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【关键词】活动经验；数学思想；问题意识；探索规律
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）25-0059-03
【作者简介】杜建军，江苏省沭阳县第二实验小学（江苏沭阳，223600）教科室主任，高级教师，宿迁市数学学科带头人，江苏省教育科研先进个人。
“探索规律”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的基本课程内容之一。苏教版教材从三年级起，在每一册教材里都安排一次有明确主题和内容的探索规律专题活动，其教学目标不是指向规律本身的理解和掌握，而是注重引导学生经历探究规律的过程，主要目的是让学生在探索规律的过程中初步学会用数学的眼光去观察世界，用数学的语言去解释现象，用数学的方式思考问题，不断积累数学学习的经验，发展数学素养。下面，笔者以苏教版四下《多边形的内角和》教学为例，谈谈对探索规律教学的一些思考与实践。
一、揭示课题，提出问题
出示课题：多边形的内角和。
提问：对于多边形及内角和，你们已经知道些什么？还想再研究些什么？
引导：你们对这些问题打算怎样进行研究呢？
谈话：这种从简单入手、有序思考的研究策略是一种很好的学习方法。我国古代思想家老子这样说过：“天下难事，必作于易。”它的意思就是说，比较困难的事情，都要从简单的事情做起。今天就让咱们从比较简单的图形――四边形开始研究。
课始的提问唤醒了学生原有的知识经验，架起新旧知识间的桥梁，通过“你们打算怎样进行研究”引导学生自己去寻找研究方法，初步渗透由简单到复杂的探究策略。
二、选择策略，研究个案
1.探究四边形的内角和。
提问：在我们学过的图形中，有哪些是四边形？在这些图形中，你能一眼看出哪个图形的内角和呢？你是怎样知道的？
引导：猜一猜，任意四边形的内角和是多少度？数学学习离不开大胆的猜想，同时也得进行科学验证。请同学们拿出课前发放的红色四边形图片（图1），想办法求出它的内角和。
这里选择直角梯形作为学具，其中有两个角是直角，另两个角分别是120°和60°，便于有些学生用测量的办法求出其内角和。这里把直角梯形当作一般的四边形让学生进行度量和计算，得出360°为一般四边形的内角和。
操作：W生用不同方法进行验证。
汇报：请用不同方法验证的同学到讲台前来汇报，明确测量的方法有时会产生误差，重点引导学生理解为什么可以用分割法。
追问：像这样将四边形分割为两个三角形以后，原来四边形的四个角都“躲”到哪去了呢？
引导学生发现分割后两个三角形的内角的总和就是原来四边形的内角和。
谈话：我们把四边形的内角和转化为两个三角形的内角总和。原来，不用量也能求出四边形的内角和。
比较：刚才我们用测量法、分割法分别求出了四边形的内角和，现在你觉得哪种方法更为简单呢？
追问：任意一个四边形是否都能转化成两个三角形呢？
演示：利用几何画板课件演示四边形的变化情况，让学生发现任意四边形都可以分割为两个三角形。
小结：从特殊的四边形――长方形、正方形的内角和引发猜想，并举例验证，从而得出一般的结论。由特殊到一般，是获取结论的重要方法。
对四边形内角和的探究是本节课探究活动的重点，让学生在课堂上通过对不同验证方法的比较，感受分割法的简便，初步体会可以将四边形转化成两个三角形来计算其内角和。同时让学生通过回顾对四边形内角和的研究，体会从特殊到一般的研究方法。
2.探究五边形、六边形的内角和。
提问：接下来，你想研究几边形的内角和？
引导：要求五边形、六边形的内角和，你能运用研究四边形内角和的方法也来试一试吗？请同学们拿出画有五边形和六边形的操作纸，想一想，分一分，并算出每个图形的内角和。
汇报：让两名学生到台前汇报。
引导：我发现大多数同学都是从同一个顶点出发向其他顶点连线，这样分割有什么好处呢？
小结：有序操作和思考也是数学学习的重要方法。
通过观察比较，让学生体会到从一个顶点出发，向与它不相邻的顶点连线分割最为有序方便，引导学生学会更加合理的分割方法。
三、发现规律，建立模型
1.任意多边形的内角和。
提问：对于其他多边形，是否也能像刚才那样将它们分割成一些三角形呢？
小组合作，任意画一些多边形，试一试。
小结：任意一个多边形都能分割成一些三角形。
2.探索多边形内角和的计算方法。
提问：如果要求一百边形或边数更多的多边形内角和，要不要将这样的多边形画出来进行研究？多边形的内角和还有什么奥秘呢？
引导：观察刚才的研究记录，你有什么发现？你能通过刚才的研究找出多边形内角和的秘密吗？在小组里说一说。
提问：多边形的内角和与什么有关？你能用一个式子表示多边形的内角和吗？
汇报得出：多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°。
