函数思想精选(九篇)

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第1篇：函数思想范文

一、分类讨论思想

分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，从而解决问题的一种数学思想。这是一种重要的数学思想，对培养思维的周密性大有好处。在分类讨论时应明确标准，不重不漏。

已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y=的图像上，且x1＞x2，比较y1与y2的大小。

分析 讨论反比例函数图像的增减性有一个前提条件：x在哪一象限内，而已知条件中点是否在同一象限不确定，所以要分类讨论。

解 （1）当两点在同一象限时，即当x1＞x2＞0或0＞x1＞x2时，由于k＞0，所以y随x的增大而减小。因为x1＞x2，所以y1＜y2；

（2）当两点不在同一象限时，即当x1＞0＞x2时，因为k＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。

点评 比较函数值的大小问题时，若反比例函数y=中的k的符号不确定时要进行分类。

二、数形结合思想

数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

如图1，正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BDx轴于点D，且SBDO=4。过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。

（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；

（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围。

分析 （1）因为SBDO=4，由k的几何意义得y2=。由A点可得y1，由A、E两点可得y3。在第（2）问中，就是求y3＞y2＞y1时x的取值范围，要结合图像，通过观察直接写出结果。

解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；

（2）x＜-4或1＜x＜4。

点评 对第（2）问，以形助数观察出结果很重要，不要去解不等式，直接观察图像就可得出答案，这也是解这类题的通法。

三、方程思想

方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型。

如图2，P1是反比例函数y=（k＞0）图像在第一象限的一点，点A1的坐标为（2，0）。

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA1的面积将如何变化？

（2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。

分析 第（2）问中有正三角形，可想到作正三角形底边上的高：作P1COA1于C，作P2DA1A2于D。先求出P1的坐标，则函数的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐标，则可代入函数解析式列方程求解。

解 （1）P1OA1的面积将逐渐减小；

（2）作P1COA1于点C，因为P1OA1为等边三角形，

所以OC=1，P1C=，所以P1（1，）。

把点P1的坐标代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=。

作P2DA1A2于点D，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。

把点P2的坐标代入y=，得（2+a）a=，化简得a2+2a-1=0。

解得：a=-1±。

因为a＞0，所以a=-1+。

所以点A2的坐标为（2，0）。

点评 若把图2中的两个正三角形改为正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。

四、转化思想

转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种数学思想。

如图3，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）

A.3 B.

C.2 D.4

分析 连接AO、BO，将SABC转化为SABO，然后运用k的几何意义求解。

解 因为AB∥x轴，所以ABC与ABO同底等高。

第2篇：函数思想范文

【关键词】函数思想；方程；不等式

在数学思想方法中，函数思想是其中十分重要的内容，在高中数学的学习中起到了至关重要的作用，函数代表的不仅仅是我们学习中抽象的理论知识，更反映出了自然界中量之间的依存和相互转化关系，函数明确的反映出了两个变量之间的关系，从某种意义上来说，函数就是将现有的已知条件转化为专业的数学语言，构造函数关系，再利用我们构造的函数关系来解决实际的问题。

1函数的概念

函数代表的是变量之间的关系，从变量的角度分析，函数可以阐述为两个变量x和y之间的关系，在x的某一取值范围内，y会随着x的变化呈现出规律化的变化，在这一对应关系中，因变量y就被称为是自变量x的函数，其表示形式为：y=f（x）。

函数有许多性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。将函数所具有的这些性质与其他的数学知识联系起来，可以帮助学生更好地学好数学，并利用函数的概念或者性质，快速且方便地解答数学问题。

2函数思想在解题中的应用

2.1以函数为载体，实现函数与方程、不等式之间的相互转化

函数与方程、不等式之间关系紧密，对函数的研究与应用依赖于不等式和方程，例如，在求函数的定义域和值域时，就是利用不等式知识进行求解的。证明函数单调性时，利用的也是不等式知识。同时，在进行方程和不等式的性质研究时，也需要函数思想的指导，这三者之间是密不可分的。例如在求解方程时，就相当于是在求函数f（x）的零点，在解题的过程中，要将学到的知识活学活用，注意不同知识间的交叉互换，培养自己的融汇交叉意识，从而对知识有一个整体的把握。

