小学数学教师具备的逻辑素养探析

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摘要:在近几年参加的小学数学教研活动中，经常发现由于教师逻辑知识缺失所导致的错误。逻辑素养在小学数学教师专业素养的建构中至关重要，小学数学教师应掌握关于数学概念、数学命题、数学推理、数学证明等逻辑知识，谨防在小学数学教学中出现各种逻辑性错误。

关键词:小学数学;教师专业素养;逻辑素养

在近几年参加的小学数学教研活动中，我们经常发现因教师专业素养不足所导致的各种错误，除不少错误与教师的学科知识素养有关外，还有一些错误与教师的逻辑素养有关，这不得不引起我们的警觉和重视。因此在小学数学教师专业素养的建构中，务必要重视有关数学概念、命题、推理、证明等形式逻辑知识的掌握，谨防在教学中出现各种逻辑性错误。

一、掌握有关数学概念的逻辑知识

1.科学把握数学概念的逻辑定义

在人类的认识过程中，经过抽象形成新概念，由此压缩和简化了语言，加快了思维速度和深度。一个概念引入之后，就要借助语言，将其加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。对数学概念下定义，其基本方式是“种差+属概念”，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一属概念下其他种概念之间的差别。比如以四边形为属概念，可以分别对平行四边形和梯形下定义。在对概念下定义时，不能循环定义，比如“用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直”，等等。需要注意的是，尽管“种差+属概念”是对数学概念下定义的基本方式，但对小学数学来说并非理想的定义方式，因为小学数学学多采用的是从特殊到一般的方式，因此许多数学概念无法严格按照“种差+属概念”的方式定义。比如在小学教材中先教长方形，后教平行四边形，无法以平行四边形来定义长方形。正因此，小学数学教材中的不少概念最初都没有严格定义，只是通过描述性方法来让学生认识数学概念的特征。

2.明确数学概念与定义的逻辑关系

数学概念不同于数学定义。数学概念是从数和形两方面揭示客观事物本质属性的思维产物，它反映了数学概念的内容；数学定义是对数学概念的语言表达，它是数学概念的外壳，反映了数学概念的形式。对同一个数学概念，可以有不同的定义方式。比如对平行四边形，既可以定义为“两组对边分别平行的四边形”，也可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”，这主要取决于采用哪种定义，更容易凸显出对象的本质，或更容易被学生理解和接受。当然，这些定义之间是相互等价的。需要注意的是，由于概念的定义具有人为性，因此定义方式不当，便难以反映出概念的本质属性。比如，在小学把“角”定义为“具有公共端点的两条射线组成的图形”，这并未反映出角的本质，因为角的本质并非体现在可见的“图形”上，而是体现在不可见的“张口大小”上。

3.正确认识数学概念的逻辑分类

如果将一个概念的外延集，按照某一属性分成若干个子集，也就是将一个属概念划分为若干个种概念，这就是明确概念外延的方法——分类。被分的属概念称为划分的母项，分得的若干种概念称为划分的子项，所依据的属性称为划分的标准[1]。通过概念的分类，可以使有关的概念系统和完整，同时使被分类的概念的外延更清楚、深刻和具体。但对概念分类时应注意一些问题，比如每次分类只能依据一个标准、分类要不重不漏、不能越级进行分类等。在小学数学教学中，经常有教师会问：菱形是平行四边形吗？正方形是长方形吗？平行四边形是梯形吗？圆是扇形吗？等等。这里就涉及到对概念的逻辑分类问题。概念的逻辑分类必须基于概念的定义。比如在教材中，将正方形定义为一种特殊的长方形，菱形定义为一种特殊的平行四边形，因此正方形也是长方形，菱形也是平行四边形，两者之间是包含关系。但平行四边形并不是用梯形作为属概念来定义的，平行四边形与梯形均是把四边形作为属概念来定义的，因此两者之间是并立关系，把平行四边形当作特殊梯形是不恰当的。至于圆是不是扇形，单从扇形定义无法判别的话，则通常采用约定的方式，即约定一类对象中的退化情形是否属于该类，这里并不涉及正确与否的科学性问题，仅仅是一种约定俗成的人为规定。因此对这类问题，必须具体问题具体分析，并无统一的确定答案。

