离散数学答案精选(九篇)

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第1篇：离散数学答案范文

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.(2019北京9)函数的最小正周期是

________.

2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:

①在()有且仅有3个极大值点

②在()有且仅有2个极小值点

③在()单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则

A.

B.

C.

D.

4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,则sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.

6.(2019浙江18)设函数.

(1)已知函数是偶函数,求的值;

(2)求函数

的值域.

2010-2018年

一､选择题

1.(2018全国卷Ⅲ)若,则

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全国III)若

,则

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全国II)若,则(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新课标Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重庆)若,则=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新课标Ⅰ)若,则

A.

B.

C.

D.

7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则

的值为(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,则

A.

B.

C.

D.

11.(2012山东)若,,则

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,则tan2α=

A.−

B.

C.−

D.

13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,则

A.

B.

C.

D.

15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则

A.

B.

C.2

D.-2

二､填空题

16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.

17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.

18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.

20.(2017江苏)若,则=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.

23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.

24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.

25.(2013四川)设,,则的值是_____.

26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为

.

三､解答题

27.(2018江苏)已知为锐角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.

(1)求的值;

(2)若角满足,求的值.

29.(2017浙江)已知函数.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.

30.(2014江苏)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013广东)已知函数.

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函数

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.

(1)求的值;

(2)设,,,求的值.

专题四

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

答案部分

2019年

1.解析:因为,

所以的最小正周期.

2.解析

当时,,

因为在有且仅有5个零点,所以,

所以,故④正确,

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,

下面判断③是否正确,

当时,,

若在单调递增,

则,即,因为,故③正确.

故选D.

3.解析

因为是奇函数,所以,.

将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,

因为的最小正周期为,所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故选C.

4.解析:由,得.

因为,所以.

由,得.故选B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

当时,,,

.

当时,,,

所以.

综上,的值是.

6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函数的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故选B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

则,故选A.

3.D【解析】因为,所以,

所以,所以,故选D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,选C.

6.C【解析】

知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,

故,选C.

7.B【解析】由条件得,即,

得,又因为,,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因为,

所以,选A.

10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案应选D.

另解:由及,可得

,而当时

,结合选项即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

则.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因为,

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以当()时,取得最小值,

且.

解法二

因为,

所以

,

当且仅当,即时取等号,

所以,

所以的最小值为.

17.【解析】,,

①,

②,

①②两式相加可得

,

.

18.1【解析】化简三角函数的解析式,则

,

由可得,当时,函数取得最大值1.

19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值为1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,则,又,

则,.

26.【解析】

因为为锐角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因为,,所以.

因为,所以,

因此,.

(2)因为为锐角,所以.

又因为,所以,

因此.

因为,所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的终边过点得,

所以.

(2)由角的终边过点得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

,

解得,

所以的单调递增区间是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因为,得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

当(),即()时,.

(2)因为,所以,

因为,所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

(2)

第2篇：离散数学答案范文

中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1674-4853（2013）03-0104-05

计算机理论教学的内容偏重基础性、理论性知识，不同于许多计算机课程的实用性，学生认为该课程对专业的学习无用，且又难学，影响了积极性。例如离散数学的内容广泛知识点还比较分散，包括多个有一定关联的分支，学生在学习时疲于应付各种概念定义，难以消化理解，更难以自学和提高。

其实之所以被称为计算机专业基础课，是因为离散数学在数据结构与算法分析、操作系统、数据库、网络与分布式计算、计算机图形学、人工智能自动机、人机交互等许许多多的方面都得到了广泛的应用。[1]这更要求学生学好它为后续学习打好基础，所以需要针对离散数学的特性进行分析，然后在教学内容和模式上依据多年的教学经验进行教学改革，希望能够使得同学更好得接受和掌握离散数学的思想和学习方法，提高教学效果。

一、离散数学的特点

“离散数学”是计算机相关专业的专业基础课程，课程概念繁多、理论性强、抽象深奥，学生学习兴趣不高、难以入门和巩固，教学效果不很理想。所以在“离散数学”教学中重点应该是帮助学生完成“从理论到实际”的转变，使学生逐步掌握理论过渡到应用的方法过程；培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、归纳构造能力和实践创新能力。在开始的概论里，可以用一首自编的诗来概括离散的特征：

数学当作语文念，定理定义随处见；

传统概念重新建，应用模型很关键。

以下具体分析离散数学的一些特点、难点。

（一）概念和定理多且前后衔接紧密

每章节的内容都是建立在全新的概念之上，然后推理演绎出新的概念和定理等，接着就是这些定义定理的直接应用。经常概念就是定理，或者性质，甚至概念就是运算法则，所以掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，概念也要和定理、性质联系起来理解，再结合各种题型和数学模型来记忆。

（二）方法性强

离散数学要求的抽象思维和构造能力较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象构造能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。离散数学的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。特殊的题型有特殊的对应方法模型，必须专门强化记忆。

（三）入门难，概念的前后关联强

由于是全新的概念或定义，且本身又非常抽象，初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系，初学者不容易进入学习状态。因此一开始必须准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。最好和已有的知识结构建立联系，这样才可能更好适应抽象的连绵不断的概念，并为后续循序渐进的学习打下良好的基础。例如，通过与学生已经熟练掌握的中学数学的比较来进一步分析离散数学的特点。其实中学学习的数学归纳法、排列组合就是典型的离散数学问题。然后进一步利用“面积证明勾股定理“的过程和“着色原理证明世界上任取6人必然有3人相互认识或者不认识“两问题进行比较分析，它们共同点都是题目抽象且给出的条件少，通过巧妙借用构造特殊的图形来完成证明；不同点是勾股定理证明是利用计算面积相等来完成，而后者是利用“着色模型“加上“鸽巢原理“再结合图形空间结构关系来完成，总结出的区别是离散数学的问题一般和图形的大小、长短、面积等数值无关，侧重于考察问题关联、变化、约束等内在逻辑关系。

（四）符号、图形多

离散数学的经典内容包括命题逻辑、谓词逻辑、集合、关系、代数系统、图论等方面的基本知识。每章的概念、定理、证明、推导、解题等全部环节都需要用符号、中英文名词术语等来表示，或者借助图形来介绍说明。所以离散数学比其他课程要多花时间来记忆各种字符、符号、图形，弄清楚其内在关系和演绎过程。例如集合、笛卡尔积、关系、关系闭包、等价关系、划分等一系列的概念是一层层叠加起来的，后面的概念都是建立在前面概念基础上的，必须弄清楚其来龙去脉，否则你直接说划分是说不清楚的。当然借助对各种符号、图形的理解也是有利于对概念的记忆。离散数学除了教给学生离散数学知识以外，更重要的是通过严格的训练，逐步实现学生思维方式的数学化、符号化、计算机化。对于符号的掌握是非常重要的，因为全部的问题最后都是可以通过符号输入指挥计算机来解决的。

（五）题型众多且解题方法奇特

学数学就要做题目，学习不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习思维方法和解决问题的能力。数学的题目数量自然是非常多的，但题目的种类却很有限。尤其是在命题证明的过程中，最重要的是要掌握证明的思路和方法，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和解题套路。例如在命题逻辑中判断推理是否正确有真值表法、直接证法、间接证法或反证法等，需要多作练习，才可以较快地领悟其本质，能够看出它所属的类型及关联的知识点，找到对应的模型，就不难选用正确的解决方法。例如前缀码问题对应的就是最优树模型，通过不断积累模型来扩展解题思路。同时在记忆模型的基础上通过相应的思维训练提高思维变通性，进而提高解决问题的能力。

（六）章节内容差异大且解题思路难寻

集合、关系、逻辑、图论和代数系统各章节自成体系，各部分内容差异很大，从概念到定理到解题方法大不相同。特别是离散数学证明题的方法性是很强的，如果知道一道题属于哪个章节，该用什么知识点和方法，那离答案就不远了。因此在平时的学习中，要勤于思考，善于总结，在离散数学学习的过程里对概念的理解是重中之重。当题目很抽象，不能够很明确找到对应概念的时候，一些常规的解题思路也是需要强化给学生的，下面介绍几种方法。

1.尝试法。这是被运用比较广泛的启发法，使用所有你想到的操作手法，尝试着看看能不能得到有用的结论或者边界点、特例等，尽量离答案近一点，通过穷举各种允许或不允许的可能性来寻找那些关键的性质。穷举法也是本办法的一个特例，穷举法不一定就是最笨的办法。

2.结论分析法。结论往往蕴含着丰富的条件，譬如对什么样的解才是满足题意的解的约束。借助结论中蕴含的内容，可以为题目提供更多信息量和缩小思考范围。

3.缩放条件法（如删除、增加、改变条件）。有时候通过调整题目的条件，我们往往迅速能够发现条件和结论之间是如何联系的。通过扭曲问题的内部结构，我们能发现原本结构里面重要的东西。

4.抽象具体法。求解一个抽象的题目先解决一个类似的具体题目，或者由具体到抽象。将问题泛化，并求解这个泛化后的问题。类似的题目也许有类似的结构，类似的性质，类似的解决方案。通过考察或回忆一个类似的题目是如何解决的，也许就能够借用一些重要的点子。

5.对立面法或反证法。实在没有办法了，还可以列出所有可能跟问题有关的概念、定理或性质，来寻找和题目的联系，发现思路，这是一种经常被使用的方法。

通过以上五个方面的特点分析和一些经验对策的介绍，已经可以说明离散数学的教学难点和需要改进加强的环节。在教学中还可以进一步总结突出离散数学，其可以被看作是数学的前传、是符号的语言，与一般的数学学习方法大不相同。

二、教学内容改革和模式变化

离散数学的教学目标重点是为进一步学习其他计算机课程打基础，培养学生计算机模式的思维推理能力，提高学生利用数学知识和模型解决实际问题的能力。所有这些需要优化理论教学，重视实践性教学环节，强调培养学生养成形式化思维和解决问题能力，使得学生在学习其他计算机应用课程时，遇上困难知道如何去理解问题、归纳推理、寻求解决方法。要以教师为主导来组织、引导学生的学习，特别是培养学生的学习兴趣和自主学习能力。所以教学内容应该更丰富、媒体形式更多样、手段更科学、理念更先进，模式更新颖。例如网络教学、多媒体教学、启发式教学、发现式教学、案例教学、游戏式教学等。

