前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的垂直与平行主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。
一、教材分析
垂直与平行在现实生活中有着广泛的应用，即便是儿童，也经常会接触到一些关于垂直与平行的现象，教材充分利用了垂直与平行和日常生活的密切联系，创设了较为丰富的，贴近儿童生活实际的情境，让学生在熟悉的情境中感悟垂直与平行的现象，本节课主要是让学生初步理解垂直与平行的含义，能够准确判断，旨在让学生在生活的情境中发现这种现象，知道垂直与平行在我们生活中的重要作用。因此在教学中结合学生的生活实际和知识积累，从生活中学生感兴趣的事物入手，通过“想象―合作―交流―质疑―自学―解惑―应用”的过程，力图在教学过程中教学教给学生学习思考数学的方法，调动学生自己去合作、去自学、去判断、去分析、去表达，让学生在学习中亲身体验、理解与构建平行与垂直的概念，充分发挥学生的主动性，达到数学来源于生活并应用于生活的目的。
二、学情分析
垂直与平行是在学生认识了直线以及角的基础上进行教学的，本课时的教学重点是认清互相平行与互相垂直的特征。学习中以学生的自主探索为主。力图在教学过程中教学教给学生学习思考数学的方法，调动学生自己去合作、去自学、去判断、去分析、去表达，促他们在学习中，亲身体验，理解与构建平行与垂直的概念。体会数学源于生活，运用数学知识解决问题的乐趣。
学生在日常生活中经常遇到或用到有关平行和垂直的知识和问题，学习这部分内容既可以在实际生活中应用，又能为今后系统地学习平行四边形和梯形打下初步基础，是对图形的认识的再一次扩展。这部分知识的学习，可以扩大用数学解决实际问题的范围，提高学生解决问题的能力；同时也使学生初步学会用图形之间的位置关系进行表达和交流，进一步发展空间观念，并为进一步系统学习空间与图形做好铺垫。
三、教学目标
1.让学生结合生活情境，引导学生通过观察、讨论、感知生活中的垂直与平行的现象。
2.使学生通过探究活动知道在同一个平面内两条直线存在着相交、平行的位置关系，掌握垂直、平行的概念。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生合作探究的学习意识。
教学重难点：
1.正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
2.相关现象的正确理解（尤其是对看似不相交，而实际上是相交现象的理解）。
情感、态度与价值观：
1.培养学生想象能力，进一步提高学生的归纳、概括能力。
2.进一步认识和体会数学知识的重要用途，增强应用意识。
教具、学具准备：课件、水彩笔、尺子、三角板、量角器、小棒、白纸。
四、教学过程
一）设置情景，想象感知
1.导入：前面我们已经学习了直线，谁知道直线有什么特点？（指名回答）
今天咱们继续学习直线的有关知识。
2.老师和同学们一样都有这样一张纸，大家来摸一摸这个平面。（学生活动）
师：我们一起来做个小的想象活动，想象一下把这个面变大会是什么样子？
在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。你想象的这两条直线的位置是怎样的？
活动一：先用小棒摆一摆，看能摆出几种不同的位置。
活动二：再用水彩笔把它们画在纸上。
二）探索比较，掌握特征
（一）动手操作，建立表象
展示典型图形，强化图形表征。
1.展示学生的画法。（用水彩笔画在白纸上）
2.归纳，去掉重复的。
（二）小组合作，感知特征
1.归纳展示，把刚才几个同学所展示的画法进行归纳。（课件出示）
2.尝试分类，把其中具有代表性的图形通过电脑课件来展示，并编上序号，这些图形，同学们能不能对它们进行分类呢？可以分成几类？根据什么来分？
3.小组合作交流讨论分类方法。
展示各种可能分类方法：
（1）分为两类：交叉的一类，不交叉的一类；
（2）分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类；
（3）分为四类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类，交叉成直角的一类。
4.质疑。
对于各小组的分类分法，有什么想法？引导学生侧重按照“相交”和“不相交”的标准进行分类。
三）自主探究，构建新知
通过探索交流，我们发现了在同一平面内，两条直线的位置关系有两种不同情况：一种是相交，一种是不相交。
1.认识“平行”
（1）自学。像这样不相交的两条直线叫什么？请看书第65页。
（2）质疑：互相是什么意思？“同一平面”是什么意思？出示实物帮助理解。
在学生讨论的基础上强调：判断两条直线是否是平行时，“在同一个平面内”“不相交”这两个条件缺一不可。
（3）举例：请学生说一说在我们的身边有哪些物体的边是互相平行的？
2.自学认识“垂线”
导语：刚才我们已经把同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，那平面内相交的两条直线的关系中又有特殊的关系？
（1）自学，阅读书本P65页的内容，思考：①互相垂直的两条直线有什么特征？②怎样判断两条直线互相垂直？③你还掌握了哪些知识？
（2）小组合作交流。垂直的含义、判断方法、各部分名称。
（3）归纳。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。这两条直线的交点就是垂足。
（4）举例，请学生说一说在我们的身边有哪些物体的边是互相垂直的？
3.揭示课题。通过学习，你们知道了什么？板书课题：垂直与平行。
4.找一找：你的身边有些哪些物体的边是互相垂直的？哪些物体的边是互相平行的？把你的发现告诉同组的同学。
四）巩固拓展，运用新知
1.完成书P65页第2题：摆一摆、说一说你有什么发现？（与同一条直线垂直的两条直线互相平行、与同一条直线平行的两条直线互相平行。）
2.判断题
（1）不相交的两条直线叫作平行线。
（2）在同一平面内的两条直线叫作平行线。
（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。
