问题驱动数学教学原则探思

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摘要：问题是促动学科发展的原始动力，数学也不例外．问题驱动数学教学研究依据课程标准“要创设合适的教学情境，提出合适的数学问题”的要求，进行相应的理论思考和实践探索．问题驱动数学教学的关键是创设真实的问题并赋予问题有效的情境，教师引领学生在问题情境空间中探究生成数学知识，习得数学思想方法并学会思考．基于问题驱动理论与数学学科的特点剖析问题驱动数学教学的基本原则和基本思想，构建针对具体课时的问题驱动教学实施步骤，为教学的设计与组织提供参考．

关键词：问题驱动；问题情境；数学教学；数学思想

1问题驱动与数学教学

由于数学的特点和教材编写的需要，数学教科书基本上是以概念的描述、定理的证明、法则的论证等构成形式化的逻辑演绎体系，而知识产生的原始问题与丰富背景都几乎消失殆尽．这使学习者在一堆符号化的逻辑推理中很难体会到所蕴含的数学美及其重要价值．但“数学并不是按照教科书中的方式发展的”[1]．问题是促进学科发展的原始动力，数学也不例外．M.Kline就曾指出：“每一个数学分支均是为攻克一类问题而发展起来的．”[2–3]因此，合乎情理和逻辑的数学教学也应围绕问题展开．《普通高中数学课程标准（2017年版）》[4]强调“教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题……教学情境包括现实情境、数学情境、科学情境”，并指出“情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养”．教师需通过问题与情境引导学生经历知识的生成过程，揭示数学的本质并学会思考．要求设计合适的教学情境和数学问题为学生提供具有挑战性的实践创新平台，问题驱动数学教学研究也正是基于课程标准的要求进行相应的理论和实践探讨．问题驱动教学的实质就是指要创设真实的问题并赋予有效的情境，教师引领学生围绕问题情境探究发现，在解决问题的过程中体验数学的“再发现”过程，习得具体的知识获得相应的数学思想方法[5]．以问题驱动教学，能再现数学丰富多样的“火热”思考过程，揭示数学本质并教学生学会思考；以问题驱动教学，有助于学生在问题情境中从事探索活动，在经历数学发现的过程中生成“形式化”的数学概念与原理并习得数学思想方法．数学教育家张奠宙先生曾提出“以问题驱动的新概念数学”[6]，李大潜院士也大力提倡“问题驱动的应用数学研究”[7]，还有许多文献从不同的角度探讨了问题驱动下的数学教学[8–11]．2018和2019年出版的著作《问题驱动的中学数学课堂教学》[5，12–13]的理论与实践卷、概率与统计卷、复数与三角卷系统地探讨了问题驱动教学理论及其在中学数学课堂上的应用．

2问题驱动数学教学的基本原则

问题驱动数学教学遵循“由问题到理论”，是对荷兰数学教育家弗赖登塔尔“再创造”思想的具体化．弗赖登塔尔认为任何数学都是“数学化”的结果，学数学就是学“数学化”的过程[14]．从现实情境发现问题并抽象出数学模型或数学问题的符号化过程称为“横向数学化”．从不同角度和层次分析、表征与解决数学模型或问题的形式化过程称为“纵向数学化”．但弗赖登塔尔的数学教育观主要从学生认知层面强调教学组织过程，根据学生的“数学现实”将一系列的教学材料通过“再创造”将之“数学化”地组织起来，即“如何教”．问题驱动教学除了关注“如何教”，也重视“教什么”与“为什么教”．它从教育哲学层面深入到数学内部去剖析知识的背景与价值，进而创设能反映本质，符合学生实际的问题与情境驱动教学，使学生经历完整的“数学化”过程．数学的产生与发展在解决现实问题、科学问题和内部矛盾的过程中逐步完善．所以，数学概念或原理的形成可以是源于现实生活、自然与工程等科学或者是数学本身的问题．只要是“具有启发性的、本原性的、触及数学本质、能够在教学中起统帅作用的”[6]问题都是好问题、真问题．真问题又常划分为“本原性问题”和“派生性问题”两类[9]：前者指促使事物产生的最初根源，后者是指某个数学理论产生之后根据自身逻辑发展产生的问题．问题有助于数学本质的揭示，但“问题不等于问题情境”[15]，只有当学生面对问题有解决它的心向和欲望——即具备有意义学习的条件时，问题才能构成问题情境，才能真正做到以问题驱动教学．从数学的发展史看，有效的问题情境材料应“具有一定的生活意义、数学价值或科学价值”[9]．要创设恰当的问题及其情境，需追溯数学史回答以下3个问题：这个内容当初是怎么产生与发展的？人们为什么要去研究它？它有什么价值？通过历史挖掘承载在具体数学知识之上的问题背景、思想方法以及数学家的研究精神．由此可见，基于问题驱动的教学设计与教学实施至少需遵循以下3个原则．

