常微分方程教学改革启发

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摘要:本文根据普通高校常微分方程课程的教学现状，对于如何学好本课程，加强课堂教学、促进创新思维的培养及丰富教学资源等方面作了一些初步的探讨。

关键词:常微分方程；教学改革；教学方法；启发式教学

常微分方程是高等院校数学专业的一门必修课程，是数学分析的后继课程，同时又是几乎所有应用类课程的先修课程。因此，它起到一种承前启后的作用。但是，传统的教学模式往往是以教师为中心，采用教师讲、学生听的单一教学模式，课程体系仍局限于对常微分方程基本理论知识的讲解，忽视了常微分方程作为联系外部世界的桥梁作用。这使得常微分方程课程的教学效果大打折扣。本文从以下几个方面对常微分方程的教学改革进行探讨和研究。

1立志

我认为在讲授常微分方程的具体内容之前应要求学生明确个人的理想。古人云：“志不立无可成之事”。只有志存高远，才能激起一个人的学习斗志，也才能在遇到困难时迎难而上。同时要求学生将志向具体分解成几个阶段，将每一个阶段的任务完成好了，最终的志向也就实现了。教师在此过程中应将常微分方程这门课的全貌梗概性的展示给学生，让学生充分认识到常微分方程的重要性，并将对这门课程的学习融入到阶段性的任务之中去，最终为理想的实现服务。对于任课教师，必须要树立将这门课讲授好的信心和决心。

2勤能补拙

勤奋是成就一切事业的基础。学习常微分方程这门课程必须要付出辛勤的劳动。所以任课教师要告诫学生勤奋是学好常微分方程这门课的一大必不可少的法宝。不做一定数量的习题，数学这门课程是不可能学好的。数学的学习需要持之以恒、日积月累的努力。勤奋是一切学习方法的基础，缺乏了勤奋，一切的学习方法都将成为虚设。

3根据学习内容选择适当的教学方法

教学方法的不同将带来教学效果上的很大差异。以文献[1]为例，第一章讲述常微分方程的基本概念、发展历程以及它在各种不同学科中的应用。这部分内容可以分配给学生，让学生课下去查阅资料、课堂上进行讨论，最后任课教师进行点评和总结。这样可以让学生参与到教学中来，充分地调动学生的学习自主性。第二章为一阶微分方程的初等解法。在这部分内容的讲解过程中，任课教师要多寻找一些现实生活中的具体例子，将它们穿插于具体的教学过程中，使得所学理论更加真实、直观、富有背景感。这样可以使学生更加明确学习目的、更加充分地调动起学生的学习积极性。任课教师还可以有针对性地布置给学生一些具体的例子，让他们用本章所学的基本理论建立数学模型，在实践中学习理论，用所得理论指导实践。第三章为一阶微分方程解的存在定理。这部分内容为常微分方程的理论核心。这部分内容比较抽象，学生学习起来普遍觉得枯燥、困难。这部分内容在讲授之前要求学生必须提前预习，任课教师可借助于多媒体将所需要用到的基础数学理论展示给学生。可先忽略严格的证明过程，将解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性和可微性定理的证明思路讲给学生。然后再对内容细节进行严格的证明。为了能够更加直观的向同学们讲解这部分内容，我们可以运用Mathematica,MATLAB和Maple等数学软件绘制图形，这样教学的效果将会更佳。在本章的讲解结束后，可以给学生概略性的用泛函分析中的Banach不动点理论证明解的存在唯一性定理，开阔学生的视野。第四章为高阶微分方程。高阶微分方程是一阶微分方程的理论推广。它与一阶微分方程理论既有联系又有区别。这部分内容的讲解宜采用启发式的教学方法，启发和引导学生发现不同类型的高阶微分方程的求解方法，并找出这些方法的区别和联系，以及这些方法的适用范围。第五章为线性微分方程组理论。这部分内容将矩阵理论完美地融合了进来。这部分内容的理论思想和一阶微分方程的基本理论思想是一样的。学习这部分内容一定要结合一阶微分方程的基本内容去学习，即采用类比法进行教学。第六章为非线性微分方程。这部分内容应用性比较强，任课教师可以向同学们讲解各种具体的数学模型，将这部分理论内容穿插进去。这样可以大大地降低这一章内容的学习难度。

4适当加入实验课程环节

现今信息技术高速发展，很多的常微分方程问题都可以用数学软件求解，这大大地节省了人力、物力。因此，让学生掌握一定的数学软件并学会以此用来求解常微分方程变得非常的必要。任课教师可根据学生的接受程度每周适当安排学生上机，使用数学软件解决一些基础的常微分方程问题。

5科研与教学相结合

很多学生今后将从事科学研究工作。在学习常微分方程过程中有针对性地训练学生的科学研究能力是很有必要的。光学习书本上的基本理论是不行的，我们必须使学生学会运用所学知识解决现实生活中的具体问题。就像一个演员不能只看戏而自己不去演戏。任课教师可以根据学生的基础提供一些科研题目让学生去做，并给予具体的指导。也可以定期请国内外的专家来学校讲学，让学生了解常微分方程方向最新的学术前沿。通过同科研专家的交流和对话，可以使学生更加了解这门课的主要意义、增强学生克服困难的能力。

6小结

总之，常微分方程教学必须适应新时代的发展要求，与时俱进。教学过程中必须结合专业培养模式和培养目标，真正做到以学生为中心，切实提高学生实际应用能力和独立创新能力，任课教师要成为学生实践能力的指导者和教学质量的监控者，让教学服务于学生的成长。

参考文献

[1]王高雄,周之铭,等.常微分方程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]钟秀蓉.本科自动化专业常微分方程教学之改革与实践[J].内江科技，2009(4):46-46.

[3]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003(1):19-21.

[4]周霞.中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析[J].阜阳师范学院学报（自然科学版）,2016,33(4):118-123.

[5]李晓培.关于常微分方程课程教学的改革与实践[J].科技资讯，2008(31):169-169.

作者:陈林 单位:伊犁师范学院数学与统计分院