控制工程下创新性数学补充及创新性

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摘要:控制工程理论的数学基础往往是专业课所忽略的。在拉氏变换、分式展开、劳斯表、离散化微分等公式中补充和强调了相应的数学基础，建立了不能求得传递函数的弹簧－质点－干摩擦系统的数学模型，提出了转子系统的黏性力矩阻尼系数命名。研究易化了该学科的理论。

关键词:机械控制工程基础;数学推导;二次假设;差分方程;黏性力矩阻尼系数

在工业生产上，往往需要控制一些关键参数，如温度、压力、气体含量等，这属于机械控制工程［1－3］。机械控制工程已形成了较固定而完备的理论［4］，但是在一些计算公式的推导过程中，由于学生都学习过高等数学、线性代数等数学课程，往往忽略一些重要的数学推导步骤，这给初学者带来负担。在一般院校，尤其是职业教育院校，学生的数学基础往往不够扎实，难以理解被省略的数学推导步骤，导致该课程的学习难度高。本文研究理论性强的公式、系统建模及其必要的数学推导过程。

1拉氏变换微积分步骤

由于微积分是高等数学的基本知识，专业著作［5］中往往省略关键步骤。

1．1指数函数的拉氏变换

补充复合函数的定积分及以下求导结果:ex()'=dex()dx=ex，e－sx()'=－se－sx，则该式的拉氏变换为LAe－αt[]=∫∞0Ae－αte－stdt=A∫∞0e－(α+s)tdt=A1－(α+s)∫∞0e－(α+s)td[－(α+s)t]=A1－(α+s)e－(α+s)t∝0=A1－(α+s)e－(α+s)∝－e－(α+s)0[]=A1－(α+s)[0－1]=As+α

1．2一次幂函数的拉氏变换

补充如下分部积分的详细计算及求不定式的洛必达法则(L'Hopital'srule)计算式:u=t，v'=e－st，u'=1，v=e－st－s，∫udv=∫uv'dt=uv－∫vu'dt=uv－∫vdu，∫baudv=∫bauv'dt=uvba－∫bavu'dt=uvba－∫bavdu，limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x)，式中:fx0()=0gx0()=0{}或fx0()=∞gx0()=∞{}。则该式的拉氏变换等于以下两项:L[At]=∫∞0Ate－stdt=Ate－st－s∞0－∫∞0Ae－st－sdt，上式的第一项为At－sest∞0=At－sestt=∝－At－sestt=0=(At)'－sest()'t=∝－A·0－ses·0=A－s2estt=∝－0=－0－0=0，则该式为L[At]=∫∞0Ate－stdt=－∫∞0Ae－st－sdt=As∫∞0e－stdt=As2。

1．3正弦函数和余弦函数的拉氏变换

补充复变函数的欧拉公式及复数定义:j2=－1，sinωt=12jejωt－e－jωt()，cosωt=12ejωt+e－jωt()。正弦函数的拉氏变换推导过程为L[Asinωt]=A2j∫∞0(ejωt－e－jωt)e－stdt=A2j1s－jω－A2j1s+jω=A2j1(s+jω)(s－jω)(s+jω)－A2j1(s－jω)(s+jω)(s－jω)=A2j1(s+jω)s2－j2ω2()－A2j1(s－jω)s2－j2ω2()=A2j1(s+jω)s2－j2ω2()－1(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2j(s+jω)－(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2j·2jωs2+ω2=Aωs2+ω2。余弦函数的拉氏变换推导过程为L[Acosωt]=A2∫∞0ejωt+e－jωt()e－stdt=A21s－jω+A21s+jω=A21(s+jω)(s－jω)(s+jω)+A21(s－jω)(s+jω)(s－jω)=A21(s+jω)s2－j2ω2()+A21(s－jω)s2－j2ω2()=A21(s+jω)s2－j2ω2()+1(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2(s+jω)+(s－jω)s2－j2ω2()[]=A2·2ss2+ω2=Ass2+ω2。