2.1问题驱动原则

正如哈尔莫斯所言，问题是数学的心脏．问题也是数学课堂的核心，教学应依据历史与学生实际对教材重组“再创造”，提出合适的真实问题，创设有效的教学情境驱动概念与原理的教学．教师为学生提供探索活动的适当问题空间，引导他们在“做数学”的过程中发现数学并习得相应的数学思想、学会思考，进而运用所学解决具体问题、巩固新知、体验“用数学”的过程．围绕恰当问题情境展开教学，有助于培养学生发现问题与提出问题、分析问题与解决问题的能力．

2.2密切联系现实原则

这里的“现实”有两层含义：一是指学生的数学基础与实际生活经验，二是数学产生的背景．问题驱动教学的关键是创设真实的问题并赋予有效的情境，教师进行教学的设计与组织时必须考虑学习主体——学生的现实，使提出的问题在学生思维的“最近发展区”，使依据数学产生背景所创设的教学情境是学生所能理解的现实情境、科学情境或数学情境．数学在解决各种各样的问题中形成相应的概念和原理，教学应该创设适当的问题及其情境反映这个过程并让学生体会到数学的广泛应用性、深刻性、严谨性与趣味性．学生在问题情境中经历从现实世界向数学世界和符号世界过渡的完整“数学化”过程，在获得基本知识与技能、基本思想与活动经验的同时学会“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”[4]，促使数学学科核心素养的形成和发展．

2.3知识生成原则

学生已有的知识储备和相应的知识结构是学习新知识的重要支架．新知应在旧知的基础上引发，学生在经历知识的发生过程中建立起知识间的实质和意义联系，进而形成良好的整体认知结构，促进学生对知识的理解并实现学习的迁移．这也要求教师深入到数学内部剖析教材内容，确定教学的困难或存在的问题，明确单元的整体知识结构以及各知识点在单元内部、单元之间、数学学科内部和外部之间的联系，理清知识脉络与所体现的主要数学思想，以寻找教学的合适生长点．

3问题驱动数学教学的基本思想

有效实施问题驱动数学教学的前提是教师能依据历史和学生实际重构教材，整体把握教学内容，确定核心问题，设置恰当的现实问题情境，在此基础上引领学生经历“数学化”的完整过程．数学具有“原始形态”“学术形态”“教育形态”3种存在形式[16]．教师应具备将知识在数学史中的“原始形态”和教科书中的“学术形态”转化为再现知识发生发展过程的“教育形态”的能力．如果说，研究数学史和教科书是为了揭示数学知识的本质与教学价值，以厘清“教什么”与“为什么教”．那么将数学的“原始形态”和“学术形态”有效转化为便于学生接受的“教育形态”，就是为了解决“如何教”的问题．因此，问题驱动数学教学的组织与实施需把握以下4个基本思想．

3.1基于对教学单元的整体把握

深入理解具体课时内容课时内容是单元的一个部分，单元则是数学学科结构中最小的整体．要掌握局部的课时内容，就需理解其在单元中的地位与作用．进一步地，还需了解单元与数学学科整体结构的联系，甚至是与其它学科的联系．这样才能设置恰当的问题与情境更好地组织具体课时的教学．要整体把握数学单元，就是要依据课程与单元专题的总体目标、教材的体系、数学史和学生的实际去深入剖析教学内容的价值与地位．换句话说，把握数学知识的整体结构是为了服务局部的课时内容，为了更好地揭示知识背后的思想及相互间的联系．而充满各种联系的局部内容构成了具有生命力的整体认知结构．

