线性规划精选(九篇)

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第1篇：线性规划范文

关键词:线性规划 概率

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.决

策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.而此类问题在课本中已经有了很多体现,在此笔者不再赘述.本文中,笔者想叙述线性规划应用的一种情况,就是用线性规划的方法解决一类概率问题.此类概率问题一般是几何概率的问题.

请看下面两例:

例1.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.

稍加分析我们不难发现,本题中显然不是一个变量,而是两个变量,即甲、乙各自到达约会地点的时间,所以可以假设两个变量.那么可以在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由x-y≤15

所对应的图中阴影部分表示.

反思说明:

(1)三角形三边长度都是在0到l之间,故每一对结果对应三条边长,分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中三角形内的任一点;

(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来分别计算面积即可;

(3)本题的难点是把三条边长分别用x,y两个坐标分别表示,构成平面内的点(x,y),从而把边长是一段长度问题转化为平面图形中的线性规划问题,转化成面积为测度的几何概型的问题.

但是对于类似问题我们一定要注意是否是以面积为测度的概率问题,有些仍然是古典概率,如下例:

例3.如下图,从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165)、……第八组[190,195),下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法显然是错误的,问题出在哪儿呢?主要是人的个数不是连续的,而是只能取自然数,所以本题并非几何概率,而是古典概型的概率问题.正确的解法为:

第2篇：线性规划范文

一、目标函数中含有参数

这个参数往往与直线的斜率有关系，并且已知最优解，因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化。

1.目标函数中的系数为参数

例1、(2009年陕西理11)若x，y满足约束条件x+y?叟1x-y?叟-12x-y?燮2，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（ ）

A. (-1,2) B. (-4,2) C. (-4,0) D.(-2,4)

分析：明确a的几何意义，与直线的斜率有关，根据图形特征确定怎样才能保证仅在点（1，0）处取得最小值。

解：作出约束条件所形成的区域图形，目标函数化成y=-■x+■，则斜率k=-■，截距为■，要使截距最小，则-1

2.目标函数中的系数为参数

例2 (2006湖北理) 已知平面区域D由以A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.4

分析：最优解有无穷多个，往往是指目标函数与其中一条直线重合，此外要注意到参数为或的系数上的不一致。

解：要使目标函数z=x+my的最优解有无穷多个，则直线z=x+my应与直线AC或AB，BC重合，但要使目标函数Z=X+my取得最小值，必须使得函数斜率为负值，且斜率的绝对值要大，从而只能与直线AC重合，则-■=kAC=-1，所以m=1，选C。

3.目标函数中x,y的系数均为参数

例3 (2009年山东理12) 设x，y满足约束条件3x-y-6?燮0x-y+2?叟0x?叟0,y?叟0，若目标函数z=ax+by，(a>0,b>0)的值是最大值为12，则■+■的最小值为( )。

A.■ B.■ C.■ D. 4

分析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求■+■的最小值常用乘积进而用均值不等式解答。

解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线z=ax+by(a>b,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,4a+6b=12,即2a+3b=6,而■+■=(■+■)■=■+(■+■)?叟■+2=■,故选A。

二、约束条件中含有参数

约束条件中某一个约束条件含有参数，意味着约束条件是变动的，这种变动导致了目标函数最值的变动。

1.已知目标函数最值，求参数的值

例4 （2010年浙江理7）若实数，满足不等式组x+3y-3?叟0，2x-y-3?燮0，x-my+1?叟0，且z=x+y的最大值为9，则实数m=（ ）。

A.-2 B.-1

C.1 D.2

分析：已知目标函数的最值求参数的值，关键是找到最优解，代入到目标函数中，求出参数的值。

解：不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y=-x+z，则当直线y=-x+z过A点时z最大，由2x-y-3=0，x-my+1=0，得到A(■，■)，代入目标函数得■+■=9，所以m=1。

2.已知目标函数最值范围，求参数的范围

例5 (2011年高考湖南卷理科7)设m>1，在约束条件y?叟xy?燮mxx+y?燮1下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为

。

分析：本题关键是理解参数的几何意义是直线的斜率，找到关于m的一个不等式。

解：不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y=-■x+■，(m>1)，则-1

第3篇：线性规划范文

1. 满足线性约束条件[2x+y≤3，x+2y≤3，x≥0，y≥0]的目标函数[z=x+y]的最大值是（ ）

A. 1 B. [32]

C. 2 D. 3

2. 若实数[x]，[y]满足不等式组[x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，]且[x+y]的最大值为9，则实数[m=]（ ）

A. [-2] B. [-1]

C. 1 D. 2

3. 设不等式组[x+y-11≥0，3x-y+3≥0，5x-3y+9≤0，]表示的平面区域为[D]，若指数函数[y=ax]的图象上存在区域D上的点，则[a]的取值范围是（ ）

A. [（1，3]] B. [[2，3]]

C. [（1，2]] D. [[3，+∞）]

4. 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗[A]原料1千克、[B]原料2千克；生产乙产品1桶需耗[A]原料2千克，[B]原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗[A]，[B]原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A. 1800元 B. 2400元

C. 2800元 D. 3100元

5. 在平面直角坐标系[xOy]中，[M]为不等式组[2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0]所表示的平面区域上一动点，则[OM]斜率的最小值为（ ）

