高三数学总结精选(九篇)

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第1篇：高三数学总结范文

新的高考形势下，高三数学怎么去教，学生怎么去学？无论是教师还是学生都感到压力很大，针对这一问题备课组在王修汉校长、谢镇祥主任的领导下，在张群怀主任的具体指导下，制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基础。

在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课前，每位教师都准备一周的课，集体备课时，每位教师都进行说课，然后对每位教师的教学目标的制定，重点、难点的突破方法及课后作业的布置等逐一评价。集体备课后，各位教师根据自己班级学生的具体情况进行自我调整和重新精心备课，这样，总体上，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。

二 立足课本 夯实基础

实行新教材后，高考的要求和高考的内容都发生了很大的变化，这就要求我们必须转变观念，立足课本，夯实基础。复习时要求全面周到，注重教材的科学体系，打好“双基”，准确掌握考试内容，做到复习不超纲，不做无用功，使复习更有针对性，细心推敲对高考内容四个不同层次的要求，准确掌握那些内容是要求了解的，那些内容是要求理解的，那些内容是要求掌握的，那些内容是要求灵活运用和综合运用的；细心推敲要考查的数学思想和数学方法；在复习基础知识的同时要注重能力的培养，要充分体现学生的主体地位，将学生的学习积极性充分调动起来，教学过程中，不仅要展现教师的分析思维，还要充分展现学生的思考思维，把教学活动体现为思维活动；同时还适当增加难度，教学起点总体要高，注重提优补差，新高考将更加注重对学生能力的考查，适当增加教学的难度，为更多优秀的学生脱颖而出提供了更多的机会和空间，有利于优秀的学生最大限度发挥自己的潜能，取得更好的成绩；对于差生充分利用辅导课的时间帮助他们分析学习上存在的问题，解决他们学习上的困难，培养他们学习数学的兴趣，激励他们勇于迎接挑战，不断挖掘潜力，最大限度提高他们的数学成绩。

三 因材施教 全面提高

今年高考采用新的模式，学生选修的科类不同，因此学生的整体情况不一样，同一班级的学生，层次差别也较大，给教学带来很大的难度，这就要求每位教师要从整体上把握教学目标，又要根据各班实际情况制定出具体要求，对不同层次的学生，应区别对待，这样，对课前预习、课堂训练、课后作业的布置和课后的辅导的内容也就因人而异，对不同班级、不同层次的学生提出不同的要求。在课堂提问上也要分层次，基础题一般由学生来做，以增强他们的信心，提高学习的兴趣，对能力较强的学生要把知识点扩展开来，充分挖掘他们的潜力，提高他们逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。课后作业的布置，既有全体学生的必做题也有针对较强能力的学生的思考题，教师在课后对学生的辅导的内容也因人而异，让所有的学生都能有所收获，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

四 优化练习 提高练习的有效性

知识的巩固，技能的熟练，能力的提高都需要通过适当而有效的练习才能实现；首先，练习题要精选，题量要适度，注意题目的典型性和层次性，以适应不同层次的学生；对练习要全批全改，做好学生的错题统计，对于错的较多的题目，找出错的原因。练习的讲评是高三数学教学的一个重要的环节，为了最大限度地发挥课堂教学的效益，课堂的讲评要科学化，要注重教学的效果，不该讲的就不讲，该点拨的要点拨，该讲的内容一定要讲透；对于典型问题，要让学生板演，充分暴露学生的思维过程，加强教学的针对性。多做限时练习，有效的提高了学生的应试能力。

五 加强应试指导 培养非智力因素

充分利用每一次练习、测试的机会，培养学生的应试技巧，提高学生的得分能力，如对选择题、填空题，要注意寻求合理、简洁的解题途经，要力争“保准求快”，对解答题要规范做答，努力作到“会而对，对而全”，减少无谓失分，指导学生经常总结临场时的审题答题顺序、技巧，总结考前和考场上心理调节的做法与经验，力争找到适合自己的心理调节方式和临场审题、答题的具体方法，逐步提高自己的应试能力；帮助学生树立信心、纠正不良的答题习惯、优化答题策略、强化一些注意事项。

第2篇：高三数学总结范文

一、精心准备，认真备课

因材施教因人施教，备课时，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计授课类型，拟定教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。让每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出评价与总结，写好教学后记，并认真按搜集每节课的知识要点，归纳成集。

二、增强上课技能，提高教学质量

力求讲解清晰化、条理化、准确化。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快;注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多;同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生，关注学生的学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。

三、虚心请教其他老师

教学上有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，同时，多听老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。

四、认真批改作业

布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。

五、做好课后辅导工作，注意分层教学

第3篇：高三数学总结范文

 

 

高二数学知识点总结(一)

【一】

(一)基本概念

必然事件

确定事件

1、事件不可能事件

不确定事件(随机事件)

2、什么叫概率?

表示一个事件发生可能性的大小，记为P(事件名称)=a;

练习一：判断下列事件的类型

(1)今天是星期二，明天是星期三;

(2)掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到点数7;

(3)买彩票中了500万大奖;

(4)抛两枚硬币都是正面朝上;

(5)从一副洗好的牌中(54张)中抽出红桃A。

(二)预测随机事件的概率

1、步骤：

(1)找出所有机会均等的结果，作为概率的分母

注：不能仅凭主观判断，而应利用列举法、树状图、列表法等方法找。

(2)明确关注结果，作为分子

2、用列表法或树状图分析复杂情况下机会均等结果

【二】

一、随机事件

主要掌握好(三四五)

(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。

(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。

(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。

二、概率定义

(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;

(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;

(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。

三、概率性质与公式

(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);

(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B);

(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);

(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，

贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;

如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式.

(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式.

【三】

1.辗转相除法是用于求公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法.

2.所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的公约数.

3.更相减损术是一种求两数公约数的方法.其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的公约数.

4.秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法.

5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.

6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满进一”，就是k进制，进制的基数是k.

7.将进制的数化为十进制数的方法是：先将进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.

8.将十进制数化为进制数的方法是：除k取余法.即用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数就是相应的进制数.

高二数学知识点总结(二)

第一章 算法初步

算法的概念

算法的特点

(1)有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当 是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个 确定的 后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每 一 步都准确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性：

求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过 有限、事先设计好的步骤加以解决.

程序框图

1、程序框图基本概念：

(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：

1.表示相应操作的程序框;

2.带箭头的流程线;

3.程序框外

4.必要文字说明。

(二)构成程序框的图形符号及其作用

画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退 出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果; 另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

(三)、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。  

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而

下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B

框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执

行B框所指定的操作。

2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结 构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B 框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可 以有多个判断框。

3、循环结构：

在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况， 这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构。

循环结构可细分为两类：

(1)一类是当型循环结构

如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

(2)另一类是直到型循环结构

如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

当型循环结构 直到型循环结构

输入、输出语句和赋值语句

赋值语句

(1)赋值语句的一般格式

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;

(3)赋值语句中的“=”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两 边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;

(4)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或 算式;

(5)对于一个变量可以多次赋值。

注意：

①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)

④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

注意：

在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1;若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2

第二章 统计

简单随机抽样

1.总体和样本：

1.研究对象的全体叫做总体.

2.每个研究对象叫做个体.

3.总体中个体的总数叫做总体容量.

4.样本容量：一般从总体中随机抽取一部分：

研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.

