数列求和方法精选(九篇)

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第1篇：数列求和方法范文

当 ，即n＝8时，

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………………. ② （设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………② （设制错位）

①－②得 （错位相减）

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5] 求证：

证明： 设………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得

…………..…….. ②

①+②得 （反序相加）

[例6] 求的值

解：设…………. ①

将①式右边反序得

…………..② （反序）

又因为

①+②得 （反序相加）

＝89

S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

第2篇：数列求和方法范文

【关键词】直接求和法（公式法）；分组求和法；裂项相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所给数列是等差数列或等比数列，那么它们的求和问题，可以直接利用等差或等比数列求和公式解决。

（1）等差数列的前n 项和公式： ；

（2）等比数列的前n 项和公式：①当q=1时，Sn=na1；②当q≠1时， 。

例1：求1，2，3，…，100 这样一个等差数列的和。

解：

二、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求。一般为{等差+等比}的形式出现时用到分组求和法。

例2：求数列 ，…的前n项和Sn.

分析：此数列的通项公式是 ，而数列{2n}是一个等差数列，数列 是一个等比数列，故采用分组求和法求解.

解： .

小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和。

三、裂项相消法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

四、小结

第3篇：数列求和方法范文

1、错位相减：适应于一个等差数列和一个等比数列相乘所得的数列，方法是两侧乘以等比数列的公比。

2、形如某一数列由等比数列、等差数列相乘构成，首先分别列出两个数列的和，再把所有式子同时乘以等比数列的公比；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫做错位相减法。

（来源：文章屋网 ）

第4篇：数列求和方法范文

一、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解.（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一”，这也是等比数列前和公式的推导方法之一.）

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即KSn；然后错一位，两式相减即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：两边同时乘以，得Sn=++…++，

两式相减得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等价于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

Sn=1+++…+-，

Sn=2++++…+-，

Sn=2+-，

Sn=2+1--，

Sn=3-.

二、倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和.（这也是等差数列前n项和公式的推导方法.）

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）.

例3：求证：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

证明：设Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右边倒转过来得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

将①式右边反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

S=44.5.

三、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求数列的前n项和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：设Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

当a=1时，Sn=n+=，

当a≠1时，Sn=+=+.

四、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：数列{an}的通项an=，求Sn .

分析：通项为分式的数列常考虑差分，即把通项ak化为两项之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求数列，，…，，…的前n项和.

解：设an==-，

则Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

第5篇：数列求和方法范文

1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；

（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.

（2）重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.

教学建议

（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.

（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.

（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况.

（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.

（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

教学设计示例

课题：等比数列前项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.

教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.

教学用具

幻灯片，课件，电脑.

教学方法

引导发现法.

教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）

二、新课讲解：

记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

（板书）即，①

，②

②－①得即.

由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？

（板书）等比数列前项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即

（板书）③两端同乘以，得

④，

③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）

当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）

当时，由⑤得.

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

（板书）例题：求和：.

设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.

解：，

两端同乘以，得

，

两式相减得

于是.

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

三、小结：

1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前项和.

第6篇：数列求和方法范文

关键词：数列求和；教学方案；学习心理；建议

数列求和问题在高中数学中占有很高的比重，尤其是新课标版本使用后，比重又有了提升。但是新课标在初高中的衔接上有漏洞，如何填补这个漏洞是我们现在必须要考虑的。

一、数列求和问题的重要性

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.

在前言中，我们已经陈述了新课标对数列内容的要求，对于数列的综合问题课标没有具体的陈述，但是从历年高考的情况我们可以发现，高考数列综合试题往往呈现以下特点：以知识和方法立意考查等差、等比数列的有关知识，以求数列的通项公式和前n项和公式为主线，考查数列中的重要方法。

二、课题引入

数列求和问题的前提是对数列的掌握。数学作为一门抽象思维学科，对概念的理解也就显得很重要，学生需要在探究中掌握数列概念。一个好的课题引入，即对概念的解释，是开展后续教学活动的基础。

在张艳和焦鸣的“数学概念课（第一课时）怎么上”中，通过对优秀教师教学实录进行分析，提出自己的见解，并且做出自己的教学方案。在此方案中，首先呈现数列具体形式，用抽象思维提出数列的概念，再将其与函数作比较，从而使学生以函数为切入点来理解数列。所以一个好的切入点可以让学生恍然大悟，能够把抽象问题具体化，更容易接受。