例1设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的筛x1、x2满足0

证明：根据题意可知，

x1、x2是方程f（x）-x=0的根，即x1、x2是ax2+（b-1）x+c=0的根，

ax2

由上题的解题过程可以看出，这是一道求解二次方程的根的分布区间的问题，解答这一类问题时，要将题目中给出的已知条件转化为二次函数f（x）-x=0求解的问题来解答，通过二次函数与二次方程之间的相互转化，构建简化的函数或方程形式，将其转化为我们熟悉的形式进行解答，这种解题方式可以很好的培养学生的函数转化思想，提高学生的解题能力。

2.2以函数为载体，促进函数与角的转化

在进行三角函数问题求解时，要将角的变化与函数值的变化紧密地联系起来。由于角与三角函数之间有着紧密的依存关系，因此，可以从函数的角度对角进行研究。

例2已知a>0，且a≠1，要使方程有解，则k的取值范围是多少。

通过对例题的分析我们可以发现，这一类方程的解题方法一般是将方程中包含的等式转换为不等式来求解，然后根据建立的不等式组有解这一解题条件，对k的取值进行讨论，从而求得k的取值范围。这一类题解题较为简便，但在解题的过程中容易忽略对k值的讨论，使得答案有所遗漏，在解题中充分的利用函数思想，就会使解题变得简单。

解：原方程可以等价为如下方程：

将上述方程再次等价为不等式组为

解出k为

令x=acosθ，θ∈（，0）∪（0，）

则

当θ∈（，0）时，

此时k

当θ∈（0，）时，

此时0

所以k的取值范围为k

3结语

函数作为中学数学中的重要教学内容，其在整个数学知识领域有着广泛的应用，其思维逻辑方式新颖，解法多样，因此也是历年考试的重点内容。通过对近年来高考试题的命题进行分析，函数在高考数学中占有非常大的比例，因此，灵活掌握函数的解题方法，学会知识的灵活运用，对于学生推理能力和论证能力的培养都有着重要的意义。

参考文献：

[1]黄炎哲.函数思想在解题中的应用[J].科教导刊.2016，02：124-125.

[2]何冬梅，赵国清.浅谈函数思想在解题中的应用[J].保山师专学报.2005，05：40-43.

第3篇：函数思想范文

一、数形结合的思想

总结：在判断三角函数性质的题目中，运用数形结合的思想解决，更容易让学生形象化、具体化、生动化，进而让学生理解、掌握.

二、换元的思想

总结：在三角函数式中，若同时含有sinα±cosα与sinαcosα，则可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题解决.

三、分类讨论的思想

总结：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题，以及三角函数最值等问题也要注意讨论.

四、化归与转化的思想

总结：本题从“角”“名”“形”不同的角度，将三角函数式进行转化，使问题得以解决，化归与转化的思想普遍应用于三角函数式的化简、求值和证明中.

五、方程的思想

第4篇：函数思想范文

一、充分利用教材中的素材，渗透函数思想

小学数学的学习中，也有很多涉及到函数思想。老师不仅要在教学过程中挖掘其内容涉及的函数思想，更需要做好相关教学设计。只有有意识地将其中的函数思想渗透在教学中，才能产生良好的教学效果。例如，在长方体的体积教学一课中，长方体的体积公式为：V（体积）=a（长）×b（宽）×h（高）。这就是一个三元一次函数。如果仅是进行公式代入计算教学，学生无法深刻理解和灵活应用。因此，要将函数思想在“量、估、算”等活动中体现：师：（黑板上贴纸条，长10厘米。另一根长度不明的纸条贴于下方，两根纸条一端对齐），同学们，这纸条长lO厘米，你能根据它的长度估计下面的纸条有多长吗？生估计。师：说说你们的方法。生：可以比较一下，下面这根的长度大概为上面的3倍以上。（请另一位学生上台测量，结果为35厘米。对估计比较准确的学生予以鼓励）师：（将已知长12.5cm，宽8em面积100cm2的长方形贴于黑板，下面贴要估计面积的长方形），上面这个长方形面积100平方厘米，你能据此估计下面的长方形面积吗？生估计。师：说说你们的方法。生：上面这个长方形的长是下面的3倍少一点，宽也是大约3倍。所以下面的长方形面积约为900cm2，（请另一位学生上台测量，结果875平方厘米，估计比较准确。）师：（出示两个长方体，一个已知长3cm，宽7cm，高10cm，另一个未知），这个长方体的体积是219cm3，你能据此估计一下另一个盒子的体积吗？

