函数的表示法精选(九篇)
前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的函数的表示法主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。
第1篇：函数的表示法范文
正文:
函数连续性的概念:
函数在一点的连续性,值得注意的是函数的连续性是对一点进行定义的,引《数学分析》第四版上册中的定义1:设函数f在某U(Xo)在有定义.若当XXo时lim f(Xo)=f(Xo),则称f在点Xo连续.该定义指出如果f(X)中X趋于Xo时的极限等于f(Xo)则函数连续.在几何表示中,则可以认为X所对应的f(X)在Xo处是与U(Xo)对应的f是相接的,不是断点的.在此我们可以发现:1.函数在Xo处连续与函数在Xo处的极限有密切关系,f在点Xo有极限是f在Xo处连续的必要条件,从几何图示上可以清楚看到函数在X趋于Xo无极限,则f(Xo)与函数在X趋于Xo的值不可能相交,因此不可能连续.2.函数在Xo处连续的第二个条件是函数在X趋于Xo对应的左右f(X)极限必须相等,在几何上反应的是过(Xo,f(Xo))是一条连续的曲线,至于是怎么一个形状的曲线,只要无中间断点即可.
间断点及其分类:
有了函数f在某对应Xo处的定义则不满足连续定义的点都可以算是间断的,称为间断点或者不连续点.主意此处的间断点可以分为两种1.可去间断点2.跳跃间断点.具体定义可以参照《数学分析》第四版上册P73.在此我要谈谈的是几何表示:1.可去间断点在几何中表示为两种形式①Xo这个点在f上无定义,因此无实际图像,而当XXo时的lim f(X)=A,几何表示为一条曲线上擦去了某一个点②Xo对应在f上有定义,但f(Xo)与当XXo时的lim f(X)不相等,在几何上可以表示成一条曲线上的某一点上下平移到另一位置.总之可去间断点要求的是一条曲线上某一点的变化.2.跳跃间断点,跳跃间断点表示的则是一条曲线在某一处剪短,把其中的半条曲线上下平移,图像上直观观测为阶梯状.
连续函数的性质:
连续函数的性质可分为局部性质,闭区间上的连续函数的基本性质,反函数的连续性和一致连续性等几个方面.其中我在谈谈的是闭区间上连续函数的基本性质与一致连续性的意义和几何表示.
首先说闭区间上连续函数的基本性质,f为闭区间[a,b]上的连续函数,则f在此闭区间上有最大值与最小值,则f在闭区间[a,b]上存在上确界与下确界.因此在几何表示上,这条f图像可以用一个矩形框框起来,矩形框的上下边则是上下界.利用这个方法可以清晰的理解为什么f在闭区间上连续就有最大最小值了.
其次要说说介值性定理, 参照《数学分析》第四版上册P79中的4.7:设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b).若ч为介于f(a)与f(b)之间的任何实数,则至少存在一点Xo属于(a,b)使得f(Xo)=ч,对于这个定理可以扩大为f max与f min之间的任何数ч都可以找到一点Xo属于(a,b) 使得f(Xo)=ч,这便扩大了定义的使用范围.而介值定理在运用过程中大多演化为了他的推论(根的存在定理)也就是零点定理,用几何图示能清楚看到如果f(a)与f(b)异号,因为f为连续函数那么必定与X轴有交点,而交点则为零点.
最重要的则是一致连续性,首先要明确的是一致连续性是对于区间来定义的,再参照《数学分析》四版上册P81定义2:设f为定义在区间I上的函数,若对于任意ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对任何X,Y只要|X-Y|
函数连续与一致连续是有重大区别的,这两个概念的着眼点不同,连续性是局部性质,一般只对单点讨论,讨论改点在的左右极限问题,说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。一致连续性是整体性质,要对定义域上的某个子集(比如区间)来讨论,函数一致连续说明函数是在某个规定区间内连续的。一致连续可以推出连续,反之不然。当区间有界时,一致连续函数几何图像此时在无界的一边不能无限倾斜.当区间有界时,若有一部分是开区间,如果可以确定这点对应的f存在极限,那么还是一致连续的.
下面谈谈函数f在X属于(a,b)与X属于[a,b]的区别f在X属于(a,b)上连续不能推出f在[a,b]上连续,在几何表示中f在X属于(a,b)上连续可以画图为tanx的类似形状,此时不是在X属于(0,π/2)不是一致连续的,原因是f(π/2)的极限为无穷大.不符合一致连续的定义,此时也不能用一个矩形框来把整个图像框起来,而在X属于(0,π/3)上就是一致连续的了,因为此时的图像可以用一个矩形框框起来,也符合书本给与的定义.
