数学归纳法精选(九篇)

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第1篇：数学归纳法范文

(1) 证明当n取第一个值n0时,命题成立;

(2) 假设当n=k (k∈N*, k≥n0)时,命题成立,证明当n=k+1时命题也成立;

(3) 根据(1)、 (2),当n≥n0且n∈N*时,命题成立.

我们在应用过程中要注意以下几点.

一、 要注意步骤(1)的完整性

例1 证明：1+12+122+…+12n≤12+n (n∈N*).

错解

步骤(1)：当n=1时,左边=右边=32,不等式成立.

剖析

步骤(1)是不完整的,它只是说明了“=”成立的情形,没有说明“＜”成立的情形.

正解

步骤(1)：当n=1时,左边=右边=32;当n=2时,左边=74＜右边=52,不等式成立.

二、 要注意步骤(2)中假设n=k时命题成立后,下一个n的取值有可能不是k+1

例2 n为奇数时,求证：xn+yn能被x+y整除.

错解

步骤(2)：假设n=k时命题成立,进而求证n=k+1时命题成立.

剖析

错误原因在于形成了思维定势,没有看清楚题设条件.

正解

步骤(2)：假设n=k命题成立时,进而求证n=k+2时命题成立.

当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)-x2yk+yk+2=x2(xk+yk)-yk(x2-y2),又因为当n=k时命题成立,即xk+yk能被x+y整除,同时x2-y2也能被x+y整除,故当n=k+2时,xk+2+yk+2能被x+y整除.

三、 要注意步骤(2)中n=k与n=k+1时结论的差异与联系

例3 求证：1n+1+1n+2+…+13n+1＞1.

错解

(2)假设n=k时命题成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1＞1,则当n=k+1时,1k+2+1k+3+…+13k+1+13(k+1)+1＞1+13(k+1)＞1,不等式也成立.

剖析

上述证明中,对于从k到k+1的跨度,只加了一项,是错误的.因为分母是相临的自然数,故应加上三项13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1.

正解

(2)假设n=k时命题成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1＞1,则当n=k+1时,1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1=1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13(k+1)+13(k+1)+1-1k+1＞1+13k+2+13k+4-23(k+1)=1+6k+69k2+18k+8-6(k+1)32(k+1)2=1+6k+69k2+18k+8-6(k+1)9k2+18k+9＞1,不等式也成立.

四、 要注意步骤(2)中必须应用归纳假设

例4 已知数列8×112×32, 8×232×52, 8×352×72, …, 8n(2n-1)2(2n+1)2, …,其前n项和为Sn,计算得S1=89, S2=2425, S3=4849, S4=8081,试推测出Sn的公式,并用数学归纳法证明.

错解

由已知猜测Sn=(2n+1)2-1(2n+1)2 (n∈N*).

步骤(2)：因为an=8n(2n-1)2(2n+1)2=1(2n-1)2-1(2n+1)2,所以Sk+1=1-132+133-152+…+1(2k+1)2-1(2k+3)2=1-1(2k+3)2=(2k+3)2-1(2k+3)2.

剖析

虽然这样也说明了当n=k+1时,等式成立,但这种方法已经不是数学归纳法了,因为在其过程中没有应用归纳假设.

正解

步骤(2)：Sk+1=1-132+133-152+…+1(2k+1)2-1(2k+3)2=(2k+1)2-1(2k+1)2+1(2k+1)2-1(2k+3)2=(2k+3)2-1(2k+3)2.

运用数学归纳法证题时,以上三个步骤缺一不可.步骤(1)是正确的奠基步骤,称之为归纳基础;步骤(2)反映了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性.若只有步骤(1)而无步骤(2),则只是证明了命题在特殊情况下的正确性,是不完全归纳法;若只有步骤(2)而无步骤(1),那么假设当n=k (k∈N*, k≥n0)时命题成立,就是没有根据的,缺少了递推的基础,也无法进行递推.

第2篇：数学归纳法范文

关键词： 数学归纳法 证明探索性问题 证明等式与不等式

数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

最早使用数学归纳法的证明出现于Francesco maurolico的Arithmeticorum libriduo。Maurolico证明了前n个奇数的总和是n,由此揭开了数学归纳法之谜。

常见的数学归纳法主要有以下几种：

（一）第一数学归纳法

（二）第二数学归纳法

（三）倒推归纳法

（四）螺旋式归纳法

其中,在中学最常见和简单的数学归纳法证明方法是第一种,证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的,应用广泛。在最近几年的高考试卷中尤其明显。下面我们就通过几道例题来具体看一下。

一、用数学归纳法证明与正整数有关的探索性问题

1.探索函数解析式

例1：已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lga（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β，使f（n）=（αn+βn-1）lga对任何n∈N都成立，证明你的结论.