要达到上述要求，就需要拓展教学内容和空间，加强与后续专业课程的联系与衔接。多结合实践案例和游戏模型来提高兴趣，多留些趣味、应用型的思考题，“积小错为大错、以游戏换经验”，因为游戏多是有数学模型的，通过思考题来发现问题，积累分析解题的经验，此外还需要突出重点，强调特点。由于补充了大量课外内容，所以在教学课时不够的情况下可以舍弃一些次要内容以保障重点内容的教学质量，并且对简单点的内容安排自学不做重点考核，这样也可以提高自主学习能力。

（一）教学内容的组织和更新

离散数学教学内容比较“散”，而且难。讲课时尽可能结合一些实际问题，特别是与计算机有关的问题，突出重点，强调前后联系和概念关联性。这样既提高了学生的学习兴趣，又使得学生更好地体会离散数学对研究计算机科学的重要性。例如图论和集合论为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的重要方法。在讲解图论中通路与回路概念时，给出它们在研究操作系统是否存在死锁，自动机的初始状态和结束状态是否可达，程序设计语言中一个过程是否递归等方面的应用。数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、数据库理论等的研究中有着重要的应用。激发学生学习的积极性，进一步加强学生理论联系实际的能力。

在组织教学内容时注重离散数学与前后的计算机课程结合。即在课堂讲解时，尽可能多地介绍离散数学与相关课程的衔接，让学生清楚地认识到离散数学不是一门普通的公共数学课。例如，在数理逻辑部分讲解命题联结词时，考虑到学生在先修课数字逻辑中动手设计过逻辑电路图，以此为切入点进行类比讲解。在集合论部分讲解二元关系时，以后续选修课数字图像处理中的二维直方图为例进行讲解。在图论部分讲解最小生成树、最短路径时，讲清该知识点与后续必修课数据结构中相关知识点的关联性。还可以介绍学科前沿的最新动态，直接体会课程的“实用性”，激发科研热情、提高自主学习的兴趣。

教学内容革新方面特别要注重与实际应用或可动手操作的相关实例的结合。包括各种游戏、案例、实际应用等，可以作为介绍概念时的引例或参照物，也可以作为课后趣味题、应用题、拓展题。还可以穿插结合心理学、人生观、价值观、挫折教育等方面的生活励志故事，拓展教学内容和教学思路，开拓学生视野，增强他们理解、推理能力和参与社会实践能力。同时考虑到学生基础、学时限制等，适当降低传统理论教学内容的难度，侧重于基本概念、原理的应用。为保持课程教学体系的完整性，偏难的理论性内容选讲、少讲或简单介绍，适当增加与计算机应用密切相关的实践上机学时，对学生较感兴趣或应用性较强的内容增设课外实践环节，以兴趣小组的形式延续课堂教学内容。（见表1）

（二）教学模式的选择

教学模式是教学活动的基本结构，科学合理地选择教学模式有助于优化教学过程、提高教学质量，常常能起到事半功倍的教学效果。

范例教学模式是指遵循人的认知规律，从个别到一般、从具体到抽象，从范例分析入手，逐步提炼、归纳和总结。例如通过几个有趣的例子分别展示课程的4大模块，即以“理发师悖论”为例引导出集合论模块；以“警察断案”为例引导出数理逻辑模块；以“七桥问题”为例引导出图论模块；以“布尔逻辑电路”为例引导出代数系统模块。但是仅仅请学生根据常识知识给出答案还不够，还要通过这些例子生动地介绍离散数学的实际应用，激发学生学习兴趣，然后才引出主题。并且在后续讲解中保持类似的教学模式，利用上表里列举的各种游戏、案例、实际应用、趣味数学和编程题目来讲述一些知识难点，避免了一般理论性介绍的枯燥，能充分调动学生的学习积极性。

1.启发式模式。以问题解决为中心，设定情境、提出问题，然后组织学生猜想或做出假设性的解释，进而验证并总结规律。例如，以“一笔画”为出发点，启发学生思考其特点，进一步总结出欧拉图的定义和性质；在代数系统部分，以小学的加减乘除法为出发点，启发学生思考这些运算的异同，从而引申出代数系统的一般性基本概念；以“九连环”游戏的重复操作过程来比拟对二叉树的遍历等等。用一个具体可见的模型或者问题来说明抽象复杂的新概念，这样学生易于接受，并且不会因为一下子迷惑而产生抵触情绪。

2.上机实践模式。拓展编程，提高设计实践能力和兴趣。例如编写程序对集合进行定义和操作，求两个集合的交集，或求两个集合的笛卡尔乘积；“八皇后”问题的程序设计，或者用做好的“八皇后”程序来分析其内部数据结构和算法；结合参加数学建模或ACM竞赛，这样同学们就更重视了。

还可以演示某些手机在拍照的同时将GPS信息记录的过程，通过这个过程来介绍数字水印、MD5、GPS和电子证据等计算机相关理论知识。然后利用计算机、数码相机以及相关软件进行模拟实验验证该过程。并且通过实验课让学生动手来制作数码照片的数字水印、计算MD5值，利用数字隐藏软件在数码照片里隐藏数字信息。这一系列实验即结合应用了信息安全技术，又增加了对电子证据证明力的理解。这样的教学实验过程简单易懂又灵活多变，最主要是通过简单的操作却能够马上看见复杂的操作结果，又能够帮助理解抽象的理论知识。这样的的教学手段更能够激发学生的学习热情，进而增强学生解决实际问题的能力。

3.换位教学模式，可以让学生备课、讲课和点评，产生新鲜感和责任感，体会老师工作辛劳。通过换位可以站在对方的角度思考，体验对方的想法，产生互动、共鸣。学生参与备课，在查阅材料的过程中去理解、深化内涵，拓宽外延，体验“再发现”过程；分组备课、制作课件、讲课，鼓励各种新想法及创意，培养学生动手能力和团队协作精神；同学间的补充、点评和考核，让学生在实践中吸取经验教训，更容易发现自己平时易忽视易错的知识点；老师也可以站在学生的角度思考如何讲解让学生更容易接受，最后通过点评和总结起到画龙点睛的作用。另外给敢于表现的学生加分鼓励，因为“十次说教不如一次表扬，十次表扬不如一次成功。”对这种形式的换位，可以加深学生对所学知识的理解，而且可以激发学生的学习兴趣，更能培养和锻炼学生的独立思考能力、语言表达能力，成为学习的主人。营造一种人人参与的氛围，还能活跃课堂气氛、拉近老师和学生的距离，有利于培养学生综合运用知识和解决问题的能力。

构建多维、多层、多方位教学手段，将课堂讲授、专题讨论、上机实习、课外自学等有机结合，鼓励学生真正成为学习的主体。同时，打破一考定胜负的传统考核机制，综合考察学生在各种教学形式中的表现，课程考核采用总成绩=笔试（50%）+平时成绩（20%）+上机实践（20%）+创新能力（10%）的形式，打造多维教学模式和评价体系。

三、总结

计算机科学的理论教学抽象程度高，需要进一步探索课程的教学改革，合理组织教学内容、有效选择教学模式、高效运用教学手段、适当增加实践环节，达到满意的教学效果。以提高学生自主学习的兴趣、培养学生自主学习的能力为突破口，进行教学革新，对学生后续课程的学习具有较强的现实意义。

另外，也要提高对教师的要求，教师不仅要有较深厚的计算机专业理论基础，能把离散数学等基础专业理论课程和其他课程结合，合纵连横，讲深讲透，还要精心准备、收集选择好的教学案例和素材，结合合适的教学方法和教学规律，有针对性选用启发式教学方式。我院计算机专业自实施离散数学教学改革以来，以培养学生实践动手能力和抽象思维推理能力为目标，教学内容的更新和多种教学模式激发了学生的学习热情，增强了学生学习的主动性和解决实际问题的能力。

第3篇：离散数学答案范文

关键词：课程；课程群；课程群建设

精品课程建设项目是高等教育质量工程的主要组成部分。德州学院从2003年启动精品课程建设工作以来，先后建成23门省级精品课程、160多门校级精品课程，在课程建设上取得了长足的进步，学校的教学质量也有了更进一步的发展。由“离散数学”、“数据结构”、“数学建模”和“复变函数论”组成的信息与计算科学专业基础平台课课程群，经过几年的建设取得了明显的教学效果，于2012年被评为省级精品课程。由其组建的信息与计算科学教学团队被评为省级教学团队，促进了教学质量的提高和特色专业的建设。

1. 课程群建设的内涵

关于课程群的建设，目前学术界有多种论述，归纳起来不外乎两种情况：一是基于学科划分的课程群；再就是突破学科限制的课程群。但两者有一个共同的特点，就是同一课程群的课程之间内容必须密切相关。我们认为，课程群就是内容紧密联系、内在逻辑性强、属于同一培养能力范畴的课程的有机整体，可以是同一学科的，也可以是不同学科的。

专业知识结构可分为五个层次：知识点、知识单元、课程、课程群、专业教学计划，由此可见，课程群建设是专业建设的子集，是课程建设的超集，它打破了课程内容的归属性，从培养目标层次把握课程内容的分配、实施和技能的实现等。研究课程群建设，更易于专业教学计划的实施，更易于培养目标的实现。

课程群建设把传统的教学组织的两层架构进化为三层架构，使技能要求独立于课程，形成目标明确的课程群层次，嵌在课程和培养方案之间。由课程群承载技能培养目标，协调课程之间的关系，使目标明确。课程群建设弱化了课程的独立性，强化了课程之间的亲和性，凸显它们为确定的共同培养目标的服务特征，突出各课程所蕴含的技能定位，把围绕一个技能培养目标的、含有若干课程中的技能点抽象出来，在一个更高层次上连贯起来，使该技能的培养随课程教学的推进而不断递进、加深和拓展，逐步实现与培养目标的重合。

一个课程群一般要由3门以上的课程组成，各课程教学内容具有不可重复性，同时知识点之间存在相对独立和离散性，知识点之间关系亲和，教学实践环节或技能培养环节是连贯、递进的。课程群的建设要符合在组织、内容、结构等方面的教学规约，具有显著的技能属性，教学目的性更明确，培养方向性更突出，技能培养的过程连续并不断加深，外延不断拓宽，课程的开放性更友好。课程群注重技能培养，弱化课程个性概念，强化课程内容之间的融合、交叉和关联。

