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工笔重彩人物画教学临摹
一、工笔重彩人物画
古人谓：“丹青在山，民知而取之。”“丹青”不仅仅作为重彩画颜料的种类，更是随着岁月的推移成为中国画的代名词，并揭开了中国工笔重彩画浓墨重彩的一页。“重彩”一词则第一次出现在唐代张彦远的《历代名画记》中。在清代以前，凡是设色的中国画都被称为重彩。其实，重彩画的历史渊源是久远的，最早可以追溯到原始岩画中，更严格意义上的重彩画见于马王堆出土的汉代《西汉帛画》。此画勾线流畅，在棕色的绢底上涂以朱砂、石青、石绿等矿物及植物颜料，并用金粉进行点缀，画面精工细致，富于中国传统绘画的装饰效果。到了魏晋南北朝时期，顾恺之将其“传神”论赋予了他的工笔人物画面中，《洛神赋图》《女史箴图》用线严谨流畅，用色艳丽沉稳。同时期的敦煌壁画更向后人展示了工笔重彩壁上表现的无限魅力。汉至魏晋的重彩画虽不及后世精到，却无疑为后代的工笔重彩人物画奠定了坚实的基础。唐代是工笔重彩人物画发展的高峰。唐代重彩画追求富丽堂皇、浓艳丰富的色彩效果，在技法的运用上极为成熟，达到了精致入微的程度，这在唐代张萱、周昉的《簪花仕女图》《虢国夫人游春图》中都有所体现。在接下来的五代，顾闳中的《韩熙载夜宴图》更是被后世称为工笔重彩人物传世画中的经典之作。但盛唐以后，由于经济、政治、文化等原因，重彩画逐渐失去了以往的尊贵地位，不过尽管势力微弱，但其发展却没有中断，这从宋、元、明的人物画中可以看到。特别是寺观壁画一直继承着重彩人物画的优秀传统。如《永乐宫壁画》《法海寺壁画》便是元、明两代壁上工笔重彩人物画的代表之作。到了近现代，由于人们观念的变化、材料的发展以及对传统的挖掘，中国画坛又将重彩人物画推到了前所未有的高峰。当代重彩人物画形式多样、技法丰富，以其强烈的现代气息与色彩冲击力扣动着欣赏者的心弦，更加符合现代人的审美要求。同时一大批优秀的工笔重彩人物画家，如蒋彩萍、唐勇力等在重彩人物画领域的探索也推动着其他画家，使得工笔重彩在当今显现出了极大的繁荣状态，这种状态也同时带动了高校重彩人物画教学的繁荣。高校工笔重彩人物画教学是中国画专业的必修课程。上世纪80年代后，我国各大美院及师范院校的美术专业都开设了工笔重彩人物画课程，而且在教学方法上不断探寻、改进，以期达到更好的教学效果。
二、工笔重彩人物画临摹教学
在国画教学中，学生对工笔重彩人物画的学习一般包括三个阶段。第一是临摹，第二是写生，第三是创作。临摹是学习者掌握绘画基本技法的不二法门，工笔重彩人物画也是一样，学生只有经过对经典作品的临摹研究，才能深入了解并掌握其基本技法与审美特点。在临摹阶段，对作品的临摹又有读画、对临、变临三个临摹的过程。
（一）临摹的意义
首先教师及学生要对临摹有一个深层次的理解。临摹的目的、意义并非完全复制物象，而在于通过对优秀作品的分析研究，熟悉工笔重彩绘画的使用工具，学习工笔重彩人物画造型、构图、勾线、设色的基本方法，体会作者的思想感情与创作精神，并在临摹的过程中寻求自己创作的灵感与技法突破。主要解决以下几个问题：
1.感受工笔重彩人物画的形式美感与材质美感。（主要注重自己的感受）
2.学习工笔重彩人物画的勾线技法。（线为工笔重彩画之骨，不同的画面、人物运用不同的线来表现物象的风格）
3.学习工笔重彩人物画的设色技法，特别是对于古代矿物色及植物色的运用方法。
4.学习工笔重彩人物画背景、底色的处理。
5.注重对古今工笔重彩人物画肌理技法的研究与探寻。（积累技法经验，探寻技法创新）
通过对以上几点的思考与总结，才能更有效地达到临摹教学的目的。
（二）临本的选择以及临摹的要点
对于以往的工笔重彩人物画教学来说，在教学中主要临摹唐代及五代的绢本工笔重彩画。这种临摹虽然有助于学生把握基本的绘画技法及重彩画的审美特征，但在观念上却将学生对重彩人物画的理解禁锢在这种形式的工笔重彩人物画中，对于其他朝代及当今的重彩人物画了解甚为缺失。对当代重彩人物画的发展来说，有必要在临本上有所调整。
在高校工笔重彩人物画的临摹教学中，可以从以下三个方面选择临本。
第一种为绢上工笔重彩人物画。如《簪花仕女图》《虢国夫人游春图》《韩熙载夜宴图》等，这类绢画具有古代工笔重彩人物画的特点，特别是在技法方面基本囊括了古代工笔重彩人物画的绘画技法，便于初学者全面了解与学习古代工笔重彩人物画。唐代是工笔重彩人物画的高峰时期，重彩人物画由魏晋南北朝时期发展到唐代达到了很高的阶段。张萱、周昉等就是其中的代表画家。此类画面人物造型丰满，服饰华丽，整幅画典雅工致。勾线上主要运用铁线描、游丝描；画面颜色主要以朱砂与蛤粉及一些植物色为主；在技法上，运用了分染法、罩染法、醒线、提白、托染的方法。五代时期顾闳中的《韩熙载夜宴图》也是很好的临本，此图被历代画家视为工笔重彩人物画的代表之作。该画人物较多，临摹稍有难度。画面线条圆浑并富有变化，颜色种类较多，并善于用石色、水色的罩染来增强画面的厚重感，特别是对石色的应用变化丰富。每个画面及人物的色彩处理都不同，在技法的应用上也很多样。在临摹中要注意用色的协调统一，同时也要注意丰富的人物表情与内心世界的表现。
第二种为壁上工笔重彩人物画。壁画是工笔重彩人物画的另一种表现形式，它的承载物是墙壁或石窟，也是以线为骨，用色较为厚重，特别是经过岁月的沉淀，显示出剥落、风蚀的自然肌理效果，这符合现代人溯古的精神追求，所以壁画不论是对古代技法的研究还是现代技法的追求，都有着积极的教学意义。如《敦煌壁画》及《永乐宫壁画》，二者是古代工笔重彩人物画壁上表现的优秀作品，对研习壁上重彩人物画技法及矿物色颜料的使用都有极高的价值。敦煌壁画历经13个朝代，在风格上很好地融合了西域与中原的风格，在形成自身设色风格的基础上，又体现出了各个朝代不同的面貌，达到了壁上佛教工笔重彩人物画的绘制高峰。特别是画面中矿物色的应用与现代重彩画中矿物色的应用一脉相承。上世纪80年代很多艺术家都是通过临摹、研究敦煌壁画而在艺术创作上达到了高峰。《永乐宫壁画》是文人画兴起后工笔重彩画在民间发扬光大的优秀之作。《永乐宫壁画》属道教寺观壁画，在继承唐人工笔重彩画的绘画技法上又融汇了元代的绘画特点。线条匀称粗壮、劲健而富有气势，继承了唐代吴道子的勾线风格；颜色以矿物色石青、石绿、朱砂为主；在技法上以勾填法为主，并大量使用壁画中常见的沥粉贴金的方法。
以上两种壁画可以通过两种方法进行临摹：第一种为原壁临摹。临摹的承载物、颜色均为原制作工具，如制作地仗层、刷底色，然后勾线、填色。这种临摹有助于学生更好地了解壁画的制作过程、绘制过程及颜色的运用。第二种为纸上临摹。用托裱两层的皮纸及矿物颜料对壁画进行复古临摹。这种临摹在基底及材料的应用上对学生来说是比较方便的，而且便于学生研究肌理的制作，画面效果也很好。
第三种为现代工笔重彩人物画。现代工笔重彩人物画由于时代审美角度的拓宽以及颜料制作工艺的拓展，在技法以及形式上都有一定的突破，特别是在形式美感及颜料的运用上，不仅可以使学生了解工笔重彩人物画在当代的发展形势 ，更可以为学习者的创作及创新提供极好的平台。当代工笔重彩人物画的临本很多，最重要的是学生要感兴趣，教师不要将自己的审美观念强加于学生，严格要求学生临摹某人的作品，而是应该采取宽松态度，让学生自行选择感兴趣的临本，这样学生才能对画面有探索的积极性。在临摹的过程中，要引导学生对现代工笔重彩人物画画面的构图形式感、色彩效果、肌理的制作进行研究与探寻。
（三）作品的评价
在以往的教学中，教师常常以是否忠于原画来评定学生临摹的优劣。特别是在临摹的过程中教导学生严格按照书本上所标示的步骤及颜色进行，忽视了学生对于临本的理解。从教育学及心理学的角度来说，此种评价与现代教育评价体系是完全相悖的。现代美术教育注重学生在学习过程中的状态以及对学生知识的开发，注重学生自己的想法。如在临摹的过程中是否有探究精神，是否在临摹研究的过程中有所创新，并在自己的画里有所体现。如果学生在临摹的过程中探索到了自己的表现形式，并可以应用到自己的写生、创作中去，这个临摹过程无疑是有收获的。而只是忠实于原作的效果，没有动脑思考问题，最终的作品即使与原作相像，对于学生以后的学习也是没有帮助的。所以教师的评价观念要更新，这样才能使学生的学习更加有效。
结语
在大学美术专业教育中，教师对学生要“授之以渔”而非“授之以鱼”。在现代工笔重彩人物画风的吹拂下，教师要以多元化的角度来对待传统与创新，努力拓宽自身的知识面，在工笔重彩人物画教学的各个方面进行改进，才能使工笔重彩人物画的教学不断进步，使得传统的工笔重彩人物画在当代画坛大放异彩，也使学生在走出大学校园后更快地接受现代各种风格的绘画，做一名出色的艺术家。
（注：本文为陕西师范大学社会科学研究基金项目，项目编号：09SYB09）
参考文献：
[1]牛克诚.色彩的中国绘画：中国绘画样式与风格历史的展开[M].武汉：湖北美术出版社，2002.