三、教学过程

数列求和问题是枯燥乏味的，如何在教学过程中吸引学生是教育者们考虑的问题。以下是提出的几个方案：

1.数学史法。在课堂教学过程中融入一些数学史，引入的过程可以引发学生的思考，有助于课堂的活跃度。学生积极性高，知识掌握的就好，可以说是学生学得轻松，老师教的也轻松。

在数学领域，李以数列教学为例，通过理论与实践的结合分析了数学史在数列教学中的作用，包括增长学生数学知识，拓宽思路，激发思维，增强学生学习数学的内在驱动力等。

我们都知道数列求和问题中有一个经典的故事：在一次数学课上，老师出了一道题，就是让学生把1到100求和，即1+2+3+…+100.同学们都埋头苦算起来，但高斯没有动笔，他在思考，他发现1+100=101，2+99=101，总共就有50个101，50个101相加就是5050，不到几分钟就算出了结果，于是高斯定理就产生了。如果在课堂中引入这样一个小故事，学生就会产生好奇心，对数列求和问题产生兴趣。当然，老师们还可以将其他的一些有意思的故事讲给同学们，相信会有不一样的效果。

2.体验式教学。在一些教学设计中，已经包含了体验式教学模式。叶丹就曾尝试着以高中数列为研究对象来进行体验式教学的探讨与研究，最后的结论是：“师生在教学中的共同参与、互动、体验、感悟，使数学教学体现民主性、开放性和互惠性，学生在学习过程中获得了积极地情感体验，提高了自主探究的数学实践的能力，同时也在一定程度上丰富体验式教学，为体验式教学理论与实践进一步发展提供了理论依据。”

要把控课堂，首先要了解学生学习过程中的心里路程。学生学习概念的心理过程是：概念意向-知觉水平上的应用-概念表征-思维水平上的应用。学生原理学习的心理过程：增生、重建、融会贯通阶段。形成自己的数学思维，能够做到知识的迁移，总的来说需要三个阶段：认知阶段、联系阶段和自动化阶段。

3.贴近生活。学生在学习的时候，如果太脱离生活就会觉得枯燥无聊，如果以生活中的问题为例来展开教学就会更吸引学生。举个例子：

在一次聚会中，来了50位客人，有以下两个问题11如果客人们互换名片，共发出多少名片？22如果客人们互相握手，共握几次？

对于问题一，学生很快就可以做出回答，共为50*49张名片；对于问题二，给同学们时间思考，讨论，直至给出正确答案。握手次数用加法可以表示为49+48+…+2+1，这是一个等差数列求和问题。这一生活问题作为上课前的引导，可以激活学生思维，将知识从初中迁移到高中。

四、高中数列求和教学建议

1.把握概念本质。“概念是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。”，概念是认知的高级产物，是思维最基本的组成单位，对数学概念的清晰理解是进行后续教学活动的关键。弗赖登塔尔曾说：“教学源于现实，也必须寓于现实，并用于现实。”在教学中，要尽可能的让学生去经历观察、分析、猜想、概括、归纳、类比等发现和探索的过程，以此来锻炼学生的数学素养。

2.注重原理推导。数列的求和公式是数列问题的核心，不仅要记住它，还要理解他。引入一些实际问题来让学生自己动手来计算推导，会留下深刻的印象。

等差数列求和公式Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d

等比数列求和公式Sn=na1（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）

在数学公式证明中，类比是常用的方法，因此在数列求和公式的证明时，要善于运用类比的策略。

3.老师根据学生期望来授课。在数列求和教学过程中，老师需要和学生多多交流，因为这一部分的知识较难，老师一定要时刻关注学生的状态，学生需要老师再黑板上板书，老师就应该将解题过程详细的书写在黑板上，并和学生沟通，及时发现他们的问题。在一些较难的题目上，学生如果要求老师放慢速度，老师需要配合学生，毕竟真正的教学是以学生为主体，不能为了赶教学进度而不顾学生的想法。学生自己会比较清楚需要什么，老师需要参考学生的期望来授课。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M]，人民教育出版社，2003.p11

