二次函数精选(九篇)

前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的二次函数主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。

第1篇：二次函数范文

一、 比赛项目与二次函数

在奥运会的赛场上，人、球或其他物体在空中运动的某一段过程形成的轨迹可以看成抛物线，我们以跳水和足球为例.

例1 如图1，2016年里约奥运会，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=-[256]x2+[103]x（如图建立直角坐标系，图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为 米.

【分析】首先把抛物线解析式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标，进而得到运动员在空中运动的最大高度离水面为多少米.

【解答】y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

抛物线的顶点坐标是[25，23]，

运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如图2，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.

[图2]

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行中的足球能否进球门？（不计其他情况）

（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），

设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

则抛物线是y=-[112]（x-4）2+3，

当x=0时，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]

故能射进球门；

（2）当x=2时，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，

当y=2.52时，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球员甲的射门.

二、 商品与二次函数

里约当地的商店有很多奥运纪念品，店家为了获得更多利润，要对纪念品做出合适的定价.

例3 奥运会某纪念品的进价为每件40美元，如果售价为每件50美元，每天可卖出210件；如果售价超过50美元但不超过80美元，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件；如果售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件.设每件纪念品的售价为x美元，每天的销售量为y件.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每天的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件纪念品的售价定为多少美元时，每天可获得最大利润？每天最大利润是多少美元？

【分析】（1）当售价超过50美元但不超过80美元时，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件，y=260-x，50≤x≤80；当售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件，y=420-3x，80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，列出函数关系式.

（3）分别求出两段函数的最大值，然后作比较.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，可以列出函数关系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400，

当x=80时有最大值，最大值为7200，

当80

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90美元，每天利润最大为7500美元.

三、赞助商与二次函数

在奥运会上有很多签约的赞助商，在奥运会期间他们的广告无处不在.

例4 如图3，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.[图3]

某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【分析】利用已知条件表示出包装盒的表面面积，进而利用函数最值求出即可.

【解答】设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

S=4ah+a2=4[2]x・[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

第2篇：二次函数范文

【关键词】二次函数重点整体难点

二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。二次函数和一次函数、反比例函数一样，都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。二次函数的图像因为是抛物线，关系式变化形式多，应用比较复杂。我在二次函数的教学中，整体把握，重点突破，收到了较好的教学效果。

1 抓住重点组织教学

1.1 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式，并体会二次函数的意义

这里体现了数学与生活的关系。教学中，应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手，引导学生列出函数关系式。然后，让学生观察、思考：所列的函数关系式有什么共同点？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？从而引导出二次函数的概念，让学生认识二次函数的各部分名称。如此，学生能够体会到二次函数来自生活，感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型，激发学习的积极性。

1.2 采用“描点法”画出二次函数的图像，从图像上认识二次函数的性质

这是二次函数的教学重点。一方面，学生要学会画出二次函数的图像；另一方面，要能从图像上认识二次函数的性质。教学中，教师要扎实地让学生画出二次函数的图像（不能一带而过，就让学生去解决与图像有关的复杂题），即运用探索函数图像的方法――“描点法”，一步一步地列表、描点、连线，加深对二次函数图像形状的认识。然后，引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质（学生一边看图像，一边说性质，很直观）。要提醒的是，不仅要让学生画出二次函数的准确图像，还要会画二次函数的示意图像。

1.3 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴，解决简单的实际问题

这里包括两点：一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质，这是学生对二次函数性质的进一步认识；二是列二次函数的关系式解决问题，这是学生学次函数的落脚点所在。从直观的图像到关系式认识二次函数的性质，是一个提升；从实际问题中提炼出二次函数，通过研究，再回到实际问题中去，这是一个跨越.教学中，为了突破这一难点，可以从二次函数的图像入手，将二次函数的关系式与其图像比照着进行教学，由图像认识关系式，由关系式认识图像。这种“捆绑式”教学，可以促进学生对借助公式确定对二次函数的顶点、开口方向的理解和掌握。而在运用二次函数解决简单的实际问题时，应将知识块分类后进行教学，这样效果较好。