老师拿着盒子走进学生以让学生近距离观察，进行估测、记录。最后具体测量，公布结果。统计估计较准确的人数。（很少）师：都是通过已知的估计未知的，为什么对体积的估计会比较难？生：估计长度时只需比较长，估计面积就涉及到长和宽，体积则要比较长宽高三个方面。估计的数越多，就越不准。生：长方体的长、宽、高只要有一样变动了一点，相乘算出的体积变化就非常大了。可见，学生可以分析出，面积是两个变量决定的，体积由三个变量决定。再加上乘积关系，学生都体会到了只要其中一个变量变化一点点，就会较大程度影响最后的结果。这样初步的认知，是对f（x，y，z）=xyz这一函数模型中因变量与三个自变量存在的关系的感知体验过程。

其实小学教学中很多内容都有涉及函数思维。这需要教师不断琢磨教学内容，深入分析理解，才能合理应用于教学设计。而深入渗透的教学设计，才能真正挖掘教学内容的深层作用，让学生充分理解函数思想。

二、将静止的问题改造成运动、变化的问题，渗透函数思想

计算占小学数学教学内容的很大篇幅。如果能把死板的计算，变得生动，蕴含变化，学生则更能感受到函数思想的魅力。如，小学一年级的上册，教学中涉及到的计算问题：+2=6，教师只需把“+”和“2”灵活变化，如：=6。中填运算符号，中填两个数字，小小的计算题，经过改造，就从静止中有了变化，从而渗透了函数思想，开拓了学生的思维，全方面培养、挖掘学生的数学分析能力和潜力。以下为相关教学片段：师：（黑板上贴=6一题）同学们，今天我们来看一道有趣的计算题，想想在的位置能填什么运算符号？生：可以填加号也可以填减号！师：如果填加号，第一个里能填哪些数字？生：1到5都可以。生：0也可以1 6也可以。因为6+0=6，0+6=6。师：（在第一个口中填上1，请学生上台填第二个的数字）。生填5。师：只能填5吗？还有其他数字可以填吗？生：只能填5.因为只有1加5才等于6，1加别的数就不等于6了。师：第一个口中的数字变成2，还能在第二个中填5吗？生：不能，要填4，因为2+4=6。师：第一个的数字变成3呢？生：第二个填3。师：第一个填4呢？生：第+就填2。师：通过填数，你发现了什么？生：第一个数改变了，第二数也要跟着变。生：第一个数变大，第二个数就变小。生：第一个里的数加了1，第二个口里的数就会减1。如果是第一个减1，第二个则加1。因为一年级只学了简单的加减运算，而高年级将学习乘除等复杂运算，所以这样类似的计算模型练习，可以应用到每个年级段，根据不同年级学习的运算知识做相应调整。这样有趣的填空探究游戏，学生不同程度地理解了函数涉及到的变量知识，以及其与未知数的不同：任意变换变量，未知数就可以根据变量唯一固定。这一计算模型练习，可以为将来学习方程打好基础。另外一个典型的例子在五年级的下册教材，其中一道练习题如下：一张长方形纸，长18cm，宽13cm。分别在四个角剪除四个正方形，边长都为1cm，剩下部分折出无盖的长方体，则这个长方体的容积是多少？这是一道可以拓展空间思维的计算题，虽然比较简单，但如果教师可以探究出其中的函数思想，稍作改造，将是个很好的例题：一张长方形纸，长18cm，宽13cm。分别在四个角剪除四个正方形，剩下部分折出无盖的长方体。请你假设出其中一种剪法，并计算剪后长方体的容积。在学生多种剪法的归集后，可以让学生自己发现规律。即剪除正方形的边长不同，纸盒体积也不同。并且，这种变化是有规律的――先变得快，后变得慢。这样难得的例题，可以让学生多重.体验二次函数的变化规律，对极值有了初步感知。可见，只要教师肯动脑筋，都可以把教学素材中一些算术问题做点变化，让学生充分体验函数知识的乐趣！

