数学思想精选(九篇)

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第1篇：数学思想范文

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质认识，是分析处理和解决数学问题的根本方法，也是对数学规律的理性认识。数学方法是数学思想的具体化形式，是分析处理和解决问题的策略。实质上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为思想方法。数学思想方法的自觉运用会使我们运算简洁、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类与讨论、数形结合。

数学新课程标准（修订稿）总体目标中明确提出：“让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。基础知识和基本技能固然重要，但是对学生的后续学习，生活和工作长期起作用的并使其终身受益的是数学思想方法。小学数学教学的根本任务是全面提高学生的素质，其中最重要的是培养学生的创新精神和思维品质。而数学思想方法既是培养学生的创新精神和学生思维品质的关键，又是数学的灵魂和精髓。在小学数学课堂教学中渗透思想方法，有利于促进数学发展，有利于促进教育教学改革，有利于培养学生的数学能力，有利于培养学生的创新精神和实践能力。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

对小学数学各个年级各个版本各册教材进行梳理，小学阶段可渗透的思想方法有：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、数学模型思想方法等。

在小学数学中，数学思想方法给出了解决问题的方向，给出了解决问题的策略。这就需要教师挖掘、提炼隐含于教材的思想方法，纳入到教学目标。有目的、有计划、有步骤地精心设计教学过程，有效地渗透数学思想方法。

用数学思想理解数学概念的内容，培养学生准确理解概念的能力。如在讲解概念时，数行结合，化抽象为具体，结合图形加深理解。在二年级上册教学倍的认识时，学生较难理解，利用线段图，帮助学生从直观到抽象，学生学起来轻松自如。在小数的意义教学中对0.3的理解，出示一张正方形白纸让学生表示出来，再通过画数轴表示，多让学生评评说说，充分发表自己的想法，让学生在不断的探索中，借助图形自主构建小数的意义，接着借助大量的直观模型，使学生对小数的认识层层递进，使学生的思维经历由具体到抽象的过程。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考路径形象地外显，非常直观，易于学生理解。

用数学思想方法推导公式的形成，如平面图形的面积和立体图形体积公式。培养学生的思维，在公式的教学中不要过早给出结论。引导学生参与结论的探索、发现，研究结论形成的过程及应用的条件，领悟它的知识关系，培养学生从特殊到一般、类比、化归、转化、等量代换的数学思想。如对平行四边形的面积的教学，让学生初步运用转化的方法推导出平行四边形面积公式，把平行四边形转化成为长方形，并分析长方形面积与平行四边形的关系，再从长方形的面积计算公式推出平行四边形的面积计算公式，在教学过程中先巧设情境，铺垫引入，激发学生进一步探讨平行四边形的面积计算方法的求知欲望。再合作探索，迁移创造，让学生通过动手操作，剪、拼、摆等把平行四边形转化为长方形，并把自己的发现表述出来，动脑思考长方形与平行四边形有什么关系，长方形的长与平行四边形的底有什么关系，长方形的宽与平行四边形的高有什么关系，在这个环节中，学生动手操作、合作交流，主动地去探索和发现平行四边形的面积的计算方法，交流时学生说明剪拼方法、各部分间的关系，互相提问并解答，在生生交流中学生理解平行四边形与拼成的长方形间的内在联系，既加深了对新知的理解，也培养了学生的语言表达能力、思维能力及提出问题的能力和解决问题的能力。最后层层递进，拓展深化，练习设计由浅入深，涵盖了不同角度的问题，不但使学生在练习中思维得以发展，创新素质得到锤炼。

第2篇：数学思想范文

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；

应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；

函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

二 、数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。

数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。

恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。

华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。

把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：

（1） 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

（2） 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用；

（3） 对于以下类型的问题需要注意： 可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点 及余弦定理进行转化达到解题目的。

三、 分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

第3篇：数学思想范文

一、端正渗透思想更新教育观念

纵观数学教学的现状，应该看到，应试教育向素质教育转轨的过程中，确实有很多弄潮儿站到了波峰浪尖，但也仍有一些数学课基本上还是在应试教育的惯性下运行，对素质教育只是形式上的“摇旗呐喊”，而行动上却留恋应试教育“按兵不动”，缺乏战略眼光，因而至今仍被困惑在无边的题海之中。