3.折一折
（1）刚才同学们通过“找一找”“摆一摆”对平行和垂直有了进一步的认识，也找到了生活中很多的平行线与垂线，那要是给每个同学一张这样的不规则纸，你们能动手折一折，折出垂线与平行线？这可有一定难度，愿意接受挑战吗？
（2）学生动手折垂线，教师巡视，进行个别指导。
（3）展示学生作业。
关键词：垂直升降；运动仿真；有限元；结构优化
引言：料车是一种在各种工业用炉前对物料进行搬运的专用设备，它可以实现对需处理物料的转运、装炉和出炉等功能。料车垂直起升机构主要用以完成加料小车的垂直升降功能，是料车各组成部分中最关键的部分。
图1平行四杆垂直起升机构简图
平行四杆垂直起升机构简图如图1所示，起升摇臂的下部与机架在O1处铰接，其上部在B点与液压缸的活塞杆铰接，其中部与拉杆的左端在A点铰接；拉杆的右端与起升连杆的上部铰接，并在C点通过滚轮与导向槽板形成滚轮滑块机构；导向槽板的右端与机架在D点形成滚轮滑块机构；液压缸、起升连杆的下部均与机架铰接。
平行四杆垂直起升机构工作时，由液压缸形成原动力，推动起升摇臂绕O1点逆时针旋转，并通过铰接的A点带动拉杆向左移动，拉杆带动起升连杆绕着O2点逆时针旋转，并通过C点的滚轮迫使其上部的导向槽板产生左上方的斜向移动趋势，右端的滚轮滑块机构用于消除导向槽板的水平移动。此时导向槽板即可带动固定其上部的重物在垂直方向上平移，以实现垂直起升目的。
一、建模与动力学仿真
利用Solidworks建立平行四杆垂直起升机构的三维模型，为了便于仿真，在不影响仿真结果的前提下将中部的起升连杆部分进行了简化，且右端滑块机构也使用配合功能以于实现，图2中只给出部分模型。这样既可减少仿真模型中零、部件数量，提高仿真效率，也可减少仿真时的冗余自由度[1]。
图2平行四杆垂直起升机构模型
用Solidworks Motion中的配合和马达功能，使每个零件的位置、速度、加速度等参数在各时间点都完全确定，确保没有冗余自由度和欠约束的存在。
计算参数：载荷39730Kg（包括载荷重量和自重），仿真时间37.5s，步长为25步，用线性马达模拟液压缸，其行程为534mm，垂直起升高度100mm。经过仿真，得到起升摇臂中部（A点）所受作用力图解，如图3所示：
图3起升摇臂中部（A点）作用力
由图1分析得到，随着液压缸的不断伸长，使得起升连杆绕其下部的机架O2点逆时针旋转，在其上空套的滚轮与导向槽板上的导向槽间的压力角也随时间不断地变化，其值呈逐渐变小的趋势，由于起升连杆处的压力角逐渐变化，会使得滚轮处的垂直分力逐渐增大，水平分力逐渐减小。
由图3知，起升摇臂中部（A点）的作用力随时间的推移而逐步减小，最大值出现在仿真的开始时刻，其值为38049.3Kg，其它时刻均小于初始值，变化规律与理论分析结果相同。
二、有限元仿真
将起升摇臂分离，并考虑起升摇臂的对称性，本次仿真仅采用单个起升摇臂侧板进行分析（其参数见图4）。考虑到有限元仿真精度及效率，将起升摇臂侧板上的圆角简化，并对应力较大部位运用局部网格控制功能细化网格，离散单元选择二阶实体单元，并且选择基于曲率的网格功能，这样可有效协调仿真精度和有限元模型的规模。
图 4 起升摇臂侧板结构简图
起升摇臂侧板采用Q345-B[2]制造而成，其屈服强度σs≥345Mpa，抗拉强度σb≥520Mpa，泊松比0.3，密度7.85×103 kg/m3，质量为46.9Kg。
起升摇臂侧板主要承受来自液压缸、机架和中部拉杆的载荷作用，所以起升摇臂侧板两端轴承孔分别采用固定铰链进行约束；并选取起升摇臂侧板中部轴承孔加载平行于水平方的向轴承载荷，用以模拟拉杆载荷，其大小为195246.5N（共有两个起升摇臂侧板380493N/2）。但考虑到偏载和液压缸不同步等因素的影响，在起升摇臂侧板侧面中部的凸台上加载63415.5N（380493N/6）的侧向载荷，方向垂直于起升摇臂侧板。经过仿真，得到应力图解与位移图解如图5、图6所示：
图5 起升摇臂侧板应力图解 图6 起升摇臂侧板位移图解
由图5 可知，起升摇臂侧板的最大von mises为19MPa，安全系数达18.1；从位移图解（图6）可以看出，起升摇臂侧板最大位移发生在起升摇臂侧板的中部，其值为0.376mm。从对起升摇臂侧板分析结果可以看出，无论是强度与刚度，都存在较大的富裕量，有必要进一步对其结构进行优化。
三、优化设计
在不改变起升摇臂侧板接口的前提下，为实现即满足强度要求且重量最轻的目的，采用Solidworks中集成的结构优化功能[3]对起升摇臂侧板的结构进行优化。经过多次验算，选择起升摇臂侧板端部圆弧x1、中部圆弧尺寸x2和壁厚x3为设计变量（见图4），各变量的取值范围分别为：80≤x1≤60、110≤x2≤90、40≤x3≤26。选取起升摇臂侧板的最大von mises和最大位移为约束条件，安全系数≥5（345/5=69MPa）。并选取起升摇臂侧板的质量为优化目标，进行优化。起升摇臂侧板优化前后变量、约束和目标等相关数据对比如表1所示：
由表1知，优化后起升摇臂侧板的端部圆弧x1、中部圆弧尺寸x2和壁厚x3尺寸均有不同程度的减小。并且可知，最大von mises由19MPa增大到31MPa，最大位移由0.38mm增大到0.91mm，完全满足实际使用要求。
优化后起升摇臂的质量由46.9Kg下降到27.2Kg，减轻了19.7Kg，材料的质量比优化前减轻了42%。优化结果表明对减轻起升摇臂侧板的质量、节约材料有明显效果。
四、结论
（1）本文采用Solidworks Motion对料车的垂直起升机构进行了运动仿真，得到起升摇臂的作用力图解，并运用有限元仿真出起升摇臂侧板在极限载荷下的应力分布情况。
（2）在有限元仿真的基础上，对起升摇臂侧板进行了优化，优化后的起升摇臂侧板性能更加趋于合理，整体质量减轻了19.7Kg，降低了42%，降低了原料消耗及生产成本，并为生产提供了科学的指导。
参考文献：
[1] 陈超祥，胡其登.主编 杭州新迪数字工程系统有限公司，编译.Solidworks Motion 2012 运动仿真教程 [M].北京：机械工业出版社，2012.8.144
[2] 机械设计手册（软件版2.0）