A. [2] B. [1]

C. [-13] D. [-12]

6. 已知[a>0]，[x，y]满足约束条件[x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），]若[z=2x+y]的最小值为[1]，则[a=]（ ）

A. [14] B. [12]

C. [1] D. [2]

7. 某旅行社租用[A]，[B]两种型号的客车安排900名客人旅行，[A]，[B]两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且[B]型车不多于[A]型车7辆. 则租金最少为（ ）

A. 31200元 B. 36000元

C. 36800元 D. 38400元

8. 设变量[x，y]满足[x+y≤1，]则[x+2y]的最大值和最小值分别为（ ）

A. 1，-1 B. 2，-2

C. 1，-2 D. 2，-1

9. 已知变量[x，y]满足[2x-y≤0，x-2y+3≥0，x≥0，]则[z=log12（x+y+5）]的最小值为（ ）

A. -8 B. -4

C. -3 D. -2

10. 已知实数[x，y]满足[y≥0y≤2x-1x+y≤m]，如果目标函数[z=x-y]的最小值的取值范围是[-2，-1]，则目标函数的最大值的取值范围是（ ）

A. [1，2] B. [3，6]

C. [5，8] D. [7，10]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[z=2x-y]，式中变量[x]，[y]满足约束条件[y≤x，x+y≥1，x≤2，]，则[z]的最大值为 .

12. 抛物线[y=x2]在[x=1]处的切线与两坐标轴围成三角形区域为[D]（包含三角形内部和边界） . 若点[P（x，y）]是区域[D]内的任意一点，则[x+2y]的取值范围是 .

13. 设[P]是不等式组[x，y≥0，x-y≥-1，x+y≤3]表示的平面区域内的任意一点，向量[m=（1，1）]，[n=（2，1）]，若[OP=λm][+μn]（[λ，μ]为实数），则[2λ+μ]的最大值为 .

14. 记不等式组[x≥0x+3y≥43x+y≤4]，所表示的平面区域为[D]，若直线[y=a（x+1）]与[D]有公共点，则[a]的取值范围是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）若变量[x，y]满足约束条件[3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，]求[z=x+2y]的最小值.

16. （10分）设不等式组[x≥1，x-2y+3≥0，y≥x]所表示的平面区域是[Ω1]，平面区域是[Ω2]与[Ω1]关于直线[3x-4y-9=0]对称，对于[Ω1]中的任意一点[A]与[Ω2]中的任意一点[B]， [|AB|]的最小值.

第4篇：线性规划范文

关键词：线性规划；题型变化；高考复习

线性规划是高中数学新课程改革后的新增内容，因其集形于一身，又能把众多知识交叉在一起，已成为高考的必考题，每年占4分到5分，选择、填空居多。纵观从2004年以来的浙江高考试题，它出题的形式越来越灵活，高考题型变化模式也很多，今天就线性规划问题类型变化及策略分4个演变阶段进行归纳总结。

一、第一阶段：考基本简单题：

例1.①画出表示的平面区域；（即图1）

          

  ②若（2，1）与（2，0）在的两侧，求a的范围。   图1

析：  

变题：在同侧呢？

③试画出不等式组所表示的平面区域                          图2

④、如图2，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(-2,3),C（2,6），试写出（包括边界）所对应的二元一次不等式组。

注：一些方法规律：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：

①直线定边界，测试点定区域。

②注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线。测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点。也可选（1，0）、（0，1）等。

③应学会逆向使用。

例2、（2009 年浙理改编）已知满足

①求的最大值 ②求的最小值 ③求的最大值

师生分析：1、概念先弄清：有线性约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念；

2.第一小题为直线的截距型，

步骤：①先画出可行域（作图必须要精确）

方法一：②画出直线，并平移直线至C时Z取到最大值；

③求出最优解C点的坐标，从而得到Z的最大值；

方法二：这类问题往往在端点出能取得最优解，所以只要代入A、B、C端点，找到最大值即可，

解这类题型，注意Z与截距符号是否一致，（例）

此时Z最大，反而直线截距的是最小值。

变题：①、如求的最大值。 ②、如求的最大值

3.第二小题为斜率型，看成（x,y）与（-1，-1）的斜率范围。

这样的题目一般是先找角的变化情况，利用图象，从而得到斜率的范围。

4.第三小题为距离型，看成（x,y）与（-1，-1）的距离的平方。

注意点：与的区别

变题：的最小值。

5.有时最优解没有或不止一个。

6.有一个题型：求整数解，

例3、 （2011年浙理）若实数x,y满足不等式组，若x,y为整数，则的最小值为（  ）  A、 14     B、16     C、17     D、19

规律方法：要求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其过原点对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是要找的最优解。

特别提醒：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能的精确，另外也要明确目标函数的几何意义是什么，是解答该类问题的关键。

以上为线性规划最基本的题型。

二、第二阶段：考以实际生活为背景的线性规划

例2、（2012年世纪金榜P112）某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料1吨，B原料3吨，生产每吨乙产品要用原料3吨，B原料2吨；销售每吨甲产品可获利3万元，每吨乙产品可获利5万元，。那么该企业可获得的最大利润是（  ）

（A）12万元                   （B）20万元

（C）25万元                    (D)27万元

析:设乙为x吨，甲为y吨

   求的最大值。

接下来就是第一阶段的解法。

2.在解实际应用题时，审题是关键

规律方法：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，有时先列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：

