初中数学教学数形结合思想应用实践

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“数”与“形”是数学领域两大研究主题，“数”就是数量关系，准确、可操作、易于掌握，“形”则是空间形式，生动、直观、易于理解.数形结合可以把二者进行转化统一，从而结合二者的优势，达到认识数学本质的效果.在初中数学课堂中运用数形结合思想方法进行教学，不仅能让学生理解数学知识的本质和内涵，还能提高课堂效率、优化教学方法.下面本文将从数变形、形变数两方面给出若干教学设计实例，从中体现数形结合思想在初中数学教学中的应用.

一、数变形，直观发现数的关系

在数学学习的过程中，有些数量关系十分抽象，学生难以理解，而图形的优点就是直观、形象.考虑到数与形本来就存在一种对应关系，我们可以把“数”转换成“形”，利用图形解决有关数量的问题.数变形的意义在于：（1）将抽象的数量关系转化为几何直观，可以避开复杂的计算或推理；（2）通过直观的几何图形帮助学生理解和阐述抽象、难懂的代数关系，从而简化问题解决的过程；（3）优化教师的教学过程，加深学生的理解，提高学习效率.下面以一道例题来说明如何在教学中实现数变形.例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.分析：对于刚学习完绝对值知识的学生而言，解这道题是存在一定难度的.这时便需要教师一步步引导学生将其与已经学过的知识建立联系：将-1、2、3作为三个定点A、B、C，那么x便可以看作一个动点D，绝对值的运算可以看作求两点间距离，此时我们只需要借助数轴找到定点A、B、C和动点D，便可以找到解题思路.在此过程中，教师要引导学生观察、分析，借助数轴画图，数变形贯穿教学过程的始终，进而解决绝对值函数的最值这一难点，并借助这个例题点明“数变形”的价值.【教学片段一】师：题目中给出的式子，你是如何理解的？这个式子又为何会有最小值呢？生1：这个式子表示的是三个绝对值运算的和，由于式子中含有未知数x，x每取一个值这个式子就会有一个值与它相对应，所以式子的值是可以变化的，在变化过程中存在一个最小值.师：非常好，你的分析十分到位.怎样研究这个最小值呢？我们先从简单的入手.（把难题分解成一个个小问题，由易及难，一步步解决）师：|x+1|有最小值吗？最小值是什么？此时x的取值是什么？生2：由于绝对值运算具有非负性，即|m|≥0，所以|x+1|≥0，易知|x+1|的值最小是0，此时x=-1.师：（追问）是的，没错，绝对值运算的结果都是非负数，这是什么原因呢？生2：绝对值代表的是一段距离，是两个点之间的距离，如|-2|就是-2到原点的距离，|m|就是m到原点的距离，师：这是绝对值的定义，你记得真清楚，给你点赞！那么|x+1|可以看成两点之间的距离吗？是哪两个点之间的距离呢？（引导学生从几何角度思考问题，为下面揭示数形结合思想做铺垫）生3：可以看成x到-1的距离.师：（追问）什么情况下x到-1的距离最短呢？生3：x与-1重合的时候距离最短，最短距离是0.师：很好，这是我们从几何的角度对|x+1|的最小值进行的分析，下面难度升级，我们进一步讨论|x+1|+|x-2|的最小值.生4：|x+1|+|x-2|的最小值就是x到-1的距离与x到2的距离之和的最小值.师：看来你想从几何角度解决这个问题，那这个最小值该怎么研究呢？老师给出一个小提示，还记得我们的老朋友“数轴”吗？认真思考一下，在学习小组中交流自己的想法.生5：可以借助数轴，在数轴上找到-1、2的位置，记为点A、B，而x由于可以取不同的值，所以x可以看成一个动点C，可以取数轴上的任意点.（如图1所示）师：你的想法太好了！大家自己动手按照这个思路画一画数轴，标出-1和2的位置，观察在x变化过程中，动点落在哪个位置时式子的值最小，并与同桌交流一下你的想法.学生自己动手操作，经历画图、观察、讨论的过程，借助图形分析数量的变化.生6：根据数轴分析A、B两个定点及动点C，发现当点C落在点A、B间任意位置时，点C到点A、B的距离之和都等于点A与B之间的距离3，而当动点C落在点A的左边和点B的右边的位置时，点C到点A、B的距离之和都大于3.因此|x+1|+|x-2|的最小值就是-1与2的距离3.师：大家也是这样思考的吗？我们一起来给这位同学鼓鼓掌，讲得真好！师：有没有同学从代数角度思考呢？学生沉默.师：看来从代数角度出发的同学都遇到了困难，难以找到思路，而当我们换一个角度，把数变形之后，从几何角度出发，思路就很清晰了.师：接下来，我们就进行最后一步的研究，|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是什么呢？你们有什么想法？生7：还是从几何角度入手，把-1、2、3看成定点A、B、C，x是动点D，|x+1|+|x-2|+|x-3|就是动点D到定点A、B、C的距离之和，在数轴上表示出定点的位置（如图2），观察在动点D运动的过程中距离的变化规律.师：（追问）随着动点D的变化，再结合前面的研究，你有什么发现？生7：在研究第二种情形时，我们发现当动点落在点A、B之间时，距离之和最小，推测第三种情形下当动点D与定点B重合时，距离和最短，即为点A、C之间的距离4.师：大家同意他的看法吗？看来大家已经初步掌握了借助数轴分析这类问题的方法，解题过程中最重要的一步便是将绝对值的运算变成几何方面的问题，借助图形研究数量把数变形.你们知道这体现了什么数学思想吗？生：（齐）数形结合思想.

