^x；⑥ (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）;⑦ (Inx)' = 1/x（ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

补充:上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。

（3）导数的四则运算法则： ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

（4）复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

4.高等函数的概念以及含义问题

4.1一元微分

1）一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) −f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+X)，如果存在一个与X无关的常数A，使f(X+X)-f(X)和A·X之差是X→0关于X的高阶无穷小量，则称A·X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

2）其几何意义为：设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

4.2多元微分

1）多元微分的概念：与一元微分同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。

2）多元微分的运算法则

dy=f'(x)dx

d(u+v)=du+dv

d(u-v)=du-dv

d(uv)=du·v+dv·u

d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

3）微分表

d(x^3/3)=x^2dx

d(-1/x)=1/x^2dx

d(lnx)=1/xdx

d(-cosx)=sinxdx

d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等，本文就简单的函数问题做一总结。

【参考资料】

1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.

2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.

3.高等学校教材——实变函数论. 高等教育出版社,2002,8.

4.华罗庚.高等数学引论.高等教育出版社,2009,2.

第9篇：函数概念范文

【关键词】高中数学；函数；函数概念与基本初等函数

一、引言

新课改的深入发展，对高中数学提出了更高的教学要求，加上学习即将接受高考，而数学是重要的考核指标，这就深化了数学在高中教学的重要性。函数是高中数学的重难点，教师在函数教学中，必须从宏观上正确把握函数教学策略，建立切实可行的函数教学手段。

二、研究典型，准确理解函数性质

充分理解函数的性质，掌握函数的概念是学生学习好函数的重要支撑，这也是教师在教学中首要解决的教学难题。在本章节中有关基本初等函数性质的教学上，教师应该对分段函数、指数函数、对数函数和幂函数等初等函数类型的基本性质进行明确，并通过研究典型问题的方法来准确理解函数性质。如在“对数函数”的教学中，教师可以以y=log2x和y=log0.5x为代表，采用研究典型问题的方法，明确了函数的性质后，将问题慢慢过渡到对数函数y=logax的一般情况，其中a大于，且不等于1。在例题“f（x）=x+b/x（b>0）”的研究中，可以延伸出以下6个概念性质问题。即函数f（x）的定义域、值域、奇偶性、单调性、图像以及该函数图像与一次函数y=x和数轴y之间的位置关系。

通过开展这样的教学，学生清楚的了解和掌握了函数f（x）=x+b/x（b>0）的性质和图像，并将其推广到双勾函数f（x）=ax+b/x（x≠0）。在高中数学中，双勾函数被广泛的应用到其他数学知识中，如不等式、复数、数列、解析几何等。在高中数学教学中，通过研究典型问题，不仅能准确理解该函数性质，还能良好的掌握一类函数，进而提高教学效果，帮助学生更好的理解和掌握数学知识。

三、数形结合，提高学习解题能力

在中学阶段，高中数学的抽象性要远远高于初中，而在高一数学学习中，学生刚从初中升入高中，抽象思维还不够丰富，给数学学习增加很大难度。函数知识更具抽象，必须使用科学的教学方法才能更好的提高教学质量。数形结合的教学方法，是高中数学教师在函数教学中常见的方法，教师可以使用图表法、图像法等将一个抽象函数具体化，这在函数题目的解答中也是有重要作用的。如在“函数的奇偶性”相关知识的教学中，教师可以使用数形结合的方法进行教学。如图1所示，曲线是函数y=f（x）所对应的图像，设它关于数轴y对称，点A是函数f（x）图像上的任意一点。

由此，引出四个问题，即点A（x，f（x））有关y轴所对称点A?的具体坐标是什么？点A?是否在函数y=f（x）图像上？点A?的坐标还能以什么形式表现出来？除了上述三个问题，你还能发现出什么？上述4个问题构成了对函数的探究，第一个问题显示出了点A?的坐标是（-x，f（x）），第二和第三个问题显示出了点A?的坐标是（-x，f（-x）），问题四就是对上述三个问题的延伸，引导学生找出f（x）=f（-x）的结果，找出偶函数的基本含义。可见，图像在引导学生学习函数知识过程中，能很好的将抽象问题直观化和具体化。采用数形结合的方法，虽然能很好的提高学生的解题能力，但是要注意学生在解题中可能会使用几何直观来替代逻辑证明，所以教师要时刻观察，以免学生产生这一的错误解题思路。

四、整合技术，提高数学教学质量

数学是一门极具逻辑性和技术性的学科，教师在实际教学中，可以将一些信息技术整合到课堂教学中，在丰富教学方法的同时，也能以新技术来吸引学生的学习兴趣。如在指数、对数和幂函数的图像、方程根存在性、数据拟合等教学活动中，教师可以将Excel、几何画板等信息技术融入教学中，引导学生使用计算器、计算机等对教学难点进行发现和探索，让学生能更好的理解函数知识，提高数学教学质量。

如在“指数函数性质”的教学中，教师可以设计一个这样的教学活动，即已知函数y=（1/2）x，y=2x，y=10x。问：从上述解析式中能得出什么性质？是否能确定这些解析式图像在平面直角坐标系中的区域？这些解析式在平面直角坐标系中的具体图像？对这些解析式的相同点和不同点进行归纳？怎么把这些相同点和不同点进行推广？函数y=（1/2）x和y=2x有什么样的图像关系？在对上述问题进行教学时，教师要利用Excel、几何画板等信息技术把函数的图像画出来，帮助学生能从具体函数和对图像的比较得到指数函数的性质。通过将信息技术整合到教学中，有效提高了数学教学质量。

五、结语

总之，为了提高高中“函数概念与基本初等函数”的教学质量，教师在实际教学中，可以通过研究典型问题，来帮助学生更好的理解函数的概念和性质，可以采用数形结合的方法和将信息技术整合到教学中，来提高教学质量。

参考文献：

[1]许俊.高中教学策略研究――以“函数概念与基本初等函数”为例[J].文理导航（中旬），2014，34（02）：19-20

[2]沙纪忠.高中“函数概念与基本初等函数”教学策略[J].上海中学数学，2012，11（06）：22-23