究竟如何走出题海，摆脱那种劳民伤财的大运动量的机械训练呢？我们认为：坚持渗透数学思想和方法，更新教育观念是根本。要充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多，这才是走出题海误区，真正实现教育转轨的新途径。

二、明确数学思想和方法的丰富内涵

所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间历来就没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。一般说来，数学思想带有理论特征，如符号化思想，集合对应思想，转化思想等。而数学方法则具有实践倾向，如消元法、换元法、配方法、待定系数法等。因此数学思想具有抽象性，数学方法具有操作性。数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。

不同的数学思想和方法并不是彼此孤立，互不联系的，较低层次的数学思想和方法经过抽象、概括便可以上升为较高层次的数学思想和方法，而较高层次的数学思想和方法则对较低层次的数学思想和方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。低层次是高层次的基础，高层次是低层次的升级。

三、强化渗透意识

在教学过程中，数学的思想和方法应该占有中心的地位，“占有把数学大纲中所有的、为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位。”这就是要突出数学思想和方法的渗透，强化渗透意识。这既是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求。素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素养的目的。”而数学思想和方法又常常蕴含于教材之中，这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟隐含于教材的字里行间的数学思想和方法。一方面要明确数学思想和方法是数学素养的重要组成部分，另一方面又需要有一个全新而强烈地渗透数学思想方法的意识。

四、制定渗透目标

依据现行教材内容和教学大纲的要求，制订不同层次的渗透目标，是保证数学思想和方法渗透的前提。现行教材中数学思想和方法，寓于知识的发生，发展和运用过程之中，而且不是每一种数学思想和方法都能象消元法、换元法、配方法那样，达到在某一阶段就能掌握运用的程度。有的数学思想方法贯穿初等数学的始终，必须分级分层制定目标。以在方程（组）的教学中渗透化归思想和方法为例，在初一年级时，可让学生知道在一定条件下把未知转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识来解决的思想和方法；到了初二年级，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用；初三年级，已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用基础和经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。实际教学中也确实有一些学生能够把多种数学思想和方法综合运用于解决数学问题之中，这种水平正是我们走出题海所迫切需要的，它既是素质教育的要求，也本文的最终目的。

五、遵循渗透原则

我们所讲的渗透是把教材中的本身数学思想和方法与数学对象有机地联系起来，在新旧知识的学习运用中渗透，而不是有意去添加思想方法的内容，更不是片面强调数学思想和方法的概念，其目的是让学生在潜移默化中去领悟。运用并逐步内化为思维品质。因而渗透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则，使认识过程返朴归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程。那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想和方法。

六、探索并掌握渗透的途径

数学的思想和方法是数学中最本质、最惊彩、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽式，需要教师在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。

1．在知识的形成过程中渗透

对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法，训练思维，培养能力的极好机会。

2．在问题的解决过程中渗透

数学的思想和方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学的思想和方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果，打破那种一把钥匙开一把锁的呆板模式，摆脱了应试教育下题海战的束缚。通过渗透，尽量让学生达到对数学思想和方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力，此时的思维无疑具有创造性的品质。如化归的数学思想是解决问题的一种基本思路，在整个初等方程及其它知识点的教学中，可以反复渗透和运用。

3．在复习小结中渗透

小结和复习是数学教学的重要环节，而应试教育下的数学小结和复习课常常是陷入无边的题海，使得师生在枯燥的题海中进行着过量而机械的习题训练，其结果是精疲力尽，茫然四顾，收获甚少。如何提高小结、复习课的效果呢？我们的做法是：遵循数学大纲的要求。紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，我们注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。

4．在数学讲座等教学活动中渗透

第4篇：数学思想范文

一、数形结合思想

数形结合多指以形助数,即以图形或图像之关系反映相应的代数关系,并解决有关代数问题。,函数的图像直观的显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用得一个重要方面。再解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题。这种方法使用的主动性和熟练性,集中表现出学生的数学意识和潜质,反映了数学的简练性和趣味性。