[2]金瑞.工笔人物画[M].重庆：西南师范大学出版社，2004.
[3]常锐伦.美术学科教育学[M].北京：首都师范大学出版社，2002.
【关键词】莫比乌斯圈；主体坐标系；从属坐标系；双重三维坐标；非三维物体；合成运动
一、关于莫比乌斯圈
1莫比乌斯圈的形成
莫比乌斯圈是由［德国］数学家莫比乌斯先生在150年前公布于世的.
随后，科学家就把莫比乌斯圈定位在数学领域的拓扑学分支里，其数学定义：单侧的、闭路的、反转定向的曲面.这样的莫比乌斯圈最终只剩下一个“表面”和一条“边缘”了.（见图1下部和图2）
2莫比乌斯圈与普通环圈不同
经过观察不难发现：普通环圈和莫比乌斯圈除了在制作方法和制作过程上完全不同以外，还表现在――如果在普通环圈和莫比乌斯圈的表面划线并沿线进行裁剪，其裁剪结果竟会完全不同.
当对普通环圈的表面划线并沿线裁剪时，能得到也只能得到――若干个与原圈等周长的“窄”普通环圈，而不会得到其他种类的环圈.
当对莫比乌斯圈的表面划线并沿线裁剪时，其裁剪结果却有两种：
（1）在莫比乌斯圈表面划一条中线并沿线将该圈剪开，会得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄一半的普通环圈（见图3）.
（2）在莫比乌斯圈表面划2条平均分布的等距离线条并沿线条将该圈剪开，则不仅能得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄23的普通环圈，同时还能在其中心部位再得到一个单独的、比原圈宽度窄23，且周长与原圈等长的“窄”莫比乌斯圈（见图4）.
（以上关于莫比乌斯圈的裁剪结果已经成为所有中外数学书籍里，对莫比乌斯圈进行介绍的一部分）唯此，从莫比乌斯圈和普通环圈的制作方法与裁剪结果的不同可以说明，它们并不是同类物体！
二、莫比乌斯圈不是三维物体
为了证明普通环圈与莫比乌斯圈不是同类物体，下面通过两种不同的制作和生成该两种环圈的方法来比较并进一步证明.
1第一种制作和生成方法
制作普通环圈的方法如前文（1以及图1）中描述的步骤进行.
而制作和生成莫比乌斯圈则需要通过两个相互关联的三维坐标系统（下文称双重三维坐标体系）来共同完成的.
首先，看第一个三维坐标系（xOy）（下文称主导三维坐标系）（见图5）.其原点位置为O，该主导三维坐标系x-y平面上有一个以O为圆心的“正圆”.该“正圆”就是莫比乌斯圈表面中心位置的基本轨迹线.
其次，看第二个三维坐标系（x′O′y′）（下称从属三维坐标系）（见图6）.该从属三维坐标系的原点位置为O′，处在主导三维坐标系内的“正圆”与x轴的交点上，从属三维坐标系内x′―y′平面上的设定目标可以绕O′进行有规则运动.但该设定目标的有规则运动必须按照主导、从属两个三维坐标系之间相互依存，对应旋转、位移、扭转的特殊函数关系进行.
必须明确的是：主导和从属三维坐标系在立体空间具体的相对位置关系上是相互平行或垂直的（见图5，6），其中（xOy）的三个参数（xn，yn，zn）为自变量，（x′O′y′）的三个参数（x′n，y′n，z′n）为因变量，且主体和从属三维坐标系之间应服从（x′，y′）=F（x，y）的对应关系.
这就建立了具有相互依存关系的双重三维坐标系统.在该系统里，整个从属三维坐标系是主导三维坐标系里的一个整体运动单元，随主体三维坐标系做有规律的运动――公转；而从属三维坐标系里运动单元自身的运动，则与主导运动有着严格的对应受控运动关系――自转.因此，处在该系统内设定目标的最终运动形式为合成运动.（既有公转，又有自转）
图7是从属三维坐标系整体在（xOy）x―y平面上，沿“正圆”轨迹移动的示意图.（图中未画出0°~45°等处对应图形）
在图8里有一个左边带小圆圈的“”形符号，该符号中的竖直线是一条起始于O′点，且垂直于x′轴，同时，它又是一条既平行于（xOy）z轴，也平行于（x′O′y′）y′轴的直线.另外，该符号中左边带小圆圈的横线是一条既平行于（xOy）x轴，也平行于（x′O′y′）x′轴，且属于该x′轴的一条直线，并且该直线的中点过（x′O′y′）原点坐标O′，且垂直y′轴的直线.
下面就以图8中“”形符号作为基本单元来描述生成莫比乌斯圈的过程：当从属三维坐标系整体在（xOy）x―y平面内绕O旋转2°（或1°）的同时，（x′O′y′）内x′―y′平面上过O′的直线也对应旋转1°（或0.5°）.当从属三维坐标系整体沿（xOy）x―y平面上的基圆旋转、位移一周（360°）回到起始点O时，左边带小圆圈的“”形符号也在x′―y′平面上绕O′旋转半周（180°）回到起始位置O′，此时该符号却正好被颠倒过来（见图8）.如果将双重三维坐标体系中被逐渐位移、旋转的“”形符号的空间中各点依次顺序连接起来，就可以生成标准的莫比乌斯圈.（用“”形符号的目的是使读者易于观察）
由此看出：生成莫比乌斯圈必须由相互依存的双重三维坐标体系共同完成，单独的三维坐标系无法生成莫比乌斯圈.（理由一）
2第二种制作和生成方法
制作和生成普通环圈可以用下面的方式：先在主导三维坐标系的x―y平面内生成以原点O为圆心的“正圆”，然后在z轴的“正、负”方向上对“正圆”进行拉伸，就可以制作和生成普通环圈（见图9）.
制作和生成莫比乌斯圈可以这样完成：以x轴和“正圆”的交点为（x′O′y′）的原点O′，将已生成的外表面是蓝颜色的、内表面是红颜色的普通环圈剪开.