（1） 作图——画出约束条件所确定的平面区域；

（2） 平移——画出目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线L,并将直线L平行移动，以确定最优解的对应点M的位置；

（3） 求值——解方程组求出M点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值。

第三阶段：含有参数的线性规划

（一）线性约束条件不定型

例4、（广东惠州10届三模）已知x、y满足（k为常数）。若的最大值为8，求k。

析：此题是斜率定、截距在动问题：方法就是将直线进行“平移”。

方法一：k>0,观察为不可能；k<0,向上移，可形成可行域

① 观察发现为最优解，

代入

方法二：B点为交点，既先求出交点。再求出k即可。

总之，这类题都是先找到最优解，再进行解题。

例5、（2010年浙理数）

  若实数x、y满足不等式组，且x+y的最大值为9，则实数m=（  ）

A、 -2   B、  -1  C、  1   D、2

析：此题是过定点（-1,0），斜率动问题，方法就是直线进行将“旋转”。接下來方法如上

（二）、目标函数含参数型

例6、（09年安徽理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值为（   ）   A、  B、    C、  D、

例7、（09年陕西卷）若x、y满足且，仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（  ）   A、（-1,2）   B、（-4,2）    C、（-4,0）     D、（-2,4）

方法总结 ：不管是将直线进行平移或是进行旋转，最终是先找到最优解在哪是关键。

（三）线性条件含参数，且目标函数含参数

例8、设m﹥1，在x、y满足下，目标函数的最大值小于2，则m的取值范围是（A  ）     A、   B、    C、  D、

小小结：线性规划含参问题，从各个角度可以分为：

线性约束条件

目标函数

定

定

定

不定

不定

定

不定0

不定

各个题型都巩固一下，方法要学会归纳。

四、第四阶段：综合性强、或隐藏性比较深的线性规划

例9、（2012年台州四校联考理改编）实系数方程的一根在（0,1）内，另一根在（1,2）内。求的最值。

析：①根的分布与线性规划的综合题

   ②因为：       求的最值。

例10、（2011年浙江台州一模卷）如图，在梯形ABCD中,点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围。

方法一：

运用投影思想，在D点最大，在B、C最小。

方法二：如图建系

写出直线BC、BD、DC方程  ,从而写出线性约束条件

设P（x,y） ,写出线性目标函数Z=即可

例11、（2011年台州四校联考）在直角梯形ABCD中，  ,动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设

则的取值范围是（   ）

分析：同例10，建系，转化为线性规划问题

第5篇：线性规划范文

关键词：线性规划；教学模式；实效性

本文为2013年河北省人力资源与社会保障厅课题（编号：JRS-2013-2017）；2012年度河北省社会科学发展研究课题（编号：201204001）阶段性成果

中图分类号：G64 文献标识码：A

收录日期：2014年3月13日

线性规划是最优化问题的重要领域之一，很多运筹学的实际问题都可以用线性规划的形式来表述。线性规划的理论与方法起源于20世纪初、发展于20世纪中，完善于二战后期、成熟于冷战时期。线性规划的理论与方法构成了军事运筹学的基础，不仅在军事领域获得了巨大成功，同时也在经济决策、科学研究以及其他领域都获得了普遍应用。通过本课程的学习，学生应理解解决线性规划问题的工作步骤及其特点，掌握建立、分析和解决生产、生活及科学研究和管理工作中各种问题的线性规划数学模型的基本理论、基本方法和技术。特别要关注这些模型在解决物流及供应链管理系统、信息管理系统、交通运输系统、金融工程和经济管理问题中的广泛应用。

线性规划的传统教学过程中，大部分情况是全程板书进行详细讲解。因为线性规划这门课的独特性，教师在讲解线性规划主体知识点之初就应该把线性代数中的矩阵的逆，矩阵的初等行变换，线性方程组求解等等知识点重新帮助学生们贯穿起来，在保证这些知识点深刻理解的前提下进行单纯形法的讲解自然就水到渠成。鉴于课时的有限性，讲解的任务量会非常重。然而，最关键的问题还不是任务量重，而是如果按照我们这种传统的教学模式会使得很多学生听课时觉得云里雾里，抓不到重点。线性规划具有极强的应用性，学习线性规划的最终目的是会用来解决实际问题，在整个教学过程中就必须充分体现出这一鲜明的特点。总的说来，在线性规划的传统教学中存在很多不足之处，而这些不足之处往往使得教学效果事倍功半。

在线性规划课程的具体教学中往往会碰到如下问题：一方面是讲解知识时如何使学生把比较难的知识点理解掌握；另一方面是该科目的实效性如何提高。这是让高校任课教师非常头疼的，怎么才能在时间短、任务重的情况下，让学生能更好地理解掌握并且熟练应用本门课所讲的基本技能呢？下面就笔者的一些教学实践，浅谈一下对这门课程教学改革的一点体会。

一、了解基础知识掌握程度，把握教学难易进度

大部分高校对线性规划的课程定位仍是纯理论化的教学，尽管高校在资金投入、人员配置等方面已经做了大量的工作，但由于种种原因使得该课程的实效性和功效性没有完全发挥出来，而教学的目的不应该仅仅是让学生掌握基础知识，更应该是在掌握知识的基础上能够熟练应用该知识去解决实际问题。