[3] 陈超祥，胡其登.主编 杭州新迪数字工程系统有限公司，编译.Solidworks Simultion 2011高级教程[M].北京：机械工业出版社，2011.4.132
关键词 苹果 品种 红富士 郁闭园 树形改造 垂枝修剪
沂源县地处鲁中腹地，海拔高，紫外线强，光照充足，昼夜温差大，具有发展苹果得天独厚的自然条件，是山东省苹果重点产区之一。但是，沂源县人多地少，苹果园面积扩展的潜力已经不大，并且在苹果生产中成龄果园郁闭严重、通风透光差，严重影响了苹果产量和质量的进一步提高。为此，我们在红富士苹果郁闭园树形改造中进行了垂枝修剪技术试验，充分利用了苹果树长枝缓放后易成花、果台副梢连续结果能力强的特点，增加结果部位，达到提高产量的目的；同时调整了苹果枝条生长方向，果实着色环境得到改善，从而使全红果率大幅度提高。
1 材料与方法
1.1试验基本情况
试验在沂源县燕崖镇中辉村进行，试材为13年生红富士苹果树，平地果园，棕壤，土壤肥力中等，树势偏旺，管理一般，栽植行株距4m×3m，树高3.5～4m，冠幅4m左右。选用2670m2同一块地的红富士苹果树进行对比试验，其中1335m2是纺锤形树形，1335m2是疏散分层形树形，以667m2纺锤形苹果树和667m2疏散分层形的苹果树作为试验树，采用垂枝修剪方法进行树形改造，剩余的纺锤形和疏散分层形苹果树采用常规方法修剪，分别作为对照。2006-2011年对处理和对照果园的产量、产值、果实品质、生产成本、收益和树体主要生长情况进行调查。历年产量调查均采用实测产量方法准确称重；果实品质调查项目主要包括全红果、直径80mm以上果实所占比率等，并按等级标准计算优质果率；树体主要生长情况调查项目包括树冠覆盖率、树冠体积、叶面积系数、枝类比、667m2枝量等。
1.2垂枝修剪方法的技术要点
郁闭园冬季修剪时逐年疏除基部主枝，将主干提高到80cm；树体上部落头开心，保留中心干3m以下的主枝；提干落头后每株树保留6～7个主枝，将原有的疏散分层形和纺锤形树形改造成双层开心形。改造树形的同时疏除重叠枝；保留的主枝逐年去除大侧枝，疏除病残枝，回缩细弱枝。缩小冠幅，在主枝斜下垂枝处回缩，使行间有1m左右的作业道。翌年秋季对60cm以上1～2年生长枝拿枝、拉枝，或用铁丝自制“W”形弯枝器别枝（别枝后第2年5月底6月初解除），将直立、斜生或水平生长的长枝均拉至下垂。拉枝、缓放后的长枝易萌发短枝，在营养充足的情况下当年即可形成花芽，第2年便可结果，没有形成花芽的短枝，只要枝轴比不超过3：1，可继续缓放，促进成花。对于拉枝后冒出的竞争枝，有空间的可以拧枝缓放，没有空间的可直接疏除。长枝结果后可利用果台副梢连续结果，但下垂结果枝组过长或果台副梢过于细弱时及时回缩复壮。同时，对背上徒长枝、竞争枝进行拉枝，培养更新下垂结果枝组。
2 结果与分析
2.1垂枝修剪苹果园的产量、果实品质和收益
试验结果表明，树形改造后第1年（2006年），苹果郁闭园667m2产量有较大幅度的降低，但改造后第2年就超越了树形改造前的产量，树形改造后6年（2006-2011年）平均每667m2产量6565kg，明显超过树形改造前（2005年）和未采用树形改造的疏敞分层形、纺锤形苹果树6年平均每667m2产量，增产效果非常明显（表1）。
垂枝修剪苹果园生产的红富士苹果，直径80mm以上果实所占比率平均为90.1%，全红果率平均为86.0%，优质果率平均为85.6%，果形指数平均为0.96，以上各项指标均明显超过未进行树形改造的疏散分层形和纺锤形苹果树（对照）生产的果实。垂枝修剪苹果园生产的红富士苹果，可溶性固形物含量略低于2个对照（表2）。
由于垂枝修剪苹果园果实品质优于未进行树形改造的疏散分层形和纺锤形苹果园，其平均售价也有一定的提高。据调查，垂枝剪修试验6年的平均售价为3.6元/kg，比未进行树形改造的疏散分层形和纺锤形苹果树高0.20元；6年平均每667m2产量为6565kg，分别比未进行树形改造的疏散分层形和纺锤形苹果树增产3285、3105kg，减除各自的生产成本后，垂枝修剪苹果树6年平均每667m2收益为17074元，而疏散分层形和纺锤形苹果树收益分别为7832、8329元（表3）。
2.2垂枝修剪苹果园的树体结构
红富士苹果郁闭园经树形改造和垂枝修剪后，树体高度适中，便于套袋、采收、修剪作业；冠幅变小，行间通畅，便于打药、运输、施肥，成花率和全红果率明显提高；覆盖率中等，利于通风透光；树冠体积中等，产量高但不郁闭；叶面积系数偏大，但绝大多数枝条向下生长，叶片光合作用正常，对着色无负面影响；单位面积枝量大，但短枝比率高；从生长和结果状况看，只要加强管理，果园整齐度比其他树形好。试验结束时垂枝修剪和未经树体改造郁闭苹果园树体结构的调查结果见表4。
3 小结
垂枝修剪技术充分利用苹果树长枝缓放后易成花、果台副梢连续结果能力强的特点，增加结果部位，改善果实着色环境，有利于提高郁闭苹果园改造后的产量、果实品质和收益，是郁闭苹果园树形改造的良好配套措施。该项技术简便易行，可在生产中大面积推广应用。
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念，发展学生的空间想象能力是本课教学的重点；正确判断同一平面内两条直线之间的位置关系是教学的难点。本课教学尊重学生的认知规律，力求学生通过多种学习方式学习同一平面内两条直线的垂直与平行的空间位置关系知识，引导学生通过观察、讨论、感知生活中垂直与平行的现象；帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线；培养学生的空间概念及空间想象能力，培养学生具有合作探究的学习意识。
一、 创设情景、感知想象
1.前面我们已经学习了直线，那大家还记得直线有什么特征吗？
2.老师这儿有一张白纸，把这张白纸当成一个平面，如果这个平面无限扩大，闭上眼睛想象一下，它会是什么样的？在这个无限大的平面上，出现了一条直线，接着又出现了另一条直线，想一想这两条直线的位置是怎样的？
让学生动手在三张白纸上画，一张白纸上画一种情况，用水彩笔和直尺画。
评析：先让学生回顾旧的知识点并想象在一个大的平面上出现两条直线，这样不仅能让学生感知空间想象，还让学生思考这两条直线有怎样的位置关系；然后让学生动手在白纸上画出具体的直线，使学生能直观地感知两条直线的位置关系。