2. 课程群建设的目的与原则

对于信息与计算科学专业基础平台课课程群建设，我们认为必须涵盖普通高等院校人才培养所必需的基础理论、专业基础理论、专业基本技能和专业核心技能的精华。在此基础上，信息与计算科学专业基础平台课课程群建设首先要有助于专业培养目标的定位和培养目标的实现。确立信息与计算科学专业基础平台课课程群，以集中人力、物力来加强课程的研究和建设，从而加速专业素养和专业技能的培养，提高教学质量，取得重点突破的效果。这是课程群建设的目的所在。

课程群建设，要坚持五个“有利”的原则。一要有利于专业教学计划的组织和实施；二要有利于深化教学改革、整合教学内容、提高教学质量；三要有利于教材建设和其他教学资源建设；四要有利于学生综合素质和实践技能的培养；五要有利于学生的就业。

3. 信息与计算科学专业基础平台课课程群的建设

（1）专业基础平台课课程群的构建。信息与计算科学专业基础平台课课程群建设应侧重于“理论与实践并重”的要求，问题的分析与计算模型的设计。而“离散数学”、“数据结构”、“数学建模”、“复变函数论”等属于理论与实践并重、计算模型设计类的专业基础平台课。“离散数学”是以研究离散量的结构及相互关系为主要目标，充分描述了计算机科学离散性的特点。通过该课程的学习，训练学生具有严密的思维方法，严格证明的推理能力，应用自如的解题技巧，以及训练有素的演算能力，使学生能掌握处理各种离散结构事物的描述工具与方法，为后续课程“数据结构”、“复变函数论”、“数学建模”的学习奠定了良好的基础。数据结构主要研究数据的各种组织形式以及建立在这些结构之上的各种运算的实现，为计算机语言进行程序设计提供方法性的理论指导。通过该课程的学习，培养学生对算法的计算复杂性进行正确分析的能力，为“数学建模”和“复变函数论”中的编程解决实际打下坚实的基础。复变函数论（双语）主要研究解析函数。通过该课程的学习，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，同时提高学生编程解决实际问题的能力。“复变函数论”课程中的应用部分，要用到数学建模的思想、技术以及数据结构算法的思想，并且通过该课程的双语教学，可以提高学生的英语表达能力和英语写作能力，为学生参加美国大学生数学建模奠定良好的外语基础。数学建模是一门理论与实践相结合的课程，主要讲述建模方法、运筹学模型、微分方程模型、统计分析、插值与拟合、预测与评价等理论内容，以及用MATLAB、SPSS等数学软件编程求解各种数学模型的实践教学内容。数学建模作为联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学理论知识和应用能力共同提高的最佳结合点。数学建模的思想也融入了其他3门课程的教学中。通过该课程的学习，培养学生学会运用数学方法建立数学模型，并应用数学软件解决实际问题。由此可见，离散数学、数据结构、数学建模和复变函数论4门课程具有强相关性，将其组合在一起共同建设，对于学生形成合理的知识结构、促进知识的交融、利用所学知识解决实际问题有着重要的作用。

（2）专业基础平台课课程群教学团队建设。加强精品课程建设是提高高等教育教学质量的根本措施。要建好精品课程，最关键的是教学团队建设。由离散数学、数据结构、数学建模和复变函数论4门课程的骨干教师组成的教学团队由16人组成，其中教授4人，副教授8人，具有博士学位的教师4人，具有学科交叉背景的教师4人，2人为校级教学名师，1人为校级学术骨干。团队中教学名师和学术骨干分别来自不同的著名高校，具有先进的教育理念、活跃的学术思想、强烈的开放意识、严谨求实的优良学风和突出的质量意识。由于对课程群建设的重视，经过多年的建设，已形成了一支学术思想活跃、教学科研紧密结合、学术严谨、老中青结合的教学团队。这也是我校教学团队建设的基本特色和基本经验。

（3）教学内容和教材的整合与优化。由于信息与计算科学专业基础平台课课程群中各门课程之间存在门数多、学时多、相互之间内容重复、实践环节薄弱等不足，我们重新修订完善了教学大纲，制定了新的教学计划。对不同课程之间内容重复或交叉的部分进行了有机的整合，更好地体现了“专业性”和“基础性”；对各门课程的理论课时数和实验课时数进行了调整，使之更合理；设计了体现课程间关联的综合性和设计性实验，力求理论与实践的紧密结合，突出了学生实践技能的培养；在内容安排上，力求符合学生的认知规律，优化知识结构，突出专业培养特色。

该课程群中的每一门课都有完整的、较好体现培养目标和教学大纲要求的教材，对教学内容进行了整合和优化，加强了实践教学环节，并且都配有实验指导、多媒体课件、习题答案等，符合立体化教材建设的要求，更好地体现了课程群建设的思想，突出了课程之间的联系和融合，突出了学生综合利用所学知识解决实际问题能力的培养。

（4）教学模式和教学方法改革。在教学中，采用“三结合、四训练、五注重”的教学模式和双主线的教学设计、三层阶梯式的教学架构、四级实践教学体系。三结合是指“教学内容与上机实验相结合”，“课堂教学中理论与实例相结合”，“课程设计与创新能力培养相结合”。四训练是指基础训练、技能训练、综合训练和开发训练。五注重是指在教学中，注重通过情景创设激发学生的求知欲，注重通过问题质疑培养学生发现问题的能力，注重通过探索导引培养学生解决问题的能力，注重通过项目合作培养学生的合作意识，注重通过问题扩展培养学生的创新意识和自学能力。双主线的教学设计是指，第一条主线就是教学过程中贯穿从简单到复杂的认识过程，第二条主线是教学过程中贯穿解决实际问题能力的培养。三层教学架构是指在教学过程中引入创新思维，对课程的教学内容、教学模式和教学手段三个方面进行了相应的研究与设计。四级实践教学体系是指采用兴趣与项目双驱动的实践教学模式，强化实践能力和创新精神培养，通过实验强化基础理论、课程设计锻炼基本开发能力、创新大赛激发实践热情、学生科技创新项目与教师实际科研项目双重交叉实训等培养解决实际问题的应用能力。

在教学方法方面，我们主要采取了“启发式”、“双向互动式”、“研讨式”等教学方法。①启发式教学法：坚持以学生为主体，教师为主导的原则，以启发式教学理论为导向，构建以准备、诱发、释疑、转化、应用为基本要素的传动结构的教学模式。在课堂教学中，教师通过精心设计的问题进行诱发导引，并结合课堂练习精讲启发，及时总结学生讨论交流结果，针对学生普遍存在的疑难问题进行讲解，突破教学难点，将知识迁移转化为学生能力，从而让学生掌握解决实际问题的技能技巧，进而实现备教材、备教法、备学生的三结合。②双向互动式教学法：教学中既要注重教师的教又要注重学生的学，采取合作互动的方法，即在老师的指导下，让学生自己学会提出问题、分析问题、解决问题，充分发挥学生的积极性。变以“教师为主”的教学方式为以“学生为中心”的教学模式。③研讨式教学法：首先教师精心设计问题，然后学生按教师传授的方法进行独立探索，并展开交流讨论，最后由教师进行归纳总结和讲评。这种教学模式突出了学生在学习过程中的主体地位，能够充分调动学生的学习积极性和创造性，有利于培养学生的综合能力，提高学生的综合素质。

（5）课程网站建设。课程网站资源建设是课程教学改革中最重要的“物”的因素，是实现现代教育思想与理念、推行现代教学模式与方法、革新教学内容的有力载体和工具。我们开发了各门课程的课程网站，网站资源丰富，实现了在线学习、在线交流等多种功能，为教师和学生的交流和学习提供了良好平台。

4. 信息与计算科学专业基础平台课课程群建设取得的成效

通过课程整合优化，密切了不同课程之间的联系，增强了不同专业和不同课程之间的相互交融，减少了课程之间的相互重叠，增加了实践环节的课时。由于各课程之间内容不再重复，知识具有递增性，理论教学与实践教学课时分配更趋合理，综合性设计实验密切了课程之间的联系，应用技能为主的思想得到更好的体现，因而促进了课程体系的整体优化和协调发展。

课程群中的课程都开设了不同层次的实验项目，以强化学生实践能力的培养。通过基础实验巩固学生所学课程的理论、方法和基本技能；通过综合实验，培养学生的创新意识及探索技能；通过开展课程设计，培养学生解决实际问题的实践能力；通过组织学生参加全国大学生数学建模等科技竞赛活动，进一步培养学生通过分析问题来建立数学建模、编程实现解决实际问题的能力。

通过对课程的整合优化，更加明确专业发展方向，并在不同课程群的建设中实现分类施教、差异培养的人才培养目标。学生在学习过程中，积极性、主动性增强了，兴趣更加浓厚，同时对企业和社会的适应能力更强，系统观念、整体观念和分析能力都得到较好的培养，并且对自身的认识和发展方向更加明确。对教师来说，教学改革积极性空前高涨，多门课程之间甚至跨学科之间的交流和研讨进一步加强，教师在教学、研究、技术开发等多个领域打开了更多的空间与通道。通过课程整合优化，形成了独特的专业优势。

实践证明，信息与计算科学专业基础平台课课程群的建设取得了较好的教学效果，对于其他课程群的建设有很好的借鉴和示范作用。

参考文献：

[1] 李慧仙.高校课程群的建设与评审体系[J].理工高教研究，2006（5）.

[2] 胡发胜，刘贵真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J].中国大学教学，2006（7）.

[3] 孙烔，郝建文，杨联贵.数学精品课程建设的实践与思考[J].中国大学教学，2008（1）.

[4] 谭萍，庹清.高等学校精品课程的内涵建设研究[J].高等理科教育，2009（5）.

