实变函数与泛函课程改革

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摘要：本文探讨了《实变函数与泛函分析》课程内容改革，一是采用一维化方法从一维实数空间的测度论开始学习，二是采用测度的可数可加性圯叶戈洛夫定理圯有界收敛定理的学习路径学习测度论，可测函数和积分论的性质。此教学方案突出课程核心内容，减轻了课程难度，适合数学类和相关专业学生学习。

关键词：一维化方法；测度论；学习路径

一、引言

随着大学教育跟国际接轨，在笔者所在首都经济贸易大学，高年级数学课程越来越受到重视。《实变函数与泛函分析》（简称实变课程）课程不仅是数学、统计类学生的必修课，也在经济、管理类学生中受到欢迎。随着学生范围的扩大，有必要针对学生背景改革实变课程的教学内容和方法。

二、《实变函数与泛函分析》课程教学改革建议

实变课程的主要内容是通过n维欧式空间（简记为n维空间）上Lebesgue意义下测度、可测函数、积分论基本理论的学习，理解抽象测度论和n维空间结构相互结合。n维空间上测度论是后继课程《测度论》和《随机过程》的基础，也是现代数学的基石。由于测度论的抽象性，我们都是通过学习n维空间上测度论过渡到抽象测度论。n维空间上测度论包括许多抽象测度论的内容，给出了抽象测度论具体实现的空间，也是对实数结构更加深入的认识。采用教材[1]得到启发，笔者认为可以在两个大方面改善课程教学，第一个方面是在n维空间测度论学习中首先学习一维实数空间、R的测度论，从R的测度论出发再深入学习n维空间的测度论，第二个方面是在完成测度论学习后，采用抽象测度论的方法把测度、可测函数和积分论的性质联系在一起，具体学习路径是：测度的可数可加性圯叶戈洛夫定理圯有界收敛定理圯Fatou引理圯Lebesgue控制收敛定理。我们从实变课程中测度、可测函数和积分论来讨论以上两个方面。（一）学习n维空间测度论的新方法第一步，R实数空间。我们知道测度论的学习一般分为两个阶段，第一阶段《实变》课程学习n维空间上Lebesgue测度论，第二阶段《测度论》课程学习抽象测度论。国内数学教材比如[2]，是直接学习n维欧式空间测度理论。传统数学系学生已经对n维空间的拓扑结构有比较深入的了解，此方法不无不可。而对财经类院校学生，对于n维空间不太熟悉，那么直接学习n维欧式空间测度理论有相当难度。笔者翻阅了众多教材，发现书[1]从n=1，即实数轴R上的测度论讲起，非常方便数学基础相对薄弱的学生直接学习实变课程。我们叙述学习R上测度论的优点：1.R上容易证明以下命题。命题1（[1]Propostion1P31）：R上区间的外测度是其长度。我们对R上开区间I=（a，b）定义长度为l（I）=b-a。任何集合A定义外测度，找可数个开区间覆盖A，求出开区间的长度和，最后对有所有长度和取下确界，即m*（A）=inf∞k=1Σl（Ik）|A哿∞k=1胰Ik胰胰。此定义是从长度到测度的重要步骤，保证了数学理论逻辑的完整性。R上区间的外测度是其长度的结论虽然非常直观，但是证明需要一定的技巧，用到了闭区间的紧致性（证明参见[1]Propostion1P31）。另一方面，在叙述完外测度的定义后，外测度的单调性、次可数可加性属于抽象测度论内容。2.R上容易证明以下命题。命题2（[1]Propostion8P38）：R上每个区间是可测的。在抽象测度论方面，我们引入Caratheodory条件定义可测集。测度就是外测度在可测集上的限制。可测集满足σ-代数性质，且测度具有可数可加性，上、下连续性。关键在R上我们可以比较容易地证明每个区间都是可测的，避免n维空间上结果的技术细节，从而通过区间生成Borel可测集和Lebesgue可测集。3.R的拓扑结构简单，我们有如下命题。命题3（[1]Propostion9P17）：R的非空开集是可数个开区间的并集，非空闭集是可数个闭区间的并集。R上拓扑结构是开、闭区间概念的直接推广，直接引入了拓扑概念。我们可以用开集、闭集逼近可测集，便于理解拓扑与测度的关系（[1]P40）。学习n维空间测度论的新方法第二步，n维空间。在具体学完R上测度后，我们对抽象测度论有一定理解，只需拓展以上三个命题就可以理解n维空间上Lebesgue测度论，大大减轻了学习难度。命题1’（[1]例P62）：n维空间上矩体的外测度是其体积。命题2’（[1]定理2.9P74）：n维空间上每个开矩体是可测的。命题3’n维空间上每个开集是可数个开矩体的并集。命题1’在书[2]中并没有给出详细证明，其具体证明细节把命题1的证明推广到多维。命题2’比命题2的证明复杂。（二）对于R上的可测函数类，我们可以比较简单地证明Littlewood三原则（[1]P64）。①每个可测集几乎是有限个区间的并集（[1]Theorem12P41）。②每个可测函数几乎是连续的，即鲁津定理（[1]P66）。③函数列点态收敛几乎是一致收敛，即叶戈洛夫定理（[1]P64）。其中叶戈洛夫定理的证明用到了Lebesgue测度的连续性，即测度可数可加性的一个推论，联系了测度和可测函数的性质（[1]RemarkP78）。（三）对于R上的可测函数的Lebesgue积分。我们利用叶戈洛夫定理证明有界收敛定理，联系了可测函数和积分的性质（[1]RemarkP78），进而证明Fatou引理，单调收敛定理，Lebesgue控制收敛定理。以上（二），（三）部分参考学习路径，属于抽象测度论的内容，其结果可以平行地推广到Rn空间中。

三、结束语

综上所述，以上《实变函数与泛函分析》课程关于一维化方法和测度、可测函数、积分论学习路径的建议是适应课程面向大众化的改革方案，突出核心内容，极大减轻了教学内容的难度，便于学生学习。根据学生情况，课程还可以增加弱收敛、度量空间、拓扑空间、Banach空间、Hilbert空间等内容。

参考文献：

[1]H.Royden,P.Fitzpatrick.RealAnalysi,FourthEdition[M].机械工业出版社,2010.

[2]周民强.实变函数论[M].第2版.北京大学出版社,2008.

作者:简思綦 单位:首都经济贸易大学