谈话：同学们真了不起！人类经过多年的探究才发现的规律，我们仅在短短一节课中就发现了其中的秘密。
通过让学生求一百边形的内角和激发学生的探究欲望，抓住“多边形的内角和与什么有关？”这一核心问题，引导学生发现多边形的内角和与多边形边数的关系，将学生的思维引向更深处。通过谈话让学生感受数学探究的乐趣，获得快乐的情感体验，增强其数学学习的信心。
四、回顾反思，积累经验
提问：回顾我们刚才探索和发现规律的过程，你有哪些收获和体会？
总结：这节课，我们从特殊到一般，把复杂的问题转化为简单的问题，让我们在今后的学习中，自觉运用这样的思想方法，更加智慧地去学习数学，相信你一定会发现数学中更多的奥秘！
在回顾反思环节，引导学生从知识本身、探究过程中的思考方法及数学思想等三个不同层面进行反思，激发学生的学习兴趣，感受运用转化思想解决问题的价值，为学生今后的数学学习埋下数学思想的种子。
【教后反思】
《多边形的内角和》是苏教版四下“探究规律”专题活动内容，是在学生已经认识了三角形、平行四边形和梯形，知道三角形的内角和是180°、平行四边形的内角和是360°等知识的基础上进行的教学。在教学设计的理念上，笔者力求体现以下三点：
1.关注探究过程，积累活动经验。
本节课作为探索规律的专题内容，教学中不是直接将方法呈现给学生，而是引导学生自己找到解决问题的方法。课中让学生通过观察、操作、归纳、类比等一系列活动，引导学生充分经历从特殊到一般、从简单到复杂的探究过程，自主发现多边形的内角和与边数之间的关系，从而获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验。
通过活动，不仅要让学生计算出多边形的内角和，还要让学生概括求多边形内角和的计算方法，并初步用数学模型来表示。在试教的过程中笔者发现，学生虽然能计算出多边形的内角和是多少度，但让他们总结出求多边形内角和的算法还具有一定困难。为了克服这一困难，我让学生分别把四边形、五边形、六边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据依次填入表中，这样容易得出以下结论：图形的边数越多，分成三角形的个数就越多，内角和的度数也就越大；多边形分成三角形的个数总是比它的边数少2；多边形的内角和一定是180°的倍数。这些发现都是概括多边形内角和计算方法的感性认识，让学生在活动的过程中，不断积累活动经验。
2.培养问题意识，提升思维品质。
“问题”是建构课堂的“脚手架”，决定了学生思维的方向。本节课不仅要让学生经历分析问题、解决问题的过程，还要鼓励学生用心发现问题，大胆提出问题。本节课教学的生长点是“三角形的内角和”，基于学生对三角形内角和的认识，可以让学生自主质疑，提出问题。因此，笔者在课始采取开门见山的方式，直接出示课题，让学生说一说已经知道些什么，还想研究些什么，培养学生的问题意识。当学生得出长方形、正方形和平行四边形等特殊的四边形内角和是360°时，引导学生猜想并提出“其他任意四边形的内角和也是360°吗”“其他多边形的内角和是多少度”等问题。通过“一百边形的内角和是多少度”这一具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，进而引导学生观察已有数，分析存在的规律，得出任意多边形内角和的计算方法。通过问题引领，激发学生的学习兴趣，引发学生进行数学思考，提高学生的数学思维能力。
3.渗透数学思想，彰显数学魅力。
本节课设计注重转化、类比、归纳等思想方法的渗透。由长方形、正方形的内角和是360°入手，引导学生进行猜想，通过举例验证得到一般四边形的内角和；由对四边形内角和的探究类比到对其他多边形内角和的探究；通过对四边形、五边形、六边形等图形内角和的探究，归纳出任意多边形内角和的计算方法；将多边形分割转化为若干个三角形来计算其内角和，将新的问题转化为学过的问题，将复杂的问题转化为简单的问题。
知识技能
通过探究，归纳出多边形的内角和
数学思考
1、通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和的公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
2、通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的应用，同时
时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、通过探索多边形内角和公式，让学生逐步从实验几何过度到
论证几何
解决问题
通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题。