二、掌握有关数学命题的逻辑知识

1.掌握命题四种形式之间的逻辑关系

为了研究数学命题的条件和结论的逻辑联系，常把一个命题的条件和结论换位，或变为它们的否定形式，这样就可以得到命题的四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。对互为逆否的两个命题，它们具有同真同假的性质，此特性称为逆否命题的等效原理。因此，原命题与逆否命题、逆命题和否命题具有同真同假的关系。在数学学习中，为了考察一个数学命题的真实性，可以转换为考察它的逆否命题的真实性。比如在某节课上，任课教师引导学生学习了对称图形的性质，即“如果两个点是对称图形的对称点，那么这两个点到对称轴的距离相等。”但在课堂练习环节，在判断哪些点为对称点时，学生认为“因为M和N到对称轴的距离相等，所以M和N是对称点”，教师进行了肯定，之后学生都据此进行判断。这里师生所犯的错误，即是利用了性质命题的逆命题进行判断，但在这里原命题与逆命题并不等价。

2.明晰命题条件和结论之间的逻辑关系

数学命题常常写成“若P则Q”的形式，其中“若P”部分叫做命题的条件，“则Q”部分叫做命题的结论。根据命题条件P对结论Q所起的作用，可以把命题的条件分为以下四种情况，即充分非必要条件、必要非充分条件、充分必要条件、既非充分又非必要条件。命题的条件和结论之间的逻辑关系，与该命题及其逆命题、否命题和逆否命题的真假，显然存在紧密联系。例如在上述案例中，“两个点对称”只是“距离相等”的充分非必要条件，若原命题的条件和结论满足这样的逻辑关系，则该原命题的逆命题一定不成立。3.明确性质定理和判定定理之间的差异性质定理是由概念或公理得到的定理，讨论某个概念的时候，就包含了它的所有性质，所以性质定理的主要功能是描述特征。断定定理是判断所讨论的某事物是否符合某个概念或公理的定理，所以判断定理的主要功能是判断结论。性质定理和判定定理具有互逆的特征，但两者并不一定是互逆的命题。概念本身既是判定定理也是性质定理，且这两个定理是互逆命题。比如平行线的概念，我们可以直接用它来判断两直线平行，也可以根据两直线平行知道它们位于同一平面内且没有交点。从命题的条件和结论的关系来看，性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件；判定定理阐述了结论成立的依据，判定定理给出了结论成立的充分条件。区分一个定理是判定定理还是性质定理，关键是看该定理阐述了结论成立的依据，还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了结论成立的依据，则是判定定理，否则就是性质定理了。在小学数学教学中，不清楚性质定理和判定定理的关系，教学就会变得盲目，甚至导致逻辑错误的发生。比如教学三角形的性质“任意三角形的两边之和大于第三边”时，有的教师通过让学生用小木棒来摆一摆，最后发现“若两个短的小木棒大于最长的小木棒，则可构成三角形”。这里就把三角形性质的学习，异化成了三角形判定的学习了。要学习三角形的性质，要先给出三角形，再根据生活经验，知道走直线比走折线要近，由此得出三角形的性质，其本质上依据的是数学公理“两点之间线段最短”。

三、掌握有关数学推理的逻辑知识

1.掌握逻辑推理的基本形式

推理是从一个或几个已知判断中得出一个新判断的思维形式。在推理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提，做出的新判断叫做推理的结论。数学推理主要有演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理是由一般到特殊的推理形式。由于演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围，所以只要前提是真的，推理合乎形式逻辑规律的推理形式，就一定能得到正确结论。归纳推理是由个别事物所作的判断，扩大为同类一般事物的判断的一种推理形式。按照前提判断范围的总和是否与结论判断范围一致，归纳推理有完全归纳和不完全归纳两种形式。完全归纳可作为严格论证的方法；不完全归纳得到的结论具有或然性，不能用于证明，只能做出假设或猜想。类比推理是根据两个对象的某些属性相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式。类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理形式，由于条件和结论没有明确的必然联系，故得出的结论具有或然性，它也是一种不严格的推理方法。比如在推导三角形面积公式时，有的教师直接从平行四边形出发进行推导，即画出一个平行四边形，连接对角线，将其一分为二，分割为两个一样的三角形，根据前面所学平行四边形面积公式，由此得出三角形面积公式。这样的教学思路是错误的。其原因在于，尽管平行四边形是任意画出来的，但一旦画出来后，它就是给定的，给定的平行四边形不能确保三角形的任意性，因此推导出的三角形面积公式就不具有任意性了。也就是说，不能用“特殊”代替“一般”，否则就违反了演绎推理的基本要求。在实际教学中，我们可以采用以上这种思路来突破教学难点，即通过对平行四边形的分割，启发学生想到用割补法把三角形转化为平行四边形，但三角形面积公式的推导必须从任意给定的三角形出发。

