偏微分方程数值解课程案例教学

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［摘要］偏微分方程数值解是计算数学专业的重要基础课程，文章围绕该课程的教学目标，根据学生的特点，探讨了案例教学方法。通过教学实践表明，案例教学有助于提高课程教学质量。

［关键词］偏微分方程数值解；案例教学；教学质量

一、引言

作为计算数学方向研究生的重要基础课程，偏微分方程数值解的课程教学改革引起了人们的关注。张宏伟教授[7]提出了以培养学生研究能力为主要目的的教学模式，廉海荣等[3]探讨了研究生课程的研究型教学模式，李郴良[2]讨论了以训练学生数学思想方法为主的探究式教学方法，张新明[9]探索了分层次项目驱动的教学方法。这些教学模式和教学方法为提高该课程的教学质量提供了良好的参考。近年来，人们探讨了案例式教学方法，并进行了相应的教学改革尝试，取得了良好的效果。王国成等[5]将PBL教学法和案例教学法相结合，探讨了研究生课程教学改革方法，沈利民等[4]讨论了研究生课程的案例库建设方案和案例教学的具体实践，肖绪洋等[6]结合课程的特点，构建了一些典型教学案例开展教学改革活动，张竞成等[8]根据与课程知识的关联度、典型性和前沿性，选取适当案例进行教学改革实践，傅伟锋等[1]分析了美国研究生案例教学的理论与方法、组织实施体系，总结其特色，从课前准备、教学过程、案例库建设、教师激励和教学辅助体系等方面提出了建议。我们博采众长，根据偏微分方程数值解课程的特点，结合多年的教学积累，进行了案例教学的改革活动，培养学生的创新能力，提高课程教学质量。

二、案例教学法

案例教学法由美国哈佛法学院前院长克C.C.Langdell于1870年首创，后由美国哈佛商学院倡导成为当时很独特的一种教学方法。其所选取的教学案例都来自商业管理中的实际事件或情境，通过学生主动参与课堂讨论等活动，培养学生的分析问题、解决问题的能力。由于教学效果良好，该方法迅速从美国推广到世界各地。案例教学法具有以下几个特点：一是鼓励学生独立思考。二是以培养学生能力为主。三是教学相长。在教学过程中，学生根据案例要求，认真主动地去查阅相关的理论知识，经过仔细思考，提出解决问题的方案。在这些活动过程中教师要给以引导，这促使教师事先要认真思考，根据学生的反馈和要求补充有关新的教学内容。案例教学法中，案例的选择是非常重要的。案例教学法应该根据课程特点和教学目标选择或设计高质量的案例。案例的选择要遵行科学性、典型性和前沿性原则。哈佛商学院的案例教学之所以成功，其原因之一就是它拥有丰富的高质量的案例库。课前准备工作是案例教学成功的前提。教师在课前必须花费一定的时间进行教学设计，制定出细致的教学安排。傅伟锋等在[1]中对美国的案例教学设计是这样描述的，“从教学过程的‘起承转合’到教授提问的方式和语气、课后评估细节等多个方面，无一不体现着美国案例教学的精细性和科学性。”案例教学中，课前准备工作主要包括以下几个方面：一是案例教学中问题的设置。问题难易要适度，问题过难，学生因知识能力不够找不到解决办法，然后是消极对待或者敷衍了事，失去了积极性；反之，问题过易，结果一目了然，也会降低学生的参与兴趣，更不用说达到提高学生分析问题和解决问题的能力。二是学生的课前准备要求。案例教学中，学生的课前准备工作非常重要，我们必须要留给学生比较充分的准备时间。如果学生事先没有足够认真的准备，案例教学就失败了一半。三是设置有效的激励措施。优秀的案例教学必须有一个配套的有效的激励机制：一是跟学习成绩评价相关，二是让学生清楚地知道，案例教学有助于培养他们的分析问题、解决问题的能力。四是教师要充分发挥“导演”的作用。事先教师必须备课充分，要充分把握知识点的难点、重点等，在讨论过程中起到“画龙点睛”的作用，及时解决学生的疑难杂症，能够敏锐把握学生的闪光点等等。

三、偏微分方程数值解课程的案例教学实践

偏微分方程数值解是我校数学学科硕士研究生的一门学位课程，主要讲述偏微分方程的有限差分方法和有限元方法。课程的教学目标是，通过该课程的学习，学生不仅掌握偏微分方程的基本数值方法及原理，而且提高其编程计算能力和分析、解决问题的能力。

