数学文化的概念和建设

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摘要：学术界对“数学文化”的概念有广义和狭义两种理解：广义的理解包括数学的知识系统和观念系统两个层面；狭义的理解仅指数学的观念系统。数学文化建设包括三个环节：一是坚持开展数学文化的研究；二是继续深化数学文化的教育；三是努力加强数学文化的普及。这三个环节是相互依存的关系：坚持研究是积累数学文化成果的过程，也是开展数学文化教育和普及的需要；开展教育和普及，又是开展数学文化研究的目的和价值之所在。

关键词：数学文化；知识系统；观念系统；研究；教育；普及

一、怎样理解数学文化的概念

20世纪下半叶，美国著名数学史学家M•Kline在三本具有人文色彩的书籍《西方文化中的数学》《古今数学思想》和《数学-确定性的丧失》中，从文化发展史角度阐述了数学的文化形态，提出“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时一直是这种文化极其重要的因素。”1981年，美国学者怀尔德在其著作《作为文化系统的数学》一书中亦提到“数学文化”一词。他认为数学文化发展已经达到较高的水平，并构成了一个相对独立的文化系统。“1988年7月，匈牙利首都布达佩斯召开了以‘数学•教育•社会•文化’为主题的第六届国际数学教育会议。数学文化这个提法引起参会数学家与数学教育家极大兴趣，之后数学文化与数学教育研究在国际数学教育界快速成为广泛关注的热点。”[1]我国在数学文化与数学教育方面的研究于20世纪80年代兴起，从探讨数学文化和数学教育之间的关系开始。相关的主要论文有贺承业的《数学文化与数学教育》、黄翔的《数学教育转轨的文化视角》、张维忠的《论数学文化研究及其对数学教育研究的启示》、黄秦安等的《略论数学教育的文化背景》等。[2]笔者认为，综合现已提出的诸多数学文化的概念来看，学术界对“数学文化”的概念有广义和狭义两种用法：广义的数学文化包括数学的知识系统和观念系统两个层面；狭义的数学文化仅指数学的观念系统。由此可以说，数学研究者是最重要的数学文化工作者，他们对于数学文化的发展起着主要作用。其次就是从文化学角度对数学知识整体及其历史发展，以及数学与各社会生活领域相联系的意义上进行的各种研究。数学的知识系统和观念系统都是数学思维活动的创造物，知识系统作为数学的具体内容，包含数学概念、定理、公式等；观念系统则是在长期的数学探索中形成的价值观、行为规范、数学精神、数学思想方法等等。观念系统的产生依赖于知识系统，反过来又促进知识系统的发展。不过，在数学文化的研究中，有的学者侧重于数学的知识系统；有的学者更侧重于数学的观念系统。前者可以看成是从数学学科以内理解数学文化；后者可以看成是从数学学科以外理解数学文化。

二、加强数学文化建设的思考

众所周知，一个国家的强大，离不开经济、政治、文化等建设。既然“数学文化”是“文化”的一部分，那么讲“文化建设”就应该包括“数学文化建设”。数学文化建设包括三环节：一是坚持开展数学文化的研究；二是继续深化数学文化的教育；三是以多种方式努力加强数学文化的普及。这三个环节是相互依存的关系：坚持研究是积累数学文化成果的过程，也是开展数学文化教育和普及的需要；开展教育和普及，又是开展数学文化研究的目的和价值之所在。