解：f（n）=f（n-1）+lga，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0.

又f（1）=-lga，

α+β=02β+4α=1，α=β=-.

f（n）=（n-n-1）lga.

用归纳法证明：

（1）当n=2时，显然成立.

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k-k-1）lga，

则n=k+1时，

f（k+1）=f（k）+lga=f（k）+klga

=（k-k-1+k）lga

=［（k+1）-（k+1）-1］lga

当n=k+1时，等式成立.

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=-，使f（n）=（αn+βn-1）lga对任意n都成立.

评析：该题是探索性问题．它通过观察归纳猜想证明这一完整的步骤去探索和发现问题，并证明所得出的结论是正确性的,这是非常重要的一种思维能力．

2.探索数列的通项公式

例2：设正整数数列{a}满足：a=4，且对于任何n∈N，有

2+＜＜2+.

（Ⅰ）求a，a；

（Ⅱ）求数列{a}的通项a.

解：（Ⅰ）由已知不等式得：

2+＜n（n+1）（+）＜2+①

当n=1时，由①得：

2+＜2（+）＜2+,

即2+＜+＜2+,

解得＜a＜．

a为正整数，a=1.

当n=2时，由①得：

2+＜6（+）＜2+，

解得8＜a＜10．

a为正整数，a=9．

a=1，a=9．

（Ⅱ）由a=1，a=4，a=9，猜想：a=n．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1，2时，由（1）知a=n均成立；

（2）假设n=k（k≥2）成立,则a=k,则n=k+1时,

由①得：

2+＜k（k+1）（+）＜2+?圯＜a＜?圯（k+1）-＜a＜（k+1）+.

k≥2时，（k-k+1）-（k+1）=k（k-2）≥0，

∈（0，1］.

k-1≥1,∈（0，1］.

又a∈N，（k+1）≤a≤（k+1）．

故a=（k+1），即当n=k+1时，a=n成立．

综上，由（1），（2）知，对任意n∈N，a=n．

评析：本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对学生的思维能力有较高要求；运用数学归纳法的关键是“由当n=k时成立，如何过渡与转换为当n=k+1时也成立.”运用数学归纳法证明，形成“观察―归纳―猜想―证明”的思维模式是解决本题的关键。

二、用数学归纳法证明不等式

例3：已知函数f（x）=x-sinx,数列{a}满足：0＜a＜1，a=f（a），n=1,2,3,….

证明：0＜a＜a＜1.

证明：用数学归纳法证明：

0＜a＜1,n=1,2,3,….

①当n=1时，0＜a＜1，当n=1时，0＜a＜1；

②假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即0＜a＜1.

当0＜x＜1时，f′（x）=1-cosx＞0，f（x）在（0,1）内单调递增.

f（x）在［0,1］上连续，f（0）＜f（a）＜f（1），即0＜a＜1-sin1＜1.

当n=k+1时，结论成立.

由①、②可得，0＜a＜1对一切正整数都成立.

又0＜a＜1，a=a-sina＜a，0＜a＜a＜1.

证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，数学归纳法是证明和正整数相关的不等式的最有效方法，其证明的关键是如何实现从n=k时原不等式成立到n=k+1时原不等式成立的过渡。

三、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在证等式成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以降低计算的复杂度，从而发现所要证明的等式，使问题的证明有目的性．

例4：是否存在常数a,b,c，使得等式1×2+2×3+…+n×（n+1）=（an+bn+c）对一切自然数n成立？并证明你的结论．

解：假设存在a,b,c，使得题设的等式成立，则当n=1,2,3时也成立，代入得：

4=（a+b+c）22=（4a+2b+c）70=9a+3b+c

解得：a=3,b=11,c=10，于是对n=1,2,3，下面等式成立：

1×2+2×3+…+n（n+1）=（3n+11n+10）

令S=1×2+2×3+…+n（n+1）

假设n=k时上式成立，即S=（3k+11k+10）

那么S=S+（k+1）（k+2）

=（3k+11k+10）+（k+1）（k+2）

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）

=（3k+5k+12k+10）

=［3（k+1）+11（k+1）+10］

这就是说，等式当n=k+1时也成立．

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，原等式对一切自然数n都成立.

四、证明整数的整除问题

用数学归纳法证明整除性问题,如:求证f（n）能被a整除,设f（n）是随自然数变化的已知整式（或整数）,a是给定的整式（或整数）.由假设n=k时命题成立,来推证n=k+1时命题也成立,是最关键的一步,也是最难证明的一步.

