三角形中线定理精选(九篇)

前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的三角形中线定理主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。

第1篇：三角形中线定理范文

关键词：三角形；重心；内心；垂心；外心；旁心；界心

引言：三角形的心是三角形的重要几何点。目前对三角形心的研究大致有四个方向：三线共点问题[1]、三角形各心性质[2]、三角形各心坐标及心距公式[4]、欧拉定理―三心共线。

1三角形各心的概念

定理1：三角形的三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线[5]都交于一点。

定义：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心、界心分别是此三角形三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线所交成的点。

2各心在三角形中的位置分布

定理2：重心、内心与界心一定在三角形内部。

事实上据公理“平面内两直线被第三条直线所截，若同旁内角之和不等于二直角，则两直线必相交；且交点在内角和小于两直角的一侧。”定理成立是显然的。

定理3：旁心一定在三角形外部。

事实上：两外角平分线一定交于三角形的外部。

定理4：外心可以在三角形内部、外部或边上；垂心可以在三角形内部、外部或顶点。

事实上：锐角三角形的外心与垂心在三角形内部；钝角三角形的外心与垂心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边中点处，垂心与直角顶点重合。

推论：三角形某心在其周边上，则此三角形一定是直角三角形；且这样的心只能是在直角三角形斜边中点的外心，或者与三角形直角顶点重合的垂心。

3定理5：有两心重合的三角形是等边三角形。

引理：对同一个三角形，旁心与其它几心均不可能重合。

由定理3：三角形的旁心只可能与外心与垂心重合。事实上是不可能做到的。以外心为例，如图1，设P为ΔABC的其一旁心，不妨设点P为∠B与∠C的外角平分线的交点。则过P作垂直于AB、AC的直线。交点均在线段AB、AC的延长线上。即P点不可能是此三角形的外心。

因此证明有两心重合的三角形是等边三角形，只需要证：外心、内心、垂心、重心、界心的两两重合定理均成立即可。事实上：

（1）外心与内心重合

如图2，若ΔABC的外心与内心重合，

则其内切圆和外接圆是同心圆。

据垂径定理，以及全等三角形性质即知：

ΔABC是等边三角形；

（2）内心与垂心重合

如图3，设ΔABC三条高线交于一点H，又H是内心

∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD

ΔABCΔACD从而AB=AC；

同理：AB=BCΔABC是等边三角形；

（3）垂心与界心重合

如图3，设ΔABC三条周界中线交于点K，由界心性质：

AB+BD=AB+AE=12s，BD=AE又K是ΔABC的垂心，∠AEB=∠ADB=90°

又∠AKE=∠BKD，ΔAKEΔBKDBE=AD，∠CAD=∠CBE.

ΔADCΔBEC从而AC=BC.同理可得：AB=AC.

ΔABC是等边三角形；

（4）界心与重心重合

如图3，设ΔABC三条中线交于一点G，D、E、F是各边的中点，又G是界心，

AB+BD=AC+DC，AB+AE=BC+ECAB=AC，AB=BC＼

ΔABC是等边三角形；

（5）重心与外心重合

如图3，设ΔABC三条中线交于一点G，D、E、F是各边的中点，

又G是外心，AG=BG∠BAD=∠ABE，又AF=BFΔAFGΔBFG

∠AFC=∠BFC=90°CF垂直平分线段ABAC=BC

同理可证：BE垂直平分线段AC，从而AB=BC.ΔABC是等边三角形。

综上，有两心重合的三角形是等边三角形。

参考文献

[1]樊群涛三角形“三心”的完美统一[J]中学生数学，2005，22

[2]李明、严忠三角形各心的性质[J]中学数学教学，1993，1：11-14

[3]饶克勇数形结合的魅力―三角形五心坐标及其应用[J]昭通师专学报，1993，15（4）：20-38

第2篇：三角形中线定理范文

【关键词】初中数学；逆向思维；培养途径

1 引言

数学是一门十分重要的学科，它在我们的现实生活中也有着很大的用途，所以说学好数学是非常有利于学生将来学业的发展的。在我们的课堂里，数学教学中，逆向思维能起到的效果会让你意想不到，它不仅能够开拓学生的想象空间与理解基础的知识，更能发现解题的技巧跟克服迟滞性的思维。

2 基本定义公式和定理教学的逆向思维应用

概念具有两个要素：内涵与外延，两者存在反比关系，内涵丰富外延就小，内涵少则外延就广，数学概念也是如此。在教授概念时，在对概念内涵与外延进行深入剖析的基础上，让学生通过逆向思维体会概念存在的充分条件和必要条件。