三、巧用数学游戏。渗透函数思想

以上例子中，都是在教学的具体例题练习中挖掘函数思想，进行相应变化让学生初步感知的例证。其实，在课堂教学外，老师也可以利用数学游戏，让学生体验函数的相关知识。

1.巧用数学游戏，让学生感受字母语言的优越性。数学语言无处不在，学生使用数学语言，能锻炼其抽象逻辑思维，开拓想象。比如简洁的字母就可以代表很多变量，做表格可以理清数学规律，直观的图像更能让学生易于理解相关知识，这就是数学语言的魅力。在数学语言中，学生更是在无形中体会数学的变化、数学知识中各数量的联系以及相关的规律，等等。下面就字母这一数学语言举例说明数学游戏的设计：让学生在心里想好一个数字，用这个数加上5，再乘以2，减4，除以2，最后减去所选的那个数，学生发现，无论选的哪个数字，最后结果都是3！这样神奇的游戏，能激发学生的探究兴趣，经过不断实验验证，学生更加想找出原因以及肯定答案，但数字无穷无尽。是无法一一举例研究的，在教师引导下，学生开始应用字母来代表任意数字，进行相关演算：设所选数为x， 1x+5： 22（x+5）； 32x+10-4=2x+6； 4（2x+6）/2=x+3： 5x+3-x=3！小小的一个规律，通过简单的一个字母，就可以进行验证推理最终得以肯定。这样有趣的探究过程，学生不仅能体会到数学语言的魅力，更渗透着初步的函数思想，能让学生了解函数的巨大力量！

第5篇：函数思想范文

关键词：函数；高中数学；求解思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）02-0203-02

高中数学容量很大，本身课程安排又很紧，如何在有限的时间内快速、准确的求解数学题目，给其它科目腾出更多的时间，是一个值得认真思考的问题。函数存在于高中数学的整个过程，也是高考必考的一个热点，可以用来解决很多实际问题，同时函数求解思想对我们高中生的思维能达到很好的训练。高中数学当中通过构造函数求解的数学问题大概有以下几类，比较数和式子的大小，求极值问题，不等式的证明，方程是求解和讨论参数的取值范围等等。当下，我们对数学认识不够深刻，对用数学思想解决实际问题这种思维模式比较陌生，不太容易和当下的实际生活接轨，适当的培养函数求解思想能增强我们学习的热情，同时可以培养学生的数学兴趣。

1 函数求解思想的介绍

函数求解思想是指在求解某些实际问题时通过构造成数学函数，然后以求解函数思想来解决所要求解的问题。通过构造函数，应用函数的特性求解非函数问题，会转换思考问题的思路，简化题目的难度，值得我们学习和运用。函数求解思想的解题策略实际上是将原本好像是静态的问题放到动态的过程中去考虑和观察，将片面的问题投放到全面的层次上去思考解决。这种求解思想很具有创新性。构造函数在降低解决问题难度的同时还可以塑造我们的数学思维，增强我们数学思维的灵活性，对我们的创新能力有一定的促进作用。

2 函数求解思想在高中数学解题方法中的的应用举例

函数求解思想贯穿于高中数学的各个层面，很多实际问题和几何问题都可以通过构造函数来求解，函数本身的特性和特定的函数以及题目的约束条件会大大的提高解题速度和准确性。本文就以下几个例题对函数求解思想加以阐述和说明。求解例题如下：试着比较0.80.5和0.90.4大小。

求解：这是一个不等式的比较问题，用常规的方法很难求解，若运用函数思想，将其构造成幂函数，，再通过函数的单调性，则可以得出，接才来构造幂函数，同样根据函数的单调性可知，由此可以得出。由该例题可以看出，函数求解思想可以化不可能为可能，原本无法着手的题目通过构造函数可以简单、清晰的求解。转换求解问题的思路，值得我们学习。