第4篇：离散数学答案范文

当下中国谈论最多的话题是“改革与转型”，经济发展方式转型、社会变革转型，等等，随着国家开放大学的成立，电大发展关注的焦点也集中到了转型。可是，电大转向哪里，是转向开放大学吗？然而，开放大学到底是一种什么样的新型大学，我们似乎还并不很清楚。国家开放大学严冰副校长在很多场合都提到“广播电视大学系统转型”的问题，就是说，电大转型不是从一所大学转向另外一所大学，而是指电大发展进入了一个新的阶段，将面临许多新的机会和挑战，包括电大教育服务对象的新特点，社会对高等教育需求的多样性、多层性、公平性等，建立在广播电视大学系统基础之上的开放大学，应该以一种更为科学的发展方式应对新的教育形势，即电大转型是一种发展方式的变化，是教育教学模式的深度改革。那么，电大教育环境到底发生了什么变化?改革开放30多年，我国高等教育发展与经济社会发展相适应，明显地表现出阶段性。从改革开放初期的精英高等教育，到1998年高校扩招从而开启高等教育大众化，2012年中国高等教育毛入学率达到30%，教育部提出的目标是2020年达到40%。国际上通常认为，15%~50%为高等教育大众化阶段，50%以上为高等教育普及化阶段。由此可以看出，我国高等教育目前正处在大众化阶段的中后期。此阶段的中国高等教育，其发展速度明显要慢下来，普通高等院校的扩招能力和教育水平受到相应制约，再加上社会对扩招后高等教育质量的质疑，普通高等教育势必从规模扩张回归到质量提升上来，走内涵发展之路。回过头来看电大，电大从一开始就表现出明显的政策依赖性和对普通高等教育的补充性、辅，进而表现出明显的阶段性。电大从对精英教育的补偿阶段到对大众高等教育的补充助力阶段，这段时期电大教育的服务对象主要是在职成人，所以电大教育在我国高等教育体系中一直定位于成人高等教育，主要任务是对在职成人高等教育学历的补偿与提升，“在职成人”也因此成为电大教育的标识。然而，随着普通高等教育进入大众化阶段，经济社会发展的转型升级，普通高中升学率大幅提升，社会对高等教育的需求日趋多元化、多层化、公平化，电大教育的受众主体——在职成人的年龄结构、从业结构、岗位结构等都发生了很大变化。年龄主要集中于18~25岁，从业领域集中于第三产业，学习者从业岗位以普通工作人员为主。相关研究还表明，电大学习者的学习动因不仅仅是学历提升，首要目的是提升职场适应能力和发展能力，从而更好地就业和谋生。在这种教育环境下，电大教育必须重新思考其价值取向，重新定位，电大系统转型应该从政策依赖型转向用户依存型。用户依存型与政策依赖型的主要区别在于发展方式的变化。一是电大教育要走向市场，不再是普通高校教育的同质化追随；二是电大教育要主动适应学习者，而不是让学习者适应电大；三是电大教育要把平民确定为服务对象，依据平民的学习需要以及学习状态构建相应的教学模式，把平民生存与发展状态的优化作为价值取向和质量评价标准。电大教育的中心工作依然是教学，30多年的电大教育实践表明：“面授+网络”的混合教学模式得到较广泛的认可。这种教学模式的核心在于两个课堂，一是基于实体学校的“在校课堂”；二是基于网络环境的“在线课堂”。至于这两个课堂如何混搭，谁多一些谁少一些，要视客观条件、课程性质与内容、学习目标与要求而定，不能一刀切。对此需要重点探讨的是：这两种课堂如何构建以及怎样组织实施才是最有效的。在我们看来，这是长期困扰电大教育的瓶颈问题，同时也是事关电大教育或者说是开放教育核心竞争力的问题。

二、基于知识理解的开放教育“在校课堂”

“在校课堂”即是以组班形式由主讲教师在课堂授课教学。凡是学校都有在校课堂，问题是远程开放教育需不需要在校课堂？这个看似不是问题的问题在电大系统中曾引起不少的争论。理由是：电大实施的是现代远程开放教育，远程教育提倡的是自主学习、网上学习，因此不应该有传统的面授课堂。笔者认为这是对“自主学习”极大的误解。我们的实践表明：“自主学习应该是主动而有主见的学习，包括自主选择、自主识别、自主控制以及自我培养的学习。”电大进入用户依存型发展阶段，不能还像政策依赖型阶段那样，习惯于设计一些标准让学习者去达成、去适应，适应了就是远程教育，不适应就不是，而不考虑学习者的需求与选择。这有悖于自主学习的逻辑，也不符合开放教育宗旨。当然，电大系统现在已经达成了一致共识：电大的面授辅导课堂是必要的，各级电大应重视面授辅导教学。接下来的问题是，开放教育应提供什么样的面授辅导或者说是“在校课堂”？要回答这个问题，我们先来看看开放教育学习者与辅导教师对“在校课堂”的期望。有学者对开放教育教学模式调查分析后发现：“学生认为，能够理解知识是最大的帮助，其次是自主学习能力，教师的主要作用是辅导讲授课程知识，其次是学习方法传授。教师认为，学生的自主学习能力很重要，提供好的学习方法是教师授课的主要作用，其次是知识的讲解。”这说明学生更想通过学习掌握知识，教师更想通过教学提高学生的学习能力。学生和教师的认识都没有错，但存在偏差，无视这种偏差的存在自然就会影响课堂教学的效果。现代教育理念是以学生为中心，教学原则是因材施教，这里的“材”我们认为应包括两个方面，一是学生的“材质”，也就是学生的学习水平；二是教学用的“教材”，也就是教学内容。如果教师通过课堂教学，既能提高学生的学习能力，又能使学生更好地掌握知识，那当然是最好的；如果在有限的课堂教学中不能同时很好地实现两者的诉求，作为教师应首先尽最大努力满足学生的知识理解诉求，唯有如此，课堂教学才是最有效的。事实上，依笔者从事电大课程教学20多年的经历，也确实体验到电大课堂教学经常面对的两难选择，不得不舍其后者而保全前者，这是电大课堂教学的特点使然。广州电大在2013年针对来自企业的电大学生做过一次“你要求电大为你做什么？”的项目调查。调查结果显示：排在首位的是“学习时间方便”；其次是“课程教学有针对性、效果好、好过关”；再次是“教学支持一站式服务”；最后才是“学费可分期、可融资、可减免”。根据以上分析，结合电大“五统一”的教学制度设计，我们有充分理由认为：基于知识理解的教师主讲模式是开放教育“在校课堂”的有效模式。基于知识理解的教师主讲课堂，与普通大学课堂相比有其自身突出的特点，其核心在于教师的教。教师要准确把握好课程内容要点，以学习知识为中心，运用通俗易懂的方式，辅以直观实用的多媒体技术，高效达成学生理解知识、掌握知识，进而实现考试过关目标。简单地说，电大教师要具备让学生听得懂的能力，能够降低学生的“学习痛苦”，作好学生的“知识厨师”，把不好吃但有营养的东西，变为既有营养又好吃的东西。教师要做到这些，不仅需要具备宽厚的专业素养，还要有较深厚的教育教学理论基础，更要具备高效驾驭课堂教学的手段、方法及艺术。这些能力的具备因人而异，很难统一标准。根据笔者从事电大“离散数学”课程教学10多年的经验，以下课堂教学规划及讲授方法，相对而言，较切合电大的课堂实际。

1.课堂教学设计的“情景规划法”任何一堂课，讲什么，怎么讲，教师事先都得规划，即备课。现代企业管理领域有一种新型的战略规划方法：“通过分析新生事物的驱动力与限制因素，找出其中关键的不确定因素，开发出可能出现的若干情景，从而更好地应对潜在的挑战。”这就是“情景规划法”。其要点是把自己的战略放到不同情景中进行测试或推演，继而优化、改进其战略选择。电大的“在校课堂”，学生来校听课的驱动力是什么？是对课程知识的理解；限制因素是什么？业余学习，到校上课时间很宝贵；关键不确定因素是什么？担心课程考试不过关。那么，我们的战略选择是什么？以“离散数学”课堂教学为例，笔者经过测试与实践得出“二八选择”课堂教学策略，即“花100%的精力，只讲80%的重点知识，达到80%的理解程度，得到64分的考试效果；而不是花100%的精力，讲授100%的全方位知识，只达到60%的理解水平，得到60分的考试效果。”比如，“离散数学”是计算机本科专业必修统考课程，4学分，正常课堂教学应为72学时，笔者经测试与实践，只用25学时即可达到预期教学目标，学生到课率达90%以上，统考合格率达90%以上。

2.“以教导学”的讲授法如果把教学过程分为教的过程、学的过程以及教学交互的过程，那么，“以教导学”突出的是教的过程。在教的过程中，教师是教学活动的组织者、领导者和引导者，学生按照教师安排的教学进度进行学习，接受教师施教的内容和方法，慢慢地由被动适应转变为主动参与。“以教导学”的课堂，教师是主体，强调对知识的认知过程，进而达到对知识的理解和掌握。依笔者的教学经验，教师在讲授过程中，以认知主义与构建主义教学理论为指导，把握以下原则是有效的：一是“讲史求源”。即讲知识的背景及问题是如何提出的，讲知识的演变史及问题的形成过程。知道来自何处，才能明确走向何方。二是“以简御繁”。任何知识的形成都是由简单到复杂的过程，把简单的、基本的知识构成要素讲清讲透，让学生了解知识的重点和局限，主题少一点，学生会学得多一点。三是“情景合一”。把学生生活经历与所学内容联系起来，设计多种情景，从不同情景、案例中寻找同一论题的证据和论证。比如“离散数学”课程，学生网上评教最多的评述有：“很喜欢您讲的课”、“学了这么多年的数学，现在第一次对数学有点认识，您的讲解生动而容易理解，现在我觉得数学并不难学了”、“现在数学课的课堂气氛很好，学了不少有趣的知识”、“邹老师激起了大家学习特别是数学的兴趣”，等等。从学生这些评述中可以看出，“离散数学”以教导学的教学效果是好的、成功的。

三、基于知识点的开放教育“在线课堂”

随着信息技术和互联网技术尤其是移动互联网技术的发展，教育与信息技术的高度融合，仅从教育的任务和类别来讲，把电大教育统归于开放教育，甚至把电大就叫“开放大学”可能更合时宜些。当然，笔者在此无意探讨电大的称谓问题，作为电大教育工作者，更关注的是电大教育或者说开放教育的“远程、网络、在线”课堂到底是怎样的？为叙述方便，在此把这些课堂统称为开放教育“在线课堂”。