二、 自主探索，构建新知
1.提出问题
（1） 画好了吗？同桌两人一小组讨论：说一说你所画的两条直线的位置是怎样的？
（2）有哪个小组想把你所画的直线展示给大家看呢？
展示到黑板上，并标上号：
评析：这一步先让学生独立思考，再在小组中交流，然后选出有代表性的情况，展示到黑板上，其他小组互相补充，使学生经历了一个从个人――小组――全班的逐层递进的过程，同时为学生自主分类提供了丰富的信息资源。
2.观察分类，讲授新课
师：仔细观察这6种情况中两条直线的位置关系，能把它们分类吗？想好后和同桌交流。
学生汇报：生1：1和2、3和5、4和6分三类。
生2：1和2一类，3、4、5、6一类。
在学生说到交叉的分为一类时，告知学生交叉在数学上叫做相交。
板书：相交
针对学生的不同分类，引发学生的争议，在争议中统一意见，大致按相交、不相交分为两类。
板书：不相交
3.提问：4号为什么要放到相交的这一类？
提醒学生直线有什么特征，并让学生进行延长，最后证实4号看起来不相交，延长后会相交，因此4号要归为相交的一类。
评析：这一步让学生在自主探索与交流的过程中达成分类的共识，即相交的一类，不相交的一类。发展了学生的空间想象能力，让学生在自主探索、交流、辨析、求证的过程中顺其自然地发现在同一平面内两条直线的两种位置关系。
4.认识平行线
（1）观察、体会平行线的特点
师：1、2号看起来不相交，会不会延长也相交呢？
先让学生动手延长两条直线看是否会相交，再课件演示两条直线不管怎样延长，永远都不会相交的动态过程。
师：（课件演示）老师展示把1号放在方格子上，发现两条直线之间的距离是怎样的？
生1：两条直线之间的距离处处相等。
小结：像这种位置关系的两条直线在数学上叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
板书：平行线。
（2）平行线的含义
师：为什么要加上“互相”呢？
小结：要说互相平行是因为平行线至少需要2条直线。
师：能说一条直线是平行线吗？
[a][b]
直线a是直线b的平行线
直线b是直线a的平行线
直线a和直线b互相平行
师：同学们，平行的现象在生活中随处可见，请同学们举例说说身边的平行现象吧。
（3）认识垂直
师：两条直线相交会形成什么呢？
生：角。
师：在这些角中有什么角最特殊呢？
生1：因为它们都是十字形的。
生2：它们都有四个直角。
（4）揭示垂直的定义
师：像这样两条直线相交成直角在数学上叫做互相垂直。
大屏幕出示：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
[c][d]
直线c是直线d的垂线
直线d是直线c的垂线
直线c和直线d互相垂直
师：同学们举例身边垂直的现象吗？
小结：今天这节课我们认识了在同一平面内两条直线特殊的位置。关系：垂直与平行（板书课题）
评析：在观察、比较、验证的学习过程中，深刻体验平行与垂直的特征，并通过举例身边的平行与垂直的现象来直接考查学生对平行与垂直的知识点的掌握程度。
（5）课件出示以下长方体：找找长方体中互相平行和互相垂直的现象。（重点让学生理解直线a是平面1的直线，直线b是平面2的直线，虽然它们不相交，但也不能说它们互相平行）
[a][b]
评析：这一步让学生在充分观察、想象、验证、自学提问的学习过程中，深刻体验平行与垂直的特征，深刻理解了同一平面的含义，同时培养了学生科学严谨的学习态度和自学能力，也发展了学生的空间观察。
三、巩固拓展，加深认识
闯关游戏：
第一关：小试牛刀：判断下列各组是否互相平行，互相垂直、相交，还是什么都不是。
第二关：摆一摆
（1）把两根红色小棒都摆成和绿色小棒平行，看一看，这两根红色小棒互相平行吗？
（2）把两根红色小棒都摆成和绿色小棒垂直，看一看这两根红色小棒有什么关系？
第三关：考考你，对的打√，错的打×。
（1）在同一平面内，只要两条直线相交成90°，这两条直线就互相垂直。（ √ ）
（2）两条直线相交，那么这两条直线互相垂直。（ × ）
（3）两条平行线间的距离处处相等。（ √ ）
（4）在同一平面内两条直线不垂直就一定平行。
（ × ）
（5）不相交的两条直线叫做平行线 。（ × ）
评析：本环节的练习主要是让学生加深理解相交、互相平行、互相垂直的特征，并能对今天所学的知识进行自我检测。
四、全课总结
同学们，通过这节课的学习，你们有什么收获？你们觉得自己表现如何？
评析：这样用谈话的方式进行总结，不仅总结了所学的知识、技能，更重要的是给了学生一次评价的机会，让他们通过自评、互评初步学会评价，实现了课堂评价主体的多元化。
[在同一个面内
1.平面；平面的基本性质；平面图形直观图的画法.
2.两条直线的位置关系；平行公理；等角定理；异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念.
3.直线和平面的位置关系；直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影.
4.两个平面的位置关系；平面平行的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质.
5.（理科）空间向量共线、共面的充分必要条件，空间向量的加法、减法及数乘运算，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量的共线与垂直，直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量求立体几何中的角.
二、考试要求
1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）.
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆.
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图.能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.
4.（理科）会用空间向量计算线线角，线面角，面面角.