2.简单随机抽样：

从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点：

每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间 无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在 总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3.简单随机抽样常用的方法：

(1)抽签法;

⑵随机数表法;

⑶计算机模拟法;

⑷使用统计软件直接抽取。

4.抽签法:

(1)给调查对象群体中的每一个对象编号;

(2)准备抽签的工具，实施抽签

(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查

5.随机数表法

系统抽样

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样 本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)

分层抽样

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法：

(1)按比例分层抽样：

根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取样本的方法。

(2)不按比例分层抽样：

有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便 于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体 时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢 复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、平均值：

2、.样本标准差：

4.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变

(2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍

2.3.2两个变量的线性相关

1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数

2.回归直线方程的应用

(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系

(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

第三章 概 率

随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

(1)必然事件：在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件;

(2)不可能事件：在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件;

(3)随机事件：在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件;

(4)基本事件：

试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样 的 时间叫基本事件;

(5)基本事件空间：

所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母Ω表示;

(5)频数、频率：

在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验 中事件A出现的次数为事件A出现的频数;称事件A出现的比例为事 件A出现的频率;

(6)概率：

在n次重复进行的试验中，时间A发生的频率m\n，当n很大时，总是在某个常 熟附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常熟叫做事件A 的概率，记作P(A)，0≤P(A)≤1;

概率的基本性质

1.必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1;

2.当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);

3.若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于 是有P(A)=1—P(B);

4.互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不 会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生;(2) 事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事 件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2) 事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

古典概型

(1)古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

(2)古典概型的解题步骤;

①求出总的基本事件数;

②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)=#FormatImgID_5#

几何概型

基本概念：

(1)几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型;

(2)几何概型的概率公式：

P(A)=

(3)几何概型的特点：

1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;

2)每个基本事件出现的可能性相等.

高二数学知识点总结(三)

一、简谐运动

1.机械振动：机械振动是指物体在平衡位置附近所做的往复运动.

2.回复力：回复力是指振动物体所受到的指向平衡位置的力，是由作用效果来命名的.回复力的作用效果总是将物体拉回平衡位置，从而使物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。回复力是由振动物体所受力的合力(如弹簧振子)沿振动方向的分力(如单摆)提供的，这就是回复力的来源。

3.平衡位置：平衡位置是指物体在振动中所受的回复力为零的位置，此时振子未必一定处于平衡状态.比如单摆经过平衡位置时，虽然回复力为零，但合外力并不为零，还有向心力.

4.描述振动的物理量：

①位移总是相对于平衡位置而言的，方向总是由平衡位置指向振子所在的位置—总是背离平衡位置向外;②振幅是物体离开平衡位置的最大距离，它描述的是振动的强弱，振幅是标量;③频率是单位时间内完成全振动的次数;④相位用来描述振子振动的步调。如果振动的振动情况完全相反，则振动步调相反，为反相位.

5.简谐运动：A、简谐运动的回复力和位移的变化规律;B、单摆的周期。由本身性质决定的周期叫固有周期,与摆球的质量、振幅(振动的总能量)无关。

6.简谐运动的表达式和图象：x=Asin(ωt+φ0) 简谐运动的图象描述的是一个质点做简谐运动时，在不同时刻的位移，因而振动图象反映了振子的运动规律(注意：振动图象不是运动轨迹)。由振动图象还可以确定振子某时刻的振动方向.

7.简谐运动的能量：不计摩擦和空气阻力的振动是理想化的振动，此时系统只有重力或弹力做功，机械能守恒。振动的能量和振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。

高二数学知识点总结(四)

随机事件的概率

平面直角坐标系

证明不等式的方法

绝对值不等式

均匀随机数的产生

随机事件的概率

概率的基本性质

古典概型

不等式与不等关系

基本不等式

等差数列

简单的逻辑连接词

全称量词与存在量词

基本不等式的证明

正弦定理

充要条件

三角函数的诱导公式

函数y=Asin(wx+φ)的图像

正弦函数、余弦函数的图象

等比数列

四种命题

三角函数模型的简单应用

任意角的三角函数

《随机数的产生》

不等式

等差数列的前N项和

任意角的三角函数

函数y=Asin(ωx+ψ)的图象

任意角和弧度制

正弦函数、余弦函数的图象

高二数学知识点总结(五)

练习:

已知方程 表示焦点在x轴

上的椭圆，则m的取值范围是 .

(0,4)

(1,2)

练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5.

(3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点;

(4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

小结：求椭圆标准方程的步骤：

①定位：确定焦点所在的坐标轴;

②定量：求a, b的值.

例1 ：将圆 = 4上的点的横坐标保持不变，

纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，

并说明它是什么曲线?

解：

将圆按照某个方向均匀地压缩(拉长)，可以得到椭圆。

2)利用中间变量求点的轨迹方程

的方法是解析几何中常用的方法;

练习

1 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，

则P到另一个焦点的距离为( )

A.5 B.6 C.4 D.10

A

2.椭圆

的焦点坐标是( )

A.(±5，0)?

B.(0，±5) ?

C.(0，±12)?

D.(±12，0)

C

3.已知椭圆的方程为 ，焦点在X轴上，

则其焦距为( )

A 2 B 2

C 2 D 2

A

,焦点在y轴上的椭圆的标准方程

l 是 __________.

例2已知圆A：(x+3)2+y2=100，圆A内一

定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心

P的轨迹方程.

解：设|PB|=r.

圆P与圆A内切，圆A的半径为10.

∴两圆的圆心距|PA|=10-r，

即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).

∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.

∴2a=10，

2c=|AB|=6，

∴a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16.

即点P的轨迹方程为 =1.

例3在ABC中，BC=24,AC、AB边上的中线之

和为39，求ABC的重心的轨迹方程.

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练习

第4篇：高三数学总结范文

导数及其应用

第八讲

导数的综合应用

2019年

1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当0

2.（2019北京文20）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

3.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f

′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f

′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数.证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

7.（2019天津文20）设函数，其中.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

8.（2019浙江22）已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有

求的取值范围.

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

2010-2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅰ）已知函数，则

A．在单调递增

B．在单调递减

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点对称

2．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年全国I卷）若函数在单调递增，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）已知为函数的极小值点，则

A．4

B．2

C．4

D．2

5．（2014新课标2）若函数在区间（1，+）单调递增，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

6．（2014新课标2）设函数．若存在的极值点满足

，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

7．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．

8．（2014湖南）若，则

A．

B．

C．

D．

9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与

的图像不可能的是

10．（2013新课标2）已知函数，下列结论中错误的是

A．

B．函数的图像是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间单调递减

D．若是的极值点，则

11．（2013四川）设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．

12．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是

A．

B．是的极小值点

C．是的极小值点

D．是的极小值点

13．（2012辽宁）函数的单调递减区间为

A．(－1,1]

B．(0,1]

C．

[1,+)

D．(0,+)

14．（2012陕西）设函数，则

A．为的极大值点

B．为的极小值点

C．为的极大值点

D．为的极小值点

15．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于

A．2

B．3

C．6

D．9

16．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是

A

B

C

D

17．（2011湖南）设直线

与函数，

的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

A．1

B．

C．

D．

二、填空题

18．（2016年天津）已知函数为的导函数，则的值为____.