实际教学过程中，很多时候多数学生是在对于线性代数等基础知识掌握薄弱的情况下学习线性规划，而线性代数对于线性规划有不言而喻的重要作用，正是因为对于线性代数的掌握不佳使得大部分学生不能真正地理解线性规划的理论依据，故而很多学生反映上课讲解的式子多而杂，记不住，显然做题效果就比较差。所以，在讲解线性规划之前应先对学生的基础知识掌握情况有详尽的了解，对于他们的薄弱环节先要加以巩固，加深他们对线性代数等内容的理解，为讲解后面线性规划的核心内容做好知识铺垫。

二、运用适当的教学模式

目前，大多数线性规划教学模式为全程板书或全程多媒体两种。

对于基础课来说，按照教案平铺直叙的讲解是传统课堂的授课方式，采用全程板书的教学模式来系统地进行公式的推演和传授巧妙的解题技巧，这样的讲解模式有其优势所在：学生对于知识的推导过程有更清晰的理解。不过也有其劣势所在：全程板书会使学生们一开始就觉得这门课很高深、很难，觉得自己学不会，更不会去想如何才能在这门课中有所作为，使得学生把目标定位在被动学习的位置上；再加上有限的黑板容量，对于线性规划来说就更显得渺小，因为线性规划解题的运算量相对较大，很多时候解一道题就至少要用3黑板才能结束，这样不仅不利于把握教学时间，更是因为要反复擦黑板使得学生想翻看前面的解题过程变也只能是奢望，这不仅不利于学生们抓住重点、把握难点，也不利于课堂总结，更无法在提高实践能力上投入较多的时间。这样的教学方式虽然使学生掌握了一些数学模型的解法技巧，但是对于提高实践能力却收效甚微。

当然，全程多媒体的讲解模式也是有不足之处。虽然多媒体的应用会使得讲解效率大大提高，一堂课下来学生对于重点难点也会一目了然，但是全程多媒体教学会因为多媒体的过度使用使得大部分学生听得云里雾里的，甚至连笔记都没办法及时补全，更别提对知识理解的深度了，故全程多媒体教学对于知识的理解掌握不利。

线性规划课程教学中应该适当采用多媒体技术，板书和多媒体结合起来使得各自优势能发挥出来，避免各自的劣势，这其实对于教师的要求是比较高的，任课教师不仅对于课件的把握要相当熟悉，还要对于板书的设计要精准，不然反而起不到相应的效果。在教学中一些难懂的抽象的内容，教师使用传统的教学工具不好表达清楚的，可以借助于计算机的图形、演示等功能，使学生能更好地理解领悟，这样我们在保证教学质量的前提下不仅提高了教学效率，更是为培养学生的实践能力提供了时间的保证。

三、运用数学软件

线性规划本身就是一门注重实践的课程，在教学过程中不应该重理论而轻实践，理论的最终目标就是实践，通过实践来理解掌握、巩固加深知识，甚至改革创新出更好的算法也是极有可能的。在越来越提倡学以致用，增强实效性的当今，教师不应该埋头于教材，而应该以教材为踏板，把眼光放在生活实际中，使学生通过学习这门课能真正地提高自己解决实际生活中问题的能力。

对于提高课程的实效性来说，可以适当添加一些数学应用软件的学习，如利用Lingo、Lindo和Matlab等工具软件求解线性规划问题。在讲解线性规划问题时，如何才能让学生深刻认识到软件在求解线性规划问题上的方便快捷，尤其是在实践课上更应该切实让学生练习掌握相关软件的应用。比如，笔者在讲解单纯形法时，就通过举例来说明理论推导的结果和运用Lingo软件的运行结果是一致的；在讲解灵敏度分析时，通过Lingo软件直接得到结果，不仅让学生深切认识到线性规划知识的重要性，同时又使学生熟练掌握相关的数学软件，为他们以后的学以致用构建好铺垫。

四、针对不同的专业举出不同的案例

目前，学生们对于可以直接应用的知识表现出的热情极高，而这对于数学中的大部分科目来说是个很大的挑战，因为数学的理论性和抽象性，很难找到特别切合学生认知的实际生活案例来呈现。然而，这个难题在线性规划中几乎不存在，因为课程本身就是来源于生活又反馈于生活的，在生活实际中诸如此类的例子很多。只要多注意总结，就能在不同专业的教学过程中，找到与其认识的实际生活息息相关的例子。通过对这类实际问题的解决，会让学生更深切的体会到线性规划知识的学以致用，提高学习的积极性和主动性。此外，各大高校的很多学生都有参加数学建模的兴趣或经历，所以在实践课上也可以通过练习历年赛题的求解来激发学生学习的兴趣。特别是，对于金融、管理等专业的学生更要选用适合本专业的教材和应用软件，适时地通过线性规划的知识来解决本专业的相关问题，这样会使得学生对金融、管理的专业知识掌握得更加深深刻。

主要参考文献：

[1]徐玖平，胡知能等.运筹学（II类）[M].北京：科学出版社，2006.

[2]徐玖平，胡知能等.运筹学（I类）[M].北京：科学出版社，2004.

[3]廖宇波.Bland规则的一点改进[J].华东交通大学学报，2005.2.