二、形变数，挖掘图形中的隐含信息

众所周知，图形的优点就是形象、直观，可以将抽象的东西直观展示出来，但是有的时候也会有图形无法精确表示的东西，如平面直角坐标系中不在格点上的点，我们需要借助有序数对才可以准确地描述它的位置，求二次函数与坐标轴的交点坐标时可能需要借助代数计算才可以得到，在这些情况下我们都不得不借助“数”来分析“形”.利用数量来解决图形的问题，要充分利用几何图形的性质和意义挖掘出图形中的隐含条件，把图形问题转化成数量问题，并通过分析计算、逻辑推理解决图形问题.形变数的意义在于：（1）利用“数”的精确性和严密性刻画出模糊的图形信息；（2）利用已知的几何信息并结合代数方法找到数量之间的关系，弥补空间想象上的不足.下面以勾股定理的应用为例来探讨一下形变数在教学中的体现.例2《九章算术》中记录了这样一个问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”（如图3）你能给出解答吗？分析：由于勾股定理是典型的数形结合问题，所以许多问题都可以通过直角三角形来分析.这道题是非常典型的勾股定理的应用，需要先从题目给出的图形中分析出直角三角形，再结合勾股定理进行计算，从而解决题目中的图形问题.【教学片段二】师：同学们，通过阅读例2，你们获得了哪些数学信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的长度是5尺，葭出水一尺，所以BC的长度是1尺.师：（追问）很好，这是题目直接告诉我们的信息，还有没有隐藏着的信息呢？认真阅读题目，你能发现葭有什么变化吗？生1：我发现葭有两种状态，一种是在池中央出水一尺，另一种是葭赴岸与岸齐.师：（再问）这两种状态下，有什么量是不发生改变的？生1：葭长不变，也就是AB=AB′.师：对，这个隐藏信息是我们解题的一个突破口.还有没有同学能发现其他的隐藏条件呢？生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.师：是的，葭与水平面是垂直的，结合这个隐藏条件，你们打算怎么解决这个问题呢？生3：运用勾股定理解决.师：（追问）对哪个直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些条件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.师：（再问）勾股定理是关于直角三角形三边关系的，可是在直角三角形ACB′中我们只知道其中一边，怎么办呢？生3：可以设AC长为x尺，则AB长为x+1尺，即AB′为x+1尺.师：你说得非常好！AC和AB′是有联系的，设出一个未知数，就可以把两个量都表示出来，这样直角三角形的三边就都表示出来了，也就可以用勾股定理了.下面大家动手把完整的解题过程写一下.师：通过这道习题，相信大家对勾股定理的应用已经有了初步了解，在解决这类问题时，我们通常需要先从题目中挖掘出直角三角形模型，然后分析出数量关系，再运用勾股定理解答，把形变数.由以上两例可见，数形结合思想方法在初中数学学习中有着广泛的应用，在教学过程中，教师如能有意识地渗透数形结合的思想方法，将对学生理解学习内容的数学本质有事半功倍的效果.在一些涉及数形结合内容的教学中，教师可从“形”和“数”两个方面出发，引导学生掌握相关对象的代数意义和几何意义，并同时从“数”与“形”的角度寻求解决方案，深刻领会这些方案之间的本质联系.致谢：本文得到了沈荣鑫教授的悉心指导，谨此致谢！

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

作者：何颖蕙 单位：泰州学院数理学院