2代数运算

2．1传递函数的部分分式展开法

该展开式是根据二次方程的求根公式和数学建模的待定系数法而获得的。将函数的分子和分母分别因式分解，二次项因子由求根公式获得两个一次项相乘的形式，假设该函数可展开为F(s)=B(s)A(s)=r1s－p1()+r2s－p2()+…+rns－pn()，式中ri为待定系数，称为留数。留数由特殊情况确定，在s=pi时，可以将s－pi()乘以等号两边，左边能算出来，右边为留数。由于等式仍然成立，所以可求得该待定系数。分子的幂次如果大于分母的，则须用分母去除分子而得到合理的分式。如可补充多项式相除的竖式计算方式而获得:G(s)=s3+5s2+9s+7s2+3s+2=s+2+s+3(s+1)(s+2)。该竖式为

2．2劳斯表及其两个特例

计算二阶行列式可采用以下简易计算式:a1，1a1，2a2，1a2，2=a1，1a2，2－a1，2a2，1。劳斯表是判断系统稳定性的，有时会出现两个特殊情况:1)在新行中，首列元素等于零。为避免被零除，该项须用很小的正数代替，如－22010⇒⇒－22ε1ε=－2－2εε=2－2ε。2)新行的所有元素均为零。这导致以下所有元素均为零。将上一行所对应的多项式求导，由求导结果确定该新行。所依据的理论是洛必达法则。如s(6)s(5)s(4)s(3)182016212160212160→80→240→0分别对应于多项式:s(6)s(5)s(4)s(3)As(6)()=s6+8s4+20s2+16As(5)()=2s5+12s3+16s1+0As(4)()=2s4+12s2+16As(3)()=A's(4)()=8s3+24s1+02．3基于二次假设将系统微分方程转化为差分方程设采样周期为T，用差分代替微分，根据后(左)向差分的定义及二次假设，变量x的一阶和二阶差分为［6－7］:Δx(k)=0．53x(k)－4x(k－1)+x(k－2)[]，Δ2x(k)=x(k)－2x(k－1)+x(k－2)。将以下微分方程离散化:md2xdt2+cdxdt+kx=0，mx(k)－2x(k－1)+x(k－2)T2+c0．53x(k)－4x(k－1)+x(k－2)[]T+kx(k)=0，m+1．5cT+kT2()x(k)+(－2m－2cT)x(k－1)+(m+0．5c)x(k－2)=0。经典的转化算法是基于两层线性假设的，必然没有上述基于二次假设的准确。

3数学建模

3．1弹簧－质点－干摩擦系统的数学模型

忽略最大静摩擦力大于动摩擦力的特性，图1所示系统可建立如下分段方程:－md2xo(t)dt2－fsigndxo(t)dt()+kxi(t)－xo[(t)]=0，式中:sign(v)=+1，v＞0，[－1，+1]，v=0，－1，v＜0。{图1弹簧－质点－摩擦振动系统模型Fig．1Spring-particle-frictionvibrationsystemdiagram该方程不能用来建立传递函数。数值算法可处理分段形式的微分方程，而传递函数算法不能。

3．2受到阻尼的转子系统模型

设转子受到阻尼力和外力矩M，则力矩平衡方程为－Jdωdt－fMω+M=0，式中:J为转子的转动惯量;ω为转子的角速度;fM为黏性力矩阻尼系数，如果半径为r，阻尼系数为c，则该系数为cr2，目前将其定义为摩擦系数不确切。

4结束语

S(科学)T(技术)E(工程背景)M(数学)教学理念引领教学内容的改进［8］。其中，数学基础往往是各专业课所忽视的。本文补充的数学推导表面上创新性平常，实际上使高难度知识点简易化，比一般的理论创新更有实践价值。本文的理论创新可直接沉淀到教材，因此，也是山东省本科教育改革研究重点项目(Z2020057)的研究内容。

作者:李春明 尹晓丽 张晓玲 单位:中国石油大学(华东)机电工程学院 山东石油化工学院