3.2基于历史与学生现实“再创造”教材内容呈现知识的教育形态

数学专著的内容基本以学术形态呈现一堆数学化的形式结果，看不到知识的起源与发展，感受不到数学家曲折而丰富的思考过程．教科书虽然不同于数学专著，但为了便于组织也基本按照“定义→定理或公式法则的证明→应用”的顺序组织教材．数学史则是以原始形态表现数学，反映知识的发生发展和思想方法的形成过程，但也包含了各种细节以及数学家所走过的弯路．弗赖登塔尔强调数学教学要经历历史上的重要步骤却并非要重复历史，而是要依据历史结合学生的数学现实将数学的学术形态和原始形态转化为适合学生学习的教育形态．所以，教师需整体把握数学学科知识，运用数学史知识和学生实际重构教材，围绕问题在课堂教学组织中有的放矢地再现数学家“火热的思考”过程，提升学生的数学素养．

3.3基于问题驱动教学揭示概念与原理的本质

数学概念特别是基础的核心概念是数学这座大厦的基石，相应的理论和定理构成了大厦的框架，各个定理、命题之间的相互关系及其蕴含的思想方法则充实了框架结构，形成了有血有肉的整体．以问题驱动教学是生成概念和获得原理的最佳途径，学生在合适的问题空间中进行探索活动并体验数学思想方法的形成过程．虽然在实际的数学课堂教学中，不可能每节课都围绕着一个核心问题展开教学．但对于在数学知识体系中起着基础作用的重要概念和定理，最适合也最需要以问题驱动的方式展开教学来揭示数学的本质．通过问题驱动教学，让学生深刻体验数学概念与原理背后所隐藏的思想方法，体验到数学的价值、作用与魅力．一般而言，对于新课——如概念、定理、性质或公式的讲授，应尽可能地选择恰当问题设置真实有效的情境展开教学，让学生有机会亲历数学的再发现过程．而在围绕一节课的核心问题驱动教学的过程中，为了帮助学生更好地开展探究活动，教师仍需要给合学生的实际设置一系列有启发性的、有前后逻辑关系的问题链．如果把核心问题比作“大问题”，那么问题链就是为了大问题的解决而设置的一个个小台阶，让不同学习能力的学生都有机会到达目标——解决大问题并揭示数学本质．为巩固新知，让学生深刻理解概念的内涵与外延、原理的适用范围与限制条件等，同样也要设置一系列反映概念本质属性、原理实质的变式问题进行习题课的教学．可见，问题总是教学的中心，但“问题链”与本原性问题、派生性问题在教学中的意义及作用不尽相同．

3.4基于“数学化”的方法组织教学内容构建相互联系的知识结构

将数学内容问题化，将问题情境化，并以问题驱动教学是为了更好地实现“数学化”．让学生经历“数学化”过程的实质也是要求教师用“数学化”的方法组织教学内容的过程．弗赖登塔尔指出要教充满联系的数学，才有利于学生理解、记忆与运用知识，才能形成数学的整体结构．学生经历横向数学化的过程将数学与外部现实联系起来，经历纵向数学化的过程则是在数学的内部建立起彼此间丰富的联系．通过“数学化”，帮助学生将一个个概念、原理、公式、法则有机组织在一起形成完善的知识体系获得对数学本质的理解，实现知识在数学学科内部及其与其它学科之间的密切联系．