参考文献:
第2篇：函数的表示法范文
关键词：概念形成 函数表示法 辩证思维
概念是一种思维形式。函数是数学中最主要的概念之一，函数理论是高等数学的主要组成部分，是近代科学技术不可缺少的工具。由于自然界的一切事物总是在不停地运动、变化着，因此数学中也必须研究变量和变量间的相互关系。函数就是应此而产生的数学概念。中学阶段，学生学习函数及其图像、集合的简单知识，从而通过集合元素的对应关系来加深对函数概念的理解；在此基础上，引入函数的单调性与奇偶性；进而借助于单调函数及其图像的学习，又从单值对应引出一一对应，从一一对应引出逆对应；同时由逆对应引出反函数的概念。这对于培养学生的辩证思维能力和进一步学习高等数学，起到很大的作用。
函数概念的教学目的是：（一）要求学生对函数概念有正确清晰的认识；（二）要求学生熟练掌握函数的表示法；（三）通过函数概念教学，培养学生辨证思维方面的能力。下面谈谈本人的一点粗浅认识。
一、函数概念的形成
函数的实例：在客观世界中，事物的种类繁多，现象的形态各异，它们都按照各自的固有规律运动变化着。某一事物或现象的运动变化总表现为多个不同量的变化，而这些量的变化又不是孤立的，它们常常是按照该事物固有的规律互相联系、对应着，即给定某量的一个值，依照规律都对应另一个量的唯一一个值。粗略地说，“两个量（或两个数）之间的对应规律”就是数学中所说的“函数”。函数概念产生于在同一个研究过程里变量间的相互关系之中，因此，建立函数概念必须以研究常量和变量作为起点。例如，把一个密闭容器内的气体加热时，气体的体积和气体的分子数保持一定，所以是常量；而气体的温度与压力则是变量。一个量是常量还是变量，要根据具体问题具体条件来分析，而且要辨证地看问题，这一点，教学时应提出注意。例如，火车行驶时的速度，在开始阶段或刹车阶段是变化的，因而在该过程中是变量；在正常行驶阶段变化很小，相对地可看作不变，因而是常量。
在同一个确定的过程中，往往会同时出现几个变量。例如，一个物体作自由落体运动的过程中，重力加速度（g）是常量，物体经过的路程（s）与时间（t）是两个变量，而且这两个变量不是孤立无关的，而是紧密联系的：物体运动的时间变了，其相应的路程也随之而变；当确定了物体经过的时间后，相应的路程也随之而确定，它们间符合的关系。变量s和t之间存在着这种相依关系的确定性，这样就称s和t构成了函数关系。其中t叫自变量，s叫自变量t的函数。由此可总结出，在某个研究过程中，存在函数关系的三条标准：（一）是否存在两个变量（技校教材只限于一元函数）；（二）当一个变量变化时，另一个变量是否也随之而变化；（三）当一个变量取确定值时，另一个变量是否也随之取得唯一的确定值。
在许多问题中，自变量的允许取值范围是有一定限制的，我们把自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。从数学角度看，要使表示函数关系的解析式有意义，自变量是需要有一定条件的；从应用问题的实际内容看，变量允许取值的范围也是有一定限制的。这就是确定函数定义域的根据。求函数的定义域可参考以下几个准则：
（1） 若f（x）是整式，则f（x）的定义域是全体实数的集合R；
（2） 若f（x）是分式，则分式的分母应该不为零；
（3） 若给出式子 （k为正整数），则应有f（x）≥0；
（4） 若给出式子log ，则应有f（x）＞0；
（5） 若给出式子arcsin f（x）、arccos f（x），则应有｜f（x）｜≤1；
（6） 若上述情况同时出现，可分别找出它们的定义域，取公共部分为所求的定义域。
函数值以及记号f（x）是函数概念教学的重点，学生开始学习函数时，往往不容易理解f（x）和f（a）的意义，有的认为f（x）是x的一次函数，f（ ）是x的二次函数，这说明对记号f（x）的教学不能忽视。
在函数概念的教学中可以指出，函数符号f（x）按其实质来说就是指对应法则，例如 f（x）=3x + x－1，那么对应法则f就是指这个式子中所给的一系列运算，而f（x）就是指下面括号中自变量的某一数值应作3（ ） +（）－1这样的一系列的运算以求函数值。因此当x=1时有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。
一般来说，记号f（a）代表一个数，它等于函数f（x）在变数值等于a时的值。用几何术语说：f（a）是函数f（x）在a点的值。如果a不属于定义域，则f（a）就无意义了。
二、函数的表示法
通过对函数各种表示法的学习，可以加深对函数概念的理解。用公式或分析表达式直接给出自变量与因变量之间的关系是函数的分析表示法，在自然科学或实际问题中是经常遇到的，在微积分中，这种表示法也便于进行运算。
但是要防止学生产生函数关系一定能用公式表示的误解。许多生产过程和科研实践中，由观察得到的一系列变量间对应的数据，不见得都能概括成这两个变量间确定的解析表达式，但它们之间应该说构成函数关系，这种函数关系可用列表法来表示。通常用的各种数学用表，有的写不出一般表达式（例如质数），有的写出了表达式（例y=logx），但也不能揭示由x经过怎样的代数运算步骤而得到y。采用列表法，就可弥补上述的不足。
公式法和列表法都可以表示函数关系，但它们都存在着表示因变量随自变量的变化而变化的趋势的直观性差的缺点。而函数的图示法具有直观性、明显性，并且便于研究函数的几何性质。
在讲授图示法表示函数关系时，应注意：
（一）函数图像存在的范围是以函数定义域为依据的。
例1作函数 的图像。
解： 定义域:是（-∞，+∞），
其图像为（图1）
例2作出函数y=x（其中x取整数）的图像（图2）。
（二）作函数图像时，应把列出的点用平滑的曲线连结起来，而不能画成折线。为此可举函数 的图像为例，先画几个点，连结成折线，再补进几个点，让学生看这些点并不在折线上，从而指出画成折线是不对的。