再看下一个不等式题目，令e

求解：该题目同上，也不好求解，运用函数思想，构造对数函数，，则导数，令=0，则得出x=e。再通过函数的单调性分析如下：

（1）当0

（2）当e0，在（e，+∞]上是单调递减的。

由于e

再来看一道通过构造函数来求参数的取值范围的题目，如果不等式对满足的所有x都成立，那么求x的取值范围。

求解：该题目若不通过构造函数来求解，则解题过程相当复杂，还的分类讨论。

构造函数，则题目可以转化为使得求解不等式组可得。由构造函数使得题目变得简单易解，这在考场上很有优势，可以节约大量的时间，减少计算量，使我们保持清晰的思维过程。

3 利用函数求解思想解决数学问题

函数求解思想需要大胆的想象，联想找到数学题目和函数的关联，类比，这和敏锐的数学嗅觉是分不开的，这就需要我们平时多思考，多做题目，多积累。深刻理解每一类函数的性质和特点，每一个函数的几何意义，实际意义，以及函数相关的数学定理，推论，只有深刻的洞悉这些函数内在的意义，在解题过程中才会有灵光一现的瞬间，我们在做题中应当刻意的去培养这种数学思维。尤其是在不等式的证明，求最值和比较大小，这时我们应该仔细观察题目中数学式子的模型，做一定的联想和匹配，再应用函数的特性尤其是单调性求解，使得所求解的问题简单化，取得化腐朽为神奇的效果，这也是当下课改以后高考的一个趋势。此外若涉及到求某个参数的取值范围，这种题目十有八九就是要通过函数来解决，因为通过求导，判断函数的单调性，求出函数的零点和极值，这本身也是一个很综合复杂的题目，考察的知识点也比较全面，符合当下课改的要求，更有助于培养我们解决问题的综合能力，在学习和解题过程中需要多加注意和总结。抛物线和一元二次方程的关系，未知数系数所代表的实际意义，以及有解和无解的判断，判别式的合理运用，可以快速的解决一部分选择题，大大减少题目的计算量。此外，不等式的证明类题目，大多数都是通过构造函数做差，证明该函数恒大于零或者恒小于零，这个题目的转化过程值得我们注意和思考。最后，还有一些实际问题也可以通过构造函数来解决，比如二次函数和车灯的激光反射问题，只是在考虑这类问题时，应该严格注意题目中自变量和因变量的取值范围，实际问题往往有实际取值的限制。只要我们善于思考，学习，尝试和总结，函数求解思想一定可以在解题中给我们很大的启发性。

4 结语

函数求解思想是高中数学解题别实用又很常用的一种方法，通过函数求解思想的应用可以更好的帮我们熟悉函数的性质和意义，进一步促进函数的学习，巩固先前的学习效果，挖掘单纯的函数学习背后的意义，其次和实际问题的接轨，可以削减单纯数学学习的枯燥，高效的解题方法除了提高我们学习热情和培养较好的数学思维外，还给其它科目腾出更多的学习空间，这样更有利于我们全面的学习，培养其它的兴趣爱好，全面发展，在高考中占据更有利的位置，函数求解思想触类旁通在物理中也可以借鉴，值得我们思考。将静态的问题通过动态的思想去解决，讲局部的问题通过全面的思想去解决，运用函数的性质和特性，尤其是单调性和O值，最后很好的解决数学问题这本身是一种具有创新性的思维模式，很符合当前的教育愿景，值得学习和思考。

参考文献：

[1]吴中林.注重教学实际突出思想方法――《构造函数求解不等式问题》的教学点评[J].教育科学论坛，2016，04：17-19.

[2]杨增权.高中数学函数教学数学思想的实践渗透分析[J].教育现代化，2016，25：296-298.

[3]朱永江.基于高中数学的恒成立问题分析[J].开封教育学院学报，2015，03：230-231.

[4]李刚.函数与方程：辩证与统一的数学艺术[J].中国校外教育，2015，26：116.

[5]张静.论高中数学“函数思想”的教学及意义[J].教育教学论坛，2010，34：131.

[6]刘静.函数的学习困难与课程设计[J].课程.教材.教法，2006，04：45-48.

[7]章建跃.普通高中数学课程标准教材的研究与编写[J].课程.教材.教法，2005，01：45-50.

第6篇：函数思想范文

关键词：数学；函数思想；方程思想

一、知识内容

1. 函数的思想

就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。

二、典例分析

1. （题型1）构造函数，并利用函数的图像和性质来解决有关问题

例1 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5与方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=-x的产生的交点A的横坐标；

由（2）式知x2可以看做函数y=log2（x-1）与函数y=-x产生的交点B的横坐标。

而y=2x-1与y=log2（x-1）分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-1与log2（x-1）函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=-x互相垂直，其交点C坐标为（，），同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2×=。

点评：本例由已知方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。

变式：设a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）为奇函数且y=f（x）在R递增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 设不等式2x-1>m（x2-1）对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是构造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max