例1已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个大于1，另一个小于1，求实数k的取值范围。

分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，则由根的分布情况当k>0时函数的图像只能如图所示：

对应条件是k>0且f(1)

同理当k0。

解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函数图像知为使方程f(x)=0的两根一个大于1，另一个小于1，只需

k>0且f(1)

解得k>0或k

评注：本题是一个利用函数图像解决方程根的分布问题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得到巧妙解决。

二、转化和化归思想

在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已经建立起来的数学模式。

三、分类讨论思想

分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象内部问题区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。在解决含参数的二次函数问题时会涉及到分类讨论的思想，特别是研究含参数的二次函数的最值和单调性及应用等问题上，一般需要分类讨论的思想方法。

例2：已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[-1.5,2]上的最大值为1，求实数a的值。

解：a=0时，f(x)=-x-3,在[-1.5,2]上不能取得1，故a≠0.1-2a

f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的对称轴方程为x0=―――,2a

(1)令f（-1,5）=1解得，a=-10/3

此时x0=-23/20∈[-1.5,2],

因为a>0,f(x0)最大，所以f（-1,5）=1不合适。

（2）令f(2)=1，解得a=3/4，此时x0=-1/3∈[-1.5,2]，

因为a=3/4>0，所以f(2)最大合适。

（3）令f(x0)=1，解得a=1/2（-3±2√2），验证后知只有a=1/2(-3-2√2)才合适。

第5篇：数学思想范文

目前初中阶段，主要数学思想方法有：数形结合的思想、分类讨论的思想、化归的思想、转化思想、归纳思想、类比的思想、函数的思想、方程与函数的思想方法等。提高学生的数学素质，指导学生学习数学方法，毋用置疑，必须指导学生紧紧抓住掌握数学思想方法。

1、数形结合的思想

在数学学习过程中能将抽象的数学语言与直观的集合图形有机的结合起来，是抽象思维与形象思维相结合，往往使我们很快找到问题解决途径和解题过程。华罗庚教授公开多次讲：“数形结合无限好，割裂分开万事休。”我们在教学中适当的进行渗透，在讲函数时数形结合的思想就是很好的例子。还有在讲无理数时，就采用数形结合的思想，在数轴上把无理数表示出来，给学生以直观感觉。在学习乘方时，学生很难想象216有多大，就举一个例子，说把一张纸厚0.12毫米对折，折16次，你说有多高？学生大多认为没有多高，但是经过计算以后，学生吃惊的发现竟有2层楼的高度，数形结合培养了学生的数感。

2、转化和化归思想

转化的思想是把未知的问题转化为已知的问题，把繁琐的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。化归就是把有待解决的为题转化归结为熟悉的或已解决过的问题，从而求得问题解决的方法和思想。学生在学习过程中已经积累了一些数学经验和知识，遇到-些需要解决的问题转化为已学习过的知识来解决。如：要求解二元一次方程，学生已经学习过一元一次方程，是否转化为一元一次方程来解决，如何运用一元一次方程呢？就是降次，找到解决问题的途径。学次函数时，让学生利用已有的二元一次方程的标准型和一次函数的定义，总结归纳出二次函数的标准型，这就运用了转化和化归的思想。

3、类比的思想

类比是以比较为基础，它能揭示数学对象之间的规律。通过同一类的问题，想到相应学过的问题，通过对比来学习新知识。如：在学次函数时，就可以联想到学习过的一次函数及反比例函数的定义和性质，根据它们的定义方式和性质的由来，二次函数的定义和性质也就应运而生了；再如学习因式分解是就可以联想到小学学过的分解质因数，3×11=33，3和11就是33的因数，（a+b）（a-b）=a2-b2，，a+b、a-b就是a2-b2的因式，学生通过对比也就明白了其中的道理。

4、函数与方程思想

第6篇：数学思想范文

一、对数学思想方法的认识

在方法与思想之间没有严格的界限.人们习惯上把那些具体的，操作性较强的方法称为思想.中学数学思想方法可分为三种类型：

一是操作性较强的办法称之为技巧型方法.如换元法、待定系数法、错位相减法、参数法等.它们与知识并行共生，其特点与解题紧密联系，具体而便于操作.