在函数概念教学中，应注意挖掘教学内容中的教育因素，注意在教学过程中渗透一些辩证唯物主义的思想，这样，不仅有利于学生学好数学基础知识，也有助于对学生进行辩证唯物主义的教育。例如，常量和变量的相对性实际上蕴含着矛盾的对立统一这一法则；研究存在某种相依关系的两个变量的过程，就是用运动、联系的观点来研究数学内容……教师如能把观点蕴含于内容之中，通过内容渗透观点，就会使函数概念的教学效果有所提高。
参考文献：
［1］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）――函数.北京：高等教育出版社，1992.
［2］齐建华.现代数学教育――数学学习论.郑州：大象出版社，2001.
第3篇：函数的表示法范文
教材直接解答如下：
解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示，由物理学知识可知，喷出的水注轨迹是抛物线型，建立如图所示的直角坐标系，由已知条件知，水柱上任意一个点距中心的水平距离 与此点的高度 之间的函数关系是
所以装饰物的高度为103m。这是一个应用性极强的函数解析式与函数图像互化的一个应用问题，高一的学生大部分对这种应用问题，尤其是抽象函数的图像再通过图像来拟合函数解析式，通过解析式来解决实际问题的问题。学生首先是感觉特别抽象，其次是感觉特别牵强。经过本人长期的教学研究发现，如果教师不注重这种问题的降阶处理，学生在学习过程中感觉知识的形成过程特别生硬并无法理解，无形的给学生造成学习障碍及学习压力，并且这种学习障碍多了以后会挫伤学生的学习积极性，给学生的数学学习造成负面影响。
结合本人近年来的教学实际及对教材的深刻研究，本人是这样处理的，在引领学生学习完函数的三种表示法后，插入一节《函数的解析表示法与函数的图像表示法互化》的习题课。通过回忆初中学习的正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像实际例子，再来求函数的解析式等问题，搭建学生认知阶梯，如本人在我校B层次班教学中设计了如下问题。
例 画出函数y=x2-2|x|的图像。
先板演引领学生分析完成
（1）列表
（2）描点，（3）连线：如下图
另外。可以通过初中学习的二次函数图像的画法画出y=x2+2 ； 与y=x2-2x；的图像在定义域上截取得到，找对称轴x=-22=-1，找顶点（-1，-1），交点（0，0），（-2，0）定开口（向上）得到左边的图像，同理得到右边的图像，在本人引领学生做完图像后，在黑板上擦掉前面的函数解析式及所列表格，只剩下图像。
师：同学们，你们能够根据左边的函数图像写出函数的解析式吗？
生：能，y=x2-2|x|；
师：（又重新将刚才学生写出的解析式写在黑板上）
师：那么，现在要是请你们说出是怎样求出函数的解析式，能吗？
（学生陷入了一片沉思，有学生讲是二次函数？）
师：是二次函数吗？那么又怎么求这函数的解析式呢？
生1：先设f（x）=ax2+bx+c；（因为他们比较熟悉二次函数的一般表示式）
师：根据你们的假设求解一下解析式试试；同学们迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
师：还有其他的解决方式吗？
生2：二次函数的表示式还有顶点式、两点式；
那么现在要你来选择求解这个问题的方式，你喜欢选择那一种表达方式呢？你选择试试看：
有学生选择顶点式，因为
当x≥0；知道顶点是（1，-1），图像过（2，0）解得y=x2-2x；
当x≤0；知道顶点是（-1，-1），图像过（-2，0）解得y=x2+2x；
有学生选择两点式，因为
结合以上学生学习的经验，我在处理课本例题，21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池。计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水注在离池中心4处达到最高，高度为6，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物。使各个方向喷来的水柱在此汇合，这个装饰物的高度如何设计？
时是这样做的。先阅读题目分析由物理学知识知道是抛物线，选取一个纵截面得出图形。
第4篇：函数的表示法范文
一、新课导入――习题设计要以学情为重点
高中数学知识前后章节有着密切的联系，在新课导入时，教师应设计适当的习题，引导学生进行温故知新。这样的习题应以教材为中心，承上启下，浅显易答，以不断增强学生的学习信心。
例如，在讲解“函数的表示法”一节时，初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法。高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法。因此，在导课环节，教师可设计一些作业让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的。
课堂练习：
某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）本笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。
（设计意图：进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体.函数y=5x不同于函数y=5x （x∈{1，2，3，4，5}），前者的图像是（连续的）直线，而后者是5个离散的点。由此认识到：“函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等。”）
二、课内自学――习题设计要以教材为中心
在设定教学目标的基础之上，教师可引导学生开展课内自学，为配合学生的学习效果，教师可尝试让学生主动的解决一些问题。这些问题应以教材为中心，以教材内的例题或习题为重点，也可适当拓展变换条件，体现基础性与思想性。
