美感教育融入高中数学教学研究

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【摘要】在高中数学教学中融入美感教育满足素质教育的需要、符合《课程标准》的要求、顺应高考改革的趋势。教师在教学过程中向学生渗透数学的简洁美、对称美、周期美、和谐美，关注学生在数学学习中的情感体验和人格发展，以适应新时代的人才培养要求。

【关键词】高中数学美感教育

美感教育是一种培养学生认识美、发现美和创造美的能力的教育。数学是研究空间形式与数量关系的一门学科，具有高度概括性和抽象性，在高中数学教学中有机融入美感教育，有利于培养学生认识数学美、发现数学美、创造数学美的能力，让学生感受数学的魅力，体会数学的内涵，感悟数学思想，激发学生学习数学的兴趣。

一、在高中数学教学中融入美感教育的必要性

（一）满足素质教育的需要

随着课程改革持续推进，教育更加重视学生的智力、思维能力和创新能力的培养。数学作为一门基础学科，对学生的各方面有着举足轻重的影响。在数学教学中融入美感教育，可提升学生的创造性思维和审美素养，满足了素质教育的需要。

（二）符合《课程标准》的要求

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（本文简称《课程标准》）指出：引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。将美感教育贯穿整个数学学习过程，促使学生陶冶情操，提升思维品质，尝试从数学的角度去发现世界的美，用数学规则解释自然的奥秘，探索生活中存在的规律，发现生活中处处有数学。

（三）顺应高考改革的趋势

随着新高考制度的改革，学业质量评价不仅重视学生对数学知识与技能的掌握，而且还关注学生的情感态度、价值观、创新性等方面。近几年，数学高考题目背景更多样化、生活化，重视考查学生的综合素质和文化修养。

二、高中数学中的美感教育

（一）数学的简洁美

数学的简洁美具体体现在数学语言的简洁、数学公式的简洁、数学解题方法的简洁等。例如Venn图作为一种集合的表示方法，是用图形的方式表示集合之间的逻辑关系，帮助学生更加直观地理解集合的关系与运算。又如通过弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂、“1”的代换等方法，可以将复杂的三角函数式化为简单的形式。再如根据等差数列{an}和等比数列{bn}计算新数列{anbn}的前n项和时，采用错位相减法能够快速化简得出结果。当题目中的数列裂项后明显能够相消时，采用裂项相消法，能够快速化简得出结果。数学的简洁美不仅体现在公式和语言上，而且也蕴含在解题方法中，晦涩复杂的问题往往可以抽象为简洁明了的数学模型，学生掌握了数学模型便能快速解决问题。例如2020年全国Ⅱ卷理科数学的北京天坛的扇面形石板选择题，学生需要读懂题目将情境转化为数学问题，三环扇面形石板构成了一个等差数列，使用等差数列的公式和性质进行求解，复杂的问题立刻变得简单容易解决。

（二）数学的对称美

数学的对称美具体体现在数学图形和数学思想方法中。例如函数的对称性包括函数奇偶性图象的特点、偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称。在二次函数中，函数的对称轴尤为重要，针对函数在给定区间内求最值的问题，最值是在对称轴上还是区间端点处，要具体问题具体分析。例如在全体实数范围内，二次函数y=-3x2+12x-8取得的最值是多少？分析问题：函数是开口向下的，在对称轴x=2处取得最大值，ymax=4，此时求得函数的最大值为4。变式问题：在x∈［3，5］范围内，二次函数y=-3x2+12x-8取得的最大值为多少？分析问题：变式题目与原题目的区别在于函数定义域发生了变化，定义域缩小后，二次函数的对称轴已经不在区间内，根据图象的走势，函数在x=3时能够取得最大值。这一类问题以对称轴是否存在为切入点，考查学生分析问题的严谨性。在三角函数诱导公式的学习中，角α与-α的正余弦关系、角α与α±π的正余弦关系、角α与π-α的正余弦关系，都可以利用三角函数的轴对称和中心对称性质在图象中得出结论。研究角α与-α的正余弦时，两个角的终边与圆的交点分别是D、D′，这两点关于x轴对称，所以两点的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反（见图1）。同理，在角α与α±π中，两点关于原点对称，在角α与π-α中，两点关于y轴对称。这种对称性就是诱导公式的原理，口诀“奇变偶不变，符号看象限”即将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。函数的对称性也可以应用在其他内容中，根据图象的对称性可以简单地解答出面积概率问题。例如2017年全国I卷理科数学的第二题，正方形ABCD内的图形为中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称（见图2），在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是？分析问题：根据图形的对称性，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，那么正方形的面积为4，所以黑色部分的面积为π2，因此在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率为π8。本题以太极图为切入点，考查图形对称和几何概型。研究对称性已经成为解答这类题目的一种方法，有助于让学生掌握数形结合的数学思想方法，增强学生直观想象和空间想象的能力。