1.4 运用二次函数的图像求一元二次方程的近似解

这是二次函数的内部应用。即从函数的角度审视一元二次方程与二次函数的关系，并根据直观图形，借助计算器探索函数值为0的自变量的值，进而得出用二次函数图像求一元二次方程的近似解的方法。在这个过程中，应通过直观图像，研究函数值与自变量的变化，渗透无限逼近和区间套的数学思想方法，为学生高中阶段的函数学习做好铺垫。

2 立足整体设计教法

二次函数的整体性，体现在其图像、性质以及应用上。教材从学生熟悉的简单实际问题出发，建立二次函数的概念，立足运动、变换的观点，由特殊到一般，分别探讨各种形式的二次函数的图像和性质，最后以3个探究性问题为例，探讨二次函数在实际中的应用。学生学次函数的图像和性质的障碍主要体现在解析式、图像、性质的对应上，应用的主要障碍则是建立二次函数解析式，并利用解析式解决问题。

2.1 层层递进，系统把握二次函数的图像和性质

二次函数的一般形式及其变换形式共有六种：（1）y=ax2 （a≠0）；（2）y=ax2+k（a≠0）；（3）y=a（x+h）2（a≠0）；（4）y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5）y=ax2+bx+c （a≠0）；（6）y=ax2+bx（a≠0）。要求学生由不同的解析式画出图形示意图并说出对应的性质，有一定的难度。教学时，应层层递进，通过画示意图像来说性质。同时，在学习这六种形式的二次函数的关系式、图像和性质时，每节课都复习上节课学习的二次函数的关系式、图像和性质，并板书。这样，当学到最后一种二次函数的解析式、图像和性质时，学生已在头脑中形成了系统、全面的关于二次函数的解析式、图像、性质的知识网络。

2.2 策略分类，明晰掌握二次函数应用的方法

二次函数是研究单变量最优化问题的常用数学模型。教材从数量关系入手，把实际问题数学化，进而求出最优解，研究了面积最大、利润最大等问题。然后，从“形”上研究了抛物线形的拱桥、抛物线形的隧道、喷泉、投掷、跳远、跨栏等与抛物线有关的问题。这样的分类（一会儿求关系式，一会儿不求；一会儿给应用问题，一会儿给图像），对正由形象思维向抽象思维过渡的初中生来说挑战不小，学生的思维容易发生混乱。教学二次函数的应用问题时，根据学生的年龄特点和知识基础，按解题策略进行分类，有助于学生理清思路，正确解决问题。

第一类：给二次函数的关系式解决问题。比如，教材第33页第4题的“火箭升空”、第34页第9题的“对概念接受能力”、第35页第12题的“喷泉”等问题，只要将二次函数的关系式配方求顶点坐标，或令x、y等于0，即可顺利解决。

第二类：给应用问题列二次函数的关系式，再用关系式解决问题。比如，教材第25页的“最大收益”、“最大面积”等问题，只要分析数量关系，列出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式即可解决问题。

第三类：给二次函数的图像列二次函数的关系式解决问题。比如，教材第27页的问题2“喷泉”问题，只要从图像上找到一个或两个点的坐标，代入二次函数的关系式的一般形式，从而求出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式，即可解决问题。

第四类：建立直角坐标系，求出二次函数的关系式解决问题。比如，教材第28页的“抛物线形拱桥”、第30页的“栏杆”和“抛物线形拱桥”等问题。这样的问题，要建立适当的直角坐标系，再由图像求出二次函数关系式，然后由二次函数关系式即可解决问题。

3 着手关键化解难点

3.1 将二次函数的一般形式化为顶点式

学生对前四个形式的二次函数y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2 （a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）画图像、说性质相对比较容易，对后两个形式的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），y=ax2+bx（a≠0）画图像、说性质，难度就大得多。因为要将它们转化为y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的问题。而配方又涉及完全平方公式――这在一元二次方程解法的教学时已有所涉猎。因此，教学一元二次方程解法时，就必须注重配方法的教学，到了这个阶段再增添求二次三项式的最值问题，学生因为掌握了配方的方法，就容易理解和接受了。

