高中数学抽象概括能力培养方式浅议

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【摘要】数学抽象概括能力是数学思维的一大核心能力，也是学生理解数学、应用数学的重要条件。教师在高中数学教学中要加强对学生抽象概括能力的培养，引导学生在数学学习中自觉排除本质因素的干扰，使学生能准确抓住问题的特征，由表及里地进行分析和解决。本文通过数学概念形成过程、图形关系和数学习题变式训练等方式来培养学生的数学抽象概括能力，从而促进学生学习效率的提高。

【关键词】高中数学；抽象概括；能力培养

数学抽象概括能力是数学核心素养的重要组成部分，也是每个学生应具备的基本数学素养。它对提高学生的数学学习能力具有重要帮助作用，如何才能培养学生的数学抽象概括能力，笔者在高中数学教学中进行了实践探索。

一、经历概念形成过程，培养抽象概括能力

数学概念的形成过程是一个抽象概括的过程，是通过对各种数学关系的表形形式进行归纳总结，最后抽象概括出具有普遍性的数学本质。教师在数学概念教学中，常常是直接给出定义，讲解概念本质属性、内涵与外延，最后进行巩固练习。这种简明直接的数学概念教学方法，既不利于学生掌握概念，也不利于培养学生的抽象概括能力。教师只有在概念的形成过程中去启发学生，让学生经历数学概念本质属性的抽象概括过程，学生才能真正理解数学概念。例如，在教学高中数学“空间两条直线的位置关系”时，教师可通过概念的形成过程来培养学生的数学抽象概括能力。可从以下四个步骤教学。一是直观感知具体数学事例。教师可在同一平面内两条直线位置关系的基础上，为学生展示生活中空间两条直线位置关系的事例，如课桌的四条边、立交桥两个路面的交通线、旗杆与地基边沿线等。让学生感知这些空间体中哪些线能相交，哪些不能相交。二是归纳分析事例数学属性。在对数学事例感知的基础上，学生通过观察、比较来分析这些线段或直线的相同点与不同点。可按照相交与不相交（有没有公共点）来区分两条直线的位置关系，也可以按照在不在一个平面进行区分，还可按平行与不平行进行区分。以此来归纳分析这些事例中包含的数学属性（两条直线的位置关系）。三是逻辑演绎筛选本质属性。归纳了这些事例的数学属性后，学生要进行严谨的逻辑演绎，以此来筛选出这些数学事例中最本质的属性（特征）是什么，如立交桥两个路面的交通线是不相交、不平行、不在同一平面内的两条直线，就可确定它们是异面直线。四是概括本质属性形成概念。最后教师引导学生对空间内两条直线的不同位置关系进行概括总结，从特殊情况再扩展到一般情况，最后就能形成“空间两条直线的位置关系”完整的数学概念。教师通过这四个步骤，既能培养学生的抽象概括能力，又能使学生深入理解数学概念。

二、通过图形关系类比，培养抽象概括能力

图形与数量是数学知识的两个主要方面，运用图形和图形关系能把数量之间具有的抽象关系变得具体化、直观化，特别是借助于数形结合的思想方法，更有利于培养学生的数学抽象概括能力。例如，在高一必修1的《对数函数性质》教学时，可利用图形关系和数形结合思想方法来培养学生的数学抽象概括能力。学生要掌握对数函数的性质，首先应掌握对数函数图象的画法，可以运用“列表—描点”的传统方法绘制，还可以利用已经学过的指数函数的图象，再根据指数函数与对数函数的图形y=x关于对称的关系，就可以画出对数函数的图象。借助于对数函数图象的性质，再与指数函数的性质进行类比，就能让学生抽象概括出对数函数的性质：对数函数的定义域是（0，+∞）、值域是R，而指数函数的定义域是R、值域是（0，+∞），两者正好相反；两个函数都是非奇非偶函数；在单调性方面，两个函数具有相同的性质，即当a>1时，两者单调递增，当0<a<1，两者单调递减；对数函数经过（1，0）特殊点，而指数函数经过（0，1）特殊点；对数函数的对称轴是x轴，而指数函数的对称轴是y轴。在《对数函数性质》教学中，教师遵循了“从具体到抽象”的教学过程，通过借助于对数和指数函数的图象关系进行类比抽象，使学生很容易掌握对数函数的性质，同时促进了学生数学抽象概括能力的提升。习题训练是高中数学教学的重要内容，在习题训练

三、运用习题变式训练，培养抽象概括能力

师可借助于变式训练来培养学生的数学抽象概括能力和创新思维能力教师可通过改变原题目的某些条件或所求结论，来训练学生解题思维的拓展性、整体性和逻辑性，达到培养学生数学抽象概括能力的目的。例如，如果a=，b=，c=，那么a、b、c三者之间的大小关系是（）解析：要解此题可先解决与之相关的问题，进行变式训练：变式1：比较、、大小；变式2：求f（x）=的单调区间。通过比较（）、（）、（），就容易得出；；函数f（x）=在区间（0，+∞）是单调递增，∴，即可推出。教师在本题中运用变式训练来进行类比构造，并通过对相关的知识体系进行抽象概括，既实现了所求问题的转化，也实现了学生抽象概括能力的迁移。四、梳理学生思路，培养抽象概括能力部分。在运用数学知识的过程中，教师应该充分发挥自身指导作用，使学生了解与掌握解题思路，总结学习方法，发现探索与解答问题规律，通过应用实践教学，提高学生的抽象概括能力。在高中数学教学中，应用实践问题是教学环节中的一个重要问题。教师可通过举例形式，培养学生自主解决问题的意识以及抽象概括能力，明确此类应用问题的解题思路与解题方法，帮助学生找到快速解答问题的方案。例如，在高中数学教学中三角函数问题至关重要，教师可引导学生利用三角函数图象的性质来解决这一问题。在具体解题过程中教师还可引导学生从正弦函数、余弦函数和切线函数三个方面来分析图象的特征。分析函数表达式，比较正弦函数和余弦函数之间存在的差异性，绘制函数坐标图，要求学生对各函数之间存在的关系进行总结。将所学理论知识应用到实际习题练习中，学生可以独立地将这些已知变量和未知变量代入到公式中。教师可举例，要求学生作答，如果函数y=3sin（x+）的反比例函数为H，如何获得y=3sin（x-）的反比例函数图象。教师应不断开拓学生思维，引导学生总结知识，培养学生的抽象概括能力，为高中数学教学质量与教学效率的有效提高奠定坚实基础。总之，在高中数学教学中，培养学生的数学抽象概括能力，对学生的数学能力提升具有重要意义。因此，教师要注重利用数学概念形成过程、图形关系和习题变式训练，来培养学生的数学抽象概括能力，从而促进学生的数学核心素养培养。

作者:杨帆 单位:重庆璧山中学