情感态度
通过对生活中数学问题的探究，进一步提高学数学、用数学的意识，在自主探究、合作交流的过程中，体会数学的重要作用，感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情。
重点
探索多边形内角和的公式的探究过程。
难点
在探索多边形的内角和时，如何把多边形转化成三角形。
知识联系
多边形的对角线和三角形的内角和为本节课的知识做了铺垫，本节课的内容为多边形的外角和做知识上的准备。
知识背景
对多边形在生活中有所认识
学习兴趣
通过探究过程更能激发学生学习的兴趣。
教学工具
三角板和几何画板。
教学流程设计
活动流程图
活动内容和目的
活动一，教师和学生任意画几个多边形，用量角器测其内角和
活动二、探索四边形的内角和
活动三、探索五边形、六边形、七边形的内角和
活动四、探索任意多边形的内角和公式
活动五、多边形内角和公式的运用
活动六、小结和布置作业
通过分组测量，得出这几个多边形的内角和
通过用不同方法分割四边形为三角形，探索四边形的内角和。
通过类比四边形内角和的得出方法，探索其他多边形的内角和，发展学生的推理能力
通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的应用，同时让学生体会从特殊到一般的思考问题方法
通过画正八边形体会和应用多边形的内角和
梳理所学知识，达到巩固发展和提高的目的
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
设计情景：什么是正多边形？
正八边形有什么特点？
你会画边长为3cm的正八边形吗？
学生思考并回答问题
学生不会画八边形，画八边形需要知道它的每一个内角，怎么就能知道八边形的每一个内角，就是今天要解决的问题，以此来激发学生的学习兴趣和求知欲。
活动1、
在练习本画出任意四边形，五边星，六边形，七边形
分组让学生量出每一个多边形的内角并求出他们的内角和，教师在黑板上画这四个四边形
通过测量猜想每一个多边形的内角和，感受数学的可实验性，感受数学由特殊到一般的研究思想
活动2（重点）（难点）
探索四边形的内角和
学生在练习本上把一个四边形分割成几个三角形，教师在黑板上画几个四边形，叫几个学生来分割，从而用推理求四边形的内角和，师生共同讨论比较那一种分割方法比较合理有优点。
通过分割及推理，培养学生用推理论证来说明数学结论的能力，同时也培养学生比较和归纳的能力。
活动3、探索五边形、六边形，七边形的内角和
学生根据活动二的分析，进一步用最优方法来分割五边形、六边形，七边形，从而通过推理得出他们的内角和
通过分割及推理，进一步培养学生的解决问题和推理的能力。
活动4、探索任意多边形的内角和
把活动2和3中的结论写下来，进行对比分析，进一步猜想和推导任意多边形的内角和，教师作总结性的结论，并且用动画演示多边形随着边数的增加其内角和的变化过程。
通过猜想、归纳、推导让学生体会从特殊到一般的思想，通过公式的归纳过程，体会数形之间的联系
活动5、画一个边长为3cm的八边形
让学生在练习本上画一个边长为3cm的八边形，教师进行评价和展示
巩固和应用多边形内角和，培养学生的应用意识
数形结合应贯穿于数学学习的全过程，不仅仅在四边形的学习中。“数”是指数与式，“形”是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维，揭示数学本质的东西。而且让学生更容易理解，把抽象的数字和文字，转化成有形的图形，学生看起来更加方便，理解的也会更透彻，当然也会取得事半功倍的学习效果。例如在教授“特殊的平行四边形”时，通过教具或多媒体演示，让学生在动态的教学过程中观察角的变化，当一个角这变为直角时，指出这时的平行四边形是矩形，使学生明白，矩形是有一个角为直角的特殊的平行四边形。在老师演示完后，要求学生把准备好的教具橡皮筋拿出来，两个学生组成一个小级，把橡皮筋拉成四边形的样子，同时再要求学生按照下面的图形改变角度从而改变四边形的形状，在改变角度时要观察两条对角线的长度是如何产生变化的。当四个角都是直角时，此时四边形是一个什么样的特殊四边形。
二、动手操作，让学生手脑并用