3.2 列二次函数关系式和应用二次函数关系式

比如，最大效益问题是一元二次方程的利润类应用问题的迁移，关键是把握关系式“每亩（件、千克）效益（利润）×亩数（件数、千克数）=总效益（总利润）”；面积类问题，关键是面积公式；给二次函数图像列二次函数关系式解决问题，关键是设二次函数关系式；建立直角坐标系，求出二次函数关系式解决问题，关键是建立适当的直角坐标系、设二次函数关系式；应用二次函数关系式，关键是理解关系式中的字母的意义，看清问题中要求的是关系式中的哪一个问题，从而确定方法。

参考文献：

第3篇：二次函数范文

一、封闭性问题的开放性改造

以问题状态（条件、过程和结论）的明确程度为依据，可将数学问题分为封闭性和开放性两个问题.平时所见的大部分问题属于封闭性问题，而开放性问题对于发展学生的个性、优化学生的思维品质，特别是训练学生的发散性思维、创造性思维有着重要意义.对于封闭性问题，如果我们在认清题目的实质下对于问题的条件、结论或者过程予以适当修改，则可以使其具有一定的开放性.

题1求函数f(x)=(x-1)2对称轴、最值、单调性.

单纯求二次函数的最值、单调性，难于培养学生发散性思维和创造性思维，如果将此题的结论作为条件，可以改编成开放性问题，不仅调动了学生的学习兴趣，而且使每名学生的思维能力都得到较大的发展.

题2老师给出一个函数y=f（x），四名学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质.

甲：对x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).

乙：在（-∞，0］上是减函数.

丙：在［2，+∞)上是增函数.

丁：f（0）不是函数的最值.

如果其中恰好有三名学生说得正确，请写出这样一个函数.

适当放宽限制条件，使得问题存在多种答案，具有一定的开放性，从而调动了学生的思维积极性.

题3已知函数f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均为实数）.

（1）当b=1时，对任意实数x，使f(x)≠0，求a，c满足的条件；

（2）当a+c=0时，求证：存在一个实数x，使f(x)=0.

此题是比较典型的二次函数零点问题，如果能放宽数学背景，增加适当的实际情景，可将此题改编为一道开放性较强的问题.不仅增加了数学的趣味性，而且培养了学生的探索能力.

题4已知函数f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c为非零实数.甲、乙两人做一游戏，他们轮流确定系数a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果对任意实数x，使f(x)≠0，那么甲获胜；如果存在一个实数x，使f(x)=0，那么乙获胜.

(1)甲先选数，他是否有必胜策略？为什么？

(2)如果a，b，c是任意实数，结果如何？为什么？

二、常规型问题的探索性改造

以问题解决者的知识经验为依据，可以将数学分为常规性问题与探索性问题.平时所见到的例、习题大部分是常规性问题，而探索性问题对于培养学生的探究能力，激发学生的学习兴趣与主动性有着常规性问题不可比拟的作用，改变常规问题的条件、结论或者设问方式就可以引导常规性问题改编为探索性问题.

题5已知函数f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，当a=-130时，求f(x)的单调区间.

考虑到a的任意性，我们可以用逆向思维，运用设问方式，将此题改变为探索性问题.

题6已知函数f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，问是否存在a(a

题7已知二次函数f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m

这是一道单纯性二次函数在闭区间上的最值问题，探究性不强，我们不妨增加已知条件，改编为下述具有一定探究性的问题.

题8已知二次函数f(x)=-12x2+x，是否存在实数m，n(m

三、纯粹性问题的应用性改造

以问题性质的数学过程（抽象、变换、应用）为依据，可以将数学问题分为纯粹性问题和应用性问题.平时所见的例、习题大部分是纯粹性问题，而应用性问题对于培养学生的数学建模能力、分析问题与解决问题能力都有着不可替代的作用.对于一些纯粹性问题，如果能够结合具体的生活、生产实践，赋予一定的实际情景，则可以将其改变为应用性问题.

题9求函数y=x+9x（x>0）的最值.