1.什么是“在线课堂”要回答这个问题，需要先明确“在线课堂”的作用是什么。一般来说，“在线课堂”首先应该有教师的教，比如说课程视频；其次应能满足学生在线个性化的学；最后应能实现教学的交互。所以可以这样说：“在线课堂”就是学生在线接受教师的讲解，通过自己的消化、理解、练习，实现对课程知识、技能的掌握的个性化学习过程。与“在校课堂”强调课堂里的教不同，“在线课堂”突出的是学的过程。因此，只要能实现学生个性化学习的在线课程都可认为存在“在线课堂”或者说就是“在线课堂”。比如说，国家开放大学的“电大在线”平台课程、网络课程、MOOCs、视频公开课、微课……我们自然会问，既然拥有这么多种类的“在线课堂”，有没有一个可供推广应用的有效范式？答案是“困惑！”。国家开放大学的“电大在线”平台，从开通运行到现在已有10多年了，课程资源十分丰富，可使用效果还不够理想。问题主要有两个：一是课程模式“一头热”。单纯地把线下学习的教学文件、教材等文本资源，录像、录音等音像资源搬上网，没有合理的组织和引导，对所有学习者进行的是毫无自主选择的、无差异性的单向填鸭式教学。二是教学过程“想当然”。习惯于居高临下、命令式地要求学习者，“你要去看、你要去学、你要去练、你要去测、你要去互动……”师生多数时候都处于被动应对状态。2003~2010年间，国家投入大量人力物力建设了4000门国家精品课程，有学者通过对其中3582门本科类、高职高专类课程的调查发现：国家精品课程的能访问率不高、视频资源质量欠缺。

2、用户需要什么样的“在线课堂”如上所述，开放教育“在线课堂”应该说已经丰富多彩了，但教学效果却并不理想。究其原因，可以罗列很多，笔者认为，主要原因在于教育提供方的思维模式跟不上信息时代要求，我们总是习惯于“高大上”“短平快”“自上而下”的中国特色思维模式，缺乏“市场化”“用户体验”“自下而上”的互联网思维。当今社会进入了信息化互联网时代，互联网带来的不仅仅是信息获取的方便、快捷，更带来了人们思维方式、行为方式、学习方式以及生活方式的巨大变化。互联网思维有以下一些基本特征：一是关注用户体验并持续改善；二是能把一个很贵的东西做得很便宜，一个收费的东西做成免费，一个很难用的东西变得非常简单；三是勇于自我否定，敢于放弃一些既得利益；四是能够网聚人的能力，整合资源，实现资源利用的最大化。现今大学生已是离开网络就无法生活和学习，我们的“在线课堂”，如果无视他们的体验、不尊重他们的思维方式、不适应他们的学习习惯，肯定会被他们“拍砖”的。因此，开放教育“在线课堂”的设计与建设必须建立在用户体验基础上，按照互联网思维模式，遵守以下三条基本原则。一是简单方便原则。即在线课堂的组织结构清晰明了、教学布局简单合理，学什么、练什么、测什么、拓展什么，依类分区，互不干扰。二是以学习为中心原则。即“在线课堂”的教学内容突出以学习为中心，各模块功能是什么，要完成哪些学习任务，达到什么要求，等等都要有针对性的明确标识与引导，教学资源（包括视频、音频、文本）的选取以及知识点的确定要与学习者的驾驶能力相匹配，必须、够用即可。尤为重要的是“视频讲解”或者说“视频课堂”，其时长、语速、动画、PPT等相关教学要素的使用，与在校课堂有很大的不同，值得研究。三是一站式服务原则。是指“在线课堂”的教学过程，包括教师的视频讲解、学生的作业训练、师生之间的互动交流等，能在一个账户下直达目标，一站式完成。

3.一站式“在线课堂”案例“在线课堂”的建设与使用在开放教育中的地位和作用是不言自明的，各级电大为此付出的努力也是有目共睹的。教育部于2011年启动建设精品视频公开课，并在爱课程网、中国网络电视台、网易同步上线。至于社会上各类教育培训机构试水在线教育更是风起云涌！形势所迫也好，内在驱动也罢，总之，电大系统要实现向用户依存转型，形成鲜明的办学特色，优化建设适合自身用户需求的“在线课堂”是当务之急。广州电大基于50多年的电大教育实践经验，结合当前电大发展特点，于2013年决定：依托校本部教育资源，依靠校内知名教育机构——广州远程教育中心的信息技术支撑，成立“广州电大实验学院”，开展新型产业工人培养和发展助力计划，与行业、企业及工会系统等合作，面向企业职工开展学历与非学历继续教育，服务企业转型升级，助力职工成长发展，提升开放大学为企业职工终身学习提供教育培训服务的办学和教学能力。采用“全网络在线学习”模式，开展现代远程开放学历教育，并已于2013年秋季启动，首批招收学员1500多人。一年多的实践表明：教学过程严谨、有序、顺利；教学效果良好；得到学员、教师、学者、专家、领导的普遍认同和称赞。笔者有幸参与其中，主持开发了“经济数学12”课程的“在线课堂”建设与教学辅导，体会颇深，总结经验，主要有三个方面：一是简单明了的课堂教学结构设计。课堂整体划分成三个区：一是中心主体“学习区”，分为“基础学习（20分）”“难重点学习（80分）”“拓展学习（选修）”三个模块；二是左侧辅助“学习指引区”，主要包括课程简介和学习工具项目；三是右侧辅助“师生交互区”，主要包括教学答疑与在线辅导项目。学生进入课堂，学什么、学多少、做什么，一目了然。二是基于知识点的视频讲授。视频讲授是该课程的核心，是决定学习成效的关键，按教材章节编排顺序，精心选取必须、够用的知识点，依线性结构组织方式，视频从“点”（知识点）开始讲授，依次进入“面”（节），再到“块”（章）。每个知识点配有“巩固练习”，每个知识块配有“模块测试”，与平时线下学习习惯一致。全课程共设130个知识点（讲），46节（课），每个知识点讲解视频时长不超过15分钟，所有视频覆盖该课程5个学分的全部内容。三是积分鼓励的一站式支持服务。课程在每个学习发生点（包括观看视频、完成章节练习、模拟测试等）都设有计分功能，学生完成学习，网络就即时完成打分并提示，借此积分激励学生继续努力学习，取得该课程形成性考核（30分）成绩。学生在学习过程中遇到疑问，可以利用各种学习工具，求得课程辅导老师、班主任、技术支持员的及时帮助。

四、结语

第5篇：离散数学答案范文

将数学建模思想融入高职数学教学中具有重要的实际意义.高职数学老师将数学建模的思想引入数学教学中,可以用来培养学生的数学建模意识和数学建模能力以及运用数学建模的方法解决现实生活问题的能力.高职教育在人才培养过程中具有工具性和基础性的作用，因此，在教学的过程中应该坚持适度地融入数学建模思想，培养学生的建模意识，提升建模能力，在指引学生进行实际应用的过程之中，重视对能力的培养，将实际生活中的问题作为载体，对传统使用的教材进行改革.教师在对公式、原理和概念教学的过程中，应该向学生渗透相关的数学建模思想和数学建模方法，尤其是在对导数、极限和积分等概念进行阐述的时候，应该将新的数学问题向以往解决过的问题进行转化.

一、数学建模思想的阐述和意义

我们通常所说的“数学建模”就是在解决现实世界中的问题时，运用数学理论及工具构建出一个数学的模型，这个模型的本质是一种数学结构，可以是若干数学式子，还可以是某种图形表格，能够用来解释现实对象的特性和状态，推测对象事物的未来状况，提供人们处理事物的决定策略以及控制方案.数学建模的思想就是对数学的应用思想，将其融入高职数学教学中，充分体现了数学的真正价值——从现实出发再应用于现实.

在高职数学教学中融入建模思想，有利于激发学生的数学学习兴趣，让学生在解决问题的同时，发现自己数学知识的欠缺，从而回到课堂寻求数学知识，这样循环反复不仅促进了数学教学，更提升了学生的实际应用能力和动手能力.数学建模中涉及的问题往往是多种多样的，解决方法也是新奇个性的，将其思想融入数学教学是对学生的创新能力的锻炼与激发，使得课堂更加丰富多彩，教学更加热情积极.

二、建模思想的培养策略

1丰富数学教学内容，突出数学思想

对于高职院校的数学教学要融入数学建模思想，就要对教学的具体内容作出必要的变通，在教学数学的理论时，转变以往重视推导证明的教学过程，在推导的过程中不必追求过高的完整性和严密性，将教学的重点移向基本概念的深入理解，熟练掌握和应用技术、技巧与方法.针对各个专业的特征，设置有侧重点的数学课程.如理科方面的电子电气专业，就可以多重视学生的微分、极限、重积分变换等教学;在经济方面的专业应强调如数理统计学、线性代数学以及线性规划学的教学内容,而且在微积分方面最好简略；计算机类型的专业就可以适当增加像离散数学的教学内容.总体上强调实际应用价值高的教学部分，同时增添教学素材，融入新的技术来开阔学生的观念.

2培养建模意识，用建模的思想指导课程

高职数学教学的数学建模思想要从灌输意识开始，和以往教学略有不同的是，要在教导学生学习基本数学知识技巧时，用数学建模的思想指导他们理解概念，认识本源.很多问题都可以用建模去讲解，比如最优化、最值问题、导数问题、极限问题、微分方程问题、线性规划问题等.

这就要求我们高职数学老师要精心设计课程教学方案，充分发挥数学建模的思想，培养学生的建模意识.如老师在讲解《函数》一章时，不能按照以前的方法只讲解函数是一种关系，而要在其基础上赋予它更新的内容，以数学建模的思想，将函数公式应用到实际问题中，这样让学生能够有更深的理解，开阔学生的思维.举例如下：

给出一个函数式子：s=12gt2.

这是一个描述不同变量之间的联系而建立起来的函数关系，我们在教学中就可以构建具体的数学模型，这就是自由落体在整个运动过程中的下降距离s和时间t之间存在的函数关系，经过这样的简单设计之后再讲解给学生，会使教学的积极性有很大改善，也会使这种建模思想慢慢植入学生以后的学习之中.