2.掌握形式逻辑的基本规律

数学的推理与证明，运用的是形式逻辑的思维，因此必须满足形式逻辑的基本规律。形式逻辑有四条基本规律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。同一律是指在同一思维过程中，使用的概念和判断必须保持同一性，不得中途变更，违反这条规则的常见错误是偷换概念或偷换论题。矛盾律是指人们在同一思维过程中，对两个反对或矛盾的判断不能同时承认它们都是真的，其中至少有一个是假的，比如a＞b和a＜b，否则就会出现思维上的前后不一、自相矛盾。排中律是指在同一思维过程中，同一对象的肯定判断和否定判断不能同假，必有一个是真的，比如a＞b和a≤b，违反排中律的逻辑错误是模棱两不可。充足理由律是指在思维过程中，任何一个真实的判断必须有充足的理由，如果论题的真实性要靠论据来证明，论据的真实性又要靠论题来证明，其结果是什么也没有证明，违反这条规则的逻辑错误叫循环论证。比如在学习平行四边形时，有的教师先出示了生活中的平行四边形实例，接着让学生动手做出平行四边形，在此基础上抽象出平行四边形的特征。其实，学生不知道平行四边形的特征，便难以做出平行四边形；现在运用其特征做出平行四边形，再反其道探究其特征，这样的教学便有循环论证之嫌。

四、掌握有关数学证明的逻辑知识

1.按是否直接证明命题，数学证明分为直接证法和间接证法

所谓直接证法，指从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证法是数学中经常采用的方法，在证明过程中，通常要运用演绎、归纳、分析、综合等方法。所谓间接证法，指不是直接证明论题的真实性，而是转化为证明反论题不真；或者证明与论题等效的命题的真实性；或者在互逆命题等效的情况下，通过证明论题的逆命题的真实性，从而肯定论题的真实性。间接证法又可分为反证法和同一法。间接证法是论证数学结论的有力武器，体现了正难则逆、直难则曲、顺难则反的思想。间接证法中的反证法在小学数学中较为重要。尽管在小学数学中没有出现反证法的概念，但反证法思想在分析和解决问题时却经常要用到。比如在直角三角形ABC中，已知∠C是直角，那么要说明∠A一定是锐角，最简单的方法就是应用反证法思想。

2.按思维过程的顺序，数学证明分为综合法和分析法

在数学证明中，为了找到证明的途径，根据思考时推理序列的方向不同，数学证明的方法可以分为分析法和综合法。所谓分析法，就是从结论出发，逆溯其成立的条件，再就这些条件分析研究，看它的成立又需要什么条件，继续逐步逆溯，直至达到已知条件为止，简称“执果索因”。而综合法正好与之相反，它是从题设出发，以已确立的定义、公理、定理、公式、法则等为依据，逐步展开逻辑推理，直到获得所要证明的结论，简称“由因导果”。通常用分析法寻找解题思路，用综合法叙述解题过程。在小学算术应用问题的解决中，离不开综合法和分析法的运用。简单的问题，往往直接应用综合法便可解决；复杂的问题，往往需要分析法和综合法的综合运用。分析法从要求解的结论出发，逐步寻找一系列的“须知”，思维具有目标性和方向性；综合法从已知条件出发，逐步推出一系列的“可知”，思维具有发散性和不确定性。当“须知”和“可知”相遇之后，便成功打通了一条解题通道。

3.按证明过程所采用推理形式，数学证明分为演绎法和归纳法

用演绎推理的方法进行证明称为演绎法，演绎法是从一般到特殊的推理形式，一般通过三段论的形式来实现。用归纳推理的方法进行证明称为归纳法，归纳法是由特殊到一般的推理形式。如前所述，归纳法按照概括对象的范围不同，分为完全归纳法和不完全归纳法两类。完全归纳法的理论依据是完全归纳推理，所证命题涉及的对象数目是有限的，可以作为数学证明的工具；不完全归纳法得到的结论是或然性的，不能作为数学中严格论证的工具。比如在小学学习了乘法分配律之后，有学生提出有没有“除法分配律”的问题，教师据此引导学生展开探究。探究时学生列举了大量实例进行论证，发现除法对加法满足右分配律，这时学生采用的便是归纳的论证方法，但这并无法真正证明某个结论。当教师引导学生将分析论证过程一般化，即（a+b）÷c=（a+b）×c1=a×c1+b×c1=a÷c+b÷c，此时采用的便是演绎的论证方法。演绎法和归纳法只在说明某个结论成立时使用。要说明某个结论不成立，如除法对加法不满足左分配律，则只要举出一个反例进行否定即可。

参考文献

[1]李祎.数学教学方法论[M].福州：福建教育出版社，2010：12.

作者:李祎 李君 单位:福建师范大学数学与信息学院 福建教育学院数学研修部