此题可看做特殊二次函数y=x-3x2+6(x>0)为载体给予一定的实际背景，将此题改编为方案优化型的应用问题.

题10制作一个容积为18 m3，深为2 m的长方体无盖水池.若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池最低造价？

题11已知函数y=kx1-xm(k>0)，定义域为（0，m）.

(1)求函数的最值；

(2)当0

以y=kx1-xm为载体设计适当的实际背景的文字表述，可以将此题改编为应用性较强的实际问题.

题12渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，要保证鱼群的生长空间.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空间率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）.

(1)求y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；

(2)求鱼群年增长量的最大值；

(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围.

总之，适当改造传统例、习题确实能调动学生的学习兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，但不恰当的改造不仅没有带来益处，反而给学生带来新的负担.因此，哪些传统数学问题可以改造，如何改造，改造后如何应用于数学教学，这些问题需要我们不断地探索.

第4篇：二次函数范文

学习了二次函数的有关知识后，灵活应用这些知识，可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题，现以2007年的部分中考题为例介绍，供同学们参考。

例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

析解：(1)当生产第x档次的产品时，每件利润为[10+2(x-I)]元，每天产量为[76-4(x一1)]件。

因为每天总利润=每件利润×每天产量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x2+128x+640

(2)要求产品的质量档次，只要求x的值即可

在y=-8x2+128x+640中

因为y=1080，

所以-8x2+128x+640=1080

整理．得X216x+55=0

解之，x1=5，X2=11(不合题意，舍去)

所以当一天的总利润为1080元时，应生产第5档次的产品。

例2 (2007年佛山市)如下图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴．顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗?

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0．4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

析解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，要求y关于x的解析式，应找到三组x和y的数值．

因为点E、点A、点D的坐标分别为(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判断高为4.5m，宽2.4m的货车能否从该隧道内通过，其实质在于确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通过；否则，就不能通过。

所以货车可以通过。

(3)如果隧道内设双行道，且在隧道正中间没有O．4m的隔离带，那么要判断这辆货车是否可以顺利通过，只要确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通过；否则，就不能通过。

所以如果隧道内设双行道，且在隧道正中间设有0.4m的隔离带．则这辆货车不能顺利通过。

例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

析解：(1)当每箱的销售价为x元时，它比每箱50元的价格提高(x-50)元，那么销售量将减少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)当每箱的销售价为x元时，每箱的销售利润为(x-40)元，每天的销售量为y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x2+360x-9600

(3)要问每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，只要求出x为何值时w有最大值,为此，应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。

因为w=-3x2+360x-9600

=－3(x-60)2+1200，

又，x≤55，且x

所以当x=55时，w有最大值=-3x(55-60)2+1200=1125．

所以当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

练习

1．(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定y与x的函数关系式．

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件产品的销售价应定为30元，此时每日销售利润是400元。

2．(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

(1)求y与x的关系式；

(2)当x取何值时，y 的值最大?

第5篇：二次函数范文

一、优化方式，提高实效

1.先练后讲，积极参与.讲与练关系的实质就是知与行、理论与实践的关系.光讲不练，课堂上听懂的东西不能巩固，更不能深化；但讲得太多，重点不突出，抓不住要害，也会引起“消化不良”.先练后讲，是为了让学生听课更有效率和针对性，让学生带着问题听课，使其在思想上、行动上、内容上先进入学习状态.例如，在复习的第一环节，可以设置一下基础复习题：二次函数y=-3x2+2x-1，二次项系数是，一次项系数是，常数项是.把二次函数y=2x2-8x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式为，它的图象是，开口向，顶点坐标是，对称轴是.这样，可以把基础概念、定理等习题化，使函数图象的性质与变换规律得到体现.

2.用好教材，用活课本.在复习时，首先应该重视课本知识的复习.因为课本是数学知识的载体，中考的试题也是在课本知识的基础上引申而淼.教师应引导学生把知识重点、难点前后联系，重新组合，灵活而又不拘一格地驾驭教材，既发挥例、习题的示范性、典型性，又使解题涉及的知识和方法得到延伸，使学生从多方面感知数学知识和方法，提高学生综合分析问题、解决问题的能力.挖掘课本例、习题的功能，可以从以下方面入手：（1）改变题目形式（如变解答题为选择题或填空题）；（2）条件与结论交换或部分交换；（3）增加条件，探索新的结论；（4）改变题目条件，对结论进行推广与引申；（5）一题多解或多题一解；（6）类比编题；等等.