在（x′O′y′）的x′―y′平面内，以原点O′为扭转中心，对普通环圈的一个端头进行有规律的对应扭转，其对应扭转规律为：（x′O′y′）沿（xOy）在X―Y平面内连续旋转的同时，将（x′O′y′）内x′―y′平面上的普通环圈肌体的对应段进行对应扭转；当（x′O′y′）整体沿（xOy）基圆在x―y平面上旋转、位移一周（360°）回到起始点O时，普通环圈的肌体也在x′―y′平面上绕O′扭转半周（180°）回到起始位置O′，该环圈的肌体表面正好被翻转过来，也就生成了莫比乌斯圈.（图10是电脑用此法生成的莫比乌斯圈）
从图10中可以看到：设定目标的运动结果是由双重三维坐标体系中各坐标轴参数之间相互影响、连续变化的结果.正是这个相互影响和连续变化，才使得莫比乌斯圈的肌体上根本无法找到二维、三维线段或曲线.唯此足可以证明：莫比乌斯圈不是三维物体！（理由二）
三、莫比乌斯圈是“非三维”产物
下面用图5，6，7，8，9，10来进一步证明莫比乌斯圈不是三维产物.
（1）在图5的双重三维坐标体系中（xOy）的三个平面与（x′O′y′）的三个平面之间有着一一对应的关系.
（2）当图6里（x′O′y′）的x′―y′平面上y′轴的数值发生变化时，必然会影响并导致（xOy）的x―z平面上z轴的数值产生变化（其余轴类推），最终导致整个双重三维坐标体系内所有数轴上的数值发生变化.
（3）当图7中（xOy）的x―y平面上，以原点O为圆心旋转，则（x′O′y′）里z′轴上的数值就会发生变化，这就必然导致（xOy）里各个数轴上的各数值直接或间接参与了、或发生了变化！
（4）当图8中的“”形符号整体沿x―y平面上绕O旋转360°的同时，还在x′―y′平面内绕O′对应扭转180°，如果连接该符号在空间相互对应的各个点，就会产生一种空间弧线.（该空间弧线不能产生于单独的三维坐标体系.因为在单独的三维坐标体系产生的空间弧线一定是某种对称旋转体表面的对称母线，而该空间弧线则需经受六个维度上的扭曲变形.）（理由三）
（5）这里假设图9所生成的普通环圈外表面是蓝颜色的，内表面是红颜色的.按照图10的方式对其进行剪断（假设剪断处位于从属三维坐标系的原点O′），将该环圈的各对应部分在双重三维坐标系统内进行有规律的绕O旋转360°和绕O′扭转180°，并最终回到O′.此时，该普通环圈已经被变化成莫比乌斯圈.唯此可以证明：“非三维”物体可以由三维物体演变而来，条件是双重三维坐标系统内各个维度上的具体参数必须全部相互影响并参与变化.这是任何一个三维物体所无法具备的.（理由四）
由于莫比乌斯圈是在双重坐标体系内生成的，当在三维环境里对莫比乌斯圈进行裁剪时，其被裁剪下来的部分就解除了该坐标体系对它的“非三维”约束，其表现为被裁剪下来的是“窄”普通环圈；而剩余部分仍保留原“非三维”物体的基本形态，其表现为“窄”莫比乌斯圈.或者说：在莫比乌斯圈的肌体内将同时存在两种状态――普通环圈（三维状态）和莫比乌斯圈（“非三维”状态），这种状态会永久存在，且无法用人为干预的方式将其改变！（相关内容请查阅论文《莫比乌斯圈的反常现象》）（理由五）
最后引述数学泰斗谈祥柏先生的判断来证明莫比乌斯圈不是三维物体.谈老曾在《数学广角镜》P118中明确指出：在现实世界中克莱因瓶是无法被制造出来的！（其实该论点的本质是：克莱因瓶不是三维物体）数学家已证明：每个克莱因瓶是由两个莫比乌斯圈组合而成的.而莫比乌斯圈通体圆润，浑身都是空间曲线，没有一条二维直线、曲线以及三维直线、曲线.因此，莫比乌斯圈不是三维物体，而是“非三维”物体！（理由六）
四、结论
莫比乌斯圈不是三维物体，而是人类没有完全认知的“非三维”物体！
五、莫比乌斯圈里仍有未解之谜
是的，莫比乌斯圈里仍然存有许多鲜为人知的奥秘，莫比乌斯圈、莫比乌斯现象及其莫比乌斯原理也没有得到学术界的认可，但并不影响我发表一孔之见，我将在专题论文《莫比乌斯圈的反常现象》和《重新认识莫比乌斯圈》里进一步阐述和探讨莫比乌斯圈的相关问题.
当然，提交本文的真实目的是渴望能得到您对莫比乌斯圈、现象和原理作出更权威的准确诠释和更睿智的思想升华！
【参考文献】
［1］［德］莫比乌斯（1790―1868），数学家、天文学家，1858年公布莫比乌斯圈.
［2］［苏联］伏・巴尔佳斯基.拓扑学奇趣.长沙：湖南教育出版社，1999：43.
［3］华应龙.神奇的莫比乌斯带.北京第二实验小学精品课程，2005（1）：11-15.
关键词：学科工具；教育信息化；深度融合；全面融合
中国分类号：G434 文献标志码：B 文章编号：1673-8454（2014）15-0011-03
一、引言
知识是人类对世界的一种认识结果，其表述结果，可以构成从隐喻到严格一个谱系。美国心理学家布鲁纳曾说一句颇引起争议的话：任何学科的任何原理都可以以某种形式教给任何年龄的学生。这句话的关键点在于“某种形式”。布鲁纳时代信息技术还没有走进教育领域，如今，信息技术与学科教学深度融合的产物――学科工具的开发与应用，产生了越来越多的例子支持布鲁纳的观点。典型的例子表明信息技术能使高深的数学题材走向小学生、中学生、大学生，使他们“各取所需”。基于这样的实例和认识，我们有理据认为，学科工具不仅推动了学科教育的发展，还对教育信息化具有重要意义。基于前期的系列研究和教学实践[1-4]，我们以数学学科工具为切入点谈谈学科工具开发的现实意义及前景。
二、学科工具使课程题材满足多层次的需求
学科工具使高深的数学知识走向不同的群体。如，拓扑学（Topology）是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。即使拓扑学这样高深的学科，其思想和知识也能为各种层次的学生所接受和理解。我们以莫比乌斯带为例进行说明。德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）1858年发现：把一张纸条扭转180度后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。这种由莫比乌斯发现的神奇单面纸带，被称为“莫比乌斯带”，它是一种拓扑图形。
1.对小学生而言，从故事传说到动手操作再到虚拟环境中的动态演示
小学生爱听故事，莫比乌斯带可以以故事的形式展示出来。
从前，一个小偷偷了一位农民的东西，并被当场抓获。小偷是县官的儿子，县官心里又气又急，怎么才能让自己的儿子免受刑罚呢？于是，县官在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给判官去办理。判官左右为难，他不想误判此案，但是又不敢得罪县官，怎么办呢？聪明的判官灵机一动，嗯，有办法了！他手拿县官的纸条，两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了勃然大怒，责问判官。判官不慌不忙地将纸条捏在手上给县官看，县官照着读，确实没错啊，再仔细观看字迹，也没有涂改呀，县官是不知纸条上其中的奥秘，无话可说，只好自认倒霉了。
小故事中蕴含着大道理，数学家莫比乌斯帮了判官。小学生也能学习高深的数学，如今，莫比乌斯带已经走近了小学数学教科书中。
故事当然能激起小学生的兴趣了，但小学生的智慧更在手尖上，故而在小学数学教科书中，就要求小学生们通过涂色、折纸、剪纸等动手操作，感知莫比乌斯“魔术般的性质”。
在没有信息技术支持时，这样的教学当然很合乎时下教育专家所倡导的理念了；但考虑到当下的小学生生活在数字化时代，课堂教学的方式和形式应与时俱进，莫比乌斯带可以用信息技术动态地演示出来。如图1所示。
在信息技术的支持下，小学生对思想和知识的认知和领悟，从静态走向了动态，是为学习方式的变革。这种变革的结果之一是在小学生心灵中播下探究的种子，小学生好奇，爱发问，定会有同学在心底追问，为什么线段能动起来？为什么在平面上能表现立体效果？虽然他们一时解决不了这些问题，但这些问题会像航标一样，指引他们的前进方向。数学家陈景润曾有一段轶事，其师沈元先生在课堂上播下了陈景润向“哥德巴赫猜想”进军的种子，他年后果然开花结果。我们认为，对小学生而言，教养性的教育应优于知识教育，小学阶段不在于传递多少知识，更重要的能让小学生有更多的感知和感悟。这时，用学科工具平台营造的虚拟环境革新学习方式就显得非常有必要了。