例如，在讲解“向量的加法与减法”一节时，为了能引导学生准确理解向量的有关的概念，灵活地应用向量加法的运算律解决较简单的实际问题，笔者设计了如下习题：
例1.已知向量a、b，则在下列命题中，正确的是（ ）
（A） 若|a|>|b|，则a>b；
（B）若|a|=|b|，则a=b；
（C）若a=b，则a∥b；
（D）若a≠b，则a与b一定不共线；
例2.在ABCD中，=（ ）
三、交流反馈――习题设计要以易错题为主
通过学生自学，对教师呈现的问题进行解决交流，中下游学生讲解、分析，优生点评、拓展，学会把问题理解透彻。学生交流评价时，其他学生暴露的问题是矫正补救的核心，也是教学的关键，教师要在此基础上设计一些较为浅显的易错题，以突出教学重点、难点。
如在讲解“不等式及其性质”一节时，有的学生存在对充分不必要条件的概念理解不清或不等式的转化考虑不全等问题，容易解题出错，因此笔者设计了如下习题供学生讨论。
1.设则使成立的充分不必要条件是：
部分学生错选B，对充分不必要条件的概念理解不清，“或”与“且”概念不清，正确答案为D。
2.不等式的解集是：
部分学生错选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。
四、课内探究――习题设计要以实践为主体
教师在充分理解科学探究的目标内容的前提下，组织好学生进行探究，重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维。教师的角色应该是课堂探究的组织者与实施者，要以作业为载体，调动学生学习数学的积极性与主动性。
数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点和基础，又是探究的对象。在教与学中，教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使学生加深对概念和规律的理解与掌握。例如，在进行椭圆概念的教学，可分以下几个步骤进行：
（1）实验――要求学生用事先准备的两个小图钉和一根长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆。
（2）提出问题，思考讨论。
①椭圆上的点有何特点？
②当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
③当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
④你能给椭圆下一个定义吗？
（3）揭示本质，给出定义。通过上述的自主探究活动，使学生体验从生活实例中，抽象出数学概念的方法，进一步探究它们之间具有的内在联系和各自特征，完成了对新知识的主动建构过程。
五、达标检测――习题设计以查缺补漏为主
第5篇：函数的表示法范文
【关键词】抛物线型；函数解析式；函数图像；深刻研究
本人在教授人民教育出版社全日制普通高中教科书（必修）数学第一册上第二章《函数的表示方法》课本例题3时遇到学生无法理解的牵强尴尬境地。例题如下：21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池。计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水注在离池中心4m处达到最高，高度为6m，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物。使各个方向喷来的水柱在此汇合，这个装饰物的高度如何设计？
教材直接解答如下：
解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示，由物理学知识可知，喷出的水注轨迹是抛物线型，建立如图所示的直角坐标系，由已知条件知，水柱上任意一个点距中心的水平距离 与此点的高度 之间的函数关系是
所以装饰物的高度为103m。这是一个应用性极强的函数解析式与函数图像互化的一个应用问题，高一的学生大部分对这种应用问题，尤其是抽象函数的图像再通过图像来拟合函数解析式，通过解析式来解决实际问题的问题。学生首先是感觉特别抽象，其次是感觉特别牵强。经过本人长期的教学研究发现，如果教师不注重这种问题的降阶处理，学生在学习过程中感觉知识的形成过程特别生硬并无法理解，无形的给学生造成学习障碍及学习压力，并且这种学习障碍多了以后会挫伤学生的学习积极性，给学生的数学学习造成负面影响。
结合本人近年来的教学实际及对教材的深刻研究，本人是这样处理的，在引领学生学习完函数的三种表示法后，插入一节《函数的解析表示法与函数的图像表示法互化》的习题课。通过回忆初中学习的正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像实际例子，再来求函数的解析式等问题，搭建学生认知阶梯，如本人在我校B层次班教学中设计了如下问题。
例 画出函数y=x2-2|x|的图像。
先板演引领学生分析完成
（1）列表
（2）描点，（3）连线：如下图
另外。可以通过初中学习的二次函数图像的画法画出y=x2+2 ； 与y=x2-2x；的图像在定义域上截取得到，找对称轴x=-22=-1，找顶点（-1，-1），交点（0，0），（-2，0）定开口（向上）得到左边的图像，同理得到右边的图像，在本人引领学生做完图像后，在黑板上擦掉前面的函数解析式及所列表格，只剩下图像。
师：同学们，你们能够根据左边的函数图像写出函数的解析式吗？
生：能，y=x2-2|x|；
师：（又重新将刚才学生写出的解析式写在黑板上）
师：那么，现在要是请你们说出是怎样求出函数的解析式，能吗？
（学生陷入了一片沉思，有学生讲是二次函数？）
师：是二次函数吗？那么又怎么求这函数的解析式呢？