3.精讲例题，举一反三.在复习教学中，例题的选择，应具备代表性和典型性，能突出重点，反映学业标准最主要、最基本的内容和要求.对例题进行分析和解答时，要注意例题之间的内在联系，可用一题多变、一题多解、一图多用进行讲解.这样，串起来的题目比较多，纵向、横向联系的知识点比较多，学生掌握的知识也就比较系统、全面，实现复习知识从量到质的转变.

4.结合考点，分析试题.在备考中选择训练题时，历年中考试题是最佳选择.教师要将其归类，按考查知识点、解题方法等进行研究，结合课本的习题，进行适当的变形、拓展，然后分类给学生进行限时训练，使学生围绕考点，做到举一反三，触类旁通.

5.在解题教学中，加强数学思想方法的训练.数学的观念、思想和方法是数学科学的重要组成因素，是数学科学的“灵魂”，在促进学生的发展中具有决定性的作用，是学生获得数学知识的主观手段.学生一旦把数学思想方法内化为自己的思维和行为方式，就能获得智能发展.能否运用数学思想方法分析问题、解决问题关系到中考的成败.因此，在复习过程中，不能只在乎做了多少练习题，更重要的是对所学知识进行梳理，对推理论证及处理问题的思想方法进行总结，提高学生分析问题、解决问题的能力.

二、及时反馈，促进教学

在复习教学中，教师要善于利用课堂教学反馈，把学生的错解作为反面教材，引导学生反思纠错，加深学生对此类问题的理解，避免重蹈覆辙，提高学生解题的正确率，从而提高复习教学效果.例如，抛物线y=x2-2mx+m+6与x轴交点为（p，0），（q，0），求（p-1）2+（q-1）2的最小值.有的学生这样做：（p-1）2+（q-1）2=[（p+q）2-2pq]-2（p+q）+2=4m2-6m-10=4（m-34）2-494，所以当m=34时，可求得最小值为-494.事实上，当m=34时，Δ

第6篇：二次函数范文

〔中图分类号〕 G633.62 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2013）02—0089—01

我们知道，二次函数是一个极为重要的初等函数，在中学数学中，许多问题都可以借助于二次函数来解决.

根据二次函数的图象可知它有这样的性质：对于二次函数f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，则Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，则f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函数f（x）= ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，则Δ=b2－4ac>0.

下面应用上述性质来证明一些不等式.

一、用性质（Ⅰ）来证明不等式，就是设法构造一个二次项系数为正数的二次函数，并使得f（x）≥0，从而由Δ≤0推出所需证的不等式

例1：（柯西不等式）设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn为任意实数，求证（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），当且仅当==…=时，等号成立.

证明：作关于x的二次函数f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.

（1） 若a12+a22+…+an2=0，则a1=a2=…=an=0 ，显然不等式成立；

（2） 若a12+a22+…+an2≠0，则有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.

当且仅当==…=时，等号成立.

二、应用性质（Ⅱ）来证明不等式，就是把要证明的不等式表示成关于某一字母的二次三项式（使二次项系数大于零），再推证其Δ≤0，由此判定所要证的不等式成立

例2：设x、y、z∈R，求证：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

证明： 设f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是关于x的二次函数，且二次项系数大于零.则有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，f（x）≥0，x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

例3：求证：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

证明：设f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是关于a的二次函数，且二次项系数大于零，则Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，f（a）≥0，a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

例4：设x、y、z∈R，且＋＋＝，求证x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

证明： 设f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是关于x的二次函数，且二次项系数大于零.则Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =

-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，f（x）≥0， x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