2.对中学生而言，透过现象看本质，加深对知识的理解
课件制作营造的虚拟环境使中学生通过知识运用来理解数学。中学生的心智水平发展到了形式运算阶段，不应再追求表面上的热闹，应能处理假设，能进行逻辑演绎思维。中学生要思考的问题是如何能用技术表现这种动态效果，动态表现这种效果需要哪些知识。如，要表现动态的莫比乌斯带就需要有关参数方程的知识，斜二侧投影的知识。这些知识原本处于不同的知识结构体系之中，其间并没有多少联系，但通过课件制作这个环节，不同结构体系间的知识发生了有机的联系，个体的认知结构因为知识间产生纵横联系而更加完善。情境认知理论的核心思想之一就是“例中学、做中学”，根据这种观点，制作课件能够把不同结构体系中的知识综合起来，把知识当作工具来运用，知识本身并没有意义，只有通过在实践中运用这些知识，才不断改变、加深和丰富个体对知识的理解。
课件制作营造的虚拟环境使为学生的数学建模开辟了新的途径。数学知识本来不应当具有“去情境化、去时间化、去个人化”的特点，但是，由于各种复杂原因之故，中学生的数学学习几乎蜕变成一种在符号化的形式系统中的操练行为。按人本主义学习理论的观点，这样的学习因其与个人的活动经验、生活经验没有关系，其实是没有意义的。中学生在小学阶段就接触过莫比乌斯带，现在从建模角度重新认识之，其意义自不言而喻，使学生对外在世界的认知从物理感知上升到一种定量的刻画，使之明白了心智抽象的力量。在虚拟环境中摸拟外部世界，进行建模，使知识的学习跳出了纯形式系统的学习，在面对真实的任务中，解决复杂的、非结构良好的问题，从而活化了知识，学到了真正的知识。
3.对大学生而言，追根溯根，进行底层设计
对大学生而言，还有更深刻的问题需要回答。如，在平面上表现三维立体图形的机理是如何的？原来这里涉及到仿射变换，涉及到齐次坐标。如上述课件的底层机理是：
把空间曲线投影到坐标平面上，都相当于一组变换公式，把空间点的三维坐标变成投影点的二维坐标。用（x，y，z）表示空间点的三维坐标，（f，g）表示投影点的二维坐标，u，v是两个参数，有一个简单的常用变换是
f=x+u*z
g=y+v*z
这个变换所表现的一类投影叫“斜二侧类投影”。
这些在大学数学课程中处于非核心地位的课程，在信息技术的驱动下，焕发了生机，逐渐发展成一门计算机图形学。从这里可以让大学生明白，计算机技术说到底是一种数学技术，传统的数学观颠覆了。
三、学科工具为学科教育的发展提供了契机
杨宗凯[5]指出，21世纪的教师信息化教育能力则包括引发学生学习与创意、设计开发信息时代的学习经验和评估准则、塑造信息时代的工作与学习模式、提升和塑造信息化公民责任感、从事专业发展与领导力培养几个方面。然而，师范大学中的学科教育或者说教师教育，是培养师资主要力量之一，其生存境况却令人担忧。其一，学科教育的前身是学科教材教法，这在以学科科学研究为主的学科院系里，其学术价值或实用价值一直不为人认可。后来，学科教材教法发展成了学科教学论，理论性是上去了，但却越来越虚，依然得不到以学科科学研究为主的院系的认可；其二，学科教育教师虽然为学科院系师范生的培养、学科教育方向研究生的培养做出了较大的贡献，其职称、学术上的发展依然空间有限；其三，虽然师范院校为了破解上述窘境，成立了教师教育学院，然而上述现状，依然没有得到根本上的改观。信息技术走向学科教育，为学科教育破解上述难题提供了新的思路。
学科教育平台的研发为学科教育找到了新的研究方向。如，可以研究在学科工具营造的信息化环境中，学生心理的发展路径，知识的表征形式，等等，经过这样的努力，就使学科教育从课程与教学论下的三级学科走进了心理学的领域。心理科学虽属于自然科学，然而对具有学科背景的学科教师来说，其跨度并不算大。还可以研究信息技术背景下的课程与教学，如，可以研究信息技术环境下知识可视化课堂教学范式的构建，这也得到了众多电化教育研究刊物的支持，为学科教育研究者的成长提供了合乎时代要求的新方向。
学科教育平台的研发推动了学科课程的变化。由于学科工具的发展，使得国内外基础教育的课程发生了重大的变化。仅以数学学科为例，数学课程的很多领域都适合使用信息技术。例如信息技术增加了“数学实验”的可能性，可以借学科工具等对数量关系、平面与空间中的位置关系和大小度量、数据处理等进行动态实验，能使学生更直观地发现某种规律性，进而提出问题并导向概念或性质的发现。
学科教育平台的研发为师范生提供了求职求业的工具，也促进学科教育的发展。如果一个学科或一个专业培养出来的学生没有好的出口，这样的学科或专业注定是没有前途的。根据目前的就业形势，凡是懂信息技术的师范生都是职场上的“香饽饽”，因为中学需要既懂技术，又懂学科的教师。
学科教育的发展离不开学科工具的支持。
四、大力发展学科工具，实现信息技术与教育的深度、全方面的融合
信息技术与教育深度融合，大体可以分为以下几种类型：一是通过视音频数字信号同步网络传输技术，将异地视音频实时传递，将本地、异地课堂融为一体，借此实现教育公平；还有一种是建立各种平台或云端教室，在平台上加载视频、音频、动画等各种资源，并能进行实时交互，为构建混合式学习方式提供了强有力的支持；还有一种模式是开发各种与学科内容深度融合的信息技术平台，使学习者在使用平台的过程能加深对学习内容的理解。第一种模式基于社会学的视角，以期借助信息技术之力实现教育公平，为教育行政管理部门提供了破解社会难题的一个路径，因而为教育行政管理部门看好，但其传递的“优质资源”有可能是“粉笔”+“黑板”式，只不过由于执教者的教学经验丰富，而被冠之以“优秀”。第二种模式基于自主学习的模式，为学生提供了大量的资源，期望学生能发挥积极性、主动性自己建构，主动学习，为高校所看好，因为大学生的学习，不同于中学生的学习，有大量的自主学习时间，同时，大学生也应学会自主学习；其承载的资源虽然全是电子的，还可能是视频的，但这些资源也有可能是传统课堂的一个“翻录”，信息技术还没有触及学科内容的变化。第三种模式，由于深入了具体的学科，对课堂教学的影响最大，就目前的态势来看，对基础教育的课堂教学影响最大，但在高校由于课程众多，难以针对每一门具体的学科开发具体的学科工具。
从上述可知，信息技术对教育的影响可以有不同的角度，不同的方式。就基础教育而言，信息技术对基础教育的影响，可以把三种模式都有机地融合起来，全方面地实现基础教育的信息化。基础教育位于国民教育体系中的底层，对高等教育具有重要的支撑作用，如果立足于第三种模式，辅之以第二种模式，广之以第三种模式，那么信息技术对教育的影响就是深度的、全方位的了。第三种模式是信息技术与学科课程整合的最终落脚点，我们需要大力发展学科工具，使这个落脚点能站稳站好，全面推动我们的教育信息化。
根据何克抗[6]的观点，教育信息化至少包括“路”、“车”、“货”和“驾驶员培训”四个子系统：“路”和“车”涉及教育信息化的硬、软件和基础设施建设，“货”涉及教育资源和教学资源的开发，这三个子系统都用于创建信息化教学环境；第四个子系统是指经过培训的教师利用这种信息化环境去达到教育信息化的最终目标。我们有一个基本的想法，就是用学科工具来带动师范生教学技能的发展，让师范生学会用学科工具来设计、开发信息技术环境下的课堂教学设计，从而把“用信息技术引领教师教育”从理念变成切实跟进的行动，引领教师教育培养模式的发展，提升学科教育的学术地位，推动学科教育的整体发展，为培养信息化背景下的教师尽绵薄之力。我们现在正在开发面向基础教育的学科工具，涉及到的学科有数学、物理、化学、音乐等学科，正在把上述理念变成行动，也取得了一定的成效。
参考文献：
[1]刘郑，陈矛.中学立体几何智能教育平台的设计与实现[J].中国电化教育，2011（5）：109-116.