（一）案例的选择和设计我们围绕课程的教学目标和教学内容，根据学生的特点，按照科学性、典型性和前沿性原则，进行本课程教学案例的选择与设计。我们以热传导方程为基础进行如下设计：情境设计：有一个炉温T0=1000℃的加热炉，已知钢的λ=40w/（m2•℃），α=0.7×10-5m2/s，钢的初始温度t0=20℃，钢与外界的对流换热系数h=350w/（m2•℃）。我们从一维到二维介绍有限差分方法，所以首先设计了教学情境一：在其中放入一根长1米的钢条，计算30分钟后钢条的温度。通过这个案例，学生学习和掌握一维情形下的有限差分方法，学会有限差分方法的稳定性和收敛性分析。然后设计教学情境二：设置两个问题，一是在其中放入一块长1米，宽0.8米的钢块，计算30分钟后钢块的温度；二是在其中放入一个半径为0.5米的钢块，计算30分钟后钢块的温度。通过问题一，学生学习和掌握二维情形下的有限差分方法及其稳定性、收敛性分析，对比分析五点差分格式和紧凑差分格式的优缺点；通过问题二，引导学生分析有限差分方法的缺点，此时必须引入新的方法来解决存在的问题，由此顺理成章引入有限元方法。在有限元方法教学过程中，我们还是在这个情境下，分别设计一维情形、二维情形和三维情形的教学案例。让学生通过这些案例的分析，理解和掌握有限元方法。

（二）课堂教学设计我们以情境一为例进行设计。这个案例教学的目的是，学生学会和掌握一维情形下的有限差分方法及其稳定性、收敛性分析。1.问题设计。为了实现课堂教学目标，我们设置以下问题：（1）分别讨论分析当时τ=t0、t1和空间步长h=h0、h1时用向前欧拉法计算结果，给出你的发现。（这里t0、t1和h0、h1是具体的值，其中当τ=t1时方法不收敛。）（2）分别讨论分析当时间步长τ=t0、t1和空间步长h=h0、h1时用向后欧拉法计算结果，给出你的发现。通过这些问题的分析，学生能够进一步了解显式算法和隐式算法的优缺点，理解和掌握两种方法的收敛性和稳定性，学会进行相应的分析。2.对学生的课前要求。在新知识授课前，我们先讲授有限差分方法的向前和向后差分格式，要求学生编写程序，完成上述两个问题的数值实验并进行数值分析，撰写实验报告，总结实验发现。3.对学生的激励措施。我们改革课程考核方式，提高平时作业成绩占比。我们将学生分成若干个小组，每个小组完成实验探索题，在课堂讨论中汇报小组的发现。这些活动记录成绩，按一定比例记入最终考核成绩。通过案例教学模式改革，提高了学生的学习主动性。学生的分析探讨能力也得到了提高。

四、结语

在偏微分方程数值解课程的教学实践中，我们探讨了案例教学法。通过案例教学，我们既让学生主动学习，理解和掌握了所学知识点，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力，达到了教学目标。

参考文献

［1］傅伟锋,唐贤清.美国研究生案例教学及启示［J］.湖南师范大学教育科学学报,2016,15(05):124-128.

［2］李郴良.《偏微分方程数值解》课程的探究式教学方法初探［J］.教育现代化,2018,5(1):237-238+252.

［3］廉海荣,赵琳琳,陈瑞阁,等.关于“微分方程数值解”课研究型教学模式的探讨［J］.大学数学,2012,28(5):26-29.

［4］沈利民,王艳飞,陈英华,李海生.专业学位研究生《有限元分析及应用》课程案例库建设与案例教学［J］.当代教育实践与教学研究,2019(5):170-171.

［5］王国成,常钢,施德安.基于问题的案例教学法在研究生课程教学中的实践［J］.教育教学论坛,2017(24):150-152.

［6］肖绪洋,陈润平.案例教学法在数学物理方法中的应用［J］.课程教育研究,2013(13):53-54.

［7］张宏伟.注重培养研究能力的《微分方程数值解法》课程教学研究与实践［J］.大学数学,2006,,22(6):4-6.

［8］张竞成,吴开华,陈丰农,尚平,周贤锋,陈冬梅.“遥感技术与应用”研究生课程案例教学模式研究［J］.科技视界,2018(7):78-79.

［9］张新明.面向工科研究生的《微分方程数值解》教学改革与实践———基于分层次项目驱动教学法［J］.高教学刊,2018(3):136-137+141.

作者：李郴良 单位：桂林电子科技大学数学与计算科学学院