三、考点简析
1.空间元素的位置关系
空间由点，线，面3个元素构成，立体几何主要研究线和线，点和面，线和面，面和面之间的关系.
两条直线关系包括相交，平行，异面；直线和平面之间的关系包括线在面内，线面相交（包括斜交和垂直），线面平行；面面关系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.
2.平行、垂直位置关系的转化
立体几何中的证明只要围绕着平行和垂直展开.线线平行，线面平行，面面平行证明是相互依赖的，线线垂直，线面垂直，面面垂直也是相互依赖.需要对每一种关系的判定定理和性质定理充分理解，证明过程中，需要列出相应的条件，得出结论.
为解决上述问题，搞好立体几何的复习，要激活点、线、面之间的三个关系，厘清直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直的判定和性质，快速、简捷地求解立体几何试题.
一、理解三个关系，掌握十四个定理
空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系主要有三个关系，十四个定理或性质.
三个关系：平行的传递关系，垂直的传递关系，平行与垂直的转化关系，所有位置关系的基础是线线之间的平行与垂直.它们通过下面的十四定理进行传递或转化，由线线线面面面的位置关系常用的是判定定理，反之，由面面线面线线的位置关系常用的是性质定理，它们之间的关系如下图所示.
说明：（1）图中的定理①②③④⑤是平行与垂直的判定定理；定理⑧⑨⑩是平行与垂直的性质或一些位置关系的性质定理，它们之间是平行、垂直关系的直接传递关系；定理⑥⑦是平行与垂直的转化关系，平行转化为判定垂直或由垂直转化为推出平行.
（2）凡是箭头指向某一位置关系，就是证明或判断这个位置关系的一个方法，有几个箭头指向这个位置关系，就有证明判定这个位置关系的几个方法.一般拿到一个证明或判定位置关系的题目，对照关系图，方法和思路很快就能找到.
（3）十四个定理附录如下：
定理①：直线和平面平行的判定定理；
定理②：平面与平面平行的判定定理；
定理③：定理②的推论；
定理④：直线与平面垂直的判定定理；
定理⑤：平面与平面垂直的判定定理；
定理⑥：两条平行线的一条垂直一个平面（直线），那么另一条也垂直这个平面（直线）；
定理⑦：垂直于同一条直线的两个平面平行；
定理⑧：两个平面互相平行，那么在一个平面的任何一条直线都平行另一个平面；
定理⑨：直线与平面平行的性质定理；
定理⑩：平面与平面平行的性质定理；
定理：平面与平面垂直的性质定理；
定理：由线面垂直的定义推出的性质，若线面垂直，则线线垂直；
定理：一条直线（平面）垂直两个平行平面的一个平面，那么它也垂直另一个平面；
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
所有这些位置关系中，线线关系是一切位置关系的基础.要得到直线与直线的平行，如在同一平面中，由平面几何中的定理来推出，在空间、有公理4和图表中的定理⑨、⑩、都可以得到.要得到直线与直线垂直，一是由两直线成角90°，则两直线垂直，二是由定理可堆出，三是三垂线定理或三垂线定理的逆定理（适用理科）都可以推出直线与直线的垂直.
二、激活三个关系，简解立几问题
立体几何中的位置关系的判定或证明，根据求证想判定的条件，再根据已知想性质，从而找到判定的条件，如果从性质中不能直接找到判定的条件，就需要添加辅助元素，架起已知和求证之间的桥梁，或者运用曾经学过的知识帮助解决，只要激活三个关系，就可以快速简捷地求解决立体几何问题.例如，要求证线面平行，根据关系图，只有两种方法，一是用定理①，找平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；二是用定理⑧，若无法找到直线和平面内的一条直线平行，那就根据已知条件先证两个平面平行，再推出线面平行.又如，证明平面与平面垂直，只有一种方法，就是用定理⑤，在一个平面内找到一条直线垂直另一个平面即可.（说明一下，本文涉及位置关系的证明，一般没有包括用有关定义来证明）所以要证有关问题，首先在关系图中找到证明的几种方法，然后根据已知条件确定用一种或两种方法完成证明.凡是要证明一个位置关系，判定的条件一个也不能少，少一个条件就得不到正确的结果.
例1（2013年广东卷）设l为直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确是（）.
（A）若l∥α，l∥β，则α∥β
（B）若lα，lβ，则α∥β
（C）若lα，l∥β，则α∥β
（D）若αβ，l∥α，则lβ
分析：本题主要考查线面位置关系的基本知识，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.
解：由于题目是四选一的选择题，而且题中的位置关系较多，若一个一个地推理判断，费时费力收效甚微.拿起关系图，对照有关位置关系，凡是符合定理的，一定正确.选项B符合定理⑦，B正确，故选B.
例2若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）.
（A）若α∥β，mα，则mβ
（B）若m∥n，mα，则nα
（C）若m∥α，mβ，则αβ
（D）若α∩β=n，且n与α，β所成的角相等，则mn
分析：判断直线与平面，平面与平面的位置关系是否正确，最快速有效的办法是看它是否符合有关位置关系的定理；要否定一个位置关系常用特例或反例即可.
解：根据本文给出的位置关系图，由定理可知，选项A正确；由定理⑥可知，选项B正确；对于选项C，则需要联合运用有关定理才能判断，首先由定理⑨知，α内有直线m′∥m，其次由定理⑥知，m′β，最后由定理⑤判定αβ，所以选项C正确，由此可知选项D不正确，故选D.要判定选项D不正确也可用特例，当m∥n时，n∥α，n∥β，则直线n与α，β所成的角都是0°，也相等，但m，n不垂直，D不正确.
说明：熟练掌握空间直线、平面位置关系的定理，是正确判定各种位置关系的有效、快捷的方法.
例3（2013年北京卷）如图1，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别图1为CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF平面PCD.
分析：本题三个小题分别求证线面垂直，线面平行、面面垂直这三个重要位置关系，意在考查考生的空间想象力和推理论证能力.利用关系图，寻找证题方法和思路，由面面垂直的性质定理可得线面垂直；由定理①知，只要在平面PAD中找一条直线和BE平行，或由定理⑧只要证得平面BEF∥平面PAD，即得BE∥平面PAD；由定理⑤知，只要在一个平面内找到一条直线垂直另一个平面，问题就解决了.