现在的初中生，由于家庭条件较优越及家长的包办代替，动手能力较差，这给数学的学习带来了障碍。为了克服这一问题，我在课堂上经常会主张让学生自己动手，亲自制作教具。再动手的过程中加深了学生对数学问题的理解。例如在学习探索多边形的内角和和外角和时，我就让学生在课前准备好了硬纸板、量角器和剪刀，上课的时候就让他们自己在纸板上画出了随意的四边形，之后让学生们把四边形的四个角都剪下来，拼凑在一起，学生们动手做过后都惊奇地发现，不管学生们画出什么样的四边形，他们的结果都是一样的。我便用了一个非常简单的方法给学生们证明了一下他们的答案：如图1，连接AC，四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和，即180°×2=360°。学生们通过动手调动了学习兴趣，而且这个理论是他们自己动手做出来的，他们的印象更深，理解和记忆起来都更容易。接着我便让学生在纸板上画出了任意多边形，让他们试着去探索任意多边形的内角和。学生们带着刚才的兴致，又开始动手了，在他们不断地探索和实践中，很快他们就找到了规律，这时候我便给他们引出了多边形内角和定理：n边形的内角的和等于：（n－2）×180°，则正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n。学生们在实践中感受到了学习的快乐，自然增加了他们的学习情趣，也增强了他们的动手实践能力。
三、建立和谐的师生关系，创设宽松氛围
【案例1】 平行四边形面积的计算
片段1
师：同学们，我们已经学会计算长方形、正方形的面积，生活中有时候还需要我们计算平行四边形的面积。刚才，老师发给每个同学一张纸，纸上印有一个平行四边形（如图），看我们的同学谁会动脑筋、想办法，计算出纸上平行四边形的面积，并知道平行四边形面积的计算方法可能是怎样的。下面，每个同学就开动自己的脑筋思考吧！
富有挑战性的问题，激发了学生积极参与探究实践活动，只见有的学生在画着，有的学生在量着，有的学生在计算着，有的学生则愣着，也有的学生忍不住抱怨着：它没告诉什么呀，怎么算？老师悄悄地走过去，小声地问：告诉什么，你就能算了？你有办法自己去知道需要的条件吗？得到启发，该学生也拿尺量了起来。教师友善地提醒大家：请注意，量出的长度会有误差，请你取整厘米数。对于个别没有思路的同学，教师轻声地启发，如果是长方形的话你能算出它的面积吗？你有办法把它转化成长方形吗？再想想吧！
大约过了3、4分钟，绝大多数学生有了自己的答案。我认为，有效的课堂是在教师的有效引领下以学生的独立思考，形成各自的想法为前提的。教师没有进行这样的导入：在黑板上画一个平行四边形，告诉学生这节课要学习的是计算平行四边形的面积，并提问：我们能不能把平行四边形剪拼成长方形。我们可以沿着哪条线剪开，能正好拼成一个长方形？引导学生操作实践，进行观察、比较……因为这样的导入，教师已经给出了解决问题的思路，学生只要执行老师的指令，就能轻易得出平行四边形面积的计算公式，没有机会，也不需要进行自己的思考，不可能形成真正属于自己的想法。而需要学生形成各自的想法，首先就应该让学生积极地独立思考、自主探索，并且力求使全体学生积极参与。
片段2
师：同学们，有结果了吗？
（学生犹豫地陆续举起了手）
师：我只要结果，谁先来报一报你的结果是多少？
生：这个平行四边形的面积是35平方厘米。
师：有不同答案吗？（有同学激动地站起来举手说“有！”）
生：我的答案是28平方厘米。（还有同学想说，高高地举着手。）
生：我算下来是32平方厘米。
师：还有没有？（这时，没有学生再举手了。）
这里，老师做得非常好！让同学把不同答案说出来，再说想法。其实，老师是不知道正确答案的。试想，如果老师先让正确的学生汇报，把想法和答案都展示出来，教师再给予充分肯定与表扬，这时课堂上又会是怎样的情景，想必一些算错的学生，或者一些对自己想法没有把握的学生，他们就很难有勇气把自己的想法展示出来。当然，这种勇气也是需要培养的，但人都有一种求成的欲望，更何况是小学生，很有可能，个别学生的正确答案替代了教师的讲授，而没有了学生之间不同想法的交流、思维的碰撞，思维的火花也就不可能产生。
【案例2】 《三角形内角和》教学片段
在探究得出三角形内角和是180°后，学生顺利地完成了基本练习，接下来是一道拓展练习题。四边形的内角和是多少度？
生：四边形的内角和是360°。
师：你能说明为什么吗？
生：因为长方形和正方形它们四个内角都是直角，90°×4=360°，所以我觉得一般四边形的内角和也是360°。
师：这位同学是从特殊到一般，得出四边形的内角和是360°，谁能进一步说明为什么吗？
生：我在四边形里面画一条线把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是180°，两个就是360°。
师：大家同意他的意见吗？
学生表示同意，老师也表扬了这位同学的重大发现，正当老师准备进行下面的环节时。一个同学站了起来，说出了他的发现。
生：老师，我不同意刚才那个同学的意见，我认为他的方法是错误的，我用他的方法试了试，在四边形里面画两条这样的线，就分成四个三角形了。内角和就是720°，多了360°。这位学生的解释让老师犯难了，但这位老师并没有简单地说他的发现是错误的，而是将这个问题抛给了大家。
师：这位同学很细心，发现画两条线就多出了360°为什么会多出360°呢？请大家和这位同学一样，在四边形里面画两条对角线，仔细思考，分成的四个三角形内角和与原来四边形的内角和有什么关系？