19．（2015四川）已知函数，(其中)．对于不相等的实数，设＝，＝．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数，都有；

②对于任意的及任意不相等的实数，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数，使得；

④对于任意的，存在不相等的实数，使得．

其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．

20．（2011广东）函数在=______处取得极小值．

三、解答题

21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数．

(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；

(2)证明：当时，．

22．（2018浙江）已知函数．

(1)若在，()处导数相等，证明：；

(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)证明：只有一个零点．

24．（2018北京）设函数．

(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求；

(2)若在处取得极小值，求的取值范围．

25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，．

26．（2018江苏）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

(1)证明：函数与不存在“点”；

(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；

(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．

27．（2018天津）设函数，其中，且是公差为的等差数列．

(1)若

求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求的极值；

(3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．

28．（2017新课标Ⅰ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

29．（2017新课标Ⅱ）设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围．

30．（2017新课标Ⅲ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明．

31．（2017天津）设，．已知函数，

．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

32．（2017浙江）已知函数．

（Ⅰ）求的导函数；

（Ⅱ）求在区间上的取值范围．

33．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数

的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

34．（2016年全国I卷）已知函数.

(I)讨论的单调性；

(II)若有两个零点，求的取值范围.

35．（2016年全国II卷）已知函数.

(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ)若当时，，求的取值范围.

36．（2016年全国III卷）设函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明当时，；

（III）设，证明当时，．

37．（2015新课标2）已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．

38．（2015新课标1）设函数．

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时．

39．（2014新课标2）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．

40．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

41．（2014新课标1）设函数，

曲线处的切线斜率为0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．

42．（2014山东）设函数

，其中为常数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

43．(2014广东)

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．

44．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；

（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

45．（2013新课标1）已知函数，曲线在点处切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．

46．（2013新课标2）已知函数．

（Ⅰ）求的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．

47．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

48．(2013天津)已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）

证明：对任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，

证明：当时，有．

49．（2013江苏）设函数，，其中为实数．

（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

50．（2012新课标）设函数f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的单调区间

（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值

51．（2012安徽）设函数

（Ⅰ）求在内的最小值；

（Ⅱ）设曲线在点的切线方程为；求的值。

52．（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，其中是的导数．

证明：对任意的，．

53．（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当，且时，．

54．（2011浙江）设函数，

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．

注：为自然对数的底数．

55．（2011福建）已知，为常数，且，函数，（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和()，使得对每一个∈，直线与曲线（∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

56．（2010新课标）设函数

（Ⅰ）若=，求的单调区间；

（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围．

专题三

导数及其应用

第八讲

导数的综合应用

答案部分

2019年

1.解析（1）．

令，得x=0或.

若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；

若a=0，在单调递增；

若a

（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是

，

所以

当时，可知单调递减，所以的取值范围是.

当时，单调递减，所以的取值范围是.

综上，的取值范围是.

2.解析（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，

即与．

（Ⅱ）要证，即证，令．

由得．

令得或．

在区间上的情况如下：

所以的最小值为，最大值为．

故，即．

（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，

当时，；

当时，；

当时，．

综上，当最小时，．

3.解析（1）因为，所以．

因为，所以，解得．

（2）因为，

所以，

从而．令，得或．

因为都在集合中，且，

所以．

此时，．

令，得或．列表如下：

1

+

–

+

极大值

极小值

所以的极小值为．

（3）因为，所以，

．

因为，所以，

则有2个不同的零点，设为．

由，得．

列表如下：

+

–

+

极大值

极小值

所以的极大值．

解法一：

．因此．

解法二：因为，所以．

当时，．

令，则．

令，得．列表如下：

+

–

极大值

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．

所以当时，，因此．

4.解析

（1）设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

（2）由题设知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以，当时，.

又当时，ax≤0，故.

因此，a的取值范围是.

5.解析

（1）设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

（2）由题设知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以，当时，.

又当时，ax≤0，故.

因此，a的取值范围是.

6.解析（1）的定义域为（0，+）.

.

因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，

，故存在唯一，使得.

又当时，，单调递减；当时，，单调递增.

因此，存在唯一的极值点.

（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.

由得.

又，故是在的唯一根.

综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

7.解析（Ⅰ）由已知，的定义域为，且

，

因此当时，

，从而，所以在内单调递增.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，

可知在内单调递减，又，且

.

故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.

当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，

，所以.

从而，

又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

（ii）由题意，即，从而，即.因为当时，

，又，故，两边取对数，得，于是

，

整理得.

8.解析（Ⅰ）当时，．

，

所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

当时，等价于．

令，则．

设

，则

．

（i）当

时，，则

．

记，则

.

故

1

+

单调递减

极小值

单调递增

所以，

．

因此，．

（ii）当时，．

令

，则，

故在上单调递增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得对任意，，

即对任意，均有．

综上所述，所求a的取值范围是．

2010-2018年

1．C【解析】由，知，在上单调递增，

在上单调递减，排除A、B；又，

所以的图象关于对称，C正确．

2．D【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除

A、C；由导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D．

3．C【解析】函数在单调递增，

等价于

在恒成立．

设，则在恒成立，

所以，解得．故选C．

4．D【解析】因为，令，，当

时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．所以．故选D．

5．D【解析】，，在（1，+）单调递增，

所以当

时，恒成立，即在（1，+）上恒成立，

，，所以，故选D．

6．C【解析】由正弦型函数的图象可知：的极值点满足，

则，从而得．所以不等式

，即为，变形得，其中．由题意，存在整数使得不等式成立．当且时，必有，此时不等式显然不能成立，故或，此时，不等式即为，解得或．

7．C【解析】当时，得，令，则，

，令，，

则，显然在上，，单调递减，所以，因此；同理，当时，得．由以上两种情况得．显然当时也成立，故实数的取值范围为．

8．C【解析】设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．

9．B【解析】当，可得图象D；记，

，

取，，令，得，易知的极小值为，又，所以，所以图象A有可能；同理取，可得图象C有可能；利用排除法可知选B．

10．C【解析】若则有，所以A正确。由得

，因为函数的对称中心为（0,0），

所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（∞,

）单调递减是错误的，D正确。选C.

11．A【解析】若在上恒成立，则，

则在上无解；

同理若在上恒成立，则。

所以在上有解等价于在上有解，

即，

令，所以，

所以．

12．D【解析】A．，错误．是的极大值点，并不是最大值点；B．是的极小值点．错误．相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点；C．是的极小值点．错误．相当于关于轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系；D．是的极小值点．正确．相当于先关于y轴的对称，再关于轴的对称图像．故D正确．

13．B【解析】,,由，解得，又，

故选B．

14．D【解析】，，恒成立，令，则

当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，

则为的极小值点，故选D．

15．D【解析】，由，即，得．

由，，所以，当且仅当时取等号．选D．

16．D【解析】若为函数的一个极值点，则易知，选项A，B的函数为，，为函数的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴，且开口向下，