3提升建模能力，将建模的思想融入学生的习题

注重培养学生“数学模型的应用能力”和“数学模型的建立能力”.能力培养重点放在平时学生的数学习题设计上，可以使用“双向翻译”的培养方式，这就要在讲解习题之前做好准备工作，在课堂上为学生讲解清楚概念的来源、公式的实际内涵和可用的几何模型，举例说明它们之间可以转换，从而布置“翻译”习题，培养建模能力.例如，可以出类似下面的习题：

函数关系式f(x,y)=(x-2)2+y2+x2+(y-1)2，请说明函数所能表示的具体含义，并求其最小值.在做具体解答的时候学生会寻找课堂所学，找出答案.这就是通过翻译激发其建模能力，对于这个问题就是求算一动点与两定点之间的距离之和，学生自然在求算最小值时联系实际寻找到两定点的中点就是最小的值所在点，从而简单地解决问题.也可以给出实际问题而不是公式，让学生去求解，以达到“双向翻译”，增强数学建模能力.

4增设数学实验的教学，将数学软件纳入学习之中

高职数学教学中大部分都是微积分，具有抽象性和复杂性的特征，不容易求算和解决，学生在课堂上学习到的知识和方法的所用之处少之又少.作为高职院校，学生学习数学的目的是应用所学去处理实际问题数学软件在微积分的学习中可以起到很大的作用.对于一些微积分中的问题，教师可以运用实验来指导教学，这样既可以使实践大为缩减，更能使学生学习理解的程度加深，还能应用数学软件matlab及mathematica使复杂的求算不再困扰学生，在数学教学上是很大的进步，充分体现数学建模思想的重要作用.

5把数学模型作为教学内容

第6篇：离散数学答案范文

组合数学中的一些重要原理的理解，开拓了我们的解题思路，增强了我们的解题能力。

关键词： 排列；组合；一题多解

【中图分类号】G620

一、引言

1.何谓组合数学？

组合数学，为离散数学的一个重要分支，主要研究某组离散对象满足一定条件的安排（或组态）的存在性、构造、计数及优化计算等问题，是一门研究安排问题的学科。中学数学里学习的排列、组合问题及其推广——重复排列和重复组合问题、分派问题、染色问题、中国邮路问题等都是安排问题的例子。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，为本世纪计算机革命奠定了坚实的基础，推动了软件技术和信息技术快速发展。组合数学不仅在软件、信息技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，在应用科学项目有更广阔的发展前景，为我国的社会主义建设事业做出更大的贡献。

2.一题多解思想及其在数学学习中的重要性

所谓一题多解，主要体现在解题时没有唯一的固定模式，而是以其多样化答案为明显的特征，可以通过纵横发散，知识串联，综合沟通，达到举一反三，融会贯通的目的。一题多解是培养学生发散思维的好方法，对于一道题从问题的不同角度出发，根据所给的条件，突破固有的解题思想和思维定势，去寻求不同的解题方法，以此达到预期的效果。

一题多解思想是一重要的数学思想，它对数学思维的训练起着重要作用。数学思想方法是数学的精髓，是知识转化为能力的桥梁，具有普遍的应用意义。在分析和解决问题时，它能指导我们探索揭示问题的本质，抓住解决问题的关键，进一步开拓我们的解题思路。通过一题多解能培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对题目的灵活变通，引申推广，培养思维的深刻性、抽象性；对题目解法的简捷性的反思评估，不断优化思想品质，培养思维的严谨性、批判性。对同一数学问题多角度审视引发的不同联想，是一题多解的思想本源，丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解、类比、转化、数形结合、函数及方程等数学思想的灵活运用。数学思想方法的运用往往使我们运算简捷明白，推理机敏，是提高数学能力的必由之路。素质教育的核心问题是能力的培养，其中思维能力的训练培养是教与学的主要方面，利用一题多解更好地训练我们的发散思维、创造思维、灵感思维、逆向思维等。

二、排列组合中一题多解例题解析

设某二年制学校已有连续八届毕业生。现欲从毕业生中选出三名代表参加校友会，要求三名代表互不认识（假如相邻的两届毕业生相互认识），问有多少种选法？

（1）方法一：穷举法（分类穷举）

含1：{1，3，5}{1，3，6}{1，3，7}{1，3，8}{1，4，6}

{1，4，7}{1，4，8}[1，5，7]{1，5，8}{1，6，8}

不含1：{2，4，6}{2，4，7}{2，4，8}{2，5，7}{2，5，8}{2，6，8}

不含1，2：{3，5，7}{3，5，8}{3，6，8}

不含1，2，3：{4，6，8}

故共有20种选法。

穷举法讲求技巧，避免重复列举。穷举法是排列组合中常用的一种解题方法，尤其是对于计算复杂度不大的计数。

（2）方法二：用不相邻组合公式求解。

不相邻组合：从个元素中取出r个而不考虑它的顺序，称为从n中取r个组合，其组合数为Cnr。而不相邻组合指的是从序列A={1，2，3 ，…，n}中取r个，其中不存在i，i+1两个相邻的数同时出现于一个组合中的组合，其计数公式组合数为Cn-r+1r。

解：在图论中我们学习了一种特殊的简单图：路pn。若用1，2，3，…，8来表示8届毕业生，相互认识的两届毕业生用线相连，可得如下图：

p8：——————————————

故问题就转化为求p8的有三个顶点的独立集的个数。

求路pn中由r个点组成的独立集的个数，问题实际上是从{1，2，3，...，n}中取r个不相邻的组合问题，此时n=8，r=3，则所求独立集的个数为：

N=

（3）方法三：插入法

考虑从{1，2，3，…8}中选出3个数不相邻的，则可以转化为从8-3个位置的中间插入3个数。若这5个位置用“”作标记，可插入的位置用“*”标记，则

* * * * * *

即任意“*”位置选3个形成的组合都是不相邻的，共有C63=20种。

（4）方法四：可以用筛法（容斥原理）

2.容斥原理：容斥原理也称为逐步淘汰原理，是计数的一种基本方法，是组合数学中的重要原理。容斥原理的基本原理如下：

定理：设具有性质p1、p2的S中元素的集合为A1、A2，则S中性质p1、p2都不具备的元素个数是 |∣=∣S|-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|

本题求不相邻组合数，只需考虑在C83的所有组合中筛掉有相邻的组合，即去掉其中存在i，i+1两个相邻的数同时出现在一个组合中的组合。

设对已经选好的组合进行从小到大排序，记a b c，设p1表示a=b-1这个性质，即a，b相邻其数集为A1，设p2表示b=c-1这个性质，具有p2的数集为A2，利用容斥原理得：

|∣= C83-（|A1|+|A2|）+|A1∩A2|

|A1|表示 { i，i+1，c} ，c>i+1 ，则| A1|=

| A2|表示{a，i，i+1}，a

|A1·A2|表示a，b，c三者都相邻数集即为：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}

故||=C83-21×2+6=20.

不相邻计数=||=C83-21×2+6=20

综合上面四种方法各有优劣之处，技巧性也很强，但对于一题多解开阔思路都大有益处。穷举虽然显得笨拙但是在大多数排列组合解题中都是行之有效的，这往往局限于运算复杂度不太大的情况下。插入排序这是一种很常见的题型，在计算机相关知识的一些算法中常用到，而且简易明了。不相邻组合看起来有些陌生，它在实际问题中比比皆是，只是我们运用得少些而已，而且这个知识点也很重要。然而容斥原理在数学解题中及许多实际问题中是重要的法宝，一个问题不好从正面入手，不妨从反面想想，养成逆向思考问题的习惯。灵活运用所学知识解题，从多方位剖析解题思路优化解题步骤可以达到培养数学思想的目的。

三、结论

一题多解是训练思维的好素材，通过一题多解，引导我们就多角度，多方位，多观点分析思考问题，从而扩充思维，不仅局限于固有的方法，力求标新立异，谋求创新；多样化的题型和解题方法，引导我们参与问题要有不同的广度和深度，通过一题多解促使我努力寻求不同的求解方法及其共同的本质，以及思考方式的共性，这最终上升到多解归一，多题归一的高度，使我们更好地掌握数学思想和方法；教育必须注重对学生素质的全面发展，数学教师在教学过程中重点应放在对学生思维和能力的培养和训练，通过一题多解，增强学生的分析、综合、推理、应用能力等，充分发挥各方面的积极主动性，提高教学效益，更好的培养学生综合运用知识的能力。

参考文献

[1]刁在筠，郑汉鼎.运筹学.北京：高等教育出版社，1996

[2]卢开澄.组合数学（计算机科学组合学丛书）.北京：清华大学出版社，1991

[3]彭波.数据结构教程.北京：清华大学出版社，2004

第7篇：离散数学答案范文

关键词：大学数学；趣味性教学；思考

中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）10（c）-0000-00

大学数学是大多数大学生进入大学后所学的第一门课，也是最重要的一门课程之一。良好的开展大学数学教学，不仅能够教授学生数学知识，还能教授学生思维方式、帮助学生树立正确的价值观念，培养学生的逻辑思维能力，促进学生全面发展。但是，就目前我国大学数学教学的实际情况来看，其不符合新课程要求，不利于良好的教育和培养学生。对此，应以新课程要求为准，创新教学方法，将其合理的应用于大学数学教学中，提高大学数学教学水平。笔者建议将趣味性教学应用于大学数学中，提高大学数学教学趣味性、教育性、有效性。具体的论证如下：

一、大学数学教学中实施趣味性教学的重要作用

正所谓兴趣是最高的老师。无论在那个阶段开展教育教学活动，都应当注重提高教学的趣味性，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性，使学生真正融入到教学活动之中，认真思考与学习知识，从而提高学生的知识水平。其实，通过对我国多个地区大学数学教学实际情况的了解，确定很多大学生对数学课程兴致缺缺，甚至厌恶。而造成此种情况发生的直接原因是数学学科本身就比较枯燥、逻辑性强，再加之传统教学方法的运用，使难以使学生真正融入到教学中，积极主动、认真专注的学习数学知识。基于此，在大学数学教学中实施趣味性教学是非常重要的。因为趣味性教学的最大特点就是趣味性，结合大学数学教学实际情况及学生的实际情况，将其科学。合理的应用于大学数学教学之中，可以激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性，让学生真正融入到数学教学之中[1]。