[2]田伟芳.将数学史融入数列课堂教学的实践[J]，数学教学，2009（8）3-7

[3]叶丹.体验式教学在高中《数列》一章的实践研究[D]，华中师范大学，2008

第7篇：数列求和方法范文

关键词：高中数学;数列;解题技巧

在学习高中数学的过程中，有关数列题型的解题技巧也一直备受教师和学生关注，它不仅是高中数学教师们谈论的重点内容，也是学生们学习的重要内容。有的同学对数列的知识还存在一些欠缺，没有完全领会其中的知识点，这对平时的解题会造成一定的困难，所以需要我们平时多多摸索，找出解题技巧，促进我们更好地学习，本文就对关于数列的解题技巧进行一些阐述。

一、对数列基本概念的探讨

在解决高中数学数列试题的过程中，通项公式和求和公式需要被直接运用到一些试题上来进行计算。相对来说，这种类型的数列题目是没有什么详细的解题技巧的，而是需要我们熟练掌握公式，将公式运用到具体的题目中进行解答。比如：己知等差数列{an}，Sn是前n项的和，并且n*属于N，如果a3=5， S10=20，求S6。根据题目中的已知条件，我们可以结合等差数列的求和公式和通项公式，首先把数列题目中的首项和公差计算出来，然后根据已知的条件，把所得的结果直接代入求和公式中，这样便可以得到正确的结果。这种类型的题目主要是考察我们对基本概念的理解，所以，在学习过程中，我们一定要注重数列概念的掌握。

在近些年的高考中，对通项公式的考察也很多，对数列求和也是需要掌握的重点，所以这里着重再说一下通项公式。对数列进行求和的方法有好几种，这里介绍错位相减法、合并求和法、分组求和法、通项求和法。

二、高中数学数列类题型的解题技巧

1.合并求和法

在对数列试题进行考察时，一般情况下有一些数列会比较特殊，如果将其中的个别项单独进行组合，那么我们可以找到它特殊的地方。当我们面对这种类型的题目时，我们的解题技巧是，首先把数列试题中可以进行组合的项列出来，接着计算它们的结果，最后进行整体的求和运算，这样我们就可以计算出正确的结果。比如说这样的题目，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。首先我们进行初步计算，会发现这个数列不是等差的数列，也不是等比的数列，但是我们可以得到的是a6m+1=2，am+2=7，一直到a6m+5=-7，a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2 ，所以题目的最后结果就是a1999=2。

2.分组求和法

在我们做数列相关题目的过程中，会发现其中有一些数列在本质上是不属于等差数列的，也不在等比数列的范围，但是将它们拆开，我们可以将它们其中的一部分划分到等差数列和等比数列中，我们在对这类数列进行求和时，可以先使用分组求和法来对其计算，然后把它们拆分成简单的求和数列，进行分别求和，再将其得出的结构合并，这就是我们想要的结果了。比如：己知数列{an} ，n为正整数，通项公式是an=n+3n，要求计算出该数列前n项的和Sn。首先进行初步计算我们可以得到，此数列非等比非等差，再对其进行仔细观察，我们不难发现，n+3n的前半部分是等差数列，后半部分则是等比数列，所以我们可以将等比和等差部分分别进行计算，得到结果之后进行相加就可以得出正确的结果。

3.错位相减法

在对数列进行推导求合时，我们经常用到错位相减法，这种解法经常被运用到数列前n项和的求和中。比如在等比数列或等差数列的前n项和的求和中，采用错位相乘法，首先算出数列的首项、差比或公比，再利用等差公式或者等比公式来算出相应表达式，采用错位相乘法就可得到结果。我们在学习时，要多注意解题思路，做到对题进行总结，举一反三。

4.通项求和法

在使用通项求和法时，关键是能够把一个数值拆分成两个数值，以便把遵循一个规律的数值集合一起进行求解，达到事半功倍的效果。求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n项的数值的位 数是n，因为1…111=1/9（9…999）= 1/9（10k -1）（k等于1… 111的位数），所以数列1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 -1）+ 1/9（102 -1）+ 1/9（103 -1）+ 1 /9（104 -1）+…+ 1/9 （10n -1）。进行分组求和后，1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 +102 +103 +104 +…+10n ）-1/9（1+1+1+1+…+1）（1的个数是n）= 10/81（10n -1）- n/9 =1/81（10n+1 -10-9n），这样就能够很快计算出数列的和。

三、结语

综上所述，我们可以知道，高中的数列题型因为它的特殊性，它是和其他的数学知识分不开的，为了能够更好地学习这部分内容，我们在平时的学习中一定要注意对数学基本概念的掌握，以及相关解题技巧的总结，达到融会贯通的境界，才能更好地提高我们的数学能力。

参考文献：

第8篇：数列求和方法范文

下面将探究几道数列问答题。

例1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和为Sn.