[2]徐章韬，刘郑，刘观海，陈矛.基于立体几何智能教育平台的教学资源开发[J].课程・教材・教法，2012（7）：49-53.
[3]徐章韬，刘郑，刘观海，陈矛.基于立体几何智能教育平台下的内容知识研究[J].电化教育研究，2012（12）：104-108.
[4]徐章韬，刘郑，刘观海，陈矛.信息技术支持下的学科教学知识之课例研究――以立体几何智能教育平台为例[J].中国电化教育，2013（1）：94-99.
在这里，时间被实体化，横七竖八地摞在一起，就像播放器的进度条，可以被随时快进和后退。原本看不见摸不着的引力，也像琴弦一样，在库珀的手指尖上被任意拨弄。一切已知的物理法则，在这个奇妙的高维度空间，似乎都被彻底颠覆。
《星际穿越》是导演克里斯托弗・诺兰的太空旅行史诗新作。电影描述了一个不怎么美好的未来，那时，某种“专门欺负叶绿体”的病毒，侵袭了地球上绝大多数植物，人类能种植的粮食只剩下玉米，但也处于灭绝的边缘。
退役宇航员库珀被征募到了NASA，执行一个孤注一掷的任务――飞向星辰大海，寻找另一个能供人类生存的星系。
《星际穿越》是一部地地道道的硬科幻，“虫洞”、“黑洞”，尤其是那个能把人脑袋绕晕的“五维空间”。
来看看维度到底是个啥。用几何来类比的话，点是零维，线是一维，平面是二维，立体空间则是三维，第四个维度是时间，从理论上来说，五维则是把时间实体化的维度，六维有点像是平行宇宙，还有七维、八维、九维……
人类就是生活在三维空间里、能够感知到四维空间的生物，对我们来说，理解比我们低的维度要容易得多，再往上想，不行，脑子不够用了。
那么别管那些生僻的名词了，来，先跟着我来一场简单的维度旅行。
首先要找一根一尺长、一巴掌宽的纸带子，把纸带的两端对准，用透明胶带贴上，我们就得到了一个纸环，环的外侧是一个曲面，内侧是另一个曲面。拿着笔在纸环的外侧面上画线，线条跟纸环边缘平行的话，这条线永远也画不到内侧去。
现在再找一根纸带来，这次，我们需要把纸带的一端翻转180°，拧成个麻花，再把两端粘在一起。试试看在这条新的纸环上画线吧，你会发现，环的内侧和外侧被打通了，连成了一个曲面！
这条被命名为莫比乌斯带的玩意儿，就是一个建立在二维空间里的三维模型。假如那个纸环上有生命的话，他们会发现，自己居住的世界突然被扩展了，原本看不见、到不了的地方，在空间被扭曲之后，连接在了一起。
而在电影《星际穿越》里，把四维时空“扭曲”成五维莫比乌斯带的，是某种生活在高维度里的未知生命。对他们来说，时间“就像一个可以翻过去的山头”，回到昨天或者前往明天，是一场可以说走就走的旅行，拎个小包就能去了。
现实生活中的我们，有没有可能真的拎起小包，说走就走，来一场高维度空间的旅行？
事实上，物理学家史蒂芬・霍金曾提出过，他的宇宙模型是十一维的，在霍金看来，人类如果想描述现在已知的宇宙，只有长、宽、高、时间这4个未知数是不够的，要加到11个未知数之后，宇宙的很多结构才能得到合理的解释。
关键词：微积分；数学文化素质
数学不仅是一种科学，还应该是一门艺术和一种智慧。不但是描绘和研究客观世界的思维方式与科学语言，而且还是创新文化和创造新世界的现实力量。然而，传统数学教学往往只重视知识和技能，却忽视了培养学生对数学文化内涵的认识。数学文化是以数学为核心，以数学的精神、观点、思维、语言以及所辐射相关文化领域所组成的人类文化。
大学数学不仅传播知识，而且培养学生适应社会发展所需要的数学能力。所以，大学课堂教学中融人数学文化是非常必要的，这样不仅可以更好地激发学生的学习热情，而且可以培养学生的“数学素养”，使其更好地适应社会，受益终生。本文就如何提高学生数学文化素质进行了如下分析。
一、数学文化的内涵
人们谈起文化，往往会把其与文学、语言、文学、艺术等联系起来，而数学却是数量、运算、推理、抽象等的代名词。事实上，数学文化确实是一种文化，对人们的影响无处不在，只是很多人都没有意识到。著名的美国《科学》杂志特约主编斯蒂恩说得很明白：“数学……在人类特性和人类的历史中，其地位不亚于语言、艺术或宗教。”数学和其他科学艺术一样，是人类共同的精神基础，是人类智慧的结晶。数学文化可以理解为：数学文化既体现数学知识的一面，也体现了文化的一面，它以数学科学知识为核心，以数学思想方法、数学精神、数学观念、数学素质、数学教育等为有机组成部分，体现出一种与各种文化相互交融的关系。
二、数学文化的教育功能
数学文化的内容是广泛的、博大的、精深的、数学文化所蕴涵的教育意义是丰富而又巨大的。数学以其独特的思维方式、独特的表现形式，与其它学科如文化艺术等一样，具有重要的文化价值，对人的发展起着举足轻重的作用。可以这样说：数学深刻地影响着人类的精神生活，提高与丰富了人类的整体精神文明水平。数学文化有如下教育功能：第一，可以帮助学生树立正确的世界观；第二，有利于思维的发展；第三，有力于科学审美观的培养；第四，有利于培养学生的科学精神；第五，有利于学生应有意识的培养。
三、学习数学文化的必要性
从微积分教学的角度考虑，学习微积分，不仅要掌握其基本知识和方法，提高运算能力、抽象思维能力、应用创新能力，为学习相关的学科打好基础；更加要从思想高度把握微积分，认识微积分思想中蕴涵的唯物辩证思想，认识微积分思想背后所蕴涵的人类思维发展的曲折过程，认识微积分思想的美学功能，认识微积分应用的伟大成果。学生在学习微积分的过程中，深刻领会数学思想方法，沉淀数学文化的内涵，充分体会微积分的价值，感受其美学魅力，微积分的抽象难懂就不会成为学习微积分的绊脚石，而微积分所蕴涵的人文价值，也将会成为他们学习微积分的动力和目标。
四、如何提高学生数学文化素质
第一，加强数学史教育。数学史是一部数学理论的建构、发展历史，也是人类理性思维的探索历史。教师用数学史创设情景，在课堂上介绍数学家的趣闻逸事、数学概念的起源和发展过程、古今数学方法的简单类比等等，都可以让学生充分感到数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。例如，在讲解导数与微分时，可以给学生介绍第二次数学危机、导数符号的演变等；在中值定理教学时，可以给学生介绍拉格朗日的生平、“罗必塔法则”的由来等。
第二，开展研究性学习。研究性学习是指学生围绕某个数学问题，自主研究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释获证明。在研究性学习过程中挖掘数学文化的内容，适度淡化形式，突出数学文化的原创性，着重发展学生的数学能力，特别是数学应用能力。让学生真实地感受到现实生活中所蕴涵的大量数学信息以及数学在现实生活中的广泛应用。
第三，联系其他学科，进行相互渗透。数学的文化意义不仅仅在于其本身和它的内涵，更加在于它的应用价值，只有融入大众文化的学科才是有生命力的学科。例如，在讲解极限时，教师可以说明极限思想是与哲学紧紧结合在一起的（如芝诺悖论）；在讲解二次曲面时，可在课堂上让学生准备一张长方形纸带，将纸带一端扭转后，再将它首尾相接而成莫比乌斯带。告诉学生如果让一只小蚂蚁沿着纸带爬行，那么蚂蚁无须跨越它的边缘就可以轻易地爬遍整个纸带，即莫比乌斯带是一个单侧曲面。并同时向学生讲解莫比乌斯带在技术、艺术、体育上的应用。
第四，理论联系实际。牛顿、莱布尼兹当年发明微积分是为了解决力学和几何学中所遇到的问题，直到今天，微积分依然在生产实践方面发挥着重要的作用。在微积分的实际应用中举例，可以通过对物理学、生物学、社会学、经济学与自然现象中许多数量变化关系分析，建立简单的行星运动模型、人口模型、公共资源模型、经济问题模型等等，这些内容将会丰富教学内容，拓宽学生的思路和视野，激发学生的学习兴趣，从而培养学生的数学文化素质。
在大学数学教学中，微积分的教学能深刻体现数学文化的价值，提升对数学文化的重视程度，意识到数学文化的内涵和价值。当数学文化的魅力真正渗透到教学重视，数学将会更加平易近人，学生就会更加理解数学、热爱数学。
参考文献
[1]顾沛.数学文化课程建设的探索与实践[M].北京：高等教育出版社，2009：1.12，41―49.