二是逻辑型思想方法，包括类比、归纳、演绎、分析、 综合、抽象、概括等.这些方法具有确定的逻辑结构，是普遍适用的推理论证模式，需要教师有意识、有目的地从数学中去发掘，并对学生进行训练和培养.

三是全局型的数学思想方法，如公式方法、坐标方法、极限方法、模型方法等，它们较多地带有思想观点的属性.它们揭示的是数学中极其普遍的想法，为数学的发展起着指引方向的作用，这些方法虽不像技巧型的方法那样具体，却牵动着数学发展的全局或为新科学诞生起着指导的作用.

这三类方法相辅相成，共同促进着数学的发展.我认为这三类学习方法的掌握，能促进学生思维的发展，强化学生的数学能力，并带动学生整个文化素质的提高.因而，把数学思想方法的训练贯穿于中学数学教学是非常必要的.

二、在教学过程中渗透数学思想

数学思想方法具有高度的概括性，因而应用的范围极广，同一个数学思想方法可以在不同的教学阶段或不同的知识领域中重复出现.因此，教师应密切结合教材，在传授知识的同时有机地渗透数学方法，在适当的时机加以明确，并在总结阶段或专题复习阶段给予系统的整理、渗透.

对数学而言，知识的发生过程实际上也是数学思想方法的产生过程，因此，必须把握好数学思想方法的渗透时机.如概念的形成、结论的推导方法的思考过程，都是渗透数学思想方法的好时机.

1.渗透转化化归的思想

化归思想的实质是化未知为已知，使新知识向旧知识（已知的知识）转化的思想方法，具有普遍意义，掌握了它就能居高临下的指导思维活动的开展.特别是在解析几何的教学过程中通常是以有关概念的定义、定式（公式、法则）和定法着手进行思考分析，运用常规思路，会出现解题过程复杂甚至难以处理的局面.

2.分类思想，训练思维的目的性、条理性

分类思想在数学中也很普遍，如代数中有数、式、方程、不等式、函数等内容的分类，几何中有图形的分类等，分类思想渗透到概念、定义、定理的证明、法则的推导和具体问题的总结，善于运用分类讨论的思想有助于他们对知识的加深认识和理解消化，从而掌握其本质规律.

例如，在讲“向量”时，平行向量可分为同向向量或反向向量，用向量法推导正弦定理时，可通过对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情形分别讨论而获得.

3.渗透数形结合的思想

数与形是数学研究的两类基本对象，它们既有密切联系，又有各自的特点.数形结合的思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题.

第7篇：数学思想范文

[关键词]高等数学 数学思维 数学思想

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）24-0076-02

高等数学教学主要的特点在于它是数学思维的教学。高等数学教学中应该注意数学思想的运用和渗透。

一、高等数学教学是数学思维的教学

高等数学教学时应该一切从思路出发，力图让每个学生搞清知识点间的联系。比较重要的是抓住思维的直观性、合理性和层次性这三个方面：

（一）数学思维的直观性

高等数学教学一般有四种类型：浅入浅出、浅入深出、深入深出、深入浅出。最高境界是深入浅出，高等数学中不少内容较为抽象，教学中应该能把深奥的道理用非常通俗的语言来叙述，让人一听就懂。

（二）思维的合理性

知识的呈现应该是水到渠成的结果，而不是像变魔术那样让学生感到不可捉摸，更不能故作高深来显示自己。而要做到这一点，关键是要知道你为什么要教这个知识？要尽可能按照人类认识事物的一般顺序来启发学生思考。

（三）思维的层次性

首先，要理清知识的层次关系。

其次，要注意启发的层次性。启发一般采用由远及近的方法来进行，一开始问题可以提得比较宏观一点，这样可以更好地拓展学生的思维，如果学生思考有困难，可以将问题提得更具体一点，如果学生还有困难，问题还可以提得再具体一点，……，这样逐步深入，直到学生真正理解为止。