，，也满足条件；选项D中，对称轴

，且开口向上，，，与题图矛盾，故选D．

17．D【解析】由题不妨令，则，

令解得，因时，，当时，

，所以当时，达到最小．即．

18．3【解析】．

19．①④【解析】因为在上是单调递增的，所以对于不相等的实数，恒成立，①正确；因为，所以

=，正负不定，②错误；由，整理得．

令函数，则，

令，则，又，

，从而存在，使得，

于是有极小值，所以存

在，使得，此时在上单调递增，故不存在不相等的实数，使得，不满足题意，③错误；由得，即，设，

则，所以在上单调递增的，且当时，

，当时，，所以对于任意的，与的图象一定有交点，④正确．

20．2【解析】由题意，令得或．

因或时，，时，．

时取得极小值．

21．【解析】(1)的定义域为，．

由题设知，，所以．

从而，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

(2)当时，．

设，则

当时，；当时，．所以是的最小值点．

故当时，．

因此，当时，．

22．【解析】(1)函数的导函数，

由得，

因为，所以．

由基本不等式得．

因为，所以．

由题意得．

设，

则，

所以

16

+

所以在上单调递增，

故，

即．

(2)令，，则

，

所以，存在使，

所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点．

由得．

设，

则，

其中．

由(1)可知，又，

故，

所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1个实根．

综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

23．【解析】(1)当时，，．

令解得或．

当时，；

当时，．

故在，单调递增，在单调递减．

(2)由于，所以等价于．

设，则，

仅当时，所以在单调递增．

故至多有一个零点，从而至多有一个零点．

又，，

故有一个零点．

综上，只有一个零点．

24．【解析】(1)因为，

所以．

，

由题设知，即，解得．

(2)方法一：由(1)得．

若，则当时，；

当时，．

所以在处取得极小值．

若，则当时，，

所以．

所以1不是的极小值点．

综上可知，的取值范围是．

方法二：．

(ⅰ)当时，令得．

随的变化情况如下表：

1

+

−

↗

极大值

在处取得极大值，不合题意．

(ⅱ)当时，令得．

①当，即时，，

在上单调递增，

无极值，不合题意．

②当，即时，随的变化情况如下表：

1

+

−

+

↗

极大值

极小值

↗

在处取得极大值，不合题意．

③当，即时，随的变化情况如下表：

+

−

+

↗

极大值

极小值

↗

在处取得极小值，即满足题意．

(ⅲ)当时，令得．

随的变化情况如下表：

−

+

−

极小值

↗

极大值

在处取得极大值，不合题意．

综上所述，的取值范围为．

25．【解析】(1)，．

因此曲线在点处的切线方程是．

(2)当时，．

令，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以．因此．

26．【解析】(1)函数，，则，．

由且，得，此方程组无解，

因此，与不存在“点”．

(2)函数，，

则．

设为与的“点”，由且，得

，即，（*）

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为与的“点”．

因此，的值为．

(3)对任意，设．

因为，且的图象是不间断的，

所以存在，使得．令，则．

函数，

则．

由且，得

，即，（**）

此时，满足方程组（**），即是函数与在区间内的一个“点”．

因此，对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”．

27．【解析】(1)由已知，可得，故，

因此，=−1，

又因为曲线在点处的切线方程为，

故所求切线方程为．

(2)由已知可得

．

故．令=0，解得，或．

当变化时，，的变化如下表：

(−∞，

)

(，

)

(，

+∞)

+

−

+

↗

极大值

极小值

↗

所以函数的极大值为；函数小值为．

(3)曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，

令，可得．

设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点．

．

当时，，这时在R上单调递增，不合题意．

当时，=0，解得，．

易得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

的极大值=>0．

的极小值=−．

若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意．

若即，

也就是，此时，

且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．

所以的取值范围是

28．【解析】（1）函数的定义域为，

，

①若，则，在单调递增．

②若，则由得．

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

③若，则由得．

当时，；当时，，

故在单调递减，在单调递增．

（2）①若，则，所以．

②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为

．从而当且仅当，即时，．

③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为

．

从而当且仅当，即时．

综上，的取值范围为．

29．【解析】（1）

令得

，．

当时，；当时，；当时，．

所以在，单调递减，在单调递增．

（2）．

当时，设函数，，因此在单调递减，而，故，所以

．

当时，设函数，，所以在单调递增，而，故．

当时，，，

取，则，，

故．

当时,取,则,．

综上，的取值范围是．

30．【解析】（1）的定义域为，．

若，则当时，，故在单调递增.

若，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为

．

所以等价于，

即．

设，则．

当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为．所以当时，．从而当时，，即．

31．【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或．由，得．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得．

所以，在处的导数等于0．

（ii）因为，，由，可得．

又因为，，故为的极大值点，由（I）知．

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，

从而在上恒成立．

由，得，．

令，，所以，

令，解得（舍去），或．

因为，，，故的值域为．

所以，的取值范围是．

32．【解析】（Ⅰ）因为，

所以

（Ⅱ）由

解得或．

因为

x

（，1）

1

（1，）

（，）

-

+

-

↗

又，

所以在区间上的取值范围是．

33．【解析】(1)由,得.

当时，有极小值.

因为的极值点是的零点.

所以，又，故.

因为有极值，故有实根，从而，即.

时，，故在R上是增函数，没有极值；

时，有两个相异的实根，.

列表如下

+

–

+

极大值

极小值

故的极值点是.

从而，

因此，定义域为.

（2）由（1）知，．

设，则．

当时，，所以在上单调递增．

因为，所以，故，即．

因此．

（3）由（1）知,的极值点是，且，.

从而

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，.

因为，于是在上单调递减.

因为，于是，故.

因此的取值范围为.

34．【解析】

(Ⅰ)

(i)设，则当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

(ii)设，由得或．

①若，则，所以在单调递增.

②若，则,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.

(Ⅱ)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b

则，所以有两个零点.

(ii)设a=0，则，所以有一个零点.

(iii)设a

又当时，

综上，的取值范围为.

35．【解析】（Ⅰ）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（Ⅱ）当时，等价于

令，则

，

（i）当，时，，

故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

，

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

36．【解析】（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.

所以当时，.

故当时，，，即.

（Ⅲ）由题设，设，则，

令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

由（Ⅱ）知，，故，又，

故当时，.

所以当时，.

37【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

若，则，所以在单调递增．

若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为．

因此等价于．

令，则在单调递增，．

于是，当时，；当时，．

因此的取值范围是．

38．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

当时,，没有零点；

当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；

当时，．

故在单调递减，在单调递增，

所以当时，取得最小值，最小值为．

由于，所以．

故当时，．

39．【解析】（Ⅰ）=，.

曲线在点（0,2）处的切线方程为．

由题设得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设，由题设知．

当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根．

当时，令，则．

，在单调递减，在单调递增，

所以，所以在没有实根.