[2]方延明.数学文化（第二版）[M1.北京：清华大学出版社，2009：序言.
一、选择合适内容，渗透数学文化
教育家布鲁纳认为，学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣。要想让学生更好地学好数学，而不至于变成单调、枯燥的一味锻炼思维的“体操”，那么，最好的办法就是选择合适的学习内容，向学生适当渗透，让课堂具有“文化味”。
教学四年级上学期的四则混合运算时，学生们感觉计算题非常单调、枯燥，懒得动笔笔算，就算是笔算了，在进位时也经常会出错，丢三落四，总是忘记进位，计算结果自然也变得五花八门。面对现在学生计算能力的下降，老师不得不想出各种办法，以促使学生尽量少出错。教师都会强调让孩子每次将进位写在显眼的位置，可是总是有部分学生习惯了懒得写，导致计算正确率提高的效果不是很明显。笔者在这节课中，就尝试使用了课本中的课外阅读P57“你知道吗”的格子乘法引导孩子尝试另辟新途径，因它比较简单易行，不容易因进位而导致计算错误。学生对这种 “铺地锦”的方法，既感到新奇，又觉得好玩，这样通过自学，利用小方格本，在玩乐中，不但学会了格子乘法的方法，而且四则混合运算的解题速度也得到提高，正确率也明显提高。
二、选择合适时机，渗透数学文化
教育面对的是活生生的孩子，绝不是一件简单的事，它产生的那一刻就注定了它的复杂性和艰巨性。数学文化的渗透要润物细无声，让学生在不知不觉中学习数学文化，这就需要我们准确把握合适时机，使学生在有意无意中接受数学文化的渗透。。
教学四年级上册的平行四边形和梯形中，我选用了课外阅读的材料——神奇的莫比乌斯带。我们知道，很多学生的几何题，往往学得不好，主要在于想象力不够好，懒得动手操作。为了让孩子们发现动手操作后自己的伟大发现所带来的成功感，我在课堂中首先利用人教版四上P77的课外数学游戏，给孩子们变了一个魔术——做了一条神奇的莫比乌斯带。孩子们惊喜地发现它只有一个面（表面），和一个边界，非常兴奋。个个动手将长方形纸条像变魔术一样的粘贴、扭转、剪拼，体验动手操作的过程，享受发现结果的美妙。这样的游戏设计首先顺应了孩子们的天性，让他们产生探究精神，然后在玩的过程中对它产生了更浓厚的兴趣，最后的惊奇发现，满足了孩子的求知欲望，从而激起了学生们喜欢数学，爱数学，学好数学的欲望，真正成为了数学学习的源头活水。学生在学中玩、玩中学的同时接受了数学文化的熏陶。
三、选择合适手段，渗透数学文化
[关键词]“解决问题”教学模式数学自主解决问题
《数学课程标准》开篇谈到，义务教育阶段的基本出发点是促进学生的全面、持续、和谐的发展，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。那么在数学课堂教学中，如何培养学生在获取知识过程中的自主解决问题的能力，我认为，“意识”是先导，“策略”是关键，“能力”是目的，因此，教师首先要具备一定的数学素养和现代教育的思想，让每个孩子的学习，都能够学有所值，学有所用，自觉地运用数学思想和方法结合身边的事物，解决生活和学习上的实际问题。“自主解决问题”能让学生体验“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具”，从而有效地培养学生应用数学的意识，提高学生运用知识自主解决问题的能力。
一、“解决问题”教学的现状与思考
数学课的根本目的，是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题。传统的“解决问题”教学模式，不利于发挥学生的主体作用，不利于调动学生学习的主动性和自觉性，它只强调老师讲、学生听、老师问、学生答。这样的教学环境学生难以主动去探索，会制约学生的发展，因此，它会使课堂效果和质量都不高。以往学生学习的材料局限于课本上所提供的一些例题、习题，要求过高、过偏，条件和结论基本上是封闭的，学生的思维无法得到有效的训练，对有差异的学生不能实施有差异性的教育，一些例题和习题远离学生生活实际，使学生感到很玄，感到枯燥无味，无法激起对知识的探索欲望，有的甚至对数学产生厌烦。如何更新教学观念?如何突现学生主体地位?如何培养学生创新能力?如何优化课堂教学结构?如何保证学生自主探究的时间和空间的保证?这些都是我们急需着手解决的问题。《新课程标准》中明确提出，以学生的发展为本，把课堂还给学生，保证学生自主探索的时间和空间。让学生在获取知识过程中的体验解决问题策略的多样性。就学生的发展而言，解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，它的意义更多是使学生在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同的策略的，每个人都应当有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略，在这种鼓励个性发挥的意义之下，创新精神的培养才能成为可能。
二、“解决问题”教学模式探索与策略
获取数学知识过程中的解决问题，大致包括四个环节：(一)感知问题，创境激趣；(二)自主探索，解决问题；(三)反馈信息、交流评价；(四)拓展创新，总结激励。这几个环节在不少情况下，某一步可嵌入另一步中，从而使解决问题的过程得到简缩，或使某种特殊的解题策略得以实施。
1.感知问题，创境激趣
感知问题、创设情境，是解决问题的第一步，让学生能结合具体情境发现并提出数学问题。提出问题是思维活动的出发点，爱因斯坦和莫乐尔德曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅仅是一个数学的或实验的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。这就需要我们创设一种问题情境，让学生发现并提出有层次、有价值的问题，使学生原有知识与须掌握的新知识发生强烈冲突，使学生意识中的矛盾激化从而激发学生探索的兴趣和产生进一步学习的动力。提出的问题才具有一定的艺术性、新颖性、趣味性，学生才具有更广阔的思考空间。如果没有特定的创设的问题情境，学生只是针对教材或教师提出的问题，做出相应的解答，那么学生就会失去观察、思考与猜测的机会，就会很难引起感知情景与思维创新的“共振”。如教学“面积的认识”时，创设了这样的情境：“五一”劳动节快到了，淘气和笑笑举行一场劳动技能比赛。他们决定比试扫地的本领，于是来到校园，淘气选择了打扫篮球场，笑笑选择打扫跳高场地。比赛开始了，一会儿，笑笑扫完了，她高兴的跳起来说：“我第一，我第一”。你们同意笑笑得第一吗?为什么?这是一个学生喜闻乐见的情境，吸引学生的注意力，充分调动了他们学习的兴趣，由此提出了有价值的问题，也为新课的学习奠定了良好的基础。