例5：求证：5个连续自然数的积能被120整除.

证明：

（1）当n=1时1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命题成立.

（2）假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时，

（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，即证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数.

四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4×2×3=24整除.

即当n=k+1时原命题成立.

综合（1）、（2）原命题对任何自然数成立.

总之，在证明题中，数学归纳法有两个关键点需要牢记：

（1）证明当n为某一个值时，结论成立;

（2）假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也成立.

参考文献：

［1］普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京:人民教育出版社,选修2.

［2］华罗庚.数学归纳法［M］.北京：科学出版社,2002：12-15.

［3］赵小云,蒋亦东.数学归纳法及其应用［J］.数学通讯，2000，10.

［4］任志鸿.考试高手，3年高考2年模拟.南方出版社.

［5］吴文尧.用数学归纳法证明不等式的若干技巧和方法［J］.中学数学月刊，2004,4.

第3篇：数学归纳法范文

（1）数学归纳法常用于三角恒等式，组合恒等式的证明之中。

例1、用数学归纳法证明：

■

分析： 理解等式的特点，在等式左边当n取一个值时，对应两项■即在等式右边当n取一值时对应一项，无论n取何值应保证等式左边有2n项，而等式右边有n项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明。

证明：①当n=1时，■等式成立

②假设n=k时等式成立，即

■

则当n=k+1时，

■

■

由①②知等式对任意■都成立。

例2、用数学归纳法证明n∈N+时,

(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2n-1・x－1)=■

证明：①当n=1时,左式=2cosx－1,

右式=■=2cosx－1,

即左式=右式,等式成立.

②假设当n=k时等式成立,即

(2cosx－1)( 2cos2x－1)…2cos2k -1・x－1)= ■

当n=k＋1时, 左式=(2cosx－1)( 2cos2x－1)…2cos2k-1・x－1)・(2cos2k・x－1)=■・(2cos2k・x－1)=■ =■=■ n=k＋1时等式成立.

由①、②可知,对n∈N+时等式成立.

（2）数学归纳法常用于整除性问题。在此类问题证明过程中，变形、组合、分解是常用的技巧。

例3、 求证：二项式x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除

证明：①当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y)

能被x+y整除。

②假设n=k时，x2k-y2k能被x+y整除。

那么 n=k+1时

即 x2k+2-y2k+2=x2・x2k-x2y2k+x2・y2k- y2・y2k

=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)

x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除

x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除

即n=k+1时，x2k+2-y2k+2能被x+y整除

综上①②可知，对任意的自然数n命题均成立。

说明：由假设以x2k+2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n=k的归纳假设，剩余部分仍然能被x+y整除。

（3）数学归纳法常用于不等式的证明之中，证明的难点在归纳推理部分，在完成该步时常用到中学数学的各种方法技巧，如裂项相消，不等式的放缩，重要不等式的应用等

例4、 试证1+■+■+……+■>■ （n∈N+）

证明：①当n=1时，左边=1，右边=■，不等式成立

②假设当n=k时不等式成立，即有 1+■+■+……+■> ■

当n=k+1时， 1+■+■+……+■+■+■+……+■>■+■+■+……+■>■+■+……+■>■+■+……+■>■+■+……+■=■,当n=k+1时不等式成立。

综上知不等式对于一切n∈N+都成立。

（4）数学归纳法常用于证明数列具有某种性质之中。在研究数列时，先给出一个递归关系，进而用数学归纳法证明。

例5、 已知数列{an}满足a1=a，an＋1=■，(1)求a2，a3，a4；(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明。

解：(1)由an＋1=■，可得，■，■，■(2)推测■

证明： ①当n=1时，左边＝a1=a，右边＝■，结论成立。

②设n=k时，有■

则当n=k＋1时，■

故当n=k＋1时，结论成立。

由①、②可知，对n∈N，都有.■

（5）数学归纳法常用于证明几何图形具有某种性质之中。用数学归纳法证明几何问题的关键是：由“n=k”到“n=k+1”时命题成立，应理解为由k个几何元素又增加了一个几何元素到k+1个，要找出增加的元素与原来k个几何元素的关系及其引起的几何元素的变化，找到f(k+1)与f(k)的关系。

例6、 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这n个圆把平面分成个■部分。

分析 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时，分点增加了多少，区域增加了几块。本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决。

证明： 用①当n=1时，一个圆把平面分成两部分，■，命题成立。

②假设当n=k时命题成立（n∈N*），k个圆把平面分成个■部分。

当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成个■部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成■个部分，即命题也成立。