综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．

40．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为

由可得

所以当时，，函数单调递减，

所以当时，，函数单调递增，

所以

的单调递减区间为，的单调递增区间为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，

故在内不存在极值点；

当时，设函数，，因此．

当时，时，函数单调递增

故在内不存在两个极值点；

当时，

函数在内存在两个极值点

当且仅当，解得

综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为．

41．【解析】（Ⅰ），

由题设知，解得．

（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，

即，解得．

（ii）若，则，故当时，；

当时，，在单调递减，在单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，

而，所以不合题意．

（iii）若，则．

综上，的取值范围是．

42．【解析】（Ⅰ）由题意知时，，

此时，可得，又，

所以曲线在处的切线方程为．

（Ⅱ）函数的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令，

由于，

①当时，，

，函数在上单调递减，

②当时，，，函数在上单调递减，

③当时，，

设是函数的两个零点，

则，，

由

，

所以时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，在，上单调递减，在上单调递增．

43．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）

44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函数

（Ⅱ）由题意，，即

，，即对恒成立

令，则对任意恒成立

，当且仅当时等号成立

（Ⅲ），当时，在上单调增

令，

，，即在上单调减

存在，使得，，即

设，则

当时，，单调增；

当时，，单调减

因此至多有两个零点，而

当时，，；

当时，，；

当时，，．

45．【解析】．由已知得，，

故，，从而；

（Ⅱ）

由（I）知，

令得，或．

从而当时，；当时，．

故在，单调递增，在单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

46．【解析】（Ⅰ）的定义域为，

①

当或时，；当时，

所以在，单调递减，在单调递增．

故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为．

（Ⅱ）设切点为，则的方程为

所以在轴上的截距为

由已知和①得．

令，则当时，的取值范围为；当时，的取值范围是．

所以当时，的取值范围是．

综上，在轴上截距的取值范围．

47．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲线在点处的切线平行于轴，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．

②当时，令，得，．

，；，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

综上，当时，函数无极小值；

当，在处取得极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，

令，

则直线：与曲线没有公共点，

等价于方程在上没有实数解．

假设，此时，，

又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．

又时，，知方程在上没有实数解．

所以的最大值为．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）当时，．

直线：与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：

（*）

在上没有实数解．

①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．

②当时，方程（*）化为．

令，则有．

令，得，

当变化时，的变化情况如下表：

当时，，同时当趋于时，趋于，

从而的取值范围为．

所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．

综上，得的最大值为．

48．【解析】（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln

x＋x＝x(2ln

x＋1)，令f′(x)＝0，得.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f′(x)

－

＋

f(x)



极小值

所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.

（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.

设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．

h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln

et－t＝t(e2t－1)＞0.

故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

（Ⅲ）证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而

，

其中u＝ln

s.

要使成立，只需.

当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．

所以s＞e，即u＞1，从而ln

u＞0成立．

另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.

当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.

故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.

因此成立．

综上，当t＞e2时，有.

49．【解析】：（Ⅰ）由题在上恒成立，在上恒成立，；

若，则在上恒成立，在上递增，

在上没有最小值，，

当时，，由于在递增，时，递增，时，递减，从而为的可疑极小点，由题，，

综上的取值范围为．

（Ⅱ）由题在上恒成立，

在上恒成立，，

由得

，

令，则，

当时，，递增，

当时，，递减，

时，最大值为，

又时，，

时，，

据此作出的大致图象，由图知：

当或时，的零点有1个,

当时，的零点有2个,

50．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

若，则，所以在单调递增．

若，则当时，当，，所以

在单调递减，在单调递增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f´(x)+x+1=．

故当时，(x－k)

f´(x)+x+1>0等价于

（）

①

令，则

由（Ⅰ）知，函数在单调递增．而，所以在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，设此零点为，则．当时，；当时，，所以在的最小值为，又由，可得，所以

故①等价于，故整数的最大值为2．

51．【解析】（Ⅰ）设；则

①当时，在上是增函数

得：当时，的最小值为

②当时，

当且仅当时，的最小值为

（Ⅱ）

由题意得：

52．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，

即，解得；

（Ⅱ），令可得，

当时，；当时，．

于是在区间内为增函数；在内为减函数．

（Ⅲ）

=

因此对任意的，等价于

设

所以，

因此时，，时，

所以，故．

设，则，

，，，，即

，对任意的，．

53．【解析】（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故

即,解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考虑函数，则

所以当时，故

当时，

当时，

从而当

54．【解析】（Ⅰ）因为

所以

由于，所以的增区间为，减区间为

（Ⅱ）【证明】：由题意得，

由（Ⅰ）知内单调递增，

要使恒成立，

只要，解得

55．【解析】（Ⅰ）由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得从而

，故：

（1）当；

（2）当

综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（0，1）；

当时，函数的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为。

（Ⅲ）当时，

由（Ⅱ）可得，当在区间内变化时，的变化情况如下表：

－

+

单调递减

极小值1

单调递增

2

又的值域为[1，2]．

由题意可得，若，则对每一个，直线与曲线

都有公共点．并且对每一个，

直线与曲线都没有公共点．

综上，当时，存在最小的实数=1，最大的实数=2，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．

56．【解析】（Ⅰ）时，，

。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（1，0）单调减少．

（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0．

若，则当时，，为减函数，而，

第5篇：高三数学总结范文

1.“变式教学”的含义

高三学生已进入到高考倒计时的关键时期，在这个阶段的学习要以追求高效为主。采用“变式教学”的策略进行高中数学总知识的复习与整合，不但将学生从题海训练中解脱出来，有效减轻压力，而且还有利于提高学生对数学知识的观察与总结能力，培养数学思维，提高数学能力，实现效率与成绩的大幅度提高。变式教学顾名思义是指通过采用多种变化性质的方式进行数学教学，如概念的本质属性和非本质属性变式、知识理论的发展与解答变式等，帮助学生从多个角度重新认识数学知识，探究规律，培养知识创新与应用能力。

2.高三数学教学课堂上有效变式教学的策略

2.1加深对数学概念的理解

数学概念大多较于抽象，一旦学生在初次学习时没有掌握全面，那么在后续相关知识的学习中势必产生较大影响，以至于为复习工作增添了难度。为了加深学生对数学概念的理解，教师可以采用过程性变式的方式为学生建立逐层递进的问题情境，如一题多问、多题一解等，确保问题具有层次感，逐渐将学生的数学解题思路打开，充分了解理论内涵的同时，实现深度掌握知识和灵活运用知识的目的。

2.2明确变式教学的最终目的

教师对变式教学的应用，首先要确定自身教学目标的清晰定位。作为教学课堂上的组织者与引导者，教师需要在教学过程中培养学生的互动交流能力和独立思考能力，鼓励学生调动思维，跟上教师变式教学的脚步，从而充分享有学习主导地位。

2.3合理设计数学变式教学内容

高三是高中阶段最重要的时期，教师在为学生做好复习工作的规划时，要把握好教学的进度与尺度，根据学生的实际情况，针对重点与难点进行变式教学。数学知识来源于教材，也贴近生活，教师要通过对教学内容的合理变式与设计，提高学生的学习兴趣，寓教于乐。

3.高三数学教学课堂上变式教学的实施

3.1过程性变式教学

在高三数学复习阶段，采用过程性变式教学方式必须遵循循序渐进的原则，复习过程中的问题呈现“阶梯式”，使得学生在复习的同时全面掌握知识的发展过程，一题多变、一题多解、层层递进。比如，我们知道一个圆的方程为x2+y2=r2，那么假设圆上的一点M坐标为（x0，y0），经过这点的切线方程是多少？针对这个问题，我们可以展开层层递进的三个变式，首先假设M（x0，y0）在圆的内部却不位于圆心上，那么直线xx0+yy0=r2具有什么几何意义？第二个变式，假设M（x0，y0）在圆的外部，那么直线xx0+yy0=r2具有什么几何意义？最后的变式是：假设M（x0，y0）在圆的内部却不位于圆心，那么直线与圆的交点为多少个？这种一题多问、一题多变的方法逐渐拓展了学生对于圆性质知识点的思路，成功将学生在圆形性质基础知识上的数学知识外延了内涵。