显然，这个意外是学生一次错误的“发现”，但这个错误本身是有研究价值的。讨论中学生发现，多出的360°是因为在对角线交点处，就增加了一个周角，而这个周角不属于四边形的内角，计算四边形的内角和时要减掉这多出来的360°。
寻找、思考和交流的过程，正是学生空间思维和逻辑思维能力得到发展的过程。这是一个错误，更是一次机会。老师并没有往下进行预设的环节，而是引领学生让他们去操作、去分析、去讨论，从而把这个生成转化为宝贵的课程资源。
实践告诉我们，每位学生都有学习数学的潜力，在整个教学过程中，让学生不断生成问题、解决问题，教师在其中要善于挑起“矛盾”，引发疑问，引起争论，促使学生进行深入思考。教师的任务就是科学地、有效地引领学生自己去发现，自己去探索，在精彩的生成中体会浓浓的数学味。因此，一个富有生命力的课堂，必定是注重学生学习过程的课堂，一个促使学生的问题不断解决与生成的课堂。
平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是对平行线和三角形知识的应用和深化。同时又是为以后学习矩形、菱形、正方形等打基础，起着承上启下的桥梁作用。平行四边形具有较多的性质，平行四边形对角相等，对边相等。通过平行四边形的定义，我们很自然地联想到平行线的知识，就可以把平行四边形这一新知识，其中的部分内容可以转化为平行线这一旧知识。例如：已知，四边形ABCD为平行四边形。求证：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：?荀ABCD的邻角均为同旁内角，利用平行线的性质得∠A=180-∠B，∠C=180-∠B
∠A=∠C。同理可得∠B=∠D。
这就是利用平行线的性质定理“两直线平行，同旁内角互补”，推导出了平行四边形的一个重要的性质定理“平行四边形的对角相等”。我们可以借助三角形的知识，进一步深入研究平行四边形，如何实现这一步新旧知识的转化呢？我们可以采用添加对角线的方法，如果添加一条，则把平行四边形分成两个全等三角形，于是能够证明平行四边形的第二个性质定理“平行四边形的对边相等”；如果添加两条对角线，则把平行四边形分成四个最基本的小三角形，对等的两个分别全等，于是我们证明平行四边形的第三条性质定理“平行四边形的对角线互相平分”。因此，对角线成为解决平行四边形问题中一种重要的辅助线。
好多学生不知道辅助线是怎么做的、为什么这样做、有几种不同做法等问题。事实上，学生在自主探究问题时，就要注重培养和锻炼他们探究问题的手段和方法，并体会“对折”可以画中线、角的平分线、中位线等。“平移”就可以画平行线，找同位角、内错角、同旁内角等；以此引导学生添加适当的辅助线，把未知化为已知，利用已学过的知识来解决新的问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。
关键词：情境；探究；实验
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2013）03-213-01
数学知识和科学技术、社会生活息息相关。关注现代数学科学技术的发展，能使学生真正了解到数学知识的实用价值，使数学教学过程成为学生愉悦的情感体验过程，让学生感悟到实际生活中的数学的奇妙和规律，从而激发学生勇于探索科学知识的最大潜能，真正实现从生活走向数学，从数学走向社会。
一、让学生自己去探知，找出规律
新课标下要充分发挥教师的指导作用，就初中阶段的学生所研究的题目来说，结论是早就有的，之所以要学生去探究，去发现，是想叫他们去体验和领悟科学的思想观念、科学家研究问题的方法，同时获取知识。但是，敢“放”并不意味着放任自流，而是科学的引导学生自觉的完成探究活动。当学生在探究中遇到困难时，教师要予以指导。当学生的探究方向偏离探究目标时，教师也要予以指导。所以教师要相信学生的能力，让学生在充分动脑、动手、动口过程中主动积极的学，千万不要只关注结论的正确与否，甚至急于得出结论。
例如：我们求多边形内角和，教学过程：
（一）创设情境，设疑激思。
教师：大家都知道三角形的内角和是180? ，那么四边形的内角和，你知道吗？
活动一：探究四边形内角和。在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。
方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360?。
方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360?。
接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。