二、用数学思想将数学知识统一起来

教师在高等数学教学中应充分渗透数学思想方法，充分发挥数学思想方法在数学教学中的指导作用、统摄作用，要用数学思想这一线索将零散的知识统一起来。让学生学会从数学思想方法这一高度居高临下认识高等数学的本质。

下面介绍两种比较重要的数学思想：模式思想和转化思想：

（一）模式思想

著名数学家、数学哲学家A.N.怀特海曾经指出：“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究的科学。人们正是通过模式这种有限的东西而达到对无限的宇宙的认识的。”

下面通过■（1+■）x=e这一重要极限（模型）的教学来具体说明高等数学教学中如何体现模型思想。

众所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e与■（1+■）x=1这三个极限之间的区别与联系也是很多学生常常出现混淆的地方。为了避免学生产生混淆，在教材中可以按照以下步骤来分析和掌握这三个极限的共同本质并在此基础上建构■（1+■）x=e这一重要极限模型。

首先，提示并引导学生探究重要极限的本质特征。引导学生归纳出前两个极限所具有的共同特征，即不管加数是x还是■，其本质都是无穷小。换句话说，就是应将学生的注意力引向判断与1相加的到底是不是无穷小这一本质，而不应该让学生只是无谓地纠缠，到底是x还是■这一表面现象。然后再进一步归纳出指数不管是x还是■，它始终等于这个无穷小的倒数。那么就不仅可以将公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有机地统一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以与极限■（1+■）■=1更好地区别开来。当然，为了使学生更好地理解极限■（1+x）■=e的本质，在教学中还可以提出一些问题，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形来让学生通过比较和辨别来更好的认识极限■（1+x）■=e的本质特征。

其次，在探究基础上归纳极限特征。在学生进行探究的基础上让学生归纳出极限■（1+x）■=e的三个重要特征：底数与指数中都有变量；底数为1和无穷小之和；指数刚好是底数中无穷小这一加数的倒数。

最后，列出运用重要极限解题的一般步骤。首先识别所求极限是否适用于这一公式（即底数与指数中都有变量）；如果适用，则将底数化为1和无穷小之和的形式（把底数变成“1+X”的形式）；通过乘或加的方法使指数中出现的倒数■（需要注意的是如果用乘法，必须有一因式为常数）；运用公式求极限。其它有关运算。

（二）转化思想

匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述：“数学家往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”高等数学教学中应该注意培养学生的转化思想，并尽可能让他们养成运用转化思想解决问题的习惯。

下面以罗必塔法则的教学为例来进行说明：

我们知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，还有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等类型的未定式。求解这类未定式极限的基本思想是采用转化的数学思想方法，先将它们转化为“■”型和“■”型这两种基本的未定式。

例：求■xx。

在解决这道问题时，教师可以这样启发学生：“前面我们已经学过‘■’型和‘■’型的未定式，现在又出现了‘00’ 这是一未定式，如何来求这类未定式的极限呢？”如果学生不能想到将其转化为“■”型或“■”型的未定式，教师可以进一步启发学生：“可不可以将其转化为‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果学生认为可以，那么可以进一步启发学生：“怎样才能将‘00’型未定式转化为‘■’型或‘■’型的未定式？”通过这样的启发学生应该不难想到：必须将乘方运算转化为乘除运算，而将乘方运算转化乘除运算的基本方法是取对数。

解：方法一：设y=xx，取对数得

lny=xlnx，

■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，

然后再根据复合函数的连续性得：ln（■y）=■（lny）=0。

从而有■y=1，即■xx=1。

方法二：利用公式x=elnx将乘方运算转化为乘除运算。

■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。

高等数学是高等教育中重要且基础的课程之一，对高等数学理解的深入程度对大学生今后的发展常常起着至关重要的作用。同时高等数学又往往是不少大学生深感头痛并且难以掌握的课程之一。作为高校教师，我们在考虑高等数学整体教学方案，或者考虑具体知识点的讲授的合理性时，我们始终注意数学思维的教学，并且注意模式思想和转化思想的灵活运用，则往往有事半功倍的效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1997.