由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立。

第4篇：数学归纳法范文

【关键词】数学归纳法 数学竞赛 数学教育

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）32-0159-02

一、数学归纳法在数学竞赛中的价值

一直以来数学归纳法都是我国中学数学教育非常重要的教学内容，而且当学生有效的掌握数学归纳法实际上也就踏入了数学研究的门槛。数学归纳法主要有两个核心的内容，一个是起点验证，而另一个是归纳推理，不过在这两点中，归纳推理的难度相较于起点验证来说要更难一些，这主要是因为归纳推理考验的是学生的思维能力和逻辑能力，在一些数学竞赛中经常会设置一些需要用到数学归纳法的题型来综合性的考验学生的实际能力。而反之学生也可以参照数学竞赛的这种设置来不断的提升自身对数学归纳法应用的熟练度，从而在数学竞赛中脱颖而出。

二、数学归纳法在数学竞赛实题中的应用

数学归纳法在数学竞赛中常被应用，所以以数学竞赛实题来作为本文研究数学归纳法在数学竞赛中的应用是最好不过的例子。

在某年的数学竞赛中有一题是：设正整数n≥6，需要证明单位正方形可以剖分为n个小正方形。其实当看到这道题的时候学生首先就应该对这道题可能的考查点有一个明确的判断，此题除了给出了n的范围之外给出的唯一的条件就是正方形。众所周知正方形的四条边是具有相等的独特性的，所以该题必然是一道考量一般规律的题，也就是说其会用到数学归纳法，所以在这个时候学生就应该从数学归纳法的角度上去看这道数学竞赛题。首先以数学归纳法的第一个条件，起点验证来确定这道题目的正确性，当n分别等于6、7、8的时候，我们发现一个单位正方形是可以利用田字格的方式将其划分为四个小正方形，因此使用跳跃式数学归纳法该命题是成立的。

那么如果该题的n=k是成立的话，那么对于n=k+3也应该成立。在n=k的命题研究中我们将一个小正方形分成了四个小正方形，从而获得了n=k+3个小正方形。

因此从数学归纳法的角度上来说，该题的题目是得到了验证的。其实从本题的本质上来看，这仅仅是一道简单的跳跃式数学归纳法，但是纵观近几年的中学数学竞赛，这种题型屡见不鲜，这也就意味着我国的数学教育正在逐步的提高数学归纳法在其中的占比，希望能够培养出更多的具有专业数学素养，拥有良好思维能力和逻辑能力的高素质人才。本文选择的例子是数学竞赛中比较常用的但是在难度上相对较低的数学归纳法应用题型，还有许多应用到数学归纳法的题型要比上述例题更加的复杂。譬如说设整数n≥4，证明可以将任意一个三角形剖分为n个等腰三角形。虽然乍看上去这道题的题型与上述中的例题非常相似，但是实际上由于等腰三角形具有独特的图形特质，因此尽管同属于数学归纳法应用的题型，但是在验证上，这道题的验证过程要比上一道题的验证过程复杂得多。因为要想验证这道题首先必须要验证任意一个直角三角形是可以剖分为两个等腰三角形的，然后还要验证任意一个三角形是可以剖分为k个直角三角形的，其中k是≥2的，最后还要验证一个等腰三角形可剖分为四个等腰三角形。只有先将这三个引理验证清楚才能够借此回归到原题去证明当n≥4的时候，可以将任意一个三角形剖分为n个等腰三角形。这实际上就是数学归纳法的综合性应用，它需要学生能够考量到的多方面的因素，从而通过数学归纳法去验证自己的想法。

三、结束语

一直以来数学归纳法都是我国数学教育的重中之重，不过在应试教育的压迫下，数学归纳法虽然得到重视，但是学生的自我思考能力也逐渐的被磨灭，所以随着我国新课改进程的逐渐推进，素质教育更多的是强调通过数学归纳法来树立学生的思维逻辑，而不是让他们更多去应付考试，本文觉得这才是数学归纳法存在的意义与价值。