三、应用性质（Ⅲ）来证明不等式，就是构造一元二次函数，再推证其一元二次函数与x轴有两个交点，由Δ=b2－4ac>0判定所要证的不等式成立

第7篇：二次函数范文

一、进一步深入理解二次函数的概念

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

1.已知f（x）=x2+x+2，求f（x+1）。

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

2.设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）。

这个问题可以理解为，已知对应法则f和定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6。

（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）=x2－6x+6。

二、二次函数的单调性、最值与图象

在高中阶段函数单调性是重点，高考占很大比例，学习单调性时，二次函数是基础，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，从函数观点用定义研究对称轴，并给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性，培养学生的数形结合思想。比如：

1.画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2－1

（2）=x2+2x－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

2.设f（x）=x2－2x－1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出y=g（t）的图象。

解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2。

当1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－2

当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1

当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2

（函数图象略）

首先要使学生弄清楚题意，一般的，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域，以求培养学生的分类讨论思想。

三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维

第8篇：二次函数范文

关键词：数形结合；二次函数；图像和性质

二次函数的图象位置是由系数a、b、c决定的.对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。

一、图象的识别

【例1】 （2006•福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（）

【分析】 依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又 ，

抛物线对称轴在y轴的左侧。解：B.

【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与x轴有两个交点.

【例2】 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字

母的等式或不等式：① =-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正确的序号是 .

【分析】 从图象中易知a>0，b

由图象知（-1，a-b+c）在第二象限， a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|， OA=OC=|c|， A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，ac+b+1=0，故②正确.

解：正确的序号为①②③④.

【小结】 我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系.

【例3】 （2006•武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且00，其中正确结论两个数是（ ）.

【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象， 0

在第一象限，又对称轴为直线x=-1， （-3，9a-3b+c）在第二象限，故①9a-3b+c>0正确； =-1，

b=2a， b-a=2a-a=a>0. b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ③正确；故答案为2个。

【小结】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键.

二、性质的应用

【例4】 （2006•山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+ 与y=x2-mx- ，

这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点.

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

【分析】 解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断.

解：（1）对于关于x的二次函数y= ， =-m2-2

此函数的图象与x轴没有交点.

对于关于x的二次函数y=x2-mx-=3m2+4>0，

此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-

（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx- 得1+m- =0，整理得m2-2m=0， m=0或m=2.

当m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此时B点的坐标是（1，0）.

当m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此时B点的坐标是（3，0）.

（3）当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，

当x

当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，

当x

第9篇：二次函数范文

【关键词】二次函数；概念；图像；教学

二次函数是中学数学中的教学重点、难点，在中招考试中也占据着非常重要的地位，同时，学好二次函数也为高中阶段二次三项式等内容的学习打下了坚实的基础。为此，在初中数学教学中，必须认真搞好二次函数教学，为学生以后的学习打下坚实的基础不好。

一、厘清概念，区分方程和函数的关系

要想弄懂二次函数，学好二次函数，首先必须，厘清二次函数的概念，并在厘清概念的基础上，区分方程和函数的关系。为了帮助学生理解二次函数的概念，数学教师可以巧妙引入生活当中的问题。例如：圆桌桌面的半径为R，其面积为S，请写出圆桌桌面面积的表达式。其实这个式子学生们并不陌生，他们顺手就可以写出来：S=лR2。在这个式子的基础上，数学教师就可以生发开来，引入二次函数的关系式：y=ax2+bx+c（c≠0），并概括之处，形如上面的式子就是二次函数。这样就将二次函数的概念和生活紧密相连，使原本非常神秘的二次函数不再神秘，同时也引发了学生学次函数的兴趣。在学生完整掌握概念的基础上，数学教师还要将二次函数的定义域做出明确的界定，让学生充分明白x和y之间的关系不单是方程式，它还表达了两个未知数之间的变量关系，也就是说用一个未知数可以表达另一个未知数。在上面两个式子中，R和x是自变量，S和y就是R和x的函数，S和R之间是函数关系，y和x之间也是函数关系。通过这样的引导以及函数关系式的互相比较，学生就能够清楚明白方程式与函数的本质区别。