第6篇：线性规划范文

关键词：线性规划 单纯形法 矩阵 求解

现代科学技术迅猛发展的今天对数学问题的研究提出了更新更高的要求，而线性规划问题在数学领域及科学技术中应用广泛，所以对线性规划问题的求解法要求也越来越高。教材中介绍的主要是用单纯形法求解，由于线性约束条件是由线性方程组构成的，而方程组的问题可以转化为矩阵的形式。所以本文结合自己的学习，通过认真分析查阅资料，整理出了用矩阵法求解线性规划问题的步骤，以期对线性规划问题的研究有一定的参考价值。

1、线性规划问题基本知识简介

1.1线形规划问题的标准形式

我们考虑下列线性规划问题：

约束条件为

其中，称为决策变量，变量表示决策方案，满足上述约束条件的决策变量的值称为线性规划问题的可行解，我们把使目标函数达到最大的可行解叫最优解，这个最大的值我们称为最优值；叫价值系数. 在解问题时若要求线性规划问题的极小值，即

这时只需令

即可将原问题转化为

即可.

当约束条件为不等式时，有两种处理方式：当约束条件为“ ”的不等式时，可在不等式的左端加入非负松弛变量，将不等式变为等式；当约束条件为“”的不等式，可在不等式左端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量），把不等式变为等式约束.

1.2线性规划问题标准形式的矩阵形式

线性规划问题用矩阵描述时为：

其中：

―约束条件的维系数矩阵，一般

―资源向量； ―价值向量； ―决策变量向量

为便于使用矩阵法求解上述线性规划问题，我们构造如下初始矩阵

这里是一个由约束方程的增广矩阵和价值系数组成的

矩阵，其中是约束条件的个数，是决策变量的个数.而问题中涉及的 表示的是矩阵秩，即 .问题的基变量可由矩阵中列向量的最大线性无关组的选取方式来确定。

1.3线性规划问题的最优解

(1)可行解

线性规划问题：

中，满足约束条件的

称为线性规划问题的可行解，而使目标函数值达到最大的可行解称为该问题的最优解.

(2)基

设是约束方程组的维系数矩阵，其秩为,是矩阵中阶非奇子矩阵（）,则称是线性规划问题的一个基.这就是说，矩阵是由个线性独立的列向量组成,不失一般性，可设

称为基向量，与基向量相应的变量 为基变量，否则称为非基变量. 为了进一步讨论线性规划问题的解，下面研究约束方程组(1-1) 的求解问题.假设该方程组系数矩阵的秩为，因 ，故它有无穷多个解，假设前个变量的系数列向量是线性独立的，这时(1-1)式可写成

或

方程组(1-3)的一个基是

设 是对应于这个基的基变量

现若令(1-3)式的非基变量 ，这时变量的个数等于线性方程的个数.用高斯消去法求出一个解

该解的非零分量的数目不大于方程的个数 ，称为基解.由此可见，有一个基，就可以求出一个基解.

(3)基可行解

满足非负条件，的基解，称为基可行解.

(4)可行基

对应于基可行解的基称为可行基.

单纯形法的基本思想是用迭代法从初始基可行解出发，判断当前基可行解是否为最优解，如果是则求解结束，否则要进行换基，即将一个非基变量变为一个基变量（叫做入基），同时将一个基变量变为非基变量（叫做出基），换基的原则是换入使目标函数变化最大的,不断重复上述过程找到问题的最优解为止.

1.4用矩阵法求解线性规划问题的步骤

(1)确定初始基变量，求得初始基可行解.

将矩阵第一列中 ，得到新的矩阵.重复(2)-(5)直到终止.

2、应用举例

例1.某工厂在计划期内要安排生产两种产品,已知生产单位产品需要设备1台时，原材料 4千克，生产单位产品需要设备2台时，原材料 4千克，且该工厂共有设备8台时，原材料 16千克，原材料12千克.该工厂每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？

解 设分别表示在计划期内产品的产量，则该问题可用数学模型表示为

第二步，比较价值系数，确定进基变量.

因为价值系数的大小对目标函数值的改变有影响，价值系数大的可以加快目标函数值的改变，故从所有价值系数中选择绝对值最大的正数如，确定该数在矩阵中的位置，然后把该列代表的决策变量 作为一个新的基变量取代前一个基变量中的一个变量.在本题中由于2＜3，所以此题中价值系数最大的正数为，它在中占第二列，于是就把 作为一个新的基变量.

第三步，依据最小比值原理,找到出基变量，进而求得基可行解.

将 所对的那一列的前三个正数分别去除最后列的对应元素，选出所得商中最小的正值并确定出其在中所占的行数，于是把该行所代表的基变量作为出基变量.通过计算可知

那么其对应的行所代表的基变量就作为出基变量被换出而成为非基变量.于是得到矩阵 如下：

将矩阵作一系列初等变换，将矩阵中第三行第二列处的值变为1，第二列的其他位置的值变为0，这样得到矩阵

令代入约束条件就求得该可行基对应的可行解

第四步，比较确定矩阵中的最后一行是否还有正数，有则重复二三步，直到最后一行所有元全为非正数为止.题中的最后一行中有正数=2，故重复上述二三步，因，且占中的第一行，故将作为新的基变量，作为非基变量，对作同的初等变换得到