3.2概念性变式教学

课堂上复习数学概念或定义时，教师通过各种变化的方式为学生揭示知识点的内涵，提高学生的准确辨析能力，使其在相关试题的测验中灵活运用。例如，关于椭圆定义的复习课堂，教师可以列出一些方程式，让学生指出这四个方程式表示的是什么曲线。学生通过观察四个方程式的异同，复习椭圆的性质与概念，经过分析与总结，就能从中找出规律，准确掌握椭圆的定义和解题的正确思路。

3.3试题式变式教学

在以复习和讲评为主的高三数学课堂上，对于试题的练习和总结是复习工作的重要环节。如果一个类型的试题在多变上出现了更多的思考，那么学生就很容易找准复习的规律和一手抓的思维，在一试题训练上更换条件或结论，亦或是更换内容与形式，都可以轻而易举地保存题目中的重点信息和主要知识点，保留本质的因素，节省大量时间，达到有效复习的目角度和方式的求解，同时复习到不同的基础知识和数学性质，几何运算、向量分解与合成、代数运算，融会贯通后，学生很容易根据随时变化的题型迅速想出解题办法。

第6篇：高三数学总结范文

【关键词】数学概念；课优化策略；实践研究

一、高三数学概念复习课的必要性

在整个高中数学的知识体系中，数学概念占据着非常重要的地位.数学概念是数学学科的精髓和灵魂，是数学思维的细胞，掌握数学概念是学好数学的基础，是提高解题思维能力的关键.故必须要掌握到位、理解透彻.但由于高一、高二讲授新课时，受内容多、课时少的影响，很多教师会忽视对概念的教学.而在高三数学复习课堂中，数学概念的复习本来也应是非常重要的一个环节，然绝大多数高三数学教师往往会忽视概念的复习，企图通过“题海战术”促成学生对概念本质的掌握，结果是效果低微、事倍功半.因此，重视高三数学概念复习教学是必要的.

二、高三数学概念复习课的目的

高三复习主要是要求学生能完善知识结构，强化知识体系.复习课的首要任务就是要让学生搞清基本的定义、概念、基本原理、基本方法，明白知识体系的形成过程，同时，通过复习疏通相关知识间的联系，由点成线，由线成面，完成知识的重组，完善知识的结构.例如，函数概念的复习，抓住自变量，它是正确理解函数概念的前提.通过复习数学概念揭示概念的形成、发展和应用的过程，去完善学生的认知结构，开发学生的思维能力，并夯实学生基础.

三、高三数学概念复习课有效教学的途径

（一）字斟句酌，正确理解

数学概念历经数代的数学家们不断地概括、总结并完善，核心概念已经十分的精炼.因此，在高三总复习时，对数学概念再进行字斟句酌的复习，特别是对其中的关键词语，深入仔细推敲，深刻领会数学概念的深意，只有这样才能正确理解概念，避免产生概念的误解.例如，复习异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.这里要引导学生理解“不同在任何一个平面”其特点是：既不平行，也不相交.剖析其判定方法：①定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内.②定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直线.再如，函数的概念：设A、B为两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数.这里要重点讲清楚“任意”与“唯一”包含的意义.

（二）对比辨析，深刻理解

一方面，高中数学中的许多概念具有高度的抽象性和相似性，使得很多学生到了高三了还对这些数学概念的理解产生混淆.例如，子集与真子集、映射与函数、对数与指数、频率与概率、互斥事件与相互独立事件等.另一方面，许多概念学生从正面理解比较困难，容易产生一些错误的认识，而反例是对概念错误认识的有效手段，时常能起到意想不到的效果.例如，对于函数概念复习仍需要强调两点：① 函数定义域，② 函数解析式，所以，判定两个函数是否相同的标准也是这两个.

下面判断两个函数是否相同：y=x2与y=x，通过学生分析，讨论，抓住概念的两个本质要素进行判断.高三复习概念时，适当地举一些反例加以辨析，对于突出概念本质属性，澄清我们的模糊认识是非常重要的.

（三）变式训练，彰显本质

在高考数学复习的教学过程中，注重变式训练，不仅有利于改变学生只注重做题，不注重思考、变通、总结的现象，还有利于培养学生多方位的数学思维，从而提高高考数学总复习的效率.其中概念性变式就利于揭示数学概念的本质属性，其意图就是通过对数学问题进行多方位、多角度的变式，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质属性及其发展规律.使得学生对数学概念获得多角度的理解，展示知识的发生、发展、和形成过程，建立知识网络，抓住问题的本质属性，加深对概念的理解，也一定程度上增强了学生的应变能力和创新意识，提高了学生发现问题和解决问题的能力.

（四）推陈出新，延伸拓展

高考数学复习的过程中，知识的宽度、深度拓展很重要.而数学概念是数学知识建构的基石，“如果先不教明概念，便是教得不好的.”夸美纽斯在《大教学论》中的这句话说明了概念教学的重要性.应试状态下的高三数学概念复习教学，常常在复习旧知授课即题海战术习题化的思想下变成一个速成的过程.显然，这是不利于学生有效地建构数学概念系统的理解及概念构建.笔者认为，高三数学复习教学中的概念复习教学非但不能压缩，还应当在原有教学过程的基础上进行拓展延伸，推陈出新.

以上是笔者对高三数学概念复习课优化策略的一些实践研究，高三数学概念的复习教学是高考复习备考的重要环节，是高考复习回归基础知识和基本技能教学的核心.广大高三一线教师一定要走出轻视概念复习教学的误区，通过精心设计，大胆尝试，优化教学策略，让学生达到对概念本质的理解.

【⒖嘉南住

第7篇：高三数学总结范文

2015年江苏高考已经结束，但是高考后我们高三数学老师的思考则不可能停止.虽然总体学生的高考成绩还算令人满意，但一年高三复习的有效性不得不令人思考.在高考中一部分学生对于遇到一些新题方寸大乱，遇到繁长的应用题审题如此吃力，遇到计算量大的解析几何早早放弃，从而高考成绩一落千丈.我们的老师在高三复习中给学生做了千道题，归纳了百种题型和方法，却忘记了高考考的是学生的基础和思维，让学生成了题海的奴隶.所以高考中思考我们高三复习怎样才是行之有效的，能让学生的能力得到提升，我觉得至少要做到以下三点.

首先，我们的高三课堂要重视学生的思维，不仅仅是教给学生数学解题的方法，还要让学生掌握重要的数学思想.在复习课本公式定理的时候不应该把结论一带而过，让学生死背结论去应用，还是应该带着学生一起复习定理公式的推导过程，从而复习了重要的数学方法和思想.例如等差等比数列求和公式的推导就复习了倒序相加和错位相减法.在复习基本知识的时候可以让学[JP2]生自己整理出一章的知识结构图和用到的思想方法，培养学生的自主学习能力.在高三的课堂上教师要给学生思维的空间，形式热闹的探究讨论课不可能是主流课堂，数学的本质在于思维，一个好的数学问题的提出，哪怕教室鸦雀无声，[JP]学生的思维也是积极的，收获也是很大的.若学生仍无法解答，老师再在他们思考的基础上予以启发提问，学生的思维能力自然得到提高.求等差数列的前n项和最值，要让学生联想函数问题，数列的定义域是什么，它和二次函数的最值一样吗？给出一个不等式：f（x）=xcosx ，x∈（-[SX（]π[]2[SX）]，[SX（]π[]2[SX）]），则f（3x-2）

高三复习离不开解题，学生解题能力的提高自然是重中之重.可是，如果我们老师课堂上只是教给学生如何读题、析题、解大量的题，就能让学生的解题能力大大提高吗？在题海中，学生没有真正消化，缺少反思总结，学生会越来越茫然.当老师觉得题目这么简单而学生却觉得很困难时，那肯定是教学中没有重视学生解题后的反思.