二、大学数学教学现状分析

通过对我国部分地区大学数学教学实际情况的了解，确定大学数学教学现状主要表现为：

（一）受到传统教学模式的阻碍

在过去较长时间以来，数学学习一直存在着很大的误区和弊端。很多学生在学习的过程中对于相关的定理、定义知识存在着疑问，却不得解答，而导致了知识的一知半解，形成了惯性思维方式―――老师教什么，学生记什么。而造成此种情况发生的主要原因是大学数学教学一直采用传统的教学模式，那么在大学数学课堂上教师照搬教材，单一方向的传授数学知识，学生一味的接受知识、学习知识，这使得学生处于机械学习的状态，久而久之，不仅会导致学生数学学习效果不佳，还会使学生对数学教学兴致缺缺，甚至厌恶数学教学。

（二）教师思维方式比较保守

的确，教育领域改革不断深化的背景下，教师应当树立新的教学观念，创新思维方式，以便开展丰富多样的大学数学教学活动，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性，使学生全身心地投入到数学教学活动中，专注而认真的思考、学习数学知识。但是，目前很多大学数学教师依旧固守传统的教学观念，按照传统的思维方式来规划和设计大学数学教学，进而公式化的传输数学知识，致使大学数学教学效果不佳[2]。

（三）学生们自身认识存在误区

在大学数学教学之中，学生不仅要自行倾听教师的讲授，还要学生跟上教师的思维，去理解知识、思考知识，探索知识，从而真正理解和掌握数学知识。但是，现阶段的大学生自身认识存在误区，一味的相信教师，紧跟教师的步伐来学习知识；或学生长期在被动学习影响下已经忽略了知识创新和知识探索，这使得学生在数学学习的过程中难以有所突破。

三、大学数学实施趣味性教学的有效措施

针对当前大学数学教学现状不佳的情况，笔者建议在大学数学教学中科学、合理的实施趣味性教学，提高大学数学教学水平。具体的做法是：

（一）重视每门课的第一节课

下足功夫备好、上好第一节课，不仅可以使学生信任老师，而且可以使学生对该门课程产生兴趣甚至爱上这门课。为了是学生能够真正对数学课程产生浓厚的兴趣，需要教师树立正确的教学观念，重视每一节数学课程的教学。对于正确的教学观念的树立，应以新课程要求为准，树立以人为本的教学理念，如此教师在规划设计数学趣味教学的过程中注意提升学生的主体地位，紧紧围绕学生的实际情况，结合教学内容，巧妙的运用教学方法来设计教学活动，如此可以大大提高数学教学的趣味性和有效性，为更好的教授学生数学知识、提升学生逻辑思维能力、增强学生素质等[3]。所以，在新课程要求下开展大学数学趣味性教学，要求教师高度重视每一节数学课程的教学。

（二）引入悬念，围绕要解决的问题有条不紊地展开教学

通常情况下，学生之所以能够对数学教学产生浓厚的学习兴趣，主要是源于好奇心的驱使。基于此，在组织学生进行大学数学趣味性教学的过程中还要注意引入悬念，围绕要解决的问题有条不紊地展开教学，如此也可以提高大学数学教学的有效性。那么，如何引入悬念，围绕要解决的问题有条不紊地展开教学？P者以《离散数学》教学为例，教师可以提出两个问题，即哈密顿周游世界问题和马的周游路线问题，让学生思考在4×4的国际象棋上，从任何一个方格出发，假设每跳一格恰为一次，那么再回到出发的那个方格，是否可能？如此可以激发学生的好奇心，进而使学生对问题解答产生浓厚兴趣，积极参与教学活动，探索答案，学习知识[4]。

结束语：

良好的开展大学数学教学，不仅能够教授学生数学知识，还能教授学生思维方式、帮助学生树立正确的价值观念，培养学生的逻辑思维能力，促进学生全面发展。但现阶段我国诸多地区大学数学教学不佳，存在诸多问题。对此，笔者建议在大学数学教学中实施趣味性教学，提高大学数学教学的趣味性、教育性及有效性，以便更好的教育和培养学生，提升学生的数学知识水平、逻辑思维能力、创新思维方式等，以便大学生未来能够更好发展。所以，大学数学实施趣味性教学是非常有意义的。

参考文献

[1] 徐立平.大学数学实施趣味性教学探讨[J].中国校外教育（中旬刊），2013（z1）：66-66.

[2] 周小燕.课堂教学中体现大学数学趣味性之探究[J].浙江科技学院学报，2011，23（1）：67-70.

第8篇：离散数学答案范文

[关键词]线性代数应用 矩阵三角分解 教学改革 教学方法 机考试题

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）08-0065-02

2009年1月教育部高教司启动了“利用信息技术工具改造课程”项目，包含理工、财经、艺术等共18项，西安电子科技大学等院校的“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数课程”项目被列为第一项，西安电子科技大学课题组编写的“线性代数实践及MATLAB入门”及“工程线性代数（MATLAB版）”两本教材，较好地体现了经典理论与现代计算手段相结合，将抽象概念形象化，使一些复杂的计算问题得以实现，激发了学生学习的兴趣，培养了解决问题的能力，提高了教学质量。由教育部数学教指委数学基础课程分指委对项目进行了验收鉴定，对项目和教材作出了高度评价。

一、试题建立中遇到的问题

在建立试题的初期，我们遇到了一些看上去很简单却无从下手的问题。

例如：求n阶矩阵A的逆矩阵问题，这是线性代数中最常见的问题，现在是我们如何给出矩阵A？如何保证矩阵A是可逆的？n阶矩阵A有n2个元素，而可逆矩阵对这n2个元素没有什么太多的限制。矩阵A可逆只要求A非奇异，即detA≠0。但是，利用行列式定义计算一个n阶行列式大约需要（n2-1）n次乘法运算，这个计算量是惊人的。反之，用detA≠0这么一个条件去限制矩阵A的n2个元素的取值也是困难的。在线性代数的各类问题中，要求一个矩阵是可逆的是常见问题，比如用Cramer法则求线性方程组的唯一解，也要求方程组系数矩阵是可逆的。在线性空间中，给出两组基之间的过渡矩阵，也要求过渡矩阵是可逆的。

再如：求一个n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系问题，如何保证n元齐次线性方程组Ax=0一定有基础解系？进一步基础解系中包含几个解向量？这些当然应该在生成线性方程组时得到解决。理论上就是要求矩阵A的秩R（A）=r

二、矩阵三角分解的推广应用

数值分析课程中，线性方程组的三角分解法有下面结论，只要矩阵A的各阶顺序主子式都不等于零，则存在唯一的单位下三角矩阵L，和上三角矩阵U，使得A=LU。但是，矩阵A可逆并不要求矩阵A的各阶顺序主子式都不等于零。虽然如此，矩阵的三角分解给了我们重要的启示，容易得到下面的结论：

1. 三角形矩阵可逆的充分必要条件是对角线元素都不等于零。

2. 两个可逆矩阵的乘积一定还是可逆矩阵。

这就给出了随机生成可逆矩阵的方法，只要选取矩阵，

其中，lij，1≤j≤i≤n，uij，1≤i≤j≤n随机取值，只要满足lii，uii≠0，1≤i≤n。则两个三角形矩阵L和U都是可逆的，再取矩阵

这样生成的矩阵A就是可逆矩阵。这是因为|A|=|L||U|=l11l22…lnnu11u22…unn≠0。

在具体应用中，例如生成考试题时，为了使生成的可逆矩阵在求逆矩阵时计算不太复杂，而且不同试题的计算难度相差不大，生成不同矩阵时可以选取相同的阶数n。而取矩阵的元素lij，uij绝对值比较小的整数，取lii=uii=1，1≤i≤n由于此时有|A|=1，利用逆矩阵的计算公式A-1=■A*，可知矩阵A的逆矩阵的所有元素都是整数，便于利用各种方法求矩阵A的逆矩阵，而且答案比较整齐。

对矩阵的三角分解进行进一步研究，我们又得到下面的重要结论：记矩阵，

其中，Lr和Ur分别是r阶下三角形矩阵和r阶上三角形矩阵，B是（m-r）×r阶矩阵，C是r×（n-r）阶矩阵，O1是r×（k-r）阶零矩阵，O2是（m-r）×（k-r）阶零矩阵，O3是（k-r）×r阶零矩阵，O4是（k-r）×（n-r）阶零矩阵。则有

是一个m×n矩阵。而且有如下结论：

如果Lr和Ur是可逆矩阵，则矩阵A的秩等于r。

证明 由于Lr和Ur是可逆矩阵，所以，LrUr可逆，于是有

R（L）=R（U）=R（LrUr）=r，R（A）≤R（L）=r

由于矩阵A中有一个r阶子式|LrUr|≠0，所以，R（A）≥r。

于是，矩阵A的秩等于r。

由此可见，按上述方法可以随机生成一个秩等于r的m×n矩阵A。

三、线性代数课程改造的重要意义

线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课，它不但是学习数值分析、最优化方法、离散数学和微分方程等数学课程的基础，也广泛地应用于工程学、计算机科学、物理学、生物学、经济学、统计学、力学、信号与信号处理、系统控制、通信、航空等学科和领域。

工科学生之所以把线性代数课程作为一门基础课程来学，就是因为后续课程需要应用它来快速、准确地描述和解决问题。也是因为矩阵、向量等线性代数知识是大量具体运算的工具，各种工程问题都要应用这些知识。在教学中，让学生知道课程的用途，带着问题学习知识，是提高学习自觉性和学习动力的重要手段。

线性代数包含行列式、矩阵、向量、线性组合、线性相关、秩、线性方程组、线性空间、线性变换、基、维数、坐标、向量正交、二次型、惯性指数等大量的抽象数学概念，也包含行列式计算、矩阵求逆、矩阵作初等变换、矩阵和向量组求秩、向量组求极大无关组、线性方程组求解、线性空间求基、维数和坐标、将矩阵相似对角化、二次型化标准形[1]等大量的具体计算。由于线性代数中大量计算是复杂的，所以，以笔算为基础的教材只能把大量内容限制在三阶以下的理论推演中，引入了科学计算软件MATLAB，任何高阶问题都可以在短时间内解出，学生可以从大量繁琐的计算中解放出来，把主要精力放在命题实质的思考上。在线性代数课程中充分使用信息技术的最新成果，把工程的需求作为最大的目标，才能让学生同时学习理论和实践，才是线性代数课程发展的最大动力，才能更好地面向现代化，面向未来。

从线性代数课程的角度来看，学生的创新精神、创新能力的培养主要通过应用数学方法解决具体实例来体现。李大潜院士指出：“数学的教学不能和其它科学和外部世界隔离，只是一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子，这不利于了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题，不利于提高学生的数学素养”。在高等学校，线性代数教学涉及专业广，涉及学生人数众多，加强课程与计算机的结合，加强课程的实际应用，让学生通过具体实践去认识、掌握所学的知识，并运用所学的知识去解决实际问题，无疑是重要的。也需要我们去进一步探索、实践。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数（MATLAB版）[M].北京：电子工业出版社，2007，（7）.