（三）数学的周期美

数学的周期美具体体现在数学图象的周期性变化和公式的周期变化。教师在教学周期变化时，从地球绕太阳转动和地球自转的周期变化引入周期函数，教材中提到的函数f（x）=x-［x］就是一种周期性变化，这种类似锯子的波形，在物理中是应用广泛的锯齿波函数。在对三角函数性质的研究中总结出：在单位圆中，终边相同的角正弦函数值、余弦函数值都相等，对于任意一个角α，每增加2π的整数倍其值都不发生变化（见图3）。学生在单位圆的学习中充分体会到了三角函数的周期性。从函数公式的变化可以分析出函数是否存在周期。例如已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（50）=？分析问题：题目要求50个函数值的和，先分开求和再求总和显然不是一个简捷的方法，题目中提到函数是奇函数，那么函数关于x=1对称，所以函数一定是周期函数，可以先求出周期，再寻找规律。周期性问题一般具有极强的规律性，因此寻找规律可以让这类题目变得简单，在探索规律中，让问题由繁化简，给学生带来良好的解题体验。

（四）数学的和谐美

美是目的性与规律性的统一，美的事物往往具有和谐感。例如数学中著名的黄金分割比例蕴含着神秘的美感，因为具有黄金分割比例的物体有一种和谐的美感，所以在建筑、绘画等领域，黄金分割比例被普遍推崇。例如古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-12≈0.618），此为黄金分割比例，著名的《断臂维纳斯》雕塑便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是？分析问题：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶至咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-12≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于260.618≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，可得肚脐至足底的长度小于110cm（42+260.618≈110），即这人的身高小于178cm（110+68=178），根据肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于65cm（105×0.618≈65），则这人的身高大于170cm（65+105=170）。这道题考查了学生对于黄金分割比例的运用以及数学运算的核心素养。与黄金分割比例有着异曲同工之妙的是斐波那契数列，由意大利数学家斐波那契提出，用f（n）表示如下：f（0）=0，f（1）=1，则f（n）=f（n-1）+f（n-2），n>2，n∈N+。学生可能会觉得这个数列比较复杂难懂，但其实斐波那契数列在现实生活中无处不在。自然界中有一种名叫球蓟的植物，它的头部有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋，恰好是斐波那契数列的第7项和第8项，因此把这种螺旋称为斐波那契螺旋。自然界中的植物并不理解什么是斐波那契数列，但它们的生长却蕴含着数学的秘密，例如向日葵、松果等植物排列的规律也是斐波那契数列。这个数列看似晦涩，但它却将自然界鬼斧神工的美丽解释得一清二楚，了解了这些知识再回顾斐波那契数列，一种和谐之美油然而生。

三、在高中数学教学中融入美感教育的建议

（一）转变教育观念，重视学生的课堂情感体验

《课程标准》提到：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”课堂不应是教师的一言堂，学生的学习体验、情感体验应受到重视。教师需要树立良好的审美意识，对美感教育有充分的认识，提升自己的数学审美素养，以激发学生对美的追求和探索欲望。

（二）提升教师的业务水平，打造体验美的数学课堂

教师不仅要精确把握数学学科知识，而且还要学习数学文化知识，扩充自己知识范围，将美感教育完美融入到课堂教学中。教师要具有创造精神，不能局限于教材中的引申和补充，也不能一味地把现有的美感教育例子直接用在课堂中。在教学设计中，可以增添让学生体验数学美感的环节。此外，在板书上，教师需要创造出优美的板书，完整且具有美感的板书可以让学生对知识理解更清晰更深刻。

（三）大胆创新，利用教学工具激活课堂

美感教育应渗透在课堂的各个环节，单纯的知识教学容易让学生只关注公式定理，对此，教师要从学生感兴趣的事物入手。高中生对直观的知识接受程度明显更高，因此在教学过程中，应用现代教育技术手段十分有必要。例如在学习函数图象时，采用几何画板让学生直观地感受到函数图象的变化。又如对于数学概念的学习，教师可以通过制作概念流程图，方便学生记忆概念之间的联系。

（四）因材施教，关注每个学生的美感体验

数学美感教育的最终目的是让学生充分体会数学知识的奇妙，更好地接受知识，并积极探索问题。教师要充分考虑学生基础的差异性，在美感教育中也要学会因材施教，一切以学生的兴趣为出发点，落脚于学生学习的进步和全面发展。每个学生对于美的感觉都不一样，教师在课堂上应该多鼓励学生自主探究，结合自身实际情况，在美感教育中实现自身的发展。美感教育为严谨的数学教学增添了创造性，这种创造性能够激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，促使学生在学习数学中发现美、感受美。

作者:贾南希 单位:陕西理工大学数学与计算机科学学院