只要f（-2）

实数x的取值范围为（，）。

点评：本例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。

2. （题型2）建立方程，利用方程的思想解决有关问题

例3 如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。

分析：函数y=的定义域为R，值域为-1≤y≤4，由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。

解：y=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

-1≤y≤4，4y2-4by-a2-=0产生有两根-1，4。

-1+4=-1+4=a=±4b=3。

点评：本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。

例4 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）单调递增。

（2）若函数y=f（x）-t-1有三个零点，求的值。

分析：函数y=f（x）-t-1有三个零点转化方程f（x）-t-1=0有三个根，再转化成f（x）=t±1方程有三个根，再转化成函数y=f（x）与函数y==t±1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

x>0，a>1，ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。y=f（x）在（0，+∞）是单调递增的。

（2）函数y=f（x）-t-1有三个零点？圳方程f（x）-t-1=0有三个根？圳f（x）=t±1方程有三个根？圳函数y=f（x）与函数f=t±1有三个交点。

由（1）式知当a>1时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，f'（x）=（ax-1）lna+2x，当a>1时，若x

当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递减。

当00时，ax-1

当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递增。

当00 lna

（ax-1）lna

当0

y=f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

y=f（x）与y=t±1有三个不同的交点，又t+1>t-1，y=t-1=f（0）=1时，且t=2时满足要求。

t=2。

点评：本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。

第7篇：函数思想范文

一、函数与方程思想中的基本要素分析

初中数学中，函数与方程思想的掌握是学生解决数学问题的基本技能.首先必须对初中阶段函数类型和性质有较为深刻的理解，熟悉函数与方程思想解题时所涉及的基本元素.初中阶段最为常见的函数包括一次函数和二次函数.在实际题目中，这两种函数的考查频率也相对较高.因此，一次函数和二次函数的基本概念和表达式成为函数与方程思想中的首要元素.

1.函数要素分析

对函数基本表达式的理解是掌握函数与方程思想的先决条件.比如，表达式：（1）y=kx+b；（2）y=ax2+bx+c中，要使（1）成为一次函数，必须k≠0.这是对一次函数最起码的理解.要达到熟练应用的程度，必须进一步挖掘该解析式中一次项系数k决定的图像类型，结合坐标轴构建清晰的数学模型，（2）式成为二次函数的先决条件是a≠0.函数对应的具体形状曲线随a的取值不同随之改变.按照教材内容中对该类函数基本概念的解释，从图像上构建数学模型，结合图形能够加深对函数知识的掌握.具体如下：（1）式中，根据k、b的正负取值可以构建不同形状的函数曲线；（2）式中可以根据a的正负确定二次曲线的开口方向等，合坐标系可以得到以下图像：

图（a）图（b）图（c）图（d）

从以上基本知识的梳理中可以看出，构建数学模型是对简单函数知识深刻理解的有效途径，通过对关键系数的分类思考，可以全面掌握函数思想在解题过程中所具备的基本要素，实际题目中涉及的函数知识点往往围绕以上关键系数展开.因此学会采用数学模型方法，以数形结合的方式巩固基本知识，是熟练掌握函数与方程思想的基础.

2.方程要素分析

方程是解决问题的直接入手点，也是定量求解实际问题的必经之路.求解题目首先要挖掘隐含条件.构建方程的首要任务是寻找题目中的等量关系.设想在题目所给条件下，存在一个类似方程式的等式，其中包括若干未知量和已知量.能否顺利应用函数与方程思想，取决于寻找方程所需要的对等条件.任何方程的求解，可以视为是对函数值为0时的自变量方程求解.比如，一元一次方程kx+b=0可以看做是y=kx+b的函数值为0时，自变量x的表达式.方程思想的应用在一定程度上拓宽了解题思维，使得对方程式的求解更加形象具体，某种意义上赋予了一定的数学含义，对学生来说更加具有启发性.

二、函数与方程思想在解题中的应用

方程与函数本身就有必然的联系，方程可以视为是函数赋予特值后的自变量表达式.因此，方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值.两者结合的思想关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系，这是轻松求解函数问题的基础，可以使数学问题变得简洁、清晰.

通常情况下，函数与方程思想的应用涉及方程组的求解，此类题目的一般解题步骤是尽可能挖掘题目所含条件，根据上文所提到的函数和方程所具备的基本元素，限定特征方程解析式对应的等式条件，将互相制约的各个方程联立起来，构建具有共解的方程组，以下实例具体说明.

【实例】一条抛物线y=-12x2+（5-m2）x+m-3与x轴有两个交点A、B，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB.求m的值.