教师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？
活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。
学生先独立思考每个问题再分组讨论。
关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。
（2）学生能否采用不同的方法。
学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和）
方法1：把五边形分成三个三角形，3个180?的和是540?。
方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180?的和减去一个周角360?。结果得540?。
方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180?的和减去一个平角180?，结果得540?。
方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180?加上360?，结果得540?。
教师：你真聪明！做到了学以致用。
交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法。
得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形、十边形的内角和。类比四边形、五边形的讨论方法最终得出，六边形内角和是720?，十边形内角和是1440?。
（二）引申思考，培养创新
师：通过前面的讨论，你能知道多边形内角和吗？
活动三：探究任意多边形的内角和公式。
思考：（1）多边形内角和与三角形内角和的关系？
（2）多边形的边数与内角和的关系？
（3）从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系？
学生结合思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流。
发现1：四边形内角和是2个180?的和，五边形内角和是3个180?的和，六边形内角和是4个180?的和，十边形内角和是8个180?的和。
发现2：多边形的边数增加1，内角和增加180?。
发现3：一个n边形从一个顶点引出的对角线分三角形的个数与边数n存在（n-2）的关系。
得出结论：多边形内角和公式：（n-2）·180。
在数学教学中，怎样寓知识、技能、方法、思想于一个学过程中，是数学教学的重要课题。由于数学的高度抽象性、严谨的逻辑性、结论的确定性以及应用的广泛性这些特征，决定了数学教学的难度。如果教师只是注重单纯地传授知识，而不注重学习方法的指导和能力的培养，学生就会跟在老师的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死记硬背。听老师讲时还会，自己做时就错，临到考时就蒙，这样下去是越来越糊涂。所以，要使学生变书本知识为自己知识，就必须学会学习知识的方法。下面就其怎样使学生在原有知识基础上学习新知识的方法谈些教学体会。
新知识的获得，离不开原有认知基矗很多新知识都是学生在已有知识基础上发展起来的。因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的。这就需要教师在教学中精心设计、抓住知识的生长点、促进正迁移的实现。
例如，在研究多边形内角和定理时，可向学生提出：我们已经知道三角形的内角和等于180°，那么，你能根据三角形的内角和求出四边形的内角和吗？这样简单、明了的一句话就勾通了新旧知识间的内在联系。问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会准确地回答出四边形的内角和等于360°。又问：你是根据什么说四边形的内角和等于360°呢？是猜想的？还是推理得到的？学生的回答是作四边形的对角线，将四边形分为两个三角形，而每个三角形的内角和等于180°，两个三角形的内角和等于360°。教师马上对学生的回答给以肯定和鼓励，再问：五边形、六边形的内角和等于多少度？学生很快就会回答出五边形的内角和等于540°，六边形的内角和等于720°。接着又问：你知道十边形、一百边形、一千边形的内角和是多少度吗？这是老师故意设置“知识障碍”，激发学生的求知欲望。及时引导、启发、迁移、总结规律。让学生观察、发现求四边形、五边形、六边形的内角和，都是从它们的一个顶点作对角线将它们转化为三角形来求得的，并且内角和是由从它们的一个顶点作对角线所分得三角形的个数确定的，而三角形的个数又是由这个多边形的边数确定的。从而可知从n边形的一个顶点作对角线可将n边形分成（n－2）个三角形，所以n边形的内角的和等于（n－2）·180°，即得多边形的内角和定理。这个定理的出现，是教者通过设疑、引导、启发学生思维，寻求解题方法，由个性问题追朔到共性问题，总结出了一般规律。这样做，不但使学生学会了在原有知识基础上学习新知识的方法，又培养了学生分析问题和解决问题的能力，还渗透了把多边形转化为三角形来研究的数学转化思想。