分析：本题主要考查等比数列的基本知识和运算能力，要确定一个等比数列，只需求出它的首项和公比即可，利用已知条件，可得首项和公比的两个方程，解之可得数列{an}，从而Sn可求得。

解答：（1）设{an}的公比为q，由已知联解啊a1q=6，6a1+a1q2=30两式得a1=3，q=2或a1=2，q=3，所以an=3×2n-1，或an=2×3n-1

（2）当a1=3，q=2时，Sn=3×（2n-1）；当a1=2，q=3时，Sn=3n-1

探究1：本题是一道数列基本题，综合性不强，但对等比数列的基本知识进行了全面的考查，从等比数列的概念，到通项公式和前n项和的求和公式，从解方程组的角度，利用消元的策略，处理方法也比较灵活，还作了简单的分类讨论，体现了试题的深入适度综合考查的特点，反应了试题的考点，突出概念和基本公式应用方面的考查.

例2.已知数列{an}中，a1=1，an+1 =（n∈N+）

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若=+1，求数列bnbn+1的前n项的和Tn.

分析：本题考查由递推关系求数列的通项公式的方法，以及数列求和中比较常用的裂项相消法，先将递推公式变形为an+1-an=2anan+1，两边同除以anan+1，就可以转化为等差数列来求通项公式，而bnbn+1=可拆成-，从而求出Tn.

解答：（1）由an+1=得：-=2且=1，所以知：数列

是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以=1+2（n-1）=2n-1，得：an=

（2）由=+1 得：=2n-1+1=2n，bn=

bnbn-1=，则Tn=b1b2+ b3b4 +…+bnbn-1=++…+=（-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=.

探究2：（1）本题是转化法求通项公式的典例，递推公式变形为an+1-an=2anan+1，两边同除以anan+1，也可以将an+1=同时取倒数，从而转化为等差数列.

（2）裂项相消法：就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的.

例3.各项均为正数的数列{an}，满足a1=1，a2

n+1-a2

n=2（n∈N+）.

（1）求数列{an}的通项公式an

（2）求数列（）的前n项和Sn

分析：本题考查等差数列的定义及通项公式，由已知a2

n+1-a2

n=2很容易观察出数列{a2

n}是等差数列，从而求出数列 的通项公式.也考查数列求和中重要方法，错位相减方法求和.

解答：（1）因为a2

n+1-a2

n=2，所以数列{a2

n}是首项为1，公差为2的等差数列.

所以a2

n=1+（n-1）×2=2n-1.因为an>0，所以an=（n∈N+）

（2）由（1）知，an=，所以=

所以Sn=+++…++ ①

则Sn= +++…++ ②

①-②得 Sn= ++++…++=+（+++…+）-=+2×=-所以Sn =-.

探究3：（1）如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则求此数列的前n项和Sn多采用错位相减法，课本中等比数列的前n项和公式就是用这种方法推导出来.

（2）运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心.

例4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N+）.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成公差为dn的等差数列（如在a1与a2之间插入1个数构成第1个等差数列，其公差为d1；在a2与a3之间插入2个数构成第2个等差数列，其公差为d2，…，以此类推），设第n个等差数列的和是An，Tn=++…+，证明Tn

分析：本题考查an与Sn的关系，利用式子an+1=2Sn+2转化成an=2Sn-1+2（n>2），两式再相减求出通项，第2个问题需要较强的理解能力，能灵活应用等差数列的基本知识（定义，通项公式，求和公式）.还用了典型的裂项相消求和方法以及不等关系.

解答：（1）an+1=2Sn+2，an=2Sn-1+2（n>2），an+1-an=2an，=3在an+1=2Sn+2中令n=1，得a2=2S1+2，a2=6=3a1，an= 2・3n-1.