分析：A，B为两交点且关于x轴对称，可知该抛物线对称轴x=-b2a为y轴，再结合特殊点位置x=0时，y>0，可轻松建立方程组求解.即

5-m2=0m-3>0联合求解即可.该题在求解过程中首选根据抛物线特征参数，亦即对称轴方程确定关于m的方程式，再结合抛物线定点特征，限定m的取值范围，通过二者之间的制约关系，建立方程组求解，是典型的函数与方程思想的应用，是初中数学解题中的有效途径.

第8篇：函数思想范文

本篇运用函数思想方法, 通过建立函数或构造辅助函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质, 从而使问题得到解决．

1．构造函数解不等式

在构造函数解不等式中，应抓住所解不等式的结构特征，适当构造函数，利用函数的图象和性质解不等式，往往会优化解题过程，甚至出奇制胜，给人以耳目一新的感觉．

（1）利用函数的定义域解不等式

例1 解不等式

解：构造函数,原不等式化为其定义域为

当x≥0时,

所以，原不等式的解集为

（2） 利用函数的值域解不等式

例2 不等式- 的解集为R，求实数 a的取值范围．

解：构造函数

所以

原不等式的解集为R，所以有 同时成立,解得

（3） 利用函数的奇偶性解不等式

例3 解不等式

解：构造函数

易证 是偶函数.设 原不等式可化为

解得 原不等式的解为

（4） 利用函数的单调性解不等式

例4 当 时，不等式 恒成立，求实数x的取值范围．

解：构造函数 恒成立，由一次函数单调性知，只须 同时成立．解得x>3或x

（5）利用“ 的解集即函数的图象在轴的上方的部分对应的点的横坐标的取值范围”解不等式.

例5 解不等式

解：构造函数 其定义域为 解方程f(x)=0无实根，所以函数的图象与x轴无交点，取 函数f(x)图象分别在 上连续．所以，解集为

（6）利用“f(x)>g(x)的解集即函数y=f(x)的图象上方的部分对应的点的横坐标取值范围”解不等式．

例6 不等式的解集为，求实数α的取值范围．

解：构造函数

函数f(x)的图象为等轴双曲线在轴上方的部分，其渐近线与y=x+1平行，所以原不等式的解集为 ．由图象知两函数图象交点的横坐标为0，所以α=1，α=-1．

2．构造函数证明不等式

函数思想是最基本的数学思想．根据所证不等式的特征，构造适当的函数，然后利用函数的有界性、单调性、奇偶性及二次函数的性质来证明不等式，往往是解决此类问题的简捷思路．下文试图通过一些实例，简述函数思想在不等式证明中的运用．在“不等式的证明”教学中，渗透函数思想，不仅可降低题目的难度，更重要的是提高了学生转化问题、运用知识的能力，更有助于学生构造整体知识体系，加强知识板块之间的联系，从而逐步做到运筹帷幄，游刃有余．

（1）利用函数的单调性

例7 巳知

本题可以用比较法、分析法等多种方法证明。若采用函数思想，构造出与所证等式密切相关的函数，利用函数的单调性来比较函数值而证之，思路则更为清晰．

证明：令

例8 求证：

本题若直接运用比较法或放缩法，很难寻其线索．若考虑构造函数，运用函数的单调性证明，问题将迎刃而解．

证明：令 ，可证得f(x)在[0，∞]上是增函数,

第9篇：函数思想范文

【关键词】高中函数 化归思想 解题研究

引言

在对学生进行化归思想教育的过程中，要注意化归思想的几个主要原则，首先是把未知的问题转化为已知的问题，把复杂的问题转化为简单的问题。其次把有难度的问题转化为基础的问题，把抽象的问题具体化、特殊化。另外，还要注意理论与实际相结合，教师还要在解题的过程中，不断的深化化归思想，使学生能够熟练的掌握和应用。

一、化归思想方法的类型

化归思想简单的理解就是转化与归结，主要包括三个基本的要素：化归的对象、化归的途径以及化归的目标。转化主要包括等价的转化和非等价的转化，其中通过等价转化而得到的问题与原问题在本质上是相同的，而非等价转化得来的问题与原问题的本质不相同，必须对结果进行检验并加以补充与修改，才能确定转化的等价性。化归思想主要有以下几种

1.数与形的转化

在函数教学中，数形结合是常用的解题方法之一，函数的解析式可以用函数的图像清晰的表示，而且函数的图像也可以借助函数表达式进行表达，在解题的过程中可以通过数与形的相互联系和统一，使学生获得准确而简单的答案。