2.自主探索，解决问题
这是学生获取知识过程中自主探索、自主解决问题的中心环节。教师根据学生的认知规律和知识结构的特征，结合学生提供尽可能的材料信息，留足思维的时空，组织学生通过有目的的操作、观察、交流、讨论等方法自主解决问题，自动建够自己的认知结构。
数学问题的类型较多，那么解决的方法也不是唯一的。尝试从不同角度、不同的思路去考虑，寻求解决问题的最佳途径，这也是学生思维灵活性、开放性的一种表现。诸如数学中的非常规问题、开放性问题和现实生活中的实际数学问题，都值得让学生寻找其解决的办法和策略，这样能开阔学生的思路，使学生了解现实生活中各种数学问题的复杂性、多样性是有益的。例如：如果给你10元钱，可以买回多少千克苹果?这道缺少条件的应用题，似乎更接近生活实际，可以让学生自己去水果店了解苹果售价再计算，把钱用完或剩余一点都可以。学生问到的单价不尽相同恰恰反映了市场经济的现实状况。要是由此引起讨论：追求量多还是质好?偏远地区价低合算吗?那么这里的收获可就更大了。
3.反馈信息，交流评价
在自主探索的基础上，教师给学生提供充分表达自己见解的机会，阐述自己得出的结论探究过程及疑难问题，然后根据学生反馈信息，组织引导学生通过个体发言、小组讨论、辩论等多种形式进行辨析评价，使学生的认识结构更加稳定和完善。同时也是对问题解决的策略、方法进行总结。学生不是一张白纸，即使是低年级的儿童也存在着丰富的生活体验和知识积累，同时，每位学生都有自己的生活背景、家庭环境，这种特定的生活和社会氛围，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。因而在解决问题的过程中，多鼓励学生和别人进行交流，使学生体会到与他人合作的重要性。
4.拓展创新，总结激励
依据教学目标和学生在学习中的存在的问题，教师挖掘并提供创新素材，设计有针对性、代表性的练习题组(基本题、变试题、拓展题、开放题)让学生在解决这些问题的过程中，进一步理解，巩固新知，训练思维的灵活性、敏捷性、创造性，使学生的创新精神和实践能力得到进一步的培养与提高，激励学生在今后的学习中善于思考，大胆发现。
三、“解决问题”教学模式的实践与反思
我们的学生几乎天天都在“解题”，但《标准》所关注的“解决问题”并不等同于这些解题活动，这里所说的问题既可以是纯粹的数学题，也可以是以非数学题形式呈现的各种问题。但无论是什么类型的问题，其核心都需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成分的活动才能够解决的。这一模式的操作，是以“创境激趣”为关键，以“解决问题”为核心，以“自主探索”为主线展开的多维合作活动，这里蕴涵着以人的发展为宗旨的教学观，以民主为基础的师生观，以自主为手段的方法观，以提高素质为本的质量观的模式特征。
1.在问题情境中，激发学生主动参与解决问题
发现和探索是儿童在精神世界中的一种特别强烈的需要。在教学中依托情境，引导学生自己去寻找知识，寻找解决问题的方法，进行探索式学习。比如教学“年、月、日”时，我们创设问题情景，“同学们喜欢过生日吗?”学生都高兴地回答：“喜欢”，接着又问几个学生：“你几岁了?过了几个生日?”一般的人有几岁，就会过几个生日，可是小强满12岁时，只过了三个生日，这是为什么呢?你们想不想知道其中的秘密?学生听了，个个都情绪高涨，一种强烈的求知欲望油然而生，这时老师抓住学生迫切求知心理，及时引导他们进入新课，这样就很自然地为学生自主探索，解决问题营造了氛围。
在“解决两步计算的数学问题”教学中，老师不再按传统那样先给一个例题，然后帮学生去分析第一步求什么，第二步求什么；或要求什么，必须先求什么等等，而是让学生自己先根据所提供的超市水果市场的情景去发现，提出数学问题，然后让学生根据已有的知识独立思考，再参与到小组去与别人交流，看看别人怎么想，别人的方法与自己有什么不同，小组同学比一比，看谁做得好，之后再全班进行交流，这样学生通过自己的思考以及学生的交流，新的解决问题的方法一步一步地在自己脑海中构建起来。当学生新知构建以后，教师便要进一步引导学生加强新知的巩固与应用，因此，老师出示了超市的其它商品情况表，让学生自选一些自己喜欢的商品，根据所提供的信息，去提一些两步计算的数学问题，这不仅将新的知识进行运用，还又一次提高了学生学习数学的兴趣，真正提高了学生学习数学的主动性。
2.主动探索，增强学生的主体意识
美国心理学家布鲲内认为，知识的获得是一个主动的过程，学习者不应是信息被动者，而应是知识获得过程的主动参与者。学生是学习的主人，因此，我们教师应鼓励学生运用已有的知识主动大胆地联想、推测、探索，从不同角度去验证实践寻找解决思路，引导学生独立获取解决问题的策略和思想方法。
我们都知道莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现一个副产品。目前，“莫比乌斯带”已被作为“了解欣赏的有趣图形”之一，写进了《数学课程标准》，编进了新世纪(版)义务教育课程标准实验教科书第十册。为了调动学生学习和积极性，拓展学生的思维，扩大学生的知识面，我将“神奇的莫比乌斯带”的问题，用于五年级数学课外知识。首先拿一张白纸，问学生有几条边?几个方面?“老师会把它变成只有两条边、两个面、你行吗?”展开操作与尝试，通过实践，学生还没感觉神奇在哪儿。“你还能把它变成一条边、一个面吗?”学生大胆地尝试，实践出真理。如果沿中间一条线把这个神奇的圈剪开，会怎样?学生又一次大胆猜想。实践验证，体会着这其中的奥妙与神奇。如果沿三分之一线剪，是否和上面出现的结果相同呢?通过学生亲手实践，验证了自己的猜想，让学生感受到了莫比乌斯的变幻莫测、神奇无比。学生在经历其出乎意料的变化过程中，通过动手操作，与人合作，寻求解决问题的办法验证自己的猜测，主动探索。
3.拓展变化，增强学生的应用意识
数学应用意识是一种基本观点和态度，它指的是从数学角度思考、解释、转化表示事物的数量关系与空间形式的一种自觉意识。强调数学应用，不全是回到测量、制图、计算等数学活动，而是培养一种应用数学知识和思想方法解决问题的欲望和方式，把实际问题转化(抽象)为数学问题。
例如：地球地赤道是一圆角，假如赤道上紧箍着一圈钢缆，现在要把这圈钢缆放松，使它远离地面有1米高，这样，钢缆必须再接一段上去，这段增加的长度应该是多少米?