从上面的例子我们可以看出，如果所给定的线性规划问题有现成的基，那么我们可以直接写出初始单纯形矩阵.如果所给定的线性规划问题没有现成的基，则可通过引入人工变量的方法得到一个人造基，从而构造一个辅助问题.然后利用例一中使用的单纯形法来求得辅助问题的最优解或判断辅助问题无最优解.此时原问题和辅助问题的解的情况相同.如果原问题有无最优解无法判定，且辅助问题的最优解中已不含人工变量可以去掉辅助问题的单纯形表中对于原问题来说是多余的行及多余的列.如果辅助问题的最优基中含有人工变量，这时若人工变量所对应的行中非人工变量的系数全为0，则可将此行去掉而使辅助问题的最优基中少一个人工变量.若人工变量所对应的行中某一非人工变量的系数不为0，则以此出发对单纯形表进行适当的变换进行换基.目的是迫使人工变量离基，经有限个步骤以后总可以使辅助问题的最优基中不再含有人工变量，从而得到原问题的初始单纯形表.以上所有的工作都可以用相应的单纯形矩阵代替单纯形表而对单纯形矩阵施行初等行变换达到预期的目的.

3、灵敏度分析

灵敏度分析也叫优化后分析，是研究线性规划模型某些参数或限制量的变化对最优解的影响及其程度的分析过程.灵敏度分析的主要内容包括研究目标函数的系数发生变化时对最优解的影响，约束方程右端系数发生变化时对最优解的影响以及约束方程组系数阵发生变化时对最优解的影响.针对上述情况，我们会作如下思考：如果上述问题中涉及的系数有一个或几个发生变化时，那么我们所求得的最优解又回随这些问题的变化而发生变化吗？或者说它们会发生怎么样的变化以及这些系数在哪个范围内变化时不会影响原问题的最优解或者说不会使问题的最优基发生变化呢？下面我将从资源数量变化和技术系数两方面的变化来讨论它们的变化对线性规划问题最优解和最优基的影响.

3.1资源数量变化的分析

3.2技术系数的变化

讨论技术系数的变化，下面我们以具体例子来说明

例4.分析在原计划中是否应该安排一种新产品.以例1为例，设该厂除了生产产品 外，现有一种新产品 ，已知生产产品每件需消耗原材料A,B各为6千克，3千克，使用设备2台时，每件可获利5元.问改厂是否生产该产品和生产多少？

4、结束语

线性规划的求解问题在运筹学中中是最重要的知识点，且是贯穿运筹学各个章节的重要理论，在研究其他规划方面有非常重要的作用.本文通过对线性规划的矩阵求解法的描述加深了对单纯形法实质的理解，矩阵形式是表达最为简洁又便于理论推证的形式，单纯形法的矩阵描述也为研究修正单纯形法奠定了基础.灵敏度分析作为优化后分析对于线性规划的应用是非常重要的，但在考虑系数变化时一般每次只考虑一个，当多个系数同时变化时，就需要用参数线性规划进行处理，因此，可以把参数线性规划看作是灵敏度分析的扩展.

参考文献：

[1]杨民助．运筹学[M]．西安：西安交通大学出版社，2000

[2]陶谦坎主编.运筹学应用案例[M]．北京：机械工业出版社，1993

第7篇：线性规划范文

一、注意知识的交汇及变量间的转变，找出约束条件

这类线性规划问题的约束条件是隐藏在其他知识背景下，同时约束条件中的变量不要总是认为是x，y，也可以是其他变量，如a，b或m，n等.

例1（2011年重庆卷）设m，k为整数，方程mx2―kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为

A.―8B.8C.12D.13

解析该题的约束条件是隐藏在函数与方程背景下.方程mx2―kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根可以转化为二次函数f（x）=mx2―kx+2在区间（0，1）内有两个不同的零点.故满足

m>0，

f（1）>0，

Δ=k2―8m>0 k2>8m，

m>0，

m―k+2>0.

将k看成函数值，m看成自变量，画出可行域如图1阴影部分所示.因为m，k均为整数，结合可行域可知m=6，k=7时，m+k最小，最小值为13.

例2在平面区域D中任取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P（A）=d的面积D的面积.在区间[―1，1]上任取两值a，b使方程x2+ax+b=0有实根的概率为P，则

A.0

C.916

解析方程x2+ax+b=0有实根，则Δ≥0，即a2―4b≥0，依题意得到约束条件

―1

―1

a2―4b≥0.

作出可行域如图2阴影部分所示.

设阴影部分的面积为S1，则

2

S总=4，

所以概率P的取值范围12

即选B.

二、注意换元法，构造新元形成新的约束条件

通过换元法，构造出新元形成新的约束条件是这类问题的关键，其他方法不奏效时可试一试.

例3若函数y=3sinx2+4cosx2的定义域为[0，2π]，求此函数的值域.

解析令u=cosx2，y=sinx2，x2∈[0，π]，则点（u，v）在单位圆的上半圆上，原函数的值域即当点（u，v）在单位圆的上半圆上运动时，目标函数y=3v+4u所对应的直线l在v轴上的截距的取值范围，如图3.

由图3经过计算可知，当l与上半圆相切于点A时，ymax=5；当l经过点B时，ymin=―4.所以所求函数值域为[―4，5].

三、注意发散思维，找出或利用约束条件，巧用线性规划求解

教学中要多培养学生的发散思维.很多时候换位思考问题往往能化繁为简.下面两题用线性规划思想来解也是一条捷径.

例4设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式.

解析由已知a1≥6，

a11>0，

S14≤77，

化为a1≥6，

a1+10d>0，

2a1+13d≤11.