3 充分利用习题训练，培养学生的逆向思维

习题训练也是培养学生思维能力的重要途径之一。教师有意识地选编一些习题，进行逆向思维的专项训练，对提高学生的逆向思维能力能够起到很大的促进作用。数学中的许多公式、法则都可用等式表示。等号所具有的双向性学生容易理解，但很多学生习惯于从左到右运用公式、法则，而对于逆向运用却不习惯，因此，在数学公式、法则的教学中，应加强公式法则的逆用指导，使学生明白，只有灵活地运用，才能使解题得心应手。

分析：只注意到结果中的x（x-1）2是积的形式，却忽略了小尾巴“-2”使积成了和，应该这样做原式=（x3-2x2）+（x-2）=（ x-2）（ x2+1）

4 要注意引导学生探索定理的逆命题是否成立

初中的数学命题中，很多性质定理和判定定理互为逆定理。对于数学定理，探索其逆命题是否成立，既可以训练学生的逆向思维能力，又能激发学生的学习兴趣和创造性思维。

例如，等腰三角形三线合一的性质，可分为三种情况：顶角平分线和底边上的中线互相重合；顶角平分线和底边上的高互相重合；底边上的中线和高相互重合。这三种情况都易于证明，其逆命题是否成立？三种情况是否都成立？学生探索后发现：一边上的中线和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分线和对边上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分线和对边中线相互重合的三角形是等腰三角形却没法证明。三种情况的不同，既能激发学生的学习积极性，又能培养学生的逆向思维能力。

又如，对顶角相等是正确的，而其逆命题：相等的角是对顶角却不正确。数学命题的正确与否，说明方法有两种：证明和反例。证明即肯定一个命题，必须在题设的条件下，对所有可能情形都证明其结论正确，而否定一个命题时只要举一个符合题设而结论不成立的例子，即反例即可。反例是突破固有定向思维而从问题的逆向思考的。因而，反例教学也是培养逆向思维的一条重要途径。在教学中，反例教学要引起足够的重视。三、要注意引导学生探索定理的逆命题是否成立。

初中的数学命题中，很多性质定理和判定定理互为逆定理。对于数学定理，探索其逆命题是否成立，既可以训练学生的逆向思维能力，又能激发学生的学习兴趣和创造性思维。

例如，等腰三角形三线合一的性质，可分为三种情况：顶角平分线和底边上的中线互相重合；顶角平分线和底边上的高互相重合；底边上的中线和高相互重合。这三种情况都易于证明，其逆命题是否成立？三种情况是否都成立？学生探索后发现：一边上的中线和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分线和对边上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分线和对边中线相互重合的三角形是等腰三角形却没法证明。三种情况的不同，既能激发学生的学习积极性，又能培养学生的逆向思维能力。

第3篇：三角形中线定理范文

教学建议

知识结构

重点、难点分析

相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．

它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．

它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．

教法建议

1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等

2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答

3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比

（第1课时）

一、教学目标

1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．

2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．

3．进一步培养学生类比的教学思想．

4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美

二、教法引导

先学后教，达标导学

三、重点及难点

1．教学重点：是性质定理1的应用．

2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具．

六、教学步骤

［复习提问］

1．三角形中三种主要线段是什么？

2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？

3．什么叫相似比？

［讲解新课］

根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．

建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比

∽，

，

教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．

分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）

∽，

BM=MC，

∽，

以上两种情况的证明可由学生完成．

［小结］

本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．

第4篇：三角形中线定理范文

我们在前面研究图形的过程中，一直有一根“线”——“对称”在引导着我们去认识图形. 由“轴对称”得到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线、中垂线性质，由“中心对称”得到平行四边形、矩形、菱形、正方形及中位线的性质. 在这一章中上述结论的再学习并不是游离于以往的探索经验，而是依然建立在我们对“对称”的理解和认识基础上，继续发挥这根“线”的作用，借助曾经的实验操作方法，就能帮助我们确定证明的方法.

知识点1 等腰三角形的两个底角相等

【透析】 应用等腰三角形的性质定理证明两个角相等时，必须是这两个角在同一个三角形中，否则结论不一定成立.

知识点2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

【透析】 这个定理简称为“三线合一”，应用的前提条件是三角形必须为等腰三角形. 在解决有关等腰三角形的问题中，经常需要添加辅助线，虽然等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但是如何添加辅助线要由具体情况来决定，作辅助线时只需作出一条，再根据性质得出另外两条.

知识点3 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，对于一般三角形是不成立的. 证明中，主要涉及两种方法：图形的“拆”（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）和“拼”（把两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形），体现了转化思想，即把待证的问题转化为可证的问题.

知识点4 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

【透析】 这里的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等.

知识点5 菱形的性质

【透析】 菱形也是特殊的平行四边形，它也具有平行四边形的所有性质，它的独特性质主要体现在：（1） 4条边都相等，对角线互相垂直；（2） 菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形；（3） 计算菱形的面积除利用平行四边形的面积的计算公式外，当a，b分别表示两条对角线的长时，菱形的面积为s=ab.