当学生在原有知识的基础上掌握了学习新知识的方法和数学的转化思想，对于诸如此类的问题就迎刃而解了。如，研究梯形中位线定理，学生很自然就会将它转化为三角形中位线来解决。对于平行四边形、梯形的问题学生也很容易就想到转化为已有知识来研究。又如，对于解二元二次方程组，学生根据已学过的解一元二次方程等知识，自然就会想到通过消元将原方程组转为一元二次方程来解之，或将二元二次方程组通过降次转化为一次方程或有一个一次方程和一个二次方程组来解决。对于分式方程要通过去分母或换元转化为整式方程来解。对于无理方程需把方程两边乘方或换元化为有理方程来解。
在数学教学中，教师只要做到精心设计教学环节，科学的提出问题，采取得体的教学方法、适时疏导，帮助学生学会用自己的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，就能够调动学生学习数学的积极性，达到开发学生智力、提高学生能力的目的。
在数学教学中，怎样寓知识、技能、方法、思想于一个学过程中，是数学教学的重要课题。由于数学的高度抽象性、严谨的逻辑性、结论的确定性以及应用的广泛性这些特征，决定了数学教学的难度。如果教师只是注重单纯地传授知识，而不注重学习方法的指导和能力的培养，学生就会跟在老师的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死记硬背。听老师讲时还会，自己做时就错，临到考时就蒙，这样下去是越来越糊涂。所以，要使学生变书本知识为自己知识，就必须学会学习知识的方法。下面就其怎样使学生在原有知识基础上学习新知识的方法谈些教学体会。
新知识的获得，离不开原有认知基矗很多新知识都是学生在已有知识基础上发展起来的。因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的。这就需要教师在教学中精心设计、抓住知识的生长点、促进正迁移的实现。
例如，在研究多边形内角和定理时，可向学生提出：我们已经知道三角形的内角和等于180°，那么，你能根据三角形的内角和求出四边形的内角和吗？这样简单、明了的一句话就勾通了新旧知识间的内在联系。问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会准确地回答出四边形的内角和等于360°。又问：你是根据什么说四边形的内角和等于360°呢？是猜想的？还是推理得到的？学生的回答是作四边形的对角线，将四边形分为两个三角形，而每个三角形的内角和等于180°，两个三角形的内角和等于360°。教师马上对学生的回答给以肯定和鼓励，再问：五边形、六边形的内角和等于多少度？学生很快就会回答出五边形的内角和等于540°，六边形的内角和等于720°。接着又问：你知道十边形、一百边形、一千边形的内角和是多少度吗？这是老师故意设置“知识障碍”，激发学生的求知欲望。及时引导、启发、迁移、总结规律。让学生观察、发现求四边形、五边形、六边形的内角和，都是从它们的一个顶点作对角线将它们转化为三角形来求得的，并且内角和是由从它们的一个顶点作对角线所分得三角形的个数确定的，而三角形的个数又是由这个多边形的边数确定的。从而可知从n边形的一个顶点作对角线可将n边形分成（n－2）个三角形，所以n边形的内角的和等于（n－2）·180°，即得多边形的内角和定理。这个定理的出现，是教者通过设疑、引导、启发学生思维，寻求解题方法，由个性问题追朔到共性问题，总结出了一般规律。这样做，不但使学生学会了在原有知识基础上学习新知识的方法，又培养了学生分析问题和解决问题的能力，还渗透了把多边形转化为三角形来研究的数学转化思想。
当学生在原有知识的基础上掌握了学习新知识的方法和数学的转化思想，对于诸如此类的问题就迎刃而解了。如，研究梯形中位线定理，学生很自然就会将它转化为三角形中位线来解决。对于平行四边形、梯形的问题学生也很容易就想到转化为已有知识来研究。又如，对于解二元二次方程组，学生根据已学过的解一元二次方程等知识，自然就会想到通过消元将原方程组转为一元二次方程来解之，或将二元二次方程组通过降次转化为一次方程或有一个一次方程和一个二次方程组来解决。对于分式方程要通过去分母或换元转化为整式方程来解。对于无理方程需把方程两边乘方或换元化为有理方程来解。