证明：（Ⅰ）平面PAD平面ABCD，PAAD，AD=平面PAD∩平面ABCD，PA平面ABCD.
（Ⅱ）AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
AB=DE，且AB∥DE，
四边形ABED为平行四边形.
BE∥AD.
又AD平面PAD，BE平面PAD，
BE∥平面PAD.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，PA平面ABCD，且CD平面ABCD，PACD.
由（Ⅱ）知，BE∥AD，又AB∥CD，ABAD，CDAD，BECD.
又AD∩PA=A，CD平面PAD.
PD平面PAD，CDPD.
E，F分别为CD，PC的中点，
EF∥PD.
EFCD.
EF∩BE=E，CD平面BEF.
又CD平面PCD，
平面BEF平面PCD.
例4（2013年广东卷）如图2，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC边的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图3所示的三棱锥A-BCF，其中BC=1212.
（Ⅰ）证明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）证明：CF平面ABF；
（Ⅲ）当AD=213时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.
分析：本题主要考查线面平行和线面垂直，利用关系图，可用定理①和定理⑧证DE∥平面BCF；用定理④证CF平面ABF.至于求三棱锥的体积只要找到相应的底面积和高，代入公式计算即可.
解：（Ⅰ）证明：在等边ABC中，AB=AC，AD=AE，AD1DB=AE1BC，
DE∥BC，DG∥BF，GE∥CF.
将ABF沿AF折起后，如图3，仍有DG∥BF，且DG平面BCF，BF平面BCF，
DG∥平面BCF.
同理GE∥平面BCF.
又DG∩GE=E，
平面DGE∥平面BCF.
DE平面DGE，DE∥平面BCF.
（Ⅱ）证明：在等边ABC中，F是BC的中点，AFCF，BF=FC=112.
在图3中，BC=1212，
BF2+CF2=BC2，故∠BCF=90°.
CFBF.
又AF∩BF=F，CF平面ABF.
（Ⅲ）AD=213，AB=1，AF=1312，
DB=113，FG=113AF=1316.
DG=GE=213BF=113，且DGAF.
在图3中，DGF是直角三角形.
SDGF=112FG・DG=13136.
CF平面ABF，GE∥CF，
GE平面ABF.
GE为三棱锥E-DGF的高.
VF-DEG=VE-DGF=113SDGF・GE
【例1】（本题满分14分）（2011•江苏卷第16题）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.
求证：（1） 直线EF∥平面PCD；
（2） 平面BEF平面PAD.
错解证明：(1) 在PAD中，E,F分别是AP,AD的中点，
EF∥PD，2分
直线EF∥平面PCD.（定理条件不全，不给分）
(2) 连接BD.AB=AD，∠BAD=60°，
ABD为等边三角形.
F是AD的中点，
BFAD.4分
平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，
BF平面PAD.（定理条件不全，不给分）
平面BEF平面PAD.（定理条件不全，不给分）
错因分析使用定理时条件不齐全而失去该得分步骤的所以得分。第一问中，线面平行的判定定理条件有3个，该考生只写了1个，漏写“EF平面PCD，PD平面PCD”；同理，在第二问中使用面面垂直的性质定理时漏写“平面PAD∩平面ABCD=AD”、使用面面垂直的判定定理时，漏写“BF平面BEF”。
正确解法证明：(1) 在PAD中，E,F分别是AP,AD的中点，
EF∥PD，2分
又EF平面PCD，PD平面PCD，
直线EF∥平面PCD.6分
(2) 连接BD.AB=AD，∠BAD=60°，
ABD为等边三角形.
F是AD的中点，
BFAD.8分
平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，
BF平面PAD.12分
又BF平面BEF，
平面BEF平面PAD.14分
防错机制（1） 线面位置关系中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直各有自己的判定定理及性质定理，同学们要理解熟记每一个定理各自所需的条件，在解题过程中书写规范，使用定理时条件充足，正所谓“一个也不能少”。
（2） 平时养成严谨答题的好习惯，不要因赶时间而跳步骤，染上坏习惯后很难改正。
【例2】（本题满分8分）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
错解过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.
MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE.
MG∥平面BCE.2分
又正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
BGGA=CMMA=BNNF，GN∥AF.3分
而AF∥平面BCE,
GN∥平面BCE.(此处用了没有的错误的“定理”)
MG∩GN=G,平面MNG∥平面BCE.
又MN平面MNG,
MN∥平面BCE.
错因分析本类题主要考查空间中线面位置关系（平行）的判定，是每年高考不可避免的考查内容。上述解法的错误在于他使用了自己创造发明的“定理”：a∥b,b∥αa∥α。而线面平行没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行该平面；
有的考生由“MG∥BC，GN∥BE平面MNG∥平面BCE”,这种做法也会失分的。因为面面平行的判定定理是由线面平行推到面面平行，而这种做法是由线线平行直接得到面面平行，会因判定定理使用不对而失去本步骤的分数。
正确解法过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.
MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE，
MG∥平面BCE.2分
又正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
BGGA=CMMA=BNNF，
GN∥AF∥BE.3分
BE平面BCE，GN平面BCE，
GN∥平面BCE.5分
MG∩GN=G,
平面MNG∥平面BCE.7分
又MN平面MNG，
MN∥平面BCE.8分
注：本题亦可用线线平行推出线面平行.
防错机制一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求自己注意表述规范，推理严谨，只能用所学的判定与性质定理，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论.即定理“一条也不能多”。
牛刀小试
（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DBAC,点M是棱BB1上一点.
（1） 求证：B1D1∥面A1BD；
（2） 求证：MDAC；
（3） 试确定点M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D.
【参考答案】
（1） 证明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,
且BB1=DD1,
BB1D1D是平行四边形,B1D1∥BD.
3分
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,
B1D1∥面A1BD.4分
（2） 证明：BB1面ABCD,AC面ABCD，
BB1AC.6分
又BDAC,且BD∩BB1=B，
AC面BB1D1D.8分
而MD面BB1D1D，MDAC.9分
（3） 当点M为棱BB1的中点时,
平面DMC1平面CC1D1D.10分
取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM.