生1：先设f（x）=ax2+bx+c；（因为他们比较熟悉二次函数的一般表示式）
师：根据你们的假设求解一下解析式试试；同学们迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
师：还有其他的解决方式吗？
生2：二次函数的表示式还有顶点式、两点式；
那么现在要你来选择求解这个问题的方式，你喜欢选择那一种表达方式呢？你选择试试看：
有学生选择顶点式，因为
当x≥0；知道顶点是（1，-1），图像过（2，0）解得y=x2-2x；
当x≤0；知道顶点是（-1，-1），图像过（-2，0）解得y=x2+2x；
有学生选择两点式，因为
结合以上学生学习的经验，我在处理课本例题，21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池。计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水注在离池中心4处达到最高，高度为6，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物。使各个方向喷来的水柱在此汇合，这个装饰物的高度如何设计？
时是这样做的。先阅读题目分析由物理学知识知道是抛物线，选取一个纵截面得出图形。
第6篇：函数的表示法范文
1、微积分、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及图形初等函数等。
2、一元函数微分学考试内容导数的概念、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的导数等。
3、一元函数积分学考试内容原函数与不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、不定积分的换元等。
4、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续性、有界闭区域上二元连续函数的性质偏导数的概念等。
第7篇：函数的表示法范文
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.
（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；
（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；
（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.
3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于等差数列的教学建议
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．
③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应．
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．
⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．
⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．
等差数列通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；
2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；
3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.
教学重点，难点
教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．
教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.
（2）已知等差数列中，首项，则公差
（3）已知等差数列中，公差，则首项
这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差数列中，，求的值.
（2）已知等差数列中，，求.
若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.
教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.
如：已知等差数列中，…
由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题
（3）已知等差数列中，求；；；；….
类似的还有
（4）已知等差数列中，求的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出
3.研究等差数列的单调性
，考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？
（2）等差数列从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1.用方程思想认识等差数列通项公式；
2.用函数思想解决等差数列问题.
四.板书设计
等差数列通项公式1.方程思想的运用
2.基本量方法的使用
第8篇：函数的表示法范文
片段一：模式的概括
例如图1，抛物线y=-x2向上移动，与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，若ABC为等腰直角三角形，求移动后的抛物线的解析式.变式1：ABC为等边三角形，求移动后的抛物线的解析式.
