数学解题思维数学论文

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一、分解法解题思维

分解法解题是指将一个复杂问题分解为几个小问题，或者将其解题过程分成几个步骤，之后逐步解决。例如，求证：正n面体(n=4、6、8、12、20)内任一点到各个面的距离之和是一定值。这道题抽象程度较高，将其由难化简，分解成几个小问题。问题1，正n边形内任何一点到各边的距离之和是一定值。我们进一步具体化，将正n边形确定为正三角形；问题2，正三角形内部任何一点到三边的距离之和是一个定值。这样一个较难的问题就可以通过较简单的方式加以解决。证明如下：设P为正三角形ABC内任一点，P到三边的距离为PD、PE、PF，正三角形ABC的面积为S，边长为a，∵S△PAB+S△PBC+S△PCA=S,∴12（PDa+PEa+PFa）=S,∴PD+PE+PF=2Sa为定值。参照问题2的证明，则可证明问题1。

二、特殊值代入解题思维

特殊值代入法是数学中常用的一种方法，能够在所有值中逐一考虑，选择最简单的数据进行代入，避开常规解法，跳出传统思维，更加简洁的进行解题。初中数学的难度虽然不大，但是作为基础数学，初中数学应当体现出数学的解题思维。初中数学的问题设置中体现了一定的难度，以求引导学生主动进行探索，改变单一的解题思维，对于部分数学问题可以进行创新型、便捷性思考。例如分解因式题：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。在这道题中，教师可以先运用常规的解法进行解题，然后引导学生从巧取特殊值的思路出发，将其中的一个未知数设为0，暂时隐去这个未知数，对另一个未知数的式子进行分解，实现化二元为一元的目的。令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1)；令x=0，得-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。两次分解的一次项系数为1、1；-2、4，运用十字相乘进行试验，即1×4+(-2)×1，正好为原式中的xy项系数。因此，可得，x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。从上面的解析中可以看出，特殊值代入法（本题中使用的是取零法）能够在因式分解中发挥奇妙的作用。从上题中可以进行经验总结，因式分解中特殊值代入法的解题思路为：①把多项式中的一个未知数设为0化简后进行因式分解；②把多项式中的另一个未知数设为0化简后也进行因式分解；③把两步分解形成的结果进行综合验证，如果两次分解的一次因式中的常数项相等，即可得出题中多项式的分解结果。

三、归纳猜想解题思维

在数学试题中常见的一种就是找规律题，这种题目中条件都十分隐蔽，学生常常会感到无从下手。这种题目需要利用数学的归纳猜想思维，对题目进行观察，找到题目隐含的规律。例如：观察下列各式：1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，……，①从上面的式子中可以得出：1+3+5+7+9+11=()2；②从上面的式子中可以猜想：1+3+5+……+（）=n2；③根据②猜想得出的结论进行填空：1+3+5+……+()=522.解法分析：对于第①问，一种是直接相加，可以得出1+3+5+7+9+11=36=62，可以得出括号中应该填6；第二种经过观察可以先填出缺项即1+3+5+7+9=52，可以推出下面的一个等式右边应该为62，经过验证，正确。对于第②问，需要研究左边最后一项与右边幂底数之间的关系，在题目中是3与2，5与3，7与4，9与5，11与6，可以发现，左边最后一项的数字是右边幂底数数字的2倍减1，所以当右边幂底数数字为n时，左边最后一个数字应该为2n-1。可以得出第②问的答案是1+3+5+……+（2n-1）=n2；有了第②问的规律，可以很容易得出第③问的答案，即当n=52时，左边最后一项的数字为2n-1=2×52-1=103。在进行数学解题思维的引导中，教师应当改变传统的教学理念，精心设置作业，对一种题型可以引导学生进行多种方法解题，鼓励学生发挥自身的能动性和创造性，多角度的分析问题。

作者：宗乾 单位：江苏省泰州市田河初级中学