参考文献：

第5篇：数学归纳法范文

随着近几年考试命题对于考查学生的探索和归纳问题的能力的侧重，很多的考试题目开始广泛出现了利用数学归纳法进行不等式证明的应用.所谓数学归纳法，是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，在高考试题和数学联赛试题中应用非常频繁和广泛.数学归纳法的历史非常悠久，早在1575年就出现了数学家巧妙地利用递推关系证明出了前n个奇数的总和为n2，以此成功地总结出了数学归纳法的证明.数学归纳法总结起来有四种，分别是第一类数学归纳法、第二类数学归纳法、倒退归纳法（反向归纳法）以及螺旋式归纳法.最常见并且最简单的数学归纳法是用来证明当n隶属于全部的正整数时一个数学表达式是否成立，主要由两个步骤组成：进行递推的基础条件是证明当n为1时所要证明的数学表达式成立，进行递推的依据是证明假如n为正整数m时数学表达式成立，那么当n为m+1时数学表达式同样成立.此方法包含的原理是由第一步的递推基础证明起始数值在数学表达式中能够成立，然后证明从一个数值到另一个数值的证明过程是有效的，那么任意一个数值的证明都可以包括在这种不断重复的证明过程中.将这种方法类比于多米诺效应理解起来更容易：对于一排直立着的很长的多米诺骨牌，如果可以确定第一张牌将会倒下，只要是某一个牌倒下了，与它相邻的下一个牌也会倒下，那么就可以以此确定出相应的递推关系来推断所有的多米诺骨牌都会倒下.

二、数学归纳法证明不等式之应用

1.数学归纳法证明不等式的方法

利用数学归纳法来证明不等式的方法可以分为两个步骤：第一步是验证当n取第一个初始数值n0时所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k，假设当n的值等于k时不等式能够成立，以此来证明当n为k+1时所要证明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能够顺利证明完成，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于n0的正整数n不等式成立.运用数学归纳法来证明不等式的方法中的这两个步骤体现了数学中的递推思想，对于证明格式要求比较严格，第一个步骤是递推思想应用的基础，第二个步骤是递推思想应用的依据.而且第二个步骤的变形是不等式证明的关键点，需要运用假设方法来作为递推证明的基础.利用数学归纳法证明不等式涉及的主要知识点有整除、恒等式、不等式和与几何教学相关的知识内容.数学归纳法来证明不等式的难点重点在于由n等于k时不等式成立来推出n等于k+1时不等式同样成立这一步骤.为了顺利完成这一步的推断，不仅仅要合理使用假设和归纳的方法，还要灵活地使用所给问题的其他相关条件和知识，证明时先比较n=k和n=k+1这两个等式间的共同点和差异，然后决定后者做哪一种变形，再利用分析、放缩、比较、综合的方法和不等式的传递性质来完成证明.

2.数学归纳法证明不等式例析

数学归纳法在证明不等式方面的应用非常广泛，利用它来证明不等式使用起来简单容易.在利用数学归纳法证明不等式时，应该比较当n=k和n=k+1时所得出的两个不等式之间的形式差异，然后决定后者做什么样的变形能符合条件.一般来说有如下几个解题方法和策略，首先是要学会活用起始点的位置，这样可以适当增加起点或者将起点位置前移，这样可以补充不等式的一些特殊情形，容易验证；其次可以根据不等式的递推目标进行适当的分析和放缩，或者引入一些合理的不等式用来过渡，将所要证明内容进行平稳过渡，为目标不等式的证明架桥铺路.

例如，起点增加和前移的应用：证明对于一切正整数n，都有2n+2>n2成立.

①当n为1时，不等式两边显然成立；

②假设对于正整数k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要证明不等式对于n=k+1也是成立的，即证明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

第6篇：数学归纳法范文

关键词：中学数学;数学归纳法;辅助函数;等式证明

在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。

等式证明是中学数学的主要内容之一，也是中学数学的教学难点。随着新课程改革的逐步推进，高考对等式证明能力的考查方面也提出了更新更高的要求。用数学归纳证明与正整数有关的数学等式时，大多数学生在从假设时命题成立出发，证明当时命题也成立的推理证明过程中无从下手，感到很茫然，这其中最主要的原因是他们找不到证明目标。笔者结合多年的数学教学实践，针对中学生学习和应用数学归纳法的难点，分析其突破方法，构造辅助函数，利用函数思想可使这一问题迎刃而解。下面将结合具体例子谈谈如何借助函数来构造证明目标，从而降低数学归纳法中这一步的证明难度。

例1：已知n∈N+，用数学归纳法证明等式

■+■+■+…+■■=.

分析：首先构造辅助函数

f（n）=■+■+■+…+■

假设n=k时等式成立，即f（k）=■，然后确定证明目标f（k+1）=■;其次，寻找f（k+1）与f（k）的关系。这样一来，证明思路非常清晰明了，同学们也感觉不到茫然了。

证明：令f（n）=■+■+■+…+■，则

1）当n=1时，左边■=■，右边■=■，左边=右边，等式成立;

2）假设n=k（k≥1）时等式成立，即f（k）=■。当n=k+1时 f（k+1）=f（k）+■

=■+■+…+■+■

=■

综上，等式对于一切正整数n都成立。

例2：已知n∈N+，用数学归纳法证明等式

1-■+■-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.