设计意图：利用简单而常见的函数、图形为题材，让学生感觉熟悉又有亲切感，但综合在一起，难度骤然加大.通过变式，让学生觉得图形的形状、位置虽然变了，但题目的模式并未发生变化，体会到找到解决此类问题的一般方法才是问题解决的关键，进而体会到解题方法的重要性.
上课开始时老师展示例题，并让学生先尝试性地做几分钟.46名同学中仅有7名同学做对，其中有5名学生是用特殊值凑出来的.然后老师变式：（如变式1）将ABC变为等边三角形.师：题目简简单单，但又觉得难，原因在于方法的缺失.师：先把题中的条件按数学形式分分类.经学生七嘴八舌，老师点拨、概括，题中条件可分为函数类条件（y=-x2等）和图形形状类条件（等腰直角三角形、等边三角形）.师：对此类问题能否用一个简单的模式进行概括？经老师引导，学生热烈的讨论，大家形成一个共识，用下列模式：函数―图形形状.
片段二：“题眼”的提炼
师：刚才我们只是对题型进行了分析与讨论，解题的方法和思路还不清楚.生：老师，我觉得刚才这个模式中，在函数和图形之间肯定有一种联系的要点或方法.师：有道理，在函数和图形间需要一条纽带，学生表示认可.师：那么联结这条纽带的最主要因素是什么？学生讨论激烈.生：这条纽带应该是点的坐标.因为题中ABC的三个顶点既是三角形的顶点，又是函数图像上的点.老师加以肯定，并分析点的坐标就如这个模式的眼睛，这条通道的窗口.然后对模式又做了一次修改补充.
片段三：点的表示法的探求
师：如何打开这个突破口呢？生：把点的坐标求出来.师：能否直接求出点的坐标？生：不能！师：怎么办？学生又一次激烈的讨论.生：用未知数把点的坐标表示出来.师：对.今天我们解这类问题的最关键之处就是怎样表示这些点的坐标.师：如果单考虑函数条件，如图1，抛开ABC为等腰直角三角形这一条件，A，B，C的坐标可以怎样表示？生：可设A的坐标为（0，m），抛物线的解析式y=-x2+m，B，C又是抛物线与x轴的交点，通过代入A的坐标（0，m）得0=-x2+m， x=±m，所以B，C的坐标分别可表示为（-m，0），（m，0）.师：接下来你能求出m的值吗？生：可以求的，因为ABC为等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，可得m=±m，解出来m1=1或0，0舍去，所以m=1.师：做得很好，完全正确.反之是否可行呢？即：单考虑几何条件，抛开A，B，C都是y=-x2上的点这一条件，A，B，C的点又怎么表示？生：设A的坐标为（0，m），因为ABC是等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，所以B的坐标为（-m，0），C的坐标为（m，0）.师：怎么求？生：因为移动后的抛物线的解析式为y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.师：刚才大家能顺利解题是因为找到了解题的突破口，抓住了“怎样表示点的坐标”这一关键.接下来我们把刚才两种解法进行对比，对点的表示方法作进一步的概括，对解题模式再作提炼.经过师生互动和深入讨论，对点的表示法概括出两点：（1）数设形代法.数设：通过函数、坐标系等代数条件，表示出点的坐标.如：A，B，C分别为抛物线的顶点、与两轴的交点，由此A，B，C三点的坐标分别可表示为A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把点的坐标代入反映形的关系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m.（2）形设数代法.形设：通过形的关系式表示出点的坐标.如可由关系式OA=OB=OC反映ABC是等腰直角三角形的形状，进而设出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.数代：再把A，B，C三点坐标代入反映数的关系式.如抛物线的解析式y=-x2+m，得0=-（±m）2+m.最后又把解题模式进行了完善.
第9篇：函数的表示法范文
重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法――图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.
难点：函数的概念，求函数的解析式.
1. 理解映射的概念，应注意以下几点
（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2. 理解函数的概念，应注意以下几点
（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.
（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.
3. 求函数定义域的基本思路
如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：
（1）分母不能为0.
（2）对数的真数必须为正.
（3）偶次根式中被开方数应为非负数.
（4）零指数幂中，底数不等于0.
（5）负分数指数幂中，底数应大于0.
（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.
如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.
注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.
4. 求函数解析式的基本策略
函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.
（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.
（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.
（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.
（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.