N是DC的中点,BD=BC,BNDC；
又DC是面ABCD与面DCC1D1的交线,而面ABCD面DCC1D1,
BN面DCC1D1.12分
又可证得,O是NN1的中点,BM∥ON,且BM=ON,即BMON是平行四边形,
BN∥OM,OM平面CC1D1D,14分
OM面DMC1,
平面DMC1平面CC1D1D.15分
（作者：张彬，江苏省西亭高级中学）
（上接第64页）
由2θ+π4∈π4,5π4，此时OC∈(1,2+1］；
当A、B、C、D按逆时针方向时，如图所示，在OBC中，
a2+1－2acosπ2－θ=OC2，
即OC=(2cosθ)2+1－2•2cosθ•sinθ
=4cos2θ+1－2sin2θ
=2cos2θ－2sin2θ+3
=－22sin2θ－π4+3，
由2θ－π4∈－π4,3π4，此时OC∈［2－1,5)，
综上所述，线段OC长度的最小值为2－1，最大值为2+1．
(作者：陈勇军，江苏省通州高级中学)
数学是一种目标明确的思维活动，是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度――克莱因（美国数学家）。为此，我们在解题时，要加强目标意识，在正确的目标引领下，进行有效的探求。为此，我们在整个教学活动中始终要明确“我要达到什么目标，怎样达到”及“如何选择适当的方法达到最佳效果”，以便少走弯路或不走弯路，从而提高学生学习的主动性和策略性，提高教学活动的效率。尤其在立体几何的复习中更要加强解题的目标意识。
【例1】如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，CD=1，AB=2，PA平面ABCD，PA=1.
（1） 求证：AB∥平面PCD；
（2） 求证：BC平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
分析（1） 由“线线平行线面平行面面平行”知，欲达到“线面平行”这一目标，应从“线线平行”或“面面平行”的角度去考察；
（2） 由“线线垂直线面垂直面面垂直”知，欲证BC平面PAC，将目标转化为BC垂直于平面PAC内的两条相交的直线；
（3） 求三棱锥MACD的体积的目标转移为目标1――底面积ADC比较好求，而目标2――M到底面ADC的距离，应由M是PC的中点转化为P到面ADC距离的一半。
证明（1） 由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，
又AB平面PCD，CD平面PCD，
AB∥平面PCD.
（2） 在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，
则四边形ADCE为矩形，AE=DC=1.
又AB=2,BE=1，
在RtABC中，∠ABC=45°,
CE=BE=1,CB=2,AD=CE=1.
则AC=AD2+CD2=2，AC2+BC2=AB2,
BCAC.
又PA平面ABCD，PABC,
又PA∩AC=A，BC平面PAC.
（3） M是PC的中点，M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半，
VMACD=13SACD•12PA
=13×12×1×1×12=112.
点拨由“线线平行线面平行”及“线线垂直线面垂直”时，应注意满足的条件不可缺少。
总结：在证明“线面平行或垂直”时，要有化归的意识，利用好转化的方法，即应该利用好“线线平行线面平行面面平行”和“线线垂直线面垂直面面垂直”。
【例2】在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC,O是AD上一点.
（1） 若CD∥面PBO,试指出O点的位置；
（2） 若面PAB面PCD，试证明PD面PAB.
分析（1） 由“线线平行线面平行面面平行”，将目标转化为“若CD∥BO，试指出O点的位置。”
（2） 由“线线垂直线面垂直面面垂直”知，欲证明PD面PAB，则可转化为PD垂直于面PAB内两条相交的直线，而PDAP易证。那么PD还垂直于哪条直线呢？条件：面PAB面PCD如何转化呢？由平面与平面垂直的性质定理知，要得到“线面垂直”，必须在面PAB内找一条直线与这两平面的交线垂直。
证明（1） CD∥面PBO,CD面ABCD，
又面PBO∩面ABCD=BO，CD∥BO.
又AD＝3BC，
点O在AD的三等分点上（靠近点D）.
（2） 侧面PAD底面ABCD,∠BAD＝90°，面PAD∩面ABCD=AD，AB面ABCD，
AB面PAD.
又PD面PAD，ABPD.
延长AB，DC交于M点，连接PM，过点A作AH垂直于PM，垂足为H.
又面PAB面PCD，面PAB∩面PCD=PM,
AH面PCD，又PD面PCD，AHPD.
又AB∩AH=A，AB、AH面PAB，
PD面PAB.
点拨（1） 中最后的结果表示应说明：点O在AD的三等分点上（靠近点D处）；
（2） 注意条件面PAB面PCD如何转化，没有现成的“线线垂直”，所以要构造新的“线线垂直”，结合条件面PAB面PCD进行应用。
总结：这一题的第二问难度比较大，关键是平面与平面垂直的性质定理的应用，应该要满足什么条件，这个必须清楚，缺少现成条件的，要添加辅助条件，以帮助问题的解决。
牛刀小试
1. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1) 求证：CE平面PAD；
(2) 若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．
2. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.
（1） 若ACPD，求证：AC平面PBD；
（2） 若平面PAC平面ABCD，求证：PB=PD；
（3） 在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.
3. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点．
（1） 求证：BE∥平面PAD；
（2） 若AB平面PAD，平面PBA平面PBD，求证：PAPD．
【参考答案】
1. (1) 证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PACE.
因为ABAD，CE∥AB，
所以CEAD.
又PA∩AD＝A，
所以CE平面PAD.
(2) 由(1)可知CEAD.
在RtECD中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1.
又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形．
所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋SECD＝AB•AE＋12CE•DE＝1×2＋12×1×1＝52.
又PA平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱锥PABCD＝13S四边形ABCD•PA＝13×52×1＝56.
2. （1） 证明：因为底面ABCD是菱形，
所以ACBD.
因为ACPD，PD∩BD=D，
所以AC平面PBD.
（2） 证明：由（1）可知ACBD.
因为平面PAC平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD平面ABCD，
所以BD平面PAC.
因为PO平面PAC，
所以BDPO.
因为底面ABCD是菱形，
所以BO=DO.
所以PB=PD.
（3） 不存在.下面用反证法说明.
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.
在菱形ABCD中，BC∥AD，
因为AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为BM平面PBC，BC平面PBC，
BC∩BM=B，
所以平面PBC∥平面PAD.
而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.
所以不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.