分析：首先构造辅助函数

f（n）=1-■+■-■+■-■+…+■-■

假设n=k（k≥1）时等式成立，即f（k）=■+■+…+■，然后确定证明目标f（k+1）=■+■+…+■;其次，寻找f（k+1）与f（k）的关系。

证明：令f（n）=1-■+■-■+■-■+…+■-■，则

1）当n=1时，左边■-■=■，右边=■+■+…+■=■=■，左边=右边，即等式成立;

2）假设n=k（k≥1）时，等式成立，即f（k）=■+■+…+■，则当n=k+1时，有

f（k+1）=f（k）+■-■

=■+■+…+■+■-■

=■+■+…+■

=■+■+…+■

综上，等式对于一切正整数n都成立。

第7篇：数学归纳法范文

一、归纳法的定义

归纳法是从个别性知识引出一般性知识的推理，即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。数学上的归纳法即由某些特殊的生活数学事实，概括出数学概念、数学规律、数学结论的推理过程。运用归纳法进行小学数学教学，不仅可以教给学生知识，更是教给学生数学的思维方式、数学的思想方法和能力，可以提高数学课堂教学的有效性和实效性。

二、运用归纳法设计教学，提高学生的推理能力

数学课程标准指出：“学生的数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”观察、实验、猜测、验证都是学生获得知识的有效手段，而推理是学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的重要手段。推理本身又是一种相当严密的思维过程，它必须依赖正确的知识或理论作为基础。因此，在教学中只有孤立的推理教学是不现实的，它必须与其它教学手段有机地结合起来。而观察、实验、猜测、验证为学生进行正确推理提供了知识的准备。因此，要更好地运用归纳法进行教学就必须将观察、实验、猜测、验证与推理有机地结合起来。下面笔者以人教版三年级上册的部分教学内容为例来具体说明：

1.“万以内的加法和减法。”这部分内容是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能，也是进一步学习多位数笔算乘除法的基础。例如，两位数的乘法中要把两个部分的积加起来，实际是计算三、四位数的加法。两位数除法中每次试商后通常要做三位数的减法。在教学中学生最容易忘记的是相同的数位对齐和加进位的“1”或减退位的“1”。为此，笔者归纳为“一对两注”。“一对”是指相同的数位要对齐，“两注”是指注意加进位的“1”或减退位的“1”。提醒学生在做题时都要提到“一对两注”，以提高计算的正确率。

2.“有余数除法。”这部分的教学内容既是表内除法知识的延伸和扩展，又是今后学习一位数除多位数除法的重要基础。因此这部分的知识具有承上启下的作用。教学例题前学生对有余数除法是完全陌生的，但是在现实生活中除法不可能是完全可以除尽的。如果在教学中直接教给学生算理，这样的教学方式对学生尤其是后进生来说比较枯燥，学生理解起来也比较困难，计算结果往往失误较多，教学效果不理想。因此，笔者针对学生的学习特点将容易混淆的知识点归纳为“一对两小”。“一对”指商要对着被除数的个位，“两小”分别指商和除数的积要小于被除数；余数要小于除数。然后，要求学生自己用“一对两小”去检验所计算的有余数的除法，大大地减少了学生在计算中的失误。

3.“分数的初步认识。”这部分内容要求学生掌握分母相同、分子不同和分子相同、分母不同分数大小的比较。教学中首先出现分母相同、分子不同的分数大小的比较。通过简单引导，学生就可以得到分母相同，分子大的分数大。因为按“分子的大小，谁大谁就大”，这是正思维，学生能轻易地掌握；到分子相同、分母不同的数的大小的比较中，大部分学生根据已有的知识经验，通过知识迁移、思考、猜测等步骤就做出“分母大的分数小”的结论。但仍有一小部分学生总是掌握不好。为此，笔者将分数大小的比较概括为“上大下小”。即“上大”指分母相同比分子（因为分子在分数线的上面），谁的分子大谁就大；“下小”指分子相同比分母（因为分母在分数线的下面）谁的分母大谁就小。学生一但记住“上大下小”的含义，在本册分数大小的比较中再也没有出过错误。