将d看成函数值，a1看成自变量，画出可行域如图4阴影部分所示.问题转化为求a1及公差d的整数解.

由图可得d=―1，a1=11或12.

所以数列{an}的通项公式an=12―n或an=13―n.

例5若直线l：mx+y+2=0与点A（―2，3），B（3，2）为端点的线段AB有交点，求实数m的取值范围.

解析直线l与线段AB有交点，等价于A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线上.由线性规划知识，A、B点满足约束条件

（―2m+3+2）（3m+2+2）≤0，

即（2m―5）（3m+4）≥0，

解得m≥52或m≤―43.

第8篇：线性规划范文

关键词：数形；教学；规划；案例；应用

一、请同学们画出下列不等式表示的平面区域

1.①x+y-2≥0②x+y-2≤0

2.若将上述不等式中的等号去掉，结论如何

设计目的：

1.理解数与形的转化，体会数形结合的思想。

2.通过图像理解每个不等式所表示的区域的区别与联系。

教学过程：首先让学生在电脑上用几何画板画直线x+y-2=0（无电脑的学校可让学生在练习本上画）。引导他们发现一条直线将平面分为两部分，每一部分的点的坐标代入直线方程所得到的不等式是一样的，因此到底哪一部分表示x+y-2≥0，只需取一点验证就行，从而总结结论：画二元一次不等式，Ax+By+C≥0（≤0）的平面区域常采用“直线定界，选点定域”的方法，不等式有等号时，直线画成实线，无等号时，直线画成虚线。

二、画出下列不等式组3≤2x+y≤96≤x-y≤9 表示的平面区域

设计目的：借助图像的直观性，将代数问题几何化，使学生清楚画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

教学过程：借助多媒体教学手段做出四条直线：2x+y=3，2x+y=9，x-y=6，x-y=9，分别找不等式所代表的平面区域取其交集，最后得到结论：该不等式组所表示的平面区域为平行四边形。

三、（2011新课标高考）

若变量满足约束条件3≤2x+y≤96≤x-y≤9 ，则z=x+2y的最小值是

设计目的：借助高考题，使学生领会求线性目标函数的最值体现的数形结合思想。

教学过程：

1.做出可行域即不等式组所表示的平面区域。

2.理解的几何意义。

3.做出目标函数所表示的平行直线系中的特殊直线，并且将之平移，在可行域中找到最优解所对应的点。

4.求出线性目标函数的最大值或最小值。

5.总结结论：线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得。当表示目标函数的直线与可行域的边界平行时，其最优解有无数个。

四、求取值范围

1.已知函数满足不等式组x≥1y≥0x-y≥0，则■的取值范围是

（ ）

A.[-■，1） B.[-1，1） C.（-1，1） D.[-■，1]

2.已知实数满足不等式组x+y-3≥0x-y+1≥0x≤2，求z=■的最值。

设计目的：近几年高考有关线性规划的考题中，有许多试题是结合其他知识点的综合题，在作出可行域后，要充分利用代数式本身的几何意义，解决其最值问题。

教学过程：

1.引导学生理解■所表示的几何意义，即动点（x，y）与定点（-1，1）连线的斜率，而■的几何意义即动点（x，y）与定点（0，0）的距离。

2.引伸：

若1题改为求■最值又如何处理呢？

运用配凑手段： ■=■=1+■实质上仍然研究斜率的变化。

若2题改为求最值又该如何解呢？

通过以上教学片断可使学生清楚利用线性规划的知识理解高中数学中非线性函数的最值问题，主要是利用其代数式的几何意义运用数形结合的思想加以解决。利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题既形象又直观，既可提高学生学习的热情，又使学生掌握了知识。

参考文献：

第9篇：线性规划范文

关键词：线性规划 土地管理 土地利用 应用

中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2015）06-0260-01

对土地进行规划和管理是城市对区域土地进行总体上规划、引导和管理的有效手段，实践证明，在土地管理过程中对土地利用总体规划是土地用途管理中，最有效的方法之一。为了能够合理利用土地资源，在对土地进行管理过程中，采用有效的规划方案就显得十分重要了。在现有的对土地利用总体规划的基础上，线性规划方法十分符合那些人地复合系统中用地类型结构的优化和决策。这种规划方法的基本思路是从区域内土地利用的综合效益中提炼出一个土地资源特点和社会发展要求单一的效益，而将其作为其他效益的约束条件进行分析和考虑。本次研究主要分析了线性规划地对土地管理和利用的适用性，并建立了相应的土地利用和管理模型结构。

一、土地管理中总体规划系统的定位分析

对土地进行总体的利用和管理是在人类活动的持续或者周期性干预之下进行的土地资源的再生产等一系列复杂的社会经济活动的过程。从系统理论角度出发，对土地进行管理和利用的本质就是在人地关系系统中由资源、经济、生态以及社会环境因素相互作用、相互影响而形成的一种具有生态性的经济生态系统，以及土地在生态系统中如何持续运动的过程。对土地进行管理和利用是一个多层次和多复杂结构的生态系统，土地在管理过程中其及结构与相应的系统功能有着十分密切的联系。这两者之间存在着明显的结构互联性，结构决定了功能能否得以实现，而功能的体现是合理利用土地资源的有效方式，能够有效的产生结构效应，从而有效的保证土地系统管理结构的提升和相应功能的增强，提高土地利用的效率。