实际上，我们和学生一起解完题之后应该让学生学会举一反三，和学生一起进行变式探究，生成新的问题去研究解决.还要让学生反思这道题有没有更好的解法，这种解法能解决哪一类问题，掌握这类问题的通解通法，由多题一解和一解多题的反思中提高学生的解题能力.在解题的过程中学生经常会犯各种各样的错误，要帮学生反思分析他们各自犯错的原因，整理好一本精致的错题本，错题要有错解原因和正解，以及变式拓展，要鼓励学生不要害怕犯错，在错误中反思，在错误中成长.并且在滚动练习中把大家都容易犯的易错题出在里面，在课堂上分析错因，把问题的本质研究透彻，这样才能让我们的学生不仅能够解决问题，还能提高自己的数学思维能力.解题的反思是让学生学会总结归纳，学会发现问题，学习扬长补短，从而逐步提高自己的解题能力.

最后在高三的复习中要让学生明白规范解题书写和提高计算能力的重要性.高考不仅仅考查基本知识和数学思想，还要考查基本的运算能力和数学表达能力，这几年的江苏高考对学生的运算提出了很高的要求，尤其是应用题和解几题.首先，应当重视学生解题的表达和规范书写.经常有老师感叹这个学生很聪明，回答问题反应特别快，想到的方法总是很简便，但是考试却总是考不好，不知道为什么？其实这些学生的解题很不规范，书写很乱，表达不清楚，他的解题过程找不到得分点，经常跳步计算，结果经常算错，方法再好也没有用，所以得不到理想的分数.今年高考中理科附加省平均不高，主要的原因是学生不注意解题过程的书写，只顾结果，忽视过程，而批卷却对规范答题要求严格，所以学生的成绩比预想低.因此我们高三复习中对学生解题的规范一定要重视，表达要清楚，有条理，严密，不能随意跳步骤，一开始就养成良好的解题习惯，这样在考试中才能取得满意的成绩.另外，基本的运算能力，也是数学考查的基础之一.平时我们要让学生在作业中采取限时训练独立计算，课堂上示范计算过程，当面帮他分析计算错误，计算方法的不合理，锻炼学生的计算勇气和计算品质，通过课堂训练和课堂反思来提高学生的计算能力，培养学生坚持到底，锲而不舍的意志品质.许多学生思维方法都没有问题，最后都倒在了计算上，问题在于首先遇到计算量大的问题总是望而生畏，怕繁怕难，早早放弃，缺乏计算的勇气和决心.而有的人计算的方法总是选择不当，不会用巧妙的计算方法，导致简单问题复杂化，而有的人则总是计算跳步，算完也不回头看看，导致计算总是出错.因此，我们在复习中要培养学生坚韧不拔的计算品质，帮助学生养成良好的计算习惯，不断总结好的计算方法，分析反思自己的计算错误并予改正，这样才能让学生在高考中打出漂亮的一仗.

第8篇：高三数学总结范文

关键词：高三复习；有效性；基础

教师是教学活动的组织者、引导者和合作者，学生是数学学习的真正主人，而数学课堂则是数学学习和交流的重要场所。通过有效的高三复习课教学帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，作为教师首先要树立正确的思想观念和教学理念，才能引领有效的教学行为。

第一，以学生为主体，面向全体学生。新课程理念之一是课堂教学观念的转变，在新课程理念下教师要确立“以全体学生为中心，以学生的学用为中心，以全体学生的主动参与为中心”的教学理念。教师要转变角色，由知识传授者成为学生学习的参与者、引导者和合作者；由支配者、控制者成为学生学习的组织者、促进者和指导者；由静态知识占有者成为动态的研究者。而学生地位也发生了转变，由单纯听课、被动接收地位转变为主动参与、合作学习、探究发现的主体地位。所以教师必须树立以学生为主体的教学观，摆正讲与练的关系，课堂教学中努力关注学生的复习效率。升上理想的大学是每一个高三学生的最大愿望，教师应该充分正视学生知识水平的差异性和认知能力的差异性，因材施教，使每个学生都掌握高考必备的数学知识，提高数学能力。

第二，以数学试题解决为核心。数学试题解决是贯穿数学教学活动的一条主线，学生通过高三年级大量的数学试题解决，达到巩固基础知识，掌握基本的解题技能，提高数学思维能力。高三数学复习教学时应注意：

（1）不要徘徊在一招一式的归类上，要更注重观点上的提高或实质性的突破.有时候，出现教学只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现，在解题具体操作与解题策略或数学思想方法之间缺少沟通的桥梁。

（2）对试题不要多是研究“怎样解”，较少问“为什么这样解”，更少问“怎样学会解”，出现重结果，轻过程的现象。

（3）不要只关注现成的、形式化问题的求解，而对问题“提出”和“应用”研究不足。

第三，以学定教的教学思想方法。高三数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验及生活经验的基础上，结合《课标》《学科指导建议》《考纲》等有关要求，合理设计教学活动，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

在此思想观念和教学理念下谈谈高三数学复习课的策略。

一、加强高考研究，把握高考方向

随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。譬如高考试题的来源：（1）来源于课本题的移植和改编；

（2）来源于以往的高考题的改编；

（3）来源于竞赛试题、自主招生试题。

常见的命题技术有：（1）直接改编；（2）组合嫁接；（3）运用方法、思想；（4）改变图形；

（5）逆向提出问题；（6）表示形式复杂化；（7）从静到动；（8）同一模型的不同外显形式；

（9）特殊问题一般化、一般问题特殊化；（10）基于阅读理解命制。

所以教师研究高考要研究考纲与“考试说明”，要研究高考中新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究，同时教师要研究学生。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深，拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。

在教学同时，教师要不断的关注高考的最新动态。如浙江省教育考试院提出要适度打破考试的模式化，在2012年样卷中考查了数列题，而高考卷中未考查，打破常规考查了概率题，2013年更是将往年必考的三角函数题拿掉了。因此教师只有加强高考研究，把握高考方向，上课做到精讲、精评，学生做到精练，高三的复习才能直指高考，提高复习的有效性，也才能提高学生的学习能力和高考成绩。

二、明确教学定位，做好教学计划

高三复习课是以讲练为主，以学生为主体，在教师引导下，共同研讨知识的过程。复习课不仅是要帮助学生解疑纠误，掌握知识，更重要的是指导学生总结规律，探索方法，培养能力的过程。一般学校采取两轮复习。第一轮高考数学复习是高三复习的“形成期”，其效果直接决定高考复习的成败；必须按照课程标准和考试说明要求，全面系统地复习，扎扎实实落实双基，渗透数学思想方法，决不留下认知盲点。第一轮的教学定位是侧重回归基础、构建知识网络、查漏补缺、逐步形成数学思想方法。第一轮复习指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。