（一）坚持开展数学文化的研究

文化就是人化，是人创造出来并用于满足人的需要的符号体系。包括数学文化在内的一切文化研究，都应该坚持以人为本。文化，是联结人与客观世界的符号体系，是人与客观世界之间的中介。自然科学、社会科学、人文科学的研究成果，都是人在认识和改造客观世界的过程中形成的文化符号。这些文化符号包括定理、公式、数量、图形、概念、范畴、规律、规范，等等。它们可以著作、论文、图表、图画等文化产品为载体而存在，也可以附着于文物、建筑、器具等物质载体之上。以人为出发点和归宿点来认识世界和改造世界的思想，就是以人为本的思想，也可以称为人本主义或人道主义思想。这种思想源远流长，影响深远，至今受到人们的普遍重视。例如，古希腊的毕泰戈拉，既是数学家，又是哲学家。以他为中心形成了一个学派。这个学派发现了著名的勾股定理（a2+b2=c2），也发现了三角形的内角和为180度的定理。他们发现数与数、数与形、形与形之间存在着彼此包含的关系。他们还把万物与其数量、形状的关系割裂开来，绝对化、客观化、神秘化，进而将“逻辑上在先”与“时间上在先”加以混淆，得出了“数学的本原就是万物的本原”的唯心主义观点。力图用“数”说明世界的生成：“从数产生出点；从点产生出线；从线产生出面；从面产生出体；从体产生出感觉所及的一切形体，产生出四种元素：水、火、土、气。这四种元素以各种不同的方式互相转化，于是创造出有生命的、精神的、球形的世界，以地为中心，地也是球形的，在地面上住着人。”[3]这虽然是对客观世界的解释，但作为一种世界观又是属人的，即以人为出发点和落脚点的。又例如，欧洲文艺复兴时期的人文主义者达•芬奇是一位博学多才的学者，恩格斯称他“不仅是大画家、力学家和工程师，他在物理学的各种不同部门中都有重要的发现。”[4]达•芬奇认为，自然是客观存在的，是认识的对象；认识来源于对自然界的感性经验，认识的目的是把握自然界的客观必然性；真理只有一个，以自然界的因果必然性为内容的认识，才是科学的真理。他说：“人类的任何探讨，如果不是通过数学的证明进行的，就不能说是真正的科学。”反之“凡是数学用不上去，和数学有关的科学也用不上去的那些领域，都莫有确实的知识。”在他看来，整个世界和事物的各个方面都体现了一种量的比例和数的原则，发现这种关系和规律，对自然的认识建立在量的精确的把握之中，才算真正认识了事物，才能真正有助于技术上的发明和成功。[5]数学史和哲学史上的诸多事例都表明，数学文化和其他文化一样，都是人类认识世界和改造世界的产物，其出发点和落脚点都是人。因此，只有坚持以人为本才能抓住数学文化的根本，才能体现出数学文化的人文性和价值性。数学来自生产，面向生活。古埃及尼罗河定期泛滥，为了重新丈量土地发展了几何学；在古代中国，农业生产的发展及天文观测过程中的经验积累，促使数学发展。数学随着人类对自然认识的不断深化而成长，同时它也为各个文化领域的发展提供了理论支持和研究工具，深化了人类对各个文化领域的探索。人类发展的每个阶段都不断地产生新思潮，以适应所处的时代环境。新的理论是否符合逻辑，并且能够经受实践检验，需要经过理性思辨，严肃研究，在逐渐完善之后，才能被书写在人类文化发展的历史进程上，从根基上去影响人们的思想观念和意识。思想是人之为人的灵魂性的东西，是人的生命成长的方向和动力。数学文化就是人类思想和生存智慧的结晶。无论人的个体生命还是社会生活本身，都离不开包括数学文化在内的文化支撑。