例：已知x=ax+1方程式中有一个负根，而且没有正根，求出a的取值范围。

根据分析，可以将方程的两边看作是两个函数，然后分别作出函数图像。

L1：y=x；L2：y=ax+1。等式中L2是通过（0，1）的直线，如果要使x的取值为负的，则需要a≥1。

2.映射的化归

（1）高中数学中的函数概念有很强的抽象性与概括性，其本质是一种映射关系。在教学的的过程中，教师倾向于通过举例来讲解函数的概念，导致学生没有从本质理解函数的概念，只是大概的了解函数的概念和例子。在函数性质的教学中，教师可以将抽象的函数概念化归成简单的形式，以便于学生的理解和记忆。例如：满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）的函数模型为三角函数，满足f（x）・f（y）=f（xy）的函数模型为幂函数，另外满足f（x+y）=f（x） ・f（y）的函数模型为指数函数，这些等价关系之间的化归在函数解题过程中有着重要的作用。

（2）在计算函数问题的过程中，我们可以将其转化为具体数值，通过对数值进行计算找到解题的思路与方法，这就是函数问题中经常用到的“赋值法”。例如：已知偶函数g（x）在零到正无穷上是增函数，那么g（x）>g（1）的解集是？对于这个问题，教师举一个具体的函数g（x） =x2的例子即可以向学生说明。

3.一般与特殊的转化

在解决数学问题的过程中，一般与特殊的情况可以进行相互的转化。有些数学问题通过一般的方法比较复杂，但是如果根据特殊情形进行思考则可以获得比较简单的解题思路。另外，特殊情况下得到的结论通过总结与归纳也可以推广到一般的情形。例如：如果（3x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4+a5x5，求a0+a2+a4的值。首先分析，这个题目运用一般的思路比较复杂也不容易得出答案，那么就可以考虑运用特殊值的方法进行解题。

令x=1，则可以得出a0+a1+a2+a3+ a4+a5=4

令x=-1，可以得出a0-a1+a2-a3+a4-a5=32相加得2（a0+a2+a4）=36，得出结果a0+a2+a4=18

这种方法不仅简单那便捷，而且可以激发学生的学习兴趣与思考的热情，使其更愿意主动的发现的新的解题方法，以此来提高学生的解题能力。

4.正面与反面的转化

解决数学问题的过程中，我们可以从不同的角度进行思考与分析，有的问题从正面解决比较容易，而有的问题则需从反面入手。根据实际情况，从正确的角度来解决问题。在解决概率问题的过程中，我们可以运用到正面与反面的转化。例如某射击选手每次击中目标的概率为0.7，连续射击8次，并且每次的射击都是独立、互不影响的。那么这个射击选手至少击中一次目标的概率为多少？

首先我们考虑从正面对这个问题进行解答，这就需要我们把8种情况进行逐一分析。那么就要考虑在射击的过程中恰好击中一次、两次、三次、四次、五次、六次、七次、八次的情况，这个过程分析起来就比较的复杂，所以我们可以忽略这种方法，从反面进行着手，来分析对立事件的概率，即射击选手八次均未击中目标的情况。把八次均为击中目标的概率记为p8（0），那么p8（0）=C80（0.7）0 （1-0.7）8那么射击选手至少击中一次目标的概率为1-p8（0）。这种方法避免了繁琐的分析过程，不仅减少了运算过程中的错误率而且使问题的解决更加的快速。在考试的过程中，学生如果能够熟练的运用。

二、化归思想的重要性

1.学生在学习数学知识的过程中，化归思想可以起到很好的融合作用，并使学生循序渐进的掌握数学知识。例如在平面几何的教学中，我们可以多次使用化归的思想，使学生清楚的了解到复杂的几何图形都是由简单的图形组合而成的，帮助学生理清思路。另外在钝角三角函数中，将钝角转化为锐角进行来解决问题。通过这种方法，可以加深学生对化归思想的理解。

2.化归思想不仅可以提高学生的学习能力，而且可以培养学生分析解决问题的能力。在解题的过程中，学生不仅可以回顾已学过的知识，而且可以使用不同的方法进行模型转换。在高中的函数教学中，化归思想就是将各个函数沟通起来的桥梁，它可以把函数知识与解题模式充分的结合起来，从而提高学生的解题能力。

小结