（2）dn==，

An==4（n+2）×3n-1

==-

Tn=（-）+（-）+…+（-）=-

探究4：（1）已知数列的前n项和为Sn或已知an与Sn的关系写出数列通项公式：an=f（n），是高考中常见的问题，解决这类问题必须注意条件n>2对于Sn=f（an）仍坚持利用n>2时an=Sn-Sn-1.

第9篇：数列求和方法范文

数列问题一直是高考的热点内容,历来为高考复习的重点;2010年安徽省高考文科卷的第21题,就是一个典型的数列问题,我们先来看一下题目,后作分析:

题设C1、C2、…、Cn、…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线 相切。对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切。以Rn表示Cn的半径,已知｛rn｝为递增数列,（1）证明:｛rn｝为等比数列。（2）设r1=1,求数列｛ ｝的前n项和。

显见本题的第（1）小题考查的是等比数列的基础知识、基本概念问题,第（2）小题考查的则是数列里强调的一种重要的解题方法―错位相减法,即考查学生利用错位相减法求和的基本技能。由于本题利用几何图形为载体,所以它同时考查考生的抽象能力和推理论证的能力。

本题虽然出现在试卷的最后一题压轴题的位置,但我认为题目的难度并不大。我个人对本题的思考及求解过程有如下理解。第一,本题题目一遍读完,考生立刻就能反应出这是一题以几何图形为背景来考核数列的问题。第二,当考生反应出是数列问题时,脑海中就会呈现出数列中高考大概会考查的几个方面内容（老师平时带学生复习时都是反复强调的）:即数列的基本知识、基本性质、基本方法。象本题的（1）一看就明白是考查数列的基本知识的―等比数列的基本概念,即若一个数列的后一项与前一项的等比等于一个常数,则这个数列是等比数列。所以学生很快就能下笔做题。以下,我们把（1）作简单解析:

因为直线 与圆相切,所以直线的倾斜角 ,所以 。设圆Cn的圆心为（λn,0）,则 。同理 ,又 ,将 代入,得

,故｛rn｝是以3为公比的等比数列。第三,当考生做出（1）的结果为 时,将（2）中r1=1代入可得 ,进而求出（2）中 。

紧接着肯定是观察数列｛ ｝通项公式的特点,这个数列当然不是一个单纯的等差或等比数列,它是一个两项相乘的数列（n与 相乘）,是一个我们很熟悉的混和数列。它的前一项成等差,后一项成等比。符合这种特点的数列的求和就是采用错位相减法。当考生能将方法对号入座时,就能动笔做（2）了,这里关键就是方法,如果方法用错了,最后肯定是徒劳。当然,在考生想对方法的同时,解题过程中的计算也是不容忽视的。因为考查错位相减法的同时,融入了一定的计算量,往往有不少考生会因为方法对,计算错而导致最后做错题。下面我们也对（2）作简单解析:

……①

我们记上式为①,且要求考生倒数第二项一并写出,以便下面求解,接着在①的两边同乘以等比数列的公比得②,即:

……②

一般情况下,我们还是要求学生固定用①-②,且要求①、②两式对应写成上下两行,以减少犯错误的机率,以上①-②得:

这个试子看里面有个等比数列求和,并不复杂,只要步步小心谨慎,一般是不会出现大的错误的,由上式及等比数列求和公式得:

所以

所以

由以上三点,我觉得本题难度不算大,融入的计算量也不大。

关于数列这一章节,教材中的内容并不多,但高考是年年考,且有一道大题。所以考生考前复习时一定要高度重视。对本章节内容,头脑中应有一个清晰的知识框架。高考考查无非是以下几方面的内容:一、考查等差、等比数列的基本知识,即等差、等比数列的概念、通项、前n项和、中项;二、考查等差、等比数列的性质,即若 ,则对等差数列有 ,特别地若 ,则 。若 ,则对等比数列有 ,特别是若

,则 。不同的数列,不同的性质公式应区别用好。

三、考查方法,即错位相减法、裂项相消法、构造法、叠加法、叠乘法、公式法、倒序相加法、分组求和法等。其中,要高度重视前几种方法,象安徽省2010年理科数列题就是考查裂项相消法,文科考了错位相减法。这些方法老师在平时复习时都会特别强调的,只要考生能够做到考前复习足够用心,考试期间足够细心,拿分是没有问题的。