在数学教学中，教师只要做到精心设计教学环节，科学的提出问题，采取得体的教学方法、适时疏导，帮助学生学会用自己的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，就能够调动学生学习数学的积极性，达到开发学生智力、提高学生能力的目的。
1 引发探索
教育家布鲁纳说过：“探索是数学的生命线。” 学生学习数学的过程不能是被动地吸收课本上的现成结论，而是学生亲自参与的充满丰富生活的思维活动，经历一个探索、实践和创新的过程。在学习枯燥的数学概念时，教师如何让学生对学习数学概念产生兴趣，处于思考的最佳状态，可以有如下的方法。
1.1 创设情境、引发探索。 学生在真实情境下进行学习，可以激发学生的联想思维，激发学生学习数学概念的兴趣与好奇心。在教学《圆的认识》一课，我先用谈话的方式问学生“生活中哪些地方可以见到圆形？”，让学生想一想、说一说，再用多媒体出示了生活中常见的情境，“下水道井盖是圆形的、各式各样车的轮胎也都是圆形的……”。这样就引发学生思考，为什么人们要把这些东西做成圆形的呢？
1.2 矛盾质疑、引发探索。 “学起于思，思源于疑”。学生有了疑问才会去进一步思考问题，有所创造。在教学了“什么样的数可以被2、5整除”后，学生很自然地对“什么样的数可以被3整除”这个问题感兴趣。而寻找“被3整除的数”的方法与“被2、5整除的数”的方法又有所不同，学生遭遇了理智的挑战，从而更积极地参与新问题的探索与创新过程。
1.3 发现猜想、引发探索。 苏霍姆林斯基曾说：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者固有需要，……” 在教学时让学生自主质疑，去发现问题，大胆猜想，使学生由机械接受向主动探索发展，更有利于发展学生的创造个性。例如：在教学“三角形的内角和”时，先让学生通过测量计算多个不同三角形的内角和，发现三角形的内角和在180度左右，学生猜想“三角形的内角和是180度”。师：“你们的猜想很大胆、也非常有可能性，那么谁能想到方法验证你们的猜想呢？”这样引发学生进一步探索三角形内角和的度数。
2 认识学习
概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，学生有了正确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能。如果没有正确的概念，就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。并且概念教学对发展学生思维、培养学生的思维能力起重要作用。
2.1 认识学习概念的定义过程。 概念的形成过程，蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的好机会。在教学平行四边形、梯形的概念时，我先出示多种四边形，如图：
让学生想一想，这些四边形我们根据它们的特征可以怎样来分类呢？生根据直角来分，分为4个内角都是直角的四边形、有2个内角是直角的四边形、四个内角都不是直角的四边形。如图：
生根据边长来分，分为4条边都一样长的四边形、有2组对边分别相等的四边形、其它四边形。如图：
生根据平行情况来分，分为两组对边分别平行的四边形、只有一组对边平行的四边形、对边都不平行的四边形。如图：
学生通过以上的学习过程，在学习平行四边形的概念时有了更深刻的认识。“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”，这两个概念是按照四边形的两组对边平行情况来定义的。
2.2 认识学习概念的内涵。
从材料感性认识概念的内涵
为了使学生顺利地获取有关概念，我们在数学概念教学中要根据小学生的年龄特点，在教学过程中要提供与学生思维水平和原有感性经验相吻合的感性材料，让学生通过看、听、触等多种感官对概念的个别属性及联系进行多方面的感知。如教学《圆柱》时，学生通过看、摸许多圆柱模型感知圆柱的外形特征；通过动手剪，将圆柱各部分展开，进一步认识圆柱的基本构成；再通过动手画，感知圆柱的高。
从本质属性认识概念的内涵
理解概念，要能举出概念所反映的现实原型，明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象。例如：乘法分配律，它的概念原型是(a+b)×c=a×c+b×c，那么a×(b±c)=a×b±a×c、 a×c±b×c = (a±b)×c、a×c±c×b = (a±b)×c这些都是乘法分配律的变形。同时学生还应该会区分a+b×c≠a×c+b×c、a+c×b+c≠(a+b)×c.。另外还有一些拆分的情况，如：35×201＝35×（200＋1）＝35×200＋35。
2.3 认识学习概念的意义用途。 真正要学好一个数学概念，并不是简单的字面理解，而是要懂得这个概念的实际意义，学生学好数学离不开数学概念的运用。