知识点6 矩形的判定

【透析】 矩形的每种判定方法都必须有两个条件. （1） 定义判定：① 平行四边形；② 有一个角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四边形；② 对角线相等. （3） 判定定理2：① 四边形；② 有3个角是直角.

知识点7 菱形的判定

【透析】 若已知的四边形是平行四边形，要证它是菱形，需要证它有一组邻边相等或对角线互相垂直；当四边形是一般的四边形，要证它是菱形，可以证它的四条边相等或先证它是一个平行四边形，再证它是菱形.

知识点8 正方形的判定

【透析】 判定一个四边形是正方形的主要途径有两条：（1） 先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直；（2） 先证它是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.

知识点9 等腰梯形的判定

【透析】 等腰梯形判定的一般步骤：先判定一个四边形是梯形，再用“两腰相等”或“在同一底上的两个角相等或对角线相等”来判定它是等腰梯形.

第5篇：三角形中线定理范文

例1 如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于内槽宽A′B′，那么判定AOB≌A′OB′的理由是（ ）

A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边

思路分析：

（1）题意分析：本题考查全等三角形的判定。

（2）解题思路：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一。本题利用全等三角形来解决实际中工件测量的问题，其理论依据是“边角边”，故答案为A。

解答过程：A

解题后的思考：判定三角形全等的方法。

（1）边角边定理、角边角定理、边边边定理、斜边直角边定理。

（2）推论：角角边定理。

例2 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在DB的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后她测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离。

（1）你能说明张倩这样做的根据吗？

（2）如果张倩恰好未带测量工具，但是知道点A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定AB的长度范围吗？

（3）在第二问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在ABC中，AD是BC边的中线，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范围。

思路分析：

（1）题意分析：本题考三角形全等三角形的应用。

（2）解题思路：欲求AB的距离，但不宜测量，实际生活中这种情况较多，我们可以用学过的知识来解决，比如说全等，用等量来代换，即找到与AB相等的线段DE，这样问题就解决了。第二问是根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边来解决。第三问是在第二问基础上的综合提高，有一定的区分度，采用的是“倍长中线法”。

解答过程：（1）ABC≌EDC；（2）40米

解题后的思考：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等。

（2）不能证明两个三角形全等的是①三个角对应相等，即AAA；②有两边和其中一边的对角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识的应用中，若要证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常要借助全等三角形的知识。

小结：通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

1.翻折

如图（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；

2.旋转

如图（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；

3.平移

第6篇：三角形中线定理范文

1.1三角形的边答案

基础知识

1~4：D；C；B；B；

5、3；8、6、4和11、8、9和11、8、4

6、5；6；7

7、11或10

能力提升

8~11：B；B；C；C

12、（1）4为腰长，令一腰4，底=8，不合适则4为底，

（16-4）÷2=12÷2=6

另外两边为6和6

（2）6为腰长，令一腰6，底=4，或6为底，

（16-6）÷2=10÷2=5

（3）三边长都是整数，底为偶数，且底＜2×腰长，

底＜8底=2，4，6，腰=7，6，4

所以边长分别为：2、7、7；4、6、6；6、4、4

13、如图，连接AC、BD，其交点即H的位置。根据两点之间线段最短，可知到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小。

理由：如果任选H′点（如图），由三角形三边关系定理可知，

HA+HB+HC+HD=AC+BD＜H′A+H′B+H′C+H′D

1.2三角形的高、中线与角平分线答案

基础知识

1~4：A；A；A；B

5、（1）AB

（2）CD

（3）FE

（4）3；3

6、∠BAE=∠EAC；BF=FC

7、②③

8、5

9、（1）因为AD是ABC的中线，也就是说D是AC的中点，所以BD=CD

ABD的周长=AB+AD+BD，ACD的周长=AC+AD+CD

所两个三角形的周长差就是AB-AC=5-3=2cm

（2）三角形的面积=底×高÷2，因为两个三角形共高，高长都是AE的长度。

又因为两底有着BC=2CD的关系，所以SABC=2SACD

能力提升

10、设AB=x，BD=y

AB=AC；AD为中线

BD=CD=y（三线合一定理）

由题意可知：x+x+y+y=34

x+y+AD=30

AD=13cm

11、因为DE为中点

所以AD为ABC的中线，BE为SABD的中线

所以SABD=1/2SABC，sABE=1/2SABD

所以SABE=1/4SABC=1cm2

12、（1）∠ACB=90°，BC=12cm，AC=5cm，

SABC=1/2*AC*BC=30cm²

（2）CD是AB边上的高，

SABC=1/2*AB*CD

AB=13cm，SABC=30cm2

CD=60/13cm

探索研究

13、如下图，

在图（1）中，BD＝DE＝EF＝FC

在图（2）中，BD＝DC，AE＝BE，AF＝FD；

在图（3）中，BD＝DC，AE＝ED，AF＝FC

在图（4）中，AD＝DC，AE＝ED，BE＝EC；

在图（5）中，BD＝DC，AE＝DE。

1.3三角形的稳定性答案

基础知识

1 2 3 4 5

D C D B A

6、（1）√；

（2）√；

（3）×

能力提升

7、B

8、三角形具有稳定性

探索研究

9、四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；

五边形木架，至少要再钉上2根木条，使四边形变成3个三角形；

第7篇：三角形中线定理范文

定理有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.(已知求证略)