二、弄懂图像，理解图像和函数的关系

二次函数图象也是学次函数的重点、难点之一，在学习的过程中，数学教师应该充分认识到二次函数图象的作用，通过引导学生绘制二次函数图像，加深二次函数图象和二次函数之间关系的理解，这样不但能够帮助学生理解二次函数的概念，而且可以培养学生的观察能力。数学教师要引导学生建立清晰的二次函数坐标影像，在遇到任何二次函数时，都能够在头脑中建立二次函数图像，并且能够准确描述二次函数图象的顶点坐标、开口方向以及对称轴等内容，只有这样，学生才能够真正做到掌握二次函数的本质特征。在学生建立二次函数和图像之间的关系基础上，数学教师还要引导学生对二次函数的变化进行认真的分析和研究，能够从各种发生变化的二次函数图像中发现蛛丝马迹，从而紧紧抓住二次函数的主要特征，变换各种角度对二次函数进行仔细的观察，找到解决问题的切入点，从而轻松解决问题。

三、巧用技术，提高推断能力

初中阶段是数学学习的关键时期，也是逻辑思维能力初步建立和不断发展的关键时期，而数学又是学生发展逻辑思维能力的基础学科，为此数学教师要在二次函数教学过程中努力培养锻炼学生的推断能力。但是，数学教师要充分认识到，逻辑思维能力的培养是一个漫长的过程，是在各种教学手段综合运用的基础上慢慢培养的，而在各种教学手段当中，现代技术的巧妙利用无疑是当前教学中最好的教学手段。无论是二次函数的概念，还是二次函数的图像，都是相当抽象的内容，特别是二次函数图像的建立，更是难以靠数学教师描述和板书解决，而现代技术手段的利用就恰当地解决了这一难题，不但可以让学生通过直观的图像理解概念，引发学生学次函数的兴趣，同时还可以有效增加整个课堂的知识容量，从而不断提高学生的推断能力。例如：数学教师可以通过现代技术手段展示y=x2、y=x2-a、y=x2+a等二次函数图像变化的情况，然后组织学生总结其中图像变化的特点，总结变化的规律。然后在此基础上加以引申，让学生描述出其他二次函数图像变化的特点，或者让学生自己绘制不同的二次函数图像。通过现代技术手段以及学生自己动手绘制不同二次函数图象，可以帮助学生快速发现并掌握二次函数图像变化的规律，促进学生抽象思维能力的发展，从而不断培养学生的抽象思维能力。

四、层层铺开，展示多样化手法

学生创造性思维能力的培养不是一蹴而就的，也不是一种方法就能够解决的，它必须依靠数学教师采取多样化的教学手段进行慢慢培养。因此，在教学过程中，数学教师首先必须认真分析教材，并在吃透教材的基础上恰当分析究竟采用什么样的教学手段，是使用一种教学手段，还是使用多种教学手段。切不可在没有进行认真分析的前提下多种手段一起上，这样只能导致课堂的混乱，也无法达到提高学生成绩的目的。为了加深学生对二次函数的理解，数学教师可以通过多种教学手法展示二次函数的三种形式：一般式（y=ax2+bx+c（c≠0））、顶点式（y=a（x+m）2+n）以及双根式（y=（x-x1）（x-x2）），然后针对这三种形式的解析式以及图像变化层层铺开，并且通过各种变式进行引申，从而加深学生对不同二次函数解析式的理解，并在此基础上帮助他们寻找不同的解题策略和方法，这样就能够不断提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。通过多种有效的教学手段，数学教师可以培养学生随机应变的能力，培养其发散性思维，这样可以促进学生认真领略二次函数中的数学理念，达到深层次理解的目的。

五、小结

总之，作为初中数学教学中最重要的内容，二次函数教学是不容忽视的问题，数学教师必须认真阅读教材，吃透原理，通过各种策略和方法有效唤起学生学习的积极性，从而不断培养其发现问题、分析问题、解决问题的综合素质。

参考文献：

[1]路秀梅.初中数学教学中如何建立起学生的函数观点.中学生数理化.2009.03

[2]陈玉华.关于初中数学函数教学设计的几点思考.数理化学习.2009.11.11