4问题驱动数学教学的基本步骤

数学研究的起点可以是数学问题也可以是科学问题或现实问题，在解决问题的过程中抽象出数学的概念与原理，进而运用结论解决其它的数学问题、科学问题或现实问题．数学研究的过程也反映了数学教育的基本过程，如图1[5]，从“数学到数学”与从“现实到数学”是数学教育的两条基本主线．“数学化”的出发点指研究的起点是数学问题，“生活化”的出发点指研究的起点为科学问题或现实问题．不管是从数学本身出发还是从现实开始，研究所获得的结论既可用以解决数学问题也可处理实际问题．图1数学教育的基本过程数学教学是对数学的“再创造”，是要引领学生经历数学的再发现过程．如果数学来源于生活问题或科学问题，教学情境就尽可能与学生生活实际密切联系，体现数学的生活价值或科学价值．强调数学知识与现实生活的联系也是“淡化形式，注重实质”[1718]的教学体现．如果知识产生于数学内部的发展需要，问题就应融于适当的数学情境，反映知识的数学价值．这或许与徐利治先生所说的“数学教育不必强调应用，可以完全从数学的角度进行数学教育”[19]有一定的相通之处．图1给出了数学教育的基本路线与框架．对于具体课时的中学数学教学，为便于教师的把握与操作，可根据数学教育的基本过程，构建出更具操作性的问题驱动课时教学的基本步骤，如图2．课时教学组织过程经历Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4个步骤．教学的起点可以是蕴含数学问题的科学情境、现实情境，也可以就是反映知识本质的数学情境，不管是哪种起点形式都要经历“数学化”的教学组织过程．而且教学的终点都指向应用，用获得的数学概念或原理解决数学问题或者实际问题．问题驱动数学教学让学生经历从感性认识上升到理性认识的学习过程，经历发现问题与提出问题、分析问题与解决问题的过程，经历数学知识与思想方法的形成过程．学生在数学活动中激发了探究精神，增强了数学建模能力和思辨能力，提升了问题意识和应用意识，发展了数学核心素养．

5问题驱动数学教学的几种形式

根据问题驱动数学课时教学的基本步骤，由于不同的问题情境，教学过程的展开也略有不同．

5.1若促使数学知识产生的背景是来自现实或科学的本原性问题

此时教学过程基本按照图2经历从Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4个步骤，让学生经历从现实情境或科学情境抽象出数学模型或问题到解决问题获得新知，再到应用新知的过程，学生同时经历了“横向数学化”与“纵向数学化”．比如“平面向量”单元“向量”概念的教学．向量本身就有极强的物理背景，自然可以通过分析学生所熟悉的既有大小又有方向的力（如重力、浮力、弹力等）后归纳抽象出向量的概念，从物理世界过渡到数学的符号世界，经历横向数学化．然后再深入探讨向量的几何表示方法、相等向量与共线向量的定义，在数学内部尽可能建立与向量的联系，实现纵向数学化．再在解决问题中巩固和运用向量的概念．

5.2若促使数学知识的形成源于数学自身逻辑的本原性问题

这时教学则需从Ⅰ→Ⅲ→Ⅳ让学生从实际的数学问题情境经历“纵向数学化”获得新知，再应用新知解决实际问题的过程．比如复数概念的教学．复数概念的产生并非为了处理类似012x的一元二次方程在实数范围内无解的问题，由此引入复数不仅不符合历史事实，也会给学生的理解带来更多的困惑[20]．从古希腊丟番图时期一直到16世纪前半叶，数学家们对类似方程012x的解的问题也都是置之不理，那为什么非要引进新数让它有解呢？事实上，复数是在解一元三次方程时遇到了现实的数学内部矛盾而产生的．1545年，卡丹在他的《重要的艺术》里发表了形如03qpxx的三次方程解法和其中一个根的表达式，即于是人们不得不考虑负数平方根的性质及其与实数的联系，由此引入新数——虚数单位i和复数的概念．教学完全可以结合这样的数学背景创设情境激起学生的认知冲突自然进入“纵向数学化”，然后从不同的角度理解和用不同的方式表征新知识，进而形成完善的概念并应用概念．

5.3若数学知识的形成是源于数学内部形式逻辑推导的派生性问题

这种情况教学需从Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ让学生在具体的数学问题中经历推导和归纳过程，通过丰富的“纵向数学化”或直观形象的解释获得新知，再巩固应用新知．比如，平方差公式22))((bababa，它是多项式乘以多项式衍生出来的一个特殊结论．教学自然可以从一类满足公式的多项式乘以多项式的例题入手进行“纵向数学化”，在复习旧知的过程中让学生观察结构、归纳规律．由特殊例子到结论一般化使学生经历形式的代数证明和直观的几何解释（如图3），有助于学生严谨的逻辑思维和直观的形象思维的养成．例题与习题的处理由浅入深重点剖析公式的结构与字母a、b代表的意义．通过多视角、多维度的“纵向数学化”让学生对平方差公式形成整体的认知结构．

作者:王海青 曹广福 单位:惠州学院数学与统计学院 广州大学数学与信息科学学院