[2] [美]约翰·布兰斯福特，等.程可拉等，译.人是如何学习的[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

第8篇：数学思想范文

【关键词】初中数学 函数思想 方程思想

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相关概念解析

函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的等量关系，建立函数关系，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题的目的。

方程思想是以数量关系为切入点，用数学语言把问题转化为数学模型――方程、方程组，通过求解方程、方程组转化问题。

虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但是这两种数学思想却有着密切的联系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函数y=ax2+bx+c当函数值为0时自变量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的个数就是求函数y=ax2+bx+c与函数y=dx+e图像交点的横坐标或交点的个数。这种紧密的关系为函数思想与方程思想在初中数学中的相互转化提供了物质条件。

二 用函数思想解决方程问题

通过一个例题两种不同解析方法的对比来体会用函数思想解决方程问题是否具有优越性。

一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m为何值时，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一负根？

方法一用韦达定理解析：因为该方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，

即m≤ 或m≥ 。

设x11，则x1-10则（x1-1）（x2-1）

根据韦达定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，则有（m+2）+2（m-1）+1

设x10，则x1x2

方法二用函数思想解析：将一元二次方程左边看成是一个二次函数f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函数f（x）=0中自变量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）这条开口向上的抛物线与x轴的交点。所以只需x=1时，f（x）

则有1+2（m-1）+（m+2）

将一元二次方程左边看成是一个二次函数f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函数f（x）=0中自变量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）这条开口向上的抛物线与x轴的交点。所以只需x=0时，f（x）

则有m+2

从两种解析方法的比较中，不难看出：对于（1）的解析中运用函数思想解决方程问题可以大大减轻计算量，使复杂问题简单化；对于（2）的解析中运用函数思想解决方程问题并没有表现出很明显的简化效果。所以，解决方程问题我们要灵活把握，具体问题具体分析，本着化繁为简的原则选择合适的数学思想进行解题。

三 用方程思想解决函数问题

周末王芳骑自行车和小伙伴一起到郊外游玩。她从家出发后2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，王芳离家4小时40分钟后，爸爸开车沿相同路线迎接王芳，如图是他们离家的路程y（千米）与时间x（小时）的函数图像。已知王芳骑车的速度为15千米/时，爸爸开车的速度为60千米/时。王芳家与游玩

地的距离是多少？爸爸出发

多长时间与王芳相遇？

根据题意可知王芳骑自

行车的速度为15千米/时，

而她到达游玩地所用时间是2小时，所以王芳家与游玩地的距离是15千米/时×2小时=30千米。

设爸爸出发后x小时与王芳相遇，根据题意，在王芳原路返回前20分钟即1/3小时，爸爸开车出发，爸爸开车的速度为60千米/时，王芳骑车的速度为15千米/时，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。

所以爸爸出发后7/15小时即爸爸出发后28分钟与王芳相遇。

对于本题的解答，我们不能想当然地看到函数图像就试图求出函数的解析式。采用方程思想进行解答是把复杂的函数问题变成了简单的一元一次方程问题和相遇问题，这样大大降低了解题的难度。由此类行程问题看，函数思想和方程思想是一致的，它们都是以实际问题中的数量关系为切入点。而从难易程度上来说，方程思想更有利于学生接受。

在初中数学问题中，还有很多可以采用方程思想与函数思想互换方式解决的题型，我们只是希望通过本文的分析对转化思想起到抛砖引玉的作用。希望在以后的数学教学中，能恰当地转化思维解决复杂问题。

参考文献

[1]柳晓燕.数学思想在初中数学应用题中的应用分析[J].中学时代，2013（14）

第9篇：数学思想范文

一、对中学数学思想的基本认识

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。

属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。

二、数学思想的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

(三)数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。三、数学思想的教学功能

我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。

(一)数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想

笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。

(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证

数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。

有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。