[2] 李洪潮.多媒体教学网络系统的应用研究[J].西北工业大学学报（社会科学版），2005，（4）.

[3] 张铁，阎家斌.数值分析[M].北京：冶金工业出版社，2007，（3）.

第9篇：离散数学答案范文

【关键词】ACM；程序设计；自主学习

ACM国际大学生程序设计竞赛（英文全称：ACM International Collegiate Progra-mming Contest（简称ACM-ICPC或ICPC））是由国际计算机界具有悠久历史的权威性组织——美国计算机协会（ACM-Association for Computing Machinery）主办的，它的目的在于通过竞赛展示大学生的创新能力、分析和解决问题的能力、团队合作精神和参加者在有限时间内进行有难度有技巧的编程水平。经过30多年的历程，ACM国际大学生程序设计竞赛已经发展成为世界最具影响力和最能体现大学计算机教学水平、学生素质的大学生计算机竞赛。

作为师范院校的计算机专业参与这类竞赛无疑也是激发学生学习热情的一个非常好的契机。抓住契机，与时俱进，鼓励学生积极参加并让他们亲身感受到很多在课堂上学不到的知识与技能，而这些知识与技能恰恰是用人单位趋之若骛的；同时，又可以锻炼他们的各种能力，从而体会到创造过程中的无穷乐趣，这些无论对他们今后的人生还是就业都很有重大的意义。

2012年4月我院承办了2012 ACM-ICPC国际大学生程序设计竞赛亚洲区域赛（长春站）的比赛，来自全国67所高校、1所中学的140支代表队参加了本次竞赛。2012年10月在第37届ACM-ICPC国际大学生程序设计竞赛亚洲区域赛浙江金华站的赛事中我院Moon Light/月光队以队伍排名第五，学校排名第四的历史最好成绩荣获金牌，并在2013年7月俄罗斯圣彼得堡举行的第37届ACM-ICPC世界总决赛中取得了世界排名第十七，全国排名第三的好成绩。2013年4月，准备了数月的第七届东北师范大学ACM校赛在计算机科学与信息技术学院机房正式开赛。经过了五个小时的艰苦鏖战，百余名选手与辛勤服务的大赛工作人员们一同铸造了这场在学校很有影响力的编程盛典，因此说：多种形式的竞赛是挖掘学生无穷创造力的一个非常好的平台。

下面仅就ACM-ICPC国际大学生程序设计竞赛驱动下的学生自主学习做以下几个方面的讨论。

1.ACM-ICPC散发出的魅力对学生自主学习的吸引

1.1 竞赛的魅力

ACM-ICPC竞赛没有大纲，也没有范围，完全凭借选手自身具备的能力利用所学的知识灵活睿智地设计解决问题的方法。尽管Hal Burch在1999年通过分析得出这样的结论，竞赛的程序设计一般有16种类型，但很少有人面对这宽泛、繁杂、深奥的状况能真正掌握其中绝大部分的方法，而对一些包含这些方法的组合与循环等更具有挑战性的综合问题多数选手都会望尘莫及。因为在竞赛中的很多试题都需要选手当场作出实地的判断和分析，而不是套用固有的解题模式，这就是竞赛有相当难度的所在，也是它魅力的所在。正是这种迷人的魅力，激发出那些勇于挑战的学生的好奇和浓厚的学习兴趣，这是学生自主学习的动力之一。

1.2 理论与实践相结合的魅力

现今基础教学与实际运用的矛盾在大学计算机科学的教学中还是普遍存在着。一方面，基础教学与实际运用相距甚远。很多数学、计算机专业基础和理论课程与计算机学科的实际应用没有形成很形象的关联，学生理解起来很困难。部分程序设计、数据结构、算法、软件工程等课程还采用笔试的方式来考察学生的知识掌握能力，这很难考察出学生的真正实际应用水平。很多学生学完高级语言程序设计、数据结构等课程后，考试分数很高却不会编程，这不能不是一件很遗憾的事情，应该引起重视。另一方面，有些学生太注重实践运用而忽略基础课程的学习。有一部分学生比较容易被眼前流行的计算机某些技术应用所吸引，愿意学习最新的计算机技术的开发应用，而对较为枯燥的基础学科尤其是数学类课程很反感、排斥，因此忽略了这方面的学习。这样学生在初期虽然能够学好一些计算机应用开发技术，可在更高层次的开发中却显得后劲不足，缺少基础学科的知识支撑。

而ACM—ICPC竞赛和培训模式是案例教学的最好应用。通过具体的竞赛题目，很多基础理论知识都能很好地运用到程序设计当中，使得学生对学过的理论有更深刻的理解。在这一过程中我们可以引导学生自己动手动脑，用自己掌握的计算机理论基础知识把解题过程讲解出来，和其他学生互相交流，进一步锻炼学生的综合实践能力。由于竞赛题目的宽泛，只靠算法和数据结构等基础知识来提高程序设计水平和竞赛能力是远远不够的。经历过ACM—ICPC竞赛的同学都知道，解决各类竞赛题目需要融入很多相关学科的知识，如：离散数学、图论、组合数学、数论、概率论、线性代数、计算几何学、高等数学等。只有将这些理论知识很好地运用到解题当中，才能锻炼出全面精准的程序设计和算法思维，成为赛场上的顶尖选手，为今后在计算机科学研究领域有更强的实力打下良好基础，这也是微软、Google、IBM等IT巨头重视程序设计类竞赛、非常青睐参赛选手的原因。这种理论与实践相结合的魅力是促使学生自主学习的动力之二。

2.程序设计竞赛提高了学生的自主学习积极性

2.1 成功与挫败

可以说计算机程序设计竞赛为学生提供了一个良好的自我展示平台，通过这个平台，学生可以自由地探索，领略编程过程中冲破一个又一个的困难险阻最终达到他们预期结果的神奇，使他们的才华可以淋漓尽致得到发挥。即使没有得到预期结果，但整个思索设计过程也是充满着痛与快乐，各种能力得到锻炼的收获也足以让他们回味无穷。

无论是在ACM—ICPC竞赛还是集训时的解题过程中，学生通过自己的努力思考每完成相关题目并得到预期结果后，都会获得一种成功感，这种成功感是促进学生继续学习不断进步的动力之一，渴望拓宽知识就是他们自主学习的力量源泉。相反当看到别人可以顺利完成题目，而自己却不能找到问题或发现错误时，带队教师要能及时正确引导，加强和健全学生良好的心里素质，使学生有一个能够正确地面对失败的平和心态，让学生将这种挫败感转化为踏实学习收获经验的快乐过程，提高学生自主学习的积极性。这种积极性也会对周围其他同学产生正面的作用，对形成良好的学风也是一种促进。

2.2 学无止境

从大一开始就要有意识地引导学生，培养他们扎实的程序设计基础，如果学生一直坚持到毕业，也有十几万行代码的存储量，再加上要循序渐进地学习其他方面的知识并通过竞赛培训，强化、拓展相关学科知识的深度和广度，使得他们考虑问题更全面。每当学生做出很有技巧很有难度的题目，就会感觉像完成一项艺术创作，一行行代码页会散发出诗一样的美，让他们充满与自豪。正如参加过ACM—ICPC的一个学生所体会的那样：你在学校所获得的这个的高度可以代表你以后工作的高度，决定了你究竟是一个小小的程序员，还是一个真正的开发者。如果你不懂那些高深的算法和雄厚的理论基础知识你就永远只是小小的程序员，这和是否获奖没有关系，当然获奖了工作出路显然会好一些，但不要总想着拿奖，要想着开阔自己的思维，这是未来工作和生活最需要的。

2.3 团队合作

ACM—ICPC覆盖的知识面非常广泛，如果仅凭一个人的力量全部掌握这些知识几乎是不可能的，这就是组团合作最根本的原因之一。根据团员所擅长的方面，扬长避短，互相学习，分工合作，在这一过程中激发出每个团员自主学习共同提高的精神。三人行必有我师，默契配合、相互鼓励是取胜的关键。在组织竞赛培训时，重要的不是老师的水平和能力，而是如何引导学生挖掘自身的潜力，为他们自主学习指引方向。使得整个团队有一个良好的学习比赛氛围，最大程度地激发选手之间自主学习相互合作的积极性和创造力。

3.结束语

经过ACM—ICPC竞赛和培训的学生一般都具备一套属于自己的独特思维方式和自主学习技能。他们迸发的自主学习热情使得他们可以不依赖教师的提醒和监督，完全就能对自己的学习现状进行准确地分析和评价。但具有完全自主学习能力的学生需不需要老师的指导了呢？答案是肯定的。教师还是要对学生的一些学习阶段给予适当的意见反馈，帮助学生预测在自主学习过程中可能会出现的问题，使得学生对自己有一个客观实际的估价，即使自己已经很优秀，但还是需要在自主这方面多做努力。这样才能不断进步，最大限度地释放自身的学习潜能，让他们认识到：做不断攀登自主发展的成功学习者是一个永无止境的过程，只有不断汲取各种营养才能在今后的学习及发展中取得更加卓越的成就。

参考文献

[1]张胜.ACM大赛启事录[J].软件世界，2005，5.

[2]陈康民，龙晓莉.程序设计竞赛对教学作用的研究[J].时代教育，2007，6.