3. （1） 思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF（其中F为PD的中点）.
取PD的中点F，连接AF、EF，
则EF∥CD且EF=12CD.
又AB∥CD且AB=12CD.
四边形ABEF为平行四边形,BE∥AF.
BE面PAD，AF面PAD，BE∥面PAD；
思路2：转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连接PF，易知BE∥PF.
思路3：转化为面面平行，取CD的中点F，易证平面BEF∥平面PAD.
（2） 在平面PBA内作AHPB于H，
则AH平面PBD，
从而AHPD，又已知AB平面PAD，
所以ABPD，
高考数学立体几何知识点一
1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2. 判定两个平面平行的方法：
(1)根据定义--证明两平面没有公共点;
(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;
(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3.两个平面平行的主要性质：
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的交线平行“。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。
高考数学立体几何知识点二
(1)棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
高考数学立体几何知识点总结相关文章：
1.高三数学立体几何知识点总结
2.高考数学立体几何知识总结
3.高二数学立体几何知识点总结
4.数学立体几何高考题答题技巧
5.高三数学立体几何专题复习
垂线与平行线》-单元测试3
一、单选题(总分：40分本大题共8小题，共40分)
1.(本题5分)只使用一副三角板，不能拼出（
）度的角．
A.105
B.70
C.135
2.(本题5分)三时整．钟面上的时针和分针成（
）的角．
A.180°
B.90°
C.60°
D.30°
3.(本题5分)小明画了一条10厘米长的（
）
A.直线
B.射线
C.线段
4.(本题5分)不在同一条直线上的4点，最多可以连成（
）条线段．
A.6
B.5
C.4
D.无数
5.(本题5分)一条（
）长50厘米．
A.直线
B.射线
C.线段
6.(本题5分)图中的角和平角可能相差（
）度．
A.180
B.140
C.40
D.90
7.(本题5分)两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（
）
A.相交
B.互相垂直
C.互相平行
8.(本题5分)下面各角中，不能用两把三角尺拼成的角是（
）
A.120度
B.135度
C.80度
D.105度
二、填空题(总分：25分本大题共5小题，共25分)
9.(本题5分)在同一个平面内，两条直线的位置关系有____和____两种情况，其中相交的一种特殊情况是两条直线____．
10.(本题5分)一个锐角三角形，两个内角之和a的范围是____．
11.(本题5分)一个直角三角形，其中一个锐角是35°，那么它的另一个锐角是____度．
12.(本题5分)平行线之间可以作____条垂直线段，这些垂直线段的长，叫做平行线之间的____．
13.(本题5分)如图，已知∠1=130°，∠2=____．
三、解答题(总分：35分本大题共5小题，共35分)
14.(本题7分)分别画出80°、125°的角．
15.(本题7分)如图是平行线的有：____．
16.(本题7分)过P点分别做出直线L1和直线L2的平行线．
17.(本题7分)按要求画角：
（1）画一个65度的角．
（2）画一个直角．
（3）画一个钝角．
18.(本题7分)请你用一副三角板画出165度和135度的角，用量角器画出一个165度的角．
苏教版四年级数学上册《八
垂线与平行线》-单元测试3
参考答案与试题解析
1.【答案】：B;
【解析】：解：一副三角板中各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，
A、105°的角可由60°和45°的角拼得，
B、70°的角不能拼得，
C、135°的角可由45°和90°的角拼得；
故选：B．
2.【答案】：B;
【解析】：解：钟面上一大格为：360÷12=30°，
3时整，钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×3=90°；
故选：B．
3.【答案】：C;
【解析】：解：直线没有端点，射线只有一个端点，二者都不能量得其长度，而线段有两个端点，可以量得其长度．
故选：C．
4.【答案】：A;
【解析】：解：如图：
一共可以组成的线段条数是：
3+2+1=6（条）；
故选：A．
5.【答案】：C;
【解析】：解：一条线段长50厘米．
故选：C．
6.【答案】：C;
【解析】：解：因为图中的角是140度，平角是180度；
所以180-140=40（度）
故选：C．
7.【答案】：C;
【解析】：解：根据垂直和的性质得：两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行，
故选：C．
8.【答案】：C;
【解析】：解：A、120°的角，30°+90°=120°；
B、135°的角，45°+90°=135°；
C、80°的角，不能直接利用三角板画出；
D、105°的角，45°+60°=105°；
故选：C．
9.【答案】：平行;相交;垂直;
【解析】：解：在同一个平面内，两条直线的位置关系有
平行和
相交两种情况，其中相交的一种特殊情况是两条直线
垂直；
故答案为：平行，相交，垂直．
10.【答案】：180°＞a＞90°;
【解析】：解：根据题干分析可得：因为锐角三角形的3个角都是锐角，即每个角都小于90°，又因为三角形内角和是180°，
所以，其中一个角小于90°，则180°减小于90°的角，得的差要大于90°，即另两个角的和大于90°，
所以锐角三角形任意两个角之和大于90°，即一个锐角三角形的两个内角之和a的范围是：180°＞a＞90°；
故答案为：180°＞a＞90°．
11.【答案】：55;
【解析】：解：180-90-35=55（度），
答：另一个锐角是55度．
故答案为：55．
12.【答案】：无数;距离;
【解析】：解：由分析可知：平行线之间可以作
无数条垂直线段，这些垂直线段的长，叫做平行线之间的
距离．
故答案为：无数，距离．
13.【答案】：50°;
【解析】：解：∠2=180°-∠1=180°-130°=50°；
故答案为：50°．
14.【答案】：解：
;
【解析】：画一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器80°或125°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可．
15.【答案】：解：如图是平行线的有：①、④．
故答案为：①、④．;
【解析】：依据平行的意义，即同一平面内不相交的两条直线，叫做平行线，据此即可解答．
16.【答案】：解：画图如下：
;
【解析】：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可．
17.【答案】：解：根据题干分析，画角如下：
;
【解析】：①画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；
②对准量角器65°（或90°或大于90°）的刻度线点一个点（找点）；
③把点和射线端点连接，然后标出角的度数．
18.【答案】：解：（1）
（2）;
【解析】：（1）因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°把它们进行组合，即可得到某些特殊的角度，其中，90°+45°=135°，165°=90°+45°+30°，据此解答；