三、教师要对学生进行正确的引导

第8篇：数学归纳法范文

关键词：数学学科；小结归纳；方法；探究

一、数学课堂小结教学的重要地位及作用分析

数学学习是一个从感知数学到积累数学知识、从积累数学知识到理解数学知识的过程。《数学课程标准》（实验稿）在高中数学教学“知识和能力部分”中明确规定：学生应在“了解一定的归纳、分析的方法的基础上，具备得出数学结论的能力”；在“过程与方法部分”也提出学生应掌握对数学知识进行初步的归纳、比较和概括的方法。换而言之，就是要求学生具备根据数学教材内容进行小结的能力。总之，“小结”是数学课堂教学不可缺少的一个重要环节，是学生提高学习效率，学好数学的一条捷径，也是为以后学习数学的奠基的良方。它是整节教学内容的精华所在，是对教学总体思路最集中、明确、深刻的综述，是对教学内容的高度概括总结！所以，作为一名数学老师，努力指导学生进行课堂小结不仅是为了顺利完成课标所规定的教学任务，而且也为了适应数学新课程教学改革的发展趋势。指导学生进行课堂小结是在高中数学教学内容多、任务重的情况下培养学生能力，提高教学效率的有效途径。

二、数学课堂小结教学的方法探究

1、情景导入，明确目标

巧妙新课导入，既能激起学生的兴趣，调动学生学习的积极主动性又可以活跃学生思维；成功的新课导入能有效地把学生引到将要探究学习的新课上来。设计时要根据学生心理特点和需要，紧扣教学的中心，找准教学的切入点，力求做到简明、实用、巧妙、生动，力求使学生形成认知冲突，才能激发学生学习兴趣，引导其自然进入学习状态。

情景导入新课后要立即明确目标，通过目标定向唤起学生强烈的学习欲望，明白本节课学什么，怎么学，达到怎样的学习效果。这样让学生在进行课后总结的时候才能够达到心中有数，知道本节课内容的重难点在何处，才能够重点回顾。

2、提出问题，猜想设计

本环节既提出问题，进行猜想，启发引导，设计方案。本环节是科学探究必不可少的重要步骤，提出问题，才能激发学生的好奇心和求知欲，促使其在课后进行思考，对前面所学知识进行总结和回顾，形成知识小结的内在动力。而猜想等的设计，则是引导学生进行理论验证的重要手段，也是帮助学生全面总结学习内容的重要手段。

3、分组实验，合作探究

在学生设计检验与自己假设有关的观察、实验方案的基础上，一定要学生自己动手，观察实验，亲历探究。实验探究需要小组合作完成，教师要合理分组，在小组长的组织下，小组内学生合理分工合作，然后根据学案和教师提示的过程、方法和步骤，注意观察并记录实验现象和有关数据，在此基础上，完成学案中的有关问题或表格，并根据现象分析实验的结果，总结归纳得出实验结论。

4、交流展示，归纳规律

教师要引导学生从有关的探究中收集并整理获取的信息；引导学生学会从观察实验中获得的信息去思考、分析、归纳、概括，从而得出结论。以小组为单位交流学习讨论、合作实验、合作探究，每个同学在学习小组内提出实验中遇到的问题和得出的结论，组长具体组织，通过讨论交流，实现“兵教兵”，最大限度地解决本组同学在自学、实验中遇到的问题或困惑；各组汇报本组自学情况，提出本组不能解决的问题。教师引导全班各组之间的交流。培养学生敢想、敢说创新精神和科学语言表达能力

5、应用训练，总结反思

在自主、合作、探究，归纳知识规律的基础上，进行系列训练拓展应用，巩固学习效果，培养学生联系生活生产实际能力，提高综合能力。根据数学课堂教学目标联系生活实际有针对性的设计当堂系列训练题和当堂达标训练题。引导学生用自己获得的结论解释生产或生活中的实际问题探究。这一环节教师的反馈矫正要贯穿始终，尤其关注学困生，加强对学困生的辅导。总结反思是全班学生对本节课学习情况的一个总结，可以让学生自我小结，也可师生一齐总结。

6、我们又该怎样选择课堂小结的方式和怎样培训学生进行课堂小结呢？

课堂小结的方式主要有以下四种：归纳式、提问式、图表式、悬疑引申式。

第一，为强化学生了解和掌握基础知识，培养学生的归纳能力，可采用归纳式课堂小结。简要故事型小结就是教师要根据板书把本课所讲的主要内容设计成一个包含时间、地点、人物和故事情节等要素在内简要历史故事。教师举例后，要求学生予以模仿练习，最终学生要自己学会讲述同一类的“故事”。通过这种故事型小结，不仅可以引导学生回想新学的知识，以达到当堂巩固的目的，而且也使得学生更加准确、清晰、系统地掌握所学到的新知识。

第二，为培养学生学习数学的兴趣和探究数学的热情，可采用悬疑式，换句话就是设问式的课堂小结。所谓探究型小结就是课堂小结教学一定要照顾到各个知识之间的前后连接。前后连接就是要把以前学到的老知识与刚新学到的知识相连接。所以，在小结最后要为下一新课埋下伏笔，为以后讲授的新知识内容提前创造教学氛围和意境。