（二）继续深化数学文化的教育

我们要积极借鉴国外的做法和经验，推动数学文化教育（含中学和大学）向深入发展。“纵观现有的大部分研究成果，数学文化与数学教育研究基本上形成了以华东师范大学、南京师范大学、陕西师范大学、浙江师范大学与吉林师范大学等为核心的几大研究团队，其中一些研究团队，主要侧重于从文化学、数学文化史、数学哲学、数学史的角度研究数学文化与数学教育，很少关注其实践层面上的研究；以浙江师范大学等为核心的研究团队，主要从数学课程教材、数学教学、数学学习的角度研究数学文化与数学教育，既有其理论层面的开拓又有实践操作层面上的推动。”[6]有的专家“通过对中、法、美三个国家四套高中数学教科书的考察、分析和比较，发现其中的数学文化内容可分成数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术四类，各教科书在数学史的内容和运用水平上大体相近，但在数学文化的其他方面则存在差异。美国教科书更注重数学与生活的联系，法国教科书更注重数学与人文艺术之间的联系，中国教科书则在数学史的运用方面有一定优势。”[7]1989年美国全国数学教师协会（NCTM）公布的《学校数学课程评价标准（1989）》中要求学员“懂得数学的价值和学会数学交流”，明确数学教育的目标是培养有数学素养的社会成员，以达到能够在表述和分析问题时准确的使用数学语言。英国国家数学课程（2000）大纲在对教学目标的划分上有三个层次：第一个层次是精神、道德、社会和文化方面的目标；第二个层次是关键数学技能的发展；第三个层次是其他方面的教学目标，包括发展学生解决问题的技能和演绎推理能力。培养学生在科学、技术、经济和风险评估中应用数学的能力。这实际是将人文素质的培养融入到数学教育之中。葡萄牙于2007年底完成并出版了《基础教育数学课程标准》，2011年在全国实施，强调对数学的积极态度和欣赏数学学科的能力这一理念，该理念包括培养学生对自己数学知识和能力的自信心，以及运用数学的自主性和灵活性；从容自信地解决学校、日常生活、工作领域中的数学问题；激发学生数学学习方面的兴趣；理解数学是人类文化的一部分，其中包括数学的发展历史；能够理解和评价数学在社会生活中的作用，尤其是在科技发展过程中的作用；能够欣赏数学的美。韩国第七次数学教育课程改革的目的是要培养学生获取思维所需的能力和态度、学习数学的兴趣和信心、数学交流能力、数学和其他学科的关联能力以及寻求并应用数字信息或空间信息解决问题的能力与自信心等。此外还有德国、荷兰、新加坡等国的最新数学教学大纲十分注重发展学生对数学的积极态度以及数学问题解决的能力。其中新加坡的数学教育目的中有一条便是要求学生能够运用数学语言准确、简略而有条理地表达数学思想和论证过程。[8]自20世纪80年代起，随着数学文化研究的深入，人们对数学教育的认识从知识层面提高到精神层面，从片面关注知识技能的教育发展到同时关注受教育者的精神品质和未来的发展。在此背景下，我国颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）2001》、《普通高中数学课程标准（实验稿）2003》的前言部分都将“数学文化”提到了与数学课程与教学同样重要的位置，特别是在高中数学课程标准中，将数学文化内容作为一个板块纳入数学教材中，旨在克服“数学曾经存在着的脱离社会文化的孤立主义的倾向”，“努力使学生在学习数学过程中受到文化熏陶，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化与数学文化间的互动。”近些年，数学文化也已成为数学教育领域的热门课题：数学文化的教育价值日益成为人们的共识，高校的数学文化课程建设如火如荼，中学数学文化校本课程悄然出现，数学文化融入数学教学的实践初见成效。目前在各个国家的大学中，数学专业基本都开设了数学史的通识课程。更早地，很多国家如美、英、法、日等在中小学教材中引入了数学史的介绍。这说明，教育界已经普遍地接受通过数学史对学生进行数学文化教育。现在，融合数学史与数学教育的HPM理论得到广泛接纳和认可。国外HPM的研究较早，至少可追溯至1890年以前。目前，以HPM理论为基础的教学实践在国外已经积累了相当多的案例，诸如“勾股定理的应用”、“概率”、“对数”、“三角”、“圆与圆周率”、“曲线下的面积”等。尤其美国数学教育工作者在该理论方面的研究比较活跃。我国台湾地区1998年创办了关于该理论的专业学术杂志《HPM台北通讯》。我国大陆地区的数学工作者于本世纪初开始进行关于HPM的研究，在近些年有较大发展，自从2005年开始每两年一次定期举行全国数学史与数学教育学术研讨会。在我国新一轮课程改革中，数学史已明确纳入《普通高中数学课程标准（实验）》，并且涌现出一批优秀的HPM理论研究专家。但我国目前还没有专业的数学史、数学文化方面的杂志期刊，相关成果主要发表于《数学教育学报》。[9]上述情况表明，在我国大、中、小学校深入推动数学文化教育还有很大空间。这关键是要提高认识，解放思想，转变观念，深化教育教学改革，同时借鉴国内外已有研究成果，结合实际不断探索，这对于由应试教育向素质教育转变，一定能起到积极的助推作用。比如，在各级学校举办数学讲座、学术报告、数学竞赛等活动，传播数学文化理念，在数学文化教育工作的深入开展过程中，扩展学生视野，使学生能够把问题置于历史和社会中思考，从人类文明发展角度去理解科技的进步，增强学生的问题意识和学习自主性，引导学生用数学视角观察和认识世界。

（三）努力加强数学文化的普及

传统的数学教育方式以教授数学知识和演练数学习题为主，在主流教材中也是以严谨的数学理论为内容，而数学教育不能仅局限于单纯的技艺学习，如数学技巧、数学理论、数学方法等的学习，却忽视了对数学底蕴和文化的理解。数学文化的补充教育应该采用多种方式，借助现今大众传媒的力量，广泛利用网络、报刊、电视、广播，以及各类图书馆、博物馆、展览馆、科技馆等社会资源，从文化角度培养民众对于数学这一门学科的兴趣，更多的增加青少年与现代科学的接触面，让人们从小就认识到数学与生活，与现代文明的各个学科之间有着深切而宽广的联系，从而促进数学文化社会化、生活化、大众化。尤其对于新时代的大学生而言，无论目前学习什么专业，将来从事什么职业，都应该学习、了解、运用、乃至研究数学。英国著名数学家、哲学家罗素指出：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也拥有至高的美。”良好的数学审美能力，是数学思维中的较高境界，而这必然建立在对数学，对数学文化的深刻认知。在数学文化的普及工作中，可以将数学之美以大众广泛接受的艺术形态展示出来，诸如音乐、美术、建筑、文学等，让民众在这些可以直接感知的艺术美里体会其中所蕴藏着的数学魅力，感受数学形式所具有的简洁、和谐、优美的特点，从而消除数学的神秘感和距离感，促进人们探索数学的乐趣。

参考文献：

[1]张祖贵.数学文化与数学教育[J].兵团教育学院学报，1991（2）：26.

[2]张维忠，孙庆括.我国数学文化与数学教育研究30年的回顾与反思[J].当代教育与文化，2011（6）：41.

[3]冒从虎，等.欧洲哲学史:上卷[M].南开大学出版社，1985:47.

[4]马克思恩格斯选集:第3卷[M].人民出版社，1972：445.

[5]冒从虎，等.欧洲哲学史：上卷[M].南开大学出版社，1985：296-298.

作者：孔兆蓉 单位：上海政法学院