二、土地总体规划的原则分析

1.目的性原则

在对土地进行管理过程中，土地利用的优化目标最终通过对土地管理的经济效益、社会效益以及环境效益三个方面全面体现出来。但是这个目标并不是目标间均衡或者活动目标中的最大化，是一种主导向目标辅助其他目标得以实现的基础环节。

2.持续协调的原则

在全新修订的《土地法》中，强调了土地和自然、社会以及经济发展的可持续性，并对全新的土地管理和规划提出了全新的要求，要求将工作的重点全面突出区域土地持续利用的思想方面。采用科学思想、对土地、产业以及部门之间的资源分配进行协调发展，从而达到资源合理分配的目的，继而使区域土地供求关系持续平衡，确保土地生产力的持续和稳定发展。

3.适宜的原则

土地管理的结构必须符合本地区土地资源的适宜性和限制性原则，将土地的自然属性连同土地管理的要求进行不断的匹配，最终做到人尽其才，各尽其用的目的，只有这样才能算得上对土地资源进行合理的优化配置。

4.动态渐进的原则

土地的管理和规划是一个动态和渐进的社会发展过程。在进行土地管理过程中，任何一个土地总体管理和规划方案的提出首先应该针对当期土地管理过程中存在的问题，土地在管理过程中，其总体的规划和利用方案只能是愿望满足程度的接近，并不能达到这个目标。在对土地进行管理过程中，动态渐进的原则就是要求我们在实施土地利用总体规划过程中，根据当前土地管理过程中存在的问题进行分析，并对今后管理发展过程中的趋势不断地对总体的规划进行修订，从而保证管理不断向着目标前进。

三、线性规划在土地管理中的应用分析

1.线性规划方法简介

线性规划是从区域土地利用的综合效益中提炼出来的一种全新的能够全面体现本地土地资源特色的和社会发展需求的单一效益方式，并将其他的效益作为一种约束条件其考，在对土地进行线性规划过程中其思路为：首先，在规划过程中，根据区域土地资源的特点和社会经济发展的需求，从整个区域中的经济、社会以及环境等三个效益中选取一个没内容作为规划的主导性目标；其次，确定好目标之后，制定若干个不同类型的土地利用类型，并对各种土地利用类型的效益权重进行确定，然后将这些权重构成最终的权重集；再次，构建相应的目标函数S（x）=KW1xi。其中在函数中S（x）就是目标函数，而K表示的各地效益的总体系数，其是一个常数。而W1主要表示的各类土地相对权重的数值，xi表示分类土地的面积大小。第四，根据耕地的效益对每公顷耕地的产出效益进行有效的预测，最终确定常数K的数值大小；第五，在规划过程中，选取区域内土地的面积、规划目标年耕地保有面积、规划期内建设需要用地的面积、园林施工建设需要的土地面积，退耕还林增加林地的面积，以及区域内适合农业发展，林业发展以及畜牧发展所需要的土地面积等几种，作为约束条件；最后，通过上述的函数列出等式和不等式组，运算求解。最终就能够得到土地线性规划最佳的面积。

2.线性规划在土地管理中的要求

2.1主导性目标的实现

线性规划最大的特点就是在规划过程中能够选取唯一的目标作为规划的主导目标，而这一个目标还能够全面体现出本地区土地资源的特点和社会经济发展的本质需求。当这个目标实现之后就能够保证土地资源效益利用的最大化，这种规划方式就能够有效的避免在规划过程中对多种效益的进行复杂的操作，整个规划方式也将更加简单易行。同时，在规划过程中将其他的条件作为限制条件，又不会导致对其他客观条件忽略的现象，能够实现对土地总体规划的实现。

2.2可持续利用的实现

采用线性规划的方法通过选取区域内土地的面积、规划目标年耕地抱有面积、规划期内建设需要用地的面积等具有严格意义上的数据作为约束条件，其结果就是限制了对某些土地利用类型的利用程度，避免规划的不协调和不整体，实现了土地资源在各个领域的优化配置。在规划过程中因为各个阶段规划的目标和效益系数不同，因此，实现了各类资源在时间和空间上的合理分配。这对确保资源有效利用和经济社会的可持续发展有着十分重要的作用和实践意义。

2.3修编简便易行

对于一个土地规划的总体方案，其能否更好的适应经济社会发展的变化，动态化的对归还目标进行改善，其关键点就在修编是否方便，在规划过程中，线性规划能够很好的解决修编不便的特点，当规划中各种用地类型的产出效益发生了改变之后，只需要对常数系数K以及用地的效益权重系数进行修正即可。在规划过程中即使总体的形式都发生了改变之后，也可以通过重新对规划目标进行划分和调整制定全新的规划方案。

参考文献

[1]李泉.论优化设计与工程建设投资控制[J]. 基建优化. 2011（02）

[2]付磷.大力推广优化设计[J]. 云南冶金. 2010（01）

[3]玲.优化设计在工程中应用的探讨[J]. 价值工程. 2012（13）

[4]姜晴，张冬益，戎叶，顾月仙. 淮安市公交站台形象优化设计[J]. 经济研究导刊. 2013（10）

[5]袁叉平.搅拌站水路的优化设计和废水循环系统[J].现代物业（上旬刊）. 2013（09）

[6]张丽丽.民用建筑优化设计对造价的影响[J].铁路工程造价管理.2010（03）