第二轮高考数学复习是高三复习的“整合期”，这里的整合，既有各分支内部的整合，又有各分支之间的整合。这一阶段必须协调好专题训练与综合训练的关系。其教学定位是以专题的形式，强化重点，注重知识的纵横联系，熟练解题方法与技巧，提升分析、解决问题的能力。第二轮复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。

三、落实基础知识，倡导通性通法

省教育考试院提出继续深化高考命题改革，切实控制试题难度，重视教材和基础知识、基本方法、基本技能。《考试说明》中明确指出：容易题、中等题、

难题的比重为3：5：2，难题即基础题占80%，难题占20%。基础所占的比例很大。

从近几年的高考试题来看，也充分说明了基础的重要性，我们复习的口号就是基础、基础还是基础.落实好基础知识（基本的概念、定理、公式、结论和通性通法）是我们大面积提高高三数学复习有效性的关键所在，即让学生能得的分一定得满分。高考的题目常考常新，但是万变不离其踪，虽然情景不同，命题的角度不同，但其依托的仍是基础知识。有时一些创新试题无非是“新瓶装旧酒”。可以说高考对基础知识的考查既全面又突出重点，特别利用在知识交汇点的命题，以考查对基础知识灵活运用的程度.因此对基础知识的复习一定要在深刻理解和灵活应用上下功夫，以达到在综合题目中能迅速准确地认识、判断和应用的目的。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。即重视提升学生的策略水平，准确把握学生的思维习惯和认知水平，科学分析学生技能成因，在核心知识和核心概念上下功夫，舍弃“题海战术”，淡化解题技巧，倡导通性通法。

四、把握数学本质

英国哲学家罗素曾指出：“凡是你教的东西，要教的透彻”。为求透彻，作为教师必须钻进教材，理清知识发生的本原，把握教材中最主要、最本质的东西，

引导学生注重数学知识发生发展的过程，学会和真正理解数学的思维和重要的思想方法，减少过多的程式化训练，在能力培养的过程中感悟数学，突出数学本质。

总之，在高三数学复习中，教师应该不断树立先进的教学理念，同时能将先进的教学理念转化为教学行为，使学生主动去探究学习，在试题解决过程中，理解数学概念，掌握基本数学思想方法，提高数学素质，培养数学能力，切实提高高三数学复习的有效性。如何提高高三数学复习课的有效性教学是一个长期的工作，有待一线教师日后在不断的教学实践中加以完善总结。

参考文献：

[1]《对高三数学复习的思考与总结》中国校外教育（理论）董培晓

第9篇：高三数学总结范文

一、 高三数学试卷讲评课教学的现状

从高三数学试卷讲评课的教学现状来看，不少课堂的讲评方式单调，效率低下。具体表现为：重试卷答案的了解，轻学生答卷情况的把握和分析，讲评缺少针对性和有效性；重教师主导，轻学生主体，缺少生生、师生互动合作探究；就题论题，重结果，轻过程，缺少知识网络的建构；重解题模式和应试技巧，轻数学思维培养，缺少方法总结归纳、问题的变化和拓展；重批评责备，轻鼓励激发，缺少对学生在情感上的引导和学习动力的激发；重整体讲解，轻个别指导，缺少差异帮助；重课上讲解，轻课后的针对性训练，缺少矫正、补偿和巩固的连续性等。产生以上情况的原因，是对试卷讲评课的性质和功能、教学的目的和基本要求等方面的认识和研究不足。

二、高三数学试卷讲评课教学的基本要求

高三数学试卷讲评课是依据学生试卷反映出的主要信息设计教学，有针对性地帮助学生分析和纠正错误、巩固知识和技能、提高数学能力以及应试能力的一种课型。要想提高讲评课教学的实效，就必须在坚持讲评课教学目标、内容、教学和评价等基本要求的前提下，探索出一条新的实施途径。

从教学目标看，通过高三数学试卷讲评课的教学，填补学生的遗漏，纠正模糊的认识，完善学生的知识体系；示范矫正，跟踪练习，巩固学生解决问题的技能；优化、拓展解题思路，提高学生总结和发现规律的思维能力；关注学习差异，发挥讲评的激励功能，激发和强化学生的学习动力。因此，诊断和填补、矫正和巩固、优化和拓展、激励和强化是对高三数学试卷讲评课在教学目标上的要求。

从教学内容看，有易混淆、模糊的知识点导致的审题、运算发生的错误；有典型思路和通常的解法导致的失误；有拓展思路、培养探究能力的一题多解、多问、多变的问题；有保障矫正、填补和巩固效果的针对性训练题等。因此，知识、技能上的通病和典型错误的纠正，解题的方法与典型思路，拓展探究的问题以及巩固性训练题是对高三数学试卷讲评课所应包含的教学内容的要求。

高三数学试卷讲评课的教学应该关注全体、效益和过程，发挥学生的主体性，对于极少数人发生的错误由个人自主纠正；较少数人发生的错误通过小组合作纠正；多数人发生的错误或感到困难的问题由师生共同解决。

评价方式上，重视学生的情感引导，帮助学生对自己的试卷进行自主评价和反思；鼓励学生多角度、多层面表达自己的见解，展示自己的思维过程，让学习上有差异的学生都能增强信心；针对讲评的重点、难点采取适时提问的方式，从审题、思路、过程、结果的表达等方面进行及时反馈。因此，引导、激励和及时反馈是对高三数学试卷讲评课的教学评价方式的基本要求。

三、探究高三数学试卷讲评课的教学

充分把握考试情况、分析错误原因，基于以学定教、发挥学生主体和教师主导作用的原则进行教学设计。只有充分把握考试情况、分析错误原因，坚持关注全面、以学定教、发挥学生主体和教师主导作用的原则，才能保证讲评课的教学目标得以实现。

发放试卷后，学生由于懊悔引发的自我分析和矫正的欲望最强烈，他们通过自我反思，能够发现和解决自己可以解决的问题。对于班级中只有极少数学生发生的基本知识和技能的客观性问题的错误，利用学生主动矫正的积极心理，让学生充分发挥主体作用，改变教师告知和讲解的方式，引导他们通过自我查阅教材、资料，矫正模糊知识、填补遗漏知识，进一步理解知识，改进认知结构，完善知识体系。在利用学生差异资源进行小组合作的实践中，可能会有少数成绩较好的学生认为帮助别人是在浪费自己的时间，或者少数成绩较差的学生羞于暴露自己的问题等现象，这些都需要教师在活动之前进行调查了解，帮助学生提高认识，活动中及时指导，使相应的活动真正成为他们的自觉行为。

发挥教师主导作用，挖掘试题内涵。立足于常见错误、典型错误的分析和讲解，引导学生辨析、寻找错因，提高学生纠错和防错的能力；立足于常规解法与典型思路的分析和讲解，引导学生开拓解题思路、总结解题规律；立足于难题的分析和解决，挖掘、归纳其中的思想方法，加深学生对数学思想方法的认识；立足于一题多问、多变、多解，师生共同探究，培养学生举一反三、融会贯通的数学能力。对于学生小组讨论中出现的一些思维巧妙、技巧性较强的解题方法，给予鼓励的同时，更要将学生容易想到、容易掌握的通解通法指出来，只有建立在传统基础上的创新才会有持久的生命力。试卷讲评过程中，教师对知识和题型进行必要的归类，有助于学生解题。注意范例教学，使学生解题规范化，克服“会”和“对”常常不是一码事的问题。