这个问题无法实际操作，如果查资料，查到地球赤道的周长或地球的半径，进行大数目的计算，就要花许多无效劳动(根本就不需要知道地球的半径或周长)。我们把它抽象为数学问题，这个问题就是：有大小两个圆，它们的圆心重合，半径差是1米，求两个圆的周长差?解：设小圆半径为r得：2π(r+1)-2πr=2π=⒍28(米)。解答方法十分简便。
【摘要】当前教育下，由于受应试教育的影响，小学数学作业的设计还仅仅停留在知识层面及教师对利用数学作业培养学生能力，促进学生发展，对学生能力培养关注不够等问题，因此在以人为本的新数学教育观下，研究小学数学作业有效性就急具有现实意义。在新形势和新理念下，我们应具备什么样的作业观，如何将作业发挥其最大的有效性，都将直接影响数学的教学效果。
【关键词】数学作业； 有效性
随着数学教育观念的不断更新，小学数学教学内容、教学方法及作业布置上正在发生着重大的变化。如何设计作业，既能减轻学生负担，又能促进学生素质的全面发展呢？
在小学数学的作业设计中，积极实施多样的数学作业形式，可以培养和发展学生的主体意识，给学生提供自我表现的机会，技法学生的创新意思，变“要我做”为“我要做”让学生成为作业的主人，学习的主人，进而逐步改善学生的数学学习方式。经过近几年的教学实践，我认为小学数学的作业设计应遵循以下一些原则。
1 趣味设计，乐中求知
托尔斯泰曾经说过：“成功的教学需要的不是强制，而是激发学生的学习兴趣。”兴趣是学生学习的推动力，兴趣是 成功的 老师。那么设计怎样的作业才能紧紧拽住学生的心，巩固教师向学生传授的知识点呢？我认为教师需要设计更具有趣味性的作业，让学生愿做。
在小学生的眼里，那些新颖、生动、灵活多变的事物往往更容易引起的兴趣，促使他们的思维始终处于积极状态，产生强烈的求知欲，使其进入最佳学习状态。根据这一规律，我们在设计作业时，就应该多设计一些具有童趣性和亲近性的作业，以激发学生的学习兴趣，使学生成为一个乐学者。
如：在设计“认识人民币”题目时，我让学生自己去超市，自己去付钱、生找钱。还有进行“分数加减法”时，利用多美滋的一则奶粉广告――“分蛋糕”使学生对分数有的更深的了解，并巩固的加减法的知识，这样使原来枯燥、乏味的计算现象，变成具有趣味的游戏性、故事性的作业，让学生在轻松、快乐的气氛中学会小数、分数的计算方法和技能，提高学生的学习兴趣。
2 生活设计，追溯本源
《课程标准》强调指出：数学学习应从学生己有的生活经验和知识出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。小学数学课本的编排也极力贴近生活，寓于生活，用于生活。本着这一目的，我们在作业的设计上，应把数学作业与学生的生活实际相结合，常布置一些与学生生活息息相关的作业，可以培养学生用数学知识解决现实问题的能力，让所学的知识得到应用拓展与延伸。例如，在学习完 “合理安排时间”这节知识后，我让学生合理安排自己早上起床后的时间，怎么样设计才可以最节省时间，同学们兴趣盎然，参与热情高涨，很积极的就完成了这项作业。
3 实践设计，张扬个性
数学来源于生活，又作用于生活。课堂教学应该体现“小课堂，大社会”的理念，基于这种理念，好的作业就应该有助于学生实践能力的形成和发展。当学生面临生活中的实际问题时，能够主动从数学的角度入手，利用数学的思想方法寻求解决实际问题的方法。
学以致用，要把学到的知识应用到生活中来，也是培养学生应用知识能力的最有效途径。为此，进行作业设计时，根据学生的生活经历和认知水平，创设一些生活性的实际问题，让学生尝试从教学角度运用所学的数学知识和方法寻求解决问题的方法，体会数学在现实生活中的价值，认识到生活中处处有数学，生活离不开数学，并逐步成为一个知识的实践者。
学完“平行四边形”之后，我另外又给学生介绍了一个小知识：“神奇的莫比乌斯带”，起初我是用一个魔术来引入这个神奇的小纸带，然后让学生在一次次的猜想，一次次的动手去验证的过程中，不但是他们巩固的平行四边形的有关知识，同时也感叹数学的奇妙，特别是当学生知道，莫比乌斯带在我们生活中其实应用十分广泛的时候，更是体会到数学和日常生活之间的紧密联系，从而体会到数学的内在价值。
再例如《认识千米》之后设计“体验1千米”和“调查1千米”的作业。“体验1千米”要求学生实际走一走 100米 大约多少步，在实际走一走 1千米，感受 1千米 的长度，并且记录出自己走 1千米 大约需要多长时间。“调查1千米”要求学生网上搜索并记录出3条关于千米的信息。这样从体验和调查两个方面入手让学生对“千米”有了具体的感性认识，让学生在鲜明具体的体验中巩固了所学知识。
4 差异设计，各取所需
由于受天赋、家庭、教育等各方面的影响，学生之间的数学知识和数学能力的差异是客观存在的。如果让有差异的学生做无差异的作业，必然会造成一些学生“吃不饱”，一些学生“不够吃”的现象。因此，在数学作业的设计上，我们不能搞“一刀切”，应从学生的实际情况出发，针对学生的个体差异设计不同的作业，使我们的教学面向全体学生，让不同的人在数学学习上得到不同的发展。
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、认真思考，细心填空（共23分）
(共11题；共23分)
1.
（5分）汽车每小时行驶_______千米，飞机每小时行驶_______千米。
A.60
B.200
C.700
2.
（1分）校乒兵球队中男生的人数是女生的9倍，男生的人数在50人至60人之间，男生有_______人。
3.
（1分）在一张长是20厘米，宽是15厘米的长方形纸里剪一个最大的正方形，这个正方形的面积是_______平方厘米，剩下的图形周长是_______厘米。
4.
（1分）27÷8=3……_______ 32÷_______=6……2
5.
（2分）用4，8，6组成的最大三位数是_______，最小三位数是_______，它们的和是_______，差是_______。
6.
（1分）一列火车10：30出发，走了45分钟，它_______到达；小红走路上学7：15分出门，7：40到校，他上学时间是_______分。
7.
（6分）在横线上填上“＞”“＜”成“=”。
704+206_______900
410-198_______200
762-568_______200
130×5_______650
497×3_______1500
402×5_______2000
_______
30毫米_______3分米
2小时_______100分
8.
（2分）在下图中涂出
_______，它的分数单位是_______，有_______个这样的分数单位。
9.
（1分）有六张扑克牌，2，3，4点的各两张，任意摸起两张，两张扑克牌上的点数和有_______种可能情况。
10.
（2分）一个正方形的周长是12分米，边长是_______分米，面积是_______平方分米．
11.
（1分）把一个蛋糕平均分成8块，小明吃了3块，小明吃了这块蛋糕的
_______，剩下的爸爸吃了，爸爸吃了这块蛋糕的
_______。
二、请你判一判。
（5分）
(共5题；共5分)
12.
（1分）
图中的阴影部分可以用
来表示。（
）
13.
（1分）时、分，秒中秒的单位最小，但是秒针走得最快。
14.
（1分）一吨铁和1吨棉花同样重。（
）
15.
（1分）一张单人课桌长约65厘米。
16.
（1分）下面卡片上两个数的和是632。（
）
三、快乐ABC，请你选一选。
（5分）
(共5题；共5分)
17.
（1分）340与100的差除以25与5的和，商是多少？列式为（
）
A
.
（25+5）÷（340﹣100）
B
.
340﹣100÷25+5
C
.
（340﹣100）÷（25+5）
18.
（1分）如图，靠墙围成一个长方形的面积是x平方厘米，长是15厘米，则这个长方形的周长是（
）厘米．
A
.
x÷15×2+15
B
.
（x÷15+15）×2
C
.
x÷15×2
D
.
15
x÷2
19.
（1分）天天用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形。围成的正方形边长为6厘米，那么围成的长方形的周长是（
）厘米.
A
.
6
B
.
36
C
.
24
D
.
48
20.
（1分）养鸡专业户卖出公鸡98只，还有公鸡87只，母鸡的只数是原有公鸡的5倍，养鸡专业户有母鸡多少只？正确列式是（
）
A
.
（98＋87）×5
B
.
98＋87×5
C
.
98×5＋87
D
.
98×(5＋87)
21.
（1分）如图，将莫比乌斯带沿虚线剪开，得到（
）.
A
.
一条长纸条
B
.
两个套在一起的纸环
C
.
两个分开的纸环
D
.
一个大的纸杯
四、细心计算（27分）
(共2题；共27分)
22.
（15分）直接写出得数。
90÷3=
17×3=
=
67×0+25=
8T-3000kg=
12×5=
48÷4=
=
84-84÷4=
1500kg+2500kg=
23.
（12分）列竖式计算，带“”的要验算。
①433+539
②629-358
③199＋714
④806-307
⑤527+271
⑥1000-456
五、画笔显神通。
（12分）
(共2题；共12分)
24.
（6分）在图中涂色表示它下面的分数。
25.
（6分）画一个周长16厘米的正方形和一个周长20厘米的长方形。
六、解决问题小能手。
（共28分）
(共5题；共28分)
26.
（5分）某学校有男生959人，女生的人数比男生的人数多41人，全校一共有多少个学生？
27.
（5分）①号与②号长方形的面积相等，①号每个小正方形的面积是50平方厘米，那么②号每个小正方形面积是多少平方厘米？
28.
（5分）大船有8只，小船的只数是大船的4倍，
?
（先补充问题，再解答）
29.
（5分）李冬看一本120页的书，第一天看了20页，第二天看了25页，两天共看了全书的几分之几？
30.
（8分）一个操场长200米，宽100米，小英每天围操场跑两圈，一共跑了多少米？
参考答案
一、认真思考，细心填空（共23分）
(共11题；共23分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、请你判一判。
（5分）
(共5题；共5分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、快乐ABC，请你选一选。
（5分）
(共5题；共5分)
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
四、细心计算（27分）
(共2题；共27分)
22-1、
23-1、
五、画笔显神通。
（12分）
(共2题；共12分)
24-1、
25-1、
六、解决问题小能手。
（共28分）
(共5题；共28分)
26-1、
27-1、
28-1、