无论是使用哪种方式的课堂小结，教师都要注意课堂反映，以便及时了解学生学习掌握的程度。在教学过程中学生才是认识的主体，所以说教学的最终目标在“学”，而不在“教”。

三、培养学生进行课堂小结的好处

指导学生进行课堂小结，可以达到使学生既掌握基础知识，又提高学科能力的目的。首先，学生在进行课堂小结时，要事先仔细地阅读教材。这样就可以弄明白每一个单元甚至每一课的教学内容包括哪些大方面――每个大方面又包括哪些小方面――每个小方面又含有哪些知识点――这些知识点之间又有什么样的联系。这样就可以帮助学生真正理解各个知识点间的关系，把知识点在脑海中串联起来，进而就加深了学生对知识点的理解和对全部教学内容的掌握。其次，这一过程也促进了学生思维能力的发展。因为学生要进行课堂小结，就必须对教材内容进行分析归纳和总结，使教材内容显得要点化、条理化，并且将有关联的地方进行组合和总结排序。

四、小结

同课堂教学中的其他环节一样，课堂小结也是课堂教学中提高教学效率的重要组成部分之一，是学生进行有效学习的重要环节！在教学过程中，课堂小结不仅能够再一次强化学生当堂所学知识、帮助学生强化学习能力、理清知识脉络、总结学习方法，而且通过给学生留下思考和探究的空间可以激发学生课后阅读和学习的兴趣，进而达到课虽尽而学意无尽边之效果。课堂的小结，是连接新知识和旧知识的纽带，是贯通前后知识点的桥梁，是巩固课堂教学内容的绝佳机会，是学生将课内知识运用到课外的一个关键转折点。如果学生的小结能力得到提高，学生就可以学到真正的知识和能力，就能够在今后的学习中受益匪浅！

参考文献：

[1] 黄兆明，游世成.课堂结尾艺术[M].北京：中国林业出版社，2003，9.

[2] 张丽晨.高中数学课堂设计[J].北京：中国林业出版社，2004.3.

第9篇：数学归纳法范文

一、数学归纳法的教学价值

数学归纳法是一种不同于其他数学方法的、偏向于推理和证明的方法．归纳法是连接无限与有限的一座桥梁，是数学发展过程中里程碑式进展．在面对一些看似复杂的题目时，使用数学归纳法或许可以简化解题步骤，这更易于学生的理解记忆．与此同时，归纳法的根本价值在于它能够培养学生的思维方式．在学习的过程中，它要求学生通过细致观察、认真地思考以及严谨地推理去发现事物的规律或原理．在这个过程当中不仅学生的观察能力会得到充分的锻炼，分析能力和推理也能有所改善．这些潜移默化的改变不仅能够逐渐提高学生的抽象思维能力，还能使学生领悟归纳法中所蕴含的思想，并能灵活的运用到其他学科中．

二、数学归纳法在教学中的实际应用

数学归纳法注重锻炼逻辑和推理，因此它的思维步骤非常明确．它的第一步能够奠定全局的基础，是进行推理、证明的重要部分，需要保证当前命题的准确性与真实性．通过对当前命题的观察、分类后，才能进行下一步．第二步着重点在于推理．需要保证命题的延续性，即这一命题能够随着参数的改变能够进行无限的延伸．这两个步骤相互制约、缺一不可．而关于如何在数学教学中应用数学归纳法，本文通过教学实例进行详细说明．

三、数学归纳法的教学困难及应对措施

归纳法由于其本身的抽象性质，在教学过程中会出现各种意向不到的问题．其中，可能会因为学生无法真正理解归纳思想，进而导致不能灵活运用归纳法．这一问题成为了教学过程中的最大障碍．在教学的过程中，由于归纳法连接了有限和无限两个概念，导致学生出现了理解上的偏差与困难．在对有限的概念进行证明时，较为简单．直接将数字带入题中，即可得出清晰明的结果．但在假设进行无限证明时，学生也许很难理解为何要进行这一步，也无法理解这样的证明与其他过程的联系在哪里．而最后一步的证明对学生的抽象思维理解能力要求更高．当学生无法真正领会归纳的思想时，则难以随着题目的改变而做出灵活的应变，更加难以看到题目的实质，找出题目与归纳法的关系．在遇到这种问题时，老师如果在讲解过程中无法表述的更具体，可以建立具体的模型或者动画演示．比如，“多骨诺牌效应”这一数学模型．通过演示，向学生展示归纳中的递推关系，让同学们了解归纳法的实质，从而真正领悟归纳思想，能够将数学归纳法灵活的运用在各类题目中．

四、结语