引理1 同一三角形中,大边对大角.逆之亦是.(证明略)

引理2 两个三角形若有两边对应相等,则夹角大者第三边也较大．

其实,这是“等边对等角”的直接推论.略证如下．

如图1,ABC和ABD中,AC=AD,∠BAC＞∠BAD,连接CD,有∠ACD=∠ADC,而∠BCD＜∠ACD, ∠BDC＞∠ADC,所以,BC＞BD获证．

现在用反证法证明定理：

如图2,假设AB＞AC,则∠ACB＞∠ABC(引理1),进而有∠1＞∠2,又已知BE=CD,所以BD＞CE(引理2)；平移BE至DF,连接EF、CF可得∠3=∠2,DF=BE=CD,EF=BD＞CE,所以∠5＞∠4,于是有∠DCF＞∠DFC,故DF＞DC,这与DF=DC矛盾.可见假设AB＞AC错误；同理,AB＜AC也不成立.即AB=AC获证.斯坦纳-雷米欧斯定理证毕．

它的简明快捷源于其对称的反身性,可逆性.“对称地处理对称性问题”这一思想方法可能比证明本身更重要!

第8篇：三角形中线定理范文

能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．

例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证AOB≌DOC，还需（）.

A. AB = DCB.OB = OC

C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC

解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.

点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.

考点2全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

例2如图2，ABD≌CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.

A.ABD和CDB的面积相等

B.ABD和CDB的周长相等

C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD

D. AD∥BC，且AD = BC

解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.

点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.

考点3全等三角形的判定

选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：

例3在ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.

解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：

延长AD至G，使DG = AD，连结BG.

在ADC和GDB中，

点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.

考点4 变换

只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把ABC沿直线BC移动到A1B1C1和A2B2C2位置，就是平移变换.

②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将ABC翻折180O到ABD的位置，就是对称变换．

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将ABC绕过A点旋转180O到AED的位置，就是旋转变换.

我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．

例4如图7，已知ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.

（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？

写出观察结果.

（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.

解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.

（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.

解答过程如下：

（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.

（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：

如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，

使CG = AC，连结EG，FG，

ACE≌GCE，

∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，

∠A + ∠B = 90O，

∠CGE + ∠CGF = 90O，

∠EGF = 90O，EF为斜边.

点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.

反思

1.考纲要求

理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.

2.构造全等三角形的方法

第9篇：三角形中线定理范文

1．等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线；

2．等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线；

3．等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线．

显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法．在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们．

例1 如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF．

分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，即证明AD是∠BAC的平分线．

证明：连接AD．

因为AB=AC，BD=CD，

所以AD是等腰ABC底边BC上的中线．

所以AD平分∠BAC．

因为DEAB于E，DFAC于F，

所以DE=DF．

说明：本题的解答过程中，应用了等腰ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质．

例2 如图，在ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC．

分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边．为了得到AB-AC的结果，可在AB上截取AE=AC，则有BE=AB-AC．为此，只要证明BE＞PB-PC即可．

证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F．

因为AE=AC，AD平分∠BAC，

所以AF是等腰ACE的顶角∠CAE的平分线．

所以AFCE，CF＝EF．

即，AF是CE的垂直平分线．

因为P在AF上，

所以PE＝PC．

因为BE＞PB-PE，BE=AB-AE，

所以AB-AC＞PB-PC．

说明：本题的解答过程中，应用了等腰ACE顶角∠CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质．

例3 如图，在ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DEBC．

分析：注意到ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线重合．要证明DEBC，应先证明DE与这条高平行．

证明：过A作AFBC于F．

因为AB=AC

所以AF平分∠BAC．

所以∠BAC=2∠BAF．

因为AD=AE，

所以∠D=∠AED．

所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．

所以∠BAF=∠D，DE∥AF．

所以DEBC．

说明：本题的解答过程中，应用了等腰ABC底边BC上的高AF是顶角∠BAC的平分线的性质．

例4 如图，ABC中，AB=AC，BDAC于点D，求证：∠CBD=1/2∠BAC．

分析：为了得到1/2∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．

证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．

因为AB=AC，AE平分∠BAC，

所以AE是等腰ABC顶角∠BAC的平分线．

所以AEBC于